文档内容
2024-2025 学年度第一学期高一期中测试
数学试题
本试卷共4页，19小题，满分150分
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考
证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 若集合 ，且 ，则 （ ）
A. 10或13 B. 13 C. 4或7 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】利用元素与集合的关系计算即可.
【详解】当 ，即 时， ，此时 与4重复，则 .
当 ，即 时， .
故选：B
2. 已知 ，则p是q的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.【详解】因为当 时， 成立，而当 时， 不一定成立，
所以p是q的充分不必要条件.
故选：B
3. 已知实数 且 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由等式得到 关于 的表达式，再由条件得到 ，进而分析各不等式得到 的取值
范围，从而得解.
【详解】由 ，得 ，
因为 且 ，所以 ，
所以由 ，得 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，
由 ，得 ，
综上， ，即 .
故选：B.
4. 已知 ， ， ，则以下不等式不成立的是（ ）
.
A B..
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用基本不等式即可判断ACD，由 ，整理后利用不等式的性
质即可判断B.
【详解】对于A， ，
当且仅当 且 ，即 时取等号，故A正确；
对于B，由D选项证得 ，则有：
，
当且仅当 时取等号，所以 ，即 ，故B正确
（也可利用三元基本不等式 ， ，相加得证）；
对于C， ，
当且仅当 ，即 时取等号，故C正确；
对于D，因为 ， ， ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，故D错误．
故选：D．
5. 已知 ， ，则 的最大值是（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】结合 ，利用不等式的性质即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，
所以由不等式的可加性可得 ，
故 的最大值是2.
故选：B.
6 已知函数 ，若 ，则 （ ）
.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先分析 在各段区间上的值域，再根据条件由外而内依次求得 ，从而得解.
【详解】因为 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
令 ，则由 ，得 ，
由上述分析可得 且 ，解得 ，即 ，所以 且 ，解得 .
故选：D.
7. 函数 为定义在 上的减函数，若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 是定义域R上的减函数，且 ，然后比较 与 的大小关系，从而得出选项A错
误；比较 与 的大小即可得出选项B错误；可得出 ，从而得出选项C正确；比较
大小即可判断D.
【详解】 是定义在R上的减函数， ，
与 的大小关系不能确定，从而 关系不确定，故A错误；
， 时， ； 时， ，故 的关系不确定，故B错误；
， ， ，故C正确．
， 时 ， ； 时 ， ， 故
关系不确定，D错误，
故选：C．
8. 定义在 上的函数 和 的最小周期分别是 和 ，已知 的最小正
周期为1，则下列选项中可能成立的是（ ）
A. B.C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设 ，可知 ，然后根据每一个选项的 ，去求 ，判断选
项是否成立即可.
【详解】令 ，则有 ，
若 ，则 ，此时 ，有
，此时 ，故A错误；
若 ，则 ，因为 ，此时 ，而 的整数倍，
相同的最小的数为 ，
所以 ，此时 ，故B错误；
若 ，则 ，因为 ，此时 ，而 的整数倍，
相同的最小的数为 ，
所以 ，此时 ，故C错误；
若 ，则 ，因为 ，此时 ，而 的整数倍，
相同的最小的数为 ，
所以 ，此时 ，故D正确；
故选：D【点睛】关键点点睛：当两个最小正周期不同的函数相互加或减的时候，形成的新函数的周期为初始两个
函数周期的整数倍，且相同的最小的数.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得
0分.
9. 下列各组中M，N表示不同集合的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】ABC
【解析】
【分析】由两集合相等定义可判断集合是否相同.
【详解】A选项， 为数集， 为点集，则两集合不同，故A正确；
B选项， 为点集， 为数集，则两集合不同，故B正确；
C选项， 为数集， 表示射线 上的点，则两集合不同，故C正确；
D选项，两集合均表示全体奇数，故两集合相同，故D错误.
故选：ABC
10. 对于实数 ，下列说法错误的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ，则 D. 若 ， ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对ABD，举反例说明不等式不恒成立，对C，根据不等式的性质，证明不等式恒成立.
【详解】对A：令 ， ，则 ，但 不成立，所以A错误；对B：令 ， ， ， ，则 ， ，但 不成立，所以B错误；
对C：由题意 ，根据不等式的性质，有 即 ，故C成立；
对D：令 ， ， ， ，则 ， ，但 不成立，所以D错误.
故选：ABD
11. 已知函数 的定义域为 为偶函数， 为奇函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 的图象关于直线 对称
B. 的图象关于点 对称
C.
D. 的一个周期为8
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性可推出函数的对称性，判断AB；利用赋值法求出 的值，结合对称性可求
，判断C；结合函数奇偶性、对称性可推出函数的周期，判断D.
【详解】由于函数 的定义域为 为偶函数，
则 ，即 ，则 的图象关于直线 对称，A正确；
又 为奇函数，则 ，即 ，
故 的图象关于点 对称，B正确；
由于 ，令 ，则 ，
又 的图象关于直线 对称，故 ，C错误；
又 ， ，则 ，故 ，即 ，则 ，
即 的一个周期为8，D正确，
故选：ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知集合 ，若 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据集合元素的互异性分别讨论集合 中三个元素分别为1时 的值，再计算即可；
【详解】因为 ，
若 时， ，不符合元素的互异性；
若 ，即 或2时：
当 时，集合 ，不符合元素的互异性；
的
当 时， ，不符合元素 互异性；
若 ，即 或2时：
当 时，由以上可知不符合题意；
当 时， ，符合；
所以 ，所以 ，
故答案为： .
13. 已知 ，则 的最小值是________.
【答案】【解析】
【 分 析 】 分 子 进 行 有 理 化 ， 然 后 结 合 “ 1” 的 妙 用 ， 利 用
，即可结合基本不等式来求解最值.
【详解】由题知， ，
令
，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
14. 若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的对称轴与单调性求解即可.
【详解】由题意， 图象的对称轴为 ，因为在 上是减函数，故 ，即 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集 ，集合 ， ，
.
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得集合 ，由题意，得到 ，分 和 ，两种情况讨论，
结合集合的包含关系，列出不等式，即可求解；
（2）先求得集合 ，结合 ，分类讨论求得实数 的范围，进而求得
时，实数的取值范围，得到答案.
【小问1详解】
由集合 ， ，
因为 ，可得 ，
当 时，即 ，解得 ，此时满足 ；当 时，要使得 ，则满足 ，解得 ，
综上可得，实数 的取值范围为 .
【小问2详解】
由集合 ， ，
当 时，即 ，解得 ，此时 ；
当 时，要使得 ，则满足 或 ，
解得 或 ，
综上可得，若 时，实数 的取值范围为 ，
所以，若 时，可得实数 的取值范围为 .
16. （1） ， ，求证： ；
（2）已知 ，求 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】（1）利用作差法结合已知条件证明即可；
（2）令 ，整理后求出 ，然后利用不等式的性质可求得结果.
【详解】（1） ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
即 .
（2）令 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
故 的取值范围为 .
17. （1）已知 ，求 的最大值；
（2）已知 ，求 的最小值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得 ，再结合二次函数的性质计算可得；
（2）依题意可得 ，利用基本不等式计算可得.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，所以当 ， 时 取得最大值 ；
（2）因为 ，所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
18. 已知 ， ，且 .
（1）求ab的最大值；
（2）求 的最小值.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）根据基本不等式，即可求解；
（2）根据 ，代入 ，转化为二次函数求最小值.
【小问1详解】
， ，得 ，
当 时，等号成立，
所以 的最大值为2；
【小问2详解】
，，
当 时， 时， 取得最小值 .
19. 已知函数 .
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若 ，对 ，使得 成立，求 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用分类讨论的思想求解含有参数的不等式的解集.
（2）利用函数的思想构造函数 ，借助二次函数分类讨论求函数的值域，进而列出不等
式组求解即得.
【小问1详解】
令 ，解得 或 ，
①当 时， ，不等式的解集为 ，
②当 时， ，不等式的解集为 ，
③当 时， ，不等式的解集为 ，
所以当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ；
的
当 时，不等式 解集为 .
【小问2详解】由 ，得 ，
令 ，依题意， ， 取值集合包含于 ，
而 ，当 ，即 时， 在 上单调递增，则 ，无解；
当 ，即 时，则 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
