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2024-2025 学年浙江省杭州市高一上学期期末学业水平测试
数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 设全集为 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ， 为第二象限角，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知 ，则 （ ）
A B. 1 C. 0 D.
4. 幂函数 的图象过点 ，则函数 的值域是（ ）
A B. C. D.
5. 函数 的图象大致为（ ）
A. B. C.
第 1页/共 5页D.
6. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 等于（ ）
A. B. C. 5 D. 6
7. 某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数 S 与生物个体总数 N 研究生态瓶水质，设
立生物丰富度指数 作为生态瓶水质评价指标.生物丰富度指数 d 越大，水质越好.若经过老师指导
调整以后生态瓶生物种类数 S 没有变化，生物个体总数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到 ，
则（ ）
A. B.
C. D.
8. 在下列区间中，函数 不存在零点的是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 以下结果正确的是（ ）
A.
B. 若 ，则
C.
D.
第 2页/共 5页10. 下列命题正确的是（ ）
A. 不存在函数 、 满足定义域相同，对应关系相同，但值域不同
B. 命题“ ， ”的否定是“ ，
C. 已知 ， 是第一象限角，则“ ”是“ ”的充要条件
D 三个内角 A，B，C 满足
11. 已知函数 ，且 ， ，则（ ）
A. 若 ，则对称轴方程为 ，
B. 若 ，则函数 向左移动 得到
C. 函数 周期为 ，
D. 若 在区间 上单调，则 最大值为 9
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12 ______________.
13. 已知 ，M，N 是直线 与曲线 最近的两个交点，且
，则 的值为_____.
14. 已 知 函 数 满 足 ： ① ； ② ， ； ③ ，
，请写出一个你认为符合上述要求的函数_____.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 ， ，集合
（1）求 ；
（2）若 ，求 p，q 值；
（3）若 ，求
第 3页/共 5页16. 已知定义在 上的函数 图象关于原点对称，且
（1）求 的解析式；
（2）判断 的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式
17. 在平面直角坐标系 中，O 是坐标原点，角 的终边 与单位圆的交点为 ，射线 绕点 按逆
时针方向旋转 弧度后交单位圆于点 ，记点 的纵坐标 关于 的函数为 ，终边 对应角
（1）若 ， ，求 ；
（2）对（1）中 ，若 ， ，求 ；
（3）若 ， 的纵坐标为 ， 的横坐标为 ，求 .
18. 为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款设立优惠政策.现有应届毕业大学生
甲贷款开设某型号节能板销售公司，银行提供 48 万元无息贷款作为启动资金，同时提供贷款 120 万元（年
利率为 ）.已知该企业每月运行成本为 44000 元，该节能板的进价为每件 140 元，该店月销售量 （百
件）与销售价格 （元）的关系如下图（每段图象为直线段， ， ， ）.
第 4页/共 5页（1）请写出月利润 L 关于 P 的函数关系式；
（2）当节能板的价格为每件多少元时，月利润的余额最大?并求最大余额；
（3）该企业把所有利润积累起来，准备一次性还清所有贷款.假设该企业每月销售情况不变，则该企业还清
贷款至少需要几年
参考数据： ， ， ，
19. 一般地，设 A，B 分别为函数 的定义域和值域，如果由函数 可解得唯一 也
是一个函数 即对任意一个 ，都有唯一的 与之对应 ，那么就称函数 是函数
的反函数，记作 在 中，y 是自变量，x 是 y 的函数.习惯上改写成
的 形 式 .比 如 ： 函 数 的 反 函 数 求 法 为 ： 第 一 步 ： 反
解 ：
， ；第二步：互换字母： ；第三步：求定义域：易知原函数
值 域 为 ， 故 反 函 数 定 义 域 为 ， 反 函 数 为 记 函
数
的反函数为 ，且有函数 满足 其中 e 为自然对数
的底数
（1）求函数 ， ；
（2）若关于 x 的不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若关于 x 的方程 有两根 ， ，求 的最小值.
