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襄阳四中 2025 级高一上学期期中考试 A．0 B．1 C．2 D．3
数 学 试 题
一、单选题（每题5分，共40分） 8．若函数 在区间 与区间 上的最大值与最小值均相等，则 的
1．已知集合 ， ，则 （ ） 取值范围是（ ）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
二、多选题（每题6分，共18分）
2．若命题“任意 ， ”是假命题，则实数 的取值范围是（ ）
9．设正实数 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
A． 的取值范围是(1,+∞) B．
3．已知 ，函数 与 的图象如图所示，则（ ）
A． B． 且 C． 的最小值为 D． 的最小值为2
C． 且 D．
10．下列说法正确的是（ ）
4．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道
路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数 满足关系 A．若 的定义域为 ，则 的定义域为
，其中 为安全距离， 为车速 .当安全距离 取 时，该道路一小时
B．对数log ( )恒有意义，则实数 的取值范围是
2
“道路容量”的最大值约为（ ）
A．135 B．149 C．165 D．195
C．函数 的值域为
5．已知幂函数 在 上是增函数， .若 ，则实
D．函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围
数 的取值范围为（ ）.
11．已知函数 ， ． ，用 表示 ， 中的较大者，记为
A． B． C． D．
，则（ ）
6．若函数 的图象上存在关于原点对称的点，则实数 的取值范围是（ ）
A． 的解集为
B．当 时， 的值域为
A． B． C． D．
7．我们把定义域为 且同时满足以下两个条件的函数 称为“ 函数”：
C．若 在 上单调递增，则
①对任意的 ，总有 ；
②若 ，则有 成立，给出下列三个结论：其中正确结论的个数是 D．当 时，不等式 有4个整数解
（ ）
三、填空题（每题5分，共15分）
（1）若 为“ 函数”，则 ；
12. =
（2）函数 在 上是“ 函数”；
（3）函数 在 上是“ 函数”（ 为有理数集）．
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题（13+15+15+17+17=77分）
13．设函数 则满足 的 的取值范围是 . 15．（13分）已知函数 满足 ，函数 ．
(1)求 的解析式；
14．若 ， ，对 ，均有 恒成立，则 的取值范围为
. (2)用单调性的定义证明 在 上单调递减；
(3)求 在 上的值域．
16．（15分）已知函数 ， 为常数.
(1)若 ，证明： 的图象关于点（2,3）对称；
(2)若对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
17．（15分）（1）若方程 的两根分别为 、 ，求 的值.
（2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明：
类比以上思路，推导一元三次方程 （ ）的根与系数关系；
（3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于 的方程 有三个实数根 、
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学科网（北京）股份有限公司、 满足 ，求实数 的值. 襄阳四中 2025 级高一上学期期中考试数学试题参考答案
18．（17分）已知函数 ，其中 为实数.
1-5 CBBBC 6-8 DCD ABC ABD BD
(1)若函数 的定义域为 ，求 的取值范围；
12．2 13． 14．
(2)若函数 在 上单调递增，求 的取值范围； 14.【详解】设 ，可得 ，
1.若 ，则 ，可得 对 恒成立，
(3)当 时，是否存在实数 满足对任意 ，都存在 ，使得
则 ，解得 ，所以 成立；
成立？若存在，求实数 的取值范围；若不存在，请说明理由.
2.若 ，设 ，则 ，可得 对 恒成立，
构建 ，则 ，
（1）若 ，则二次函数 的图象开口向上，可得 ，消去 解得 ；
（2）若 ，则二次函数 的图象开口向下，对称轴 ，
19．（17分）定义区间（m，n）、[m，n]、（m，n]、[m，n）的长度均为 ，其中 .
①当 时，则 在 内单调递增，可得 ，且 ，
(1)设 ， ，若 区间的长度为4，求实数t的取值范围；
则 ，解得 ；
(2)不等式组 解集构成的各区间的长度和等于6，求实数t的范围； ②当 时，则 在 内单调递减，可得 ，且 ，
则 ，解得 ；
(3)已知 （ ）函数的定义域为区间[m，n]，其中， ，若 的值域为
，求函数的定义域区间的长度的取值范围. ③当 时，则 ，
整理可得 ，即存在 ，使得 ，
可得 ，解得 ；
综上所述： 的取值范围为 .
15. 【详解】（1）由题可得 ，
所以 的解析式为 .
（2）证明：由（1）函数 ，
任取 ，
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学科网（北京）股份有限公司易知 ，
则 ，
因为 ， ，
所以有 ，解得 .
因为 ，所以 ，
18．【详解】（1）实数 的取值范围为 ．
所以 即 ， （2）函数 在区间 上单调递增，
所以 在 上单调递减；
由函数 在定义域内单调递增，
（3）由（2）可知 在 上单调递减，
则函数 在 上单调递增，且 在 上恒成立，
所以 ， 当 时， 在 上单调递减，且 ，显然不符合题意；
当 时， 开口向下，对称轴为 ，
所以 在 上的值域为 .
在 上单调递减，显然不符合题意；
16．【详解】（1）当 时， ，
当 时， 开口向上，对称轴为 ，
所以 ，
所以f(x)的图象关于点（2,3）对称； 由题意得 ，解得 ．综上a的取值范围是 .
（2） ，不等式 恒成立，即 ，不等式
恒成立，即 ，不等式 恒成立，即 ，即 （3）当 时， ．
所以当 时， ；
，令 ，则 ，
令 ，显然在 上递增，则 ．
由对勾函数函数性质可知， 在 上单调递增，
则 .
所以 在 上单调递增，所以 ，
令 ， ,
所以 ，故 的取值范围是
若存在实数 满足对任意 ，都存在 ，
17．【详解】（1）由题意 ， 使得 成立，则只需 .
所以 . ①当 即 时，函数 在 上单调递增．
（2）设 有三个不相等的实数根 ，
则 ．解得 ，与 矛盾；
则 可分解因式为 ，
打开括号得 ， ②当 即 时，函数 在 上单调递减，
所以有 恒成立，
所以等式两边对应系数相等， 在 上单调递增．则 ，解得 ；
所以有 .
③当 即 时，函数 在 上单调递减．
（3）由（2）可知， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ．解得 ，与 矛盾． 即 ，此时 ，得 ，
综上，存在实数 满足条件，其取值范围为 ． 由 ，解得 ，
19．【详解】（1）由 （等号不能同时成立），解得 （等号不能同时成立）， 由 ，解得 ，
所以 （等号不能同时成立）.又 ，所以 ，
所以 ，
因为 的区间的长度为4，则 ，得 ，
当且仅当 即 时，等号成立，又 ，故等号取不到，
所以 ，解得 ，即实数 的取值范围为 .
所以 .
同理当 时，可得 .
（2） ，解不等式 得 ，
综上，函数的定义域区间的长度的取值范围为 .
解不等式 得 ，所以不等式 的解集为 .
∵不等式组 的解集构成的各区间的长度和等于6，
∴不等式 在 上恒成立，
令 ， ，
则 ，解得 ，
∴实数t的范围为 ．
（3）二次函数 ，图象为开口向上的抛物线，且对称轴为 ，顶点坐标为
.
要使 最大，则 应尽量大， 尽量小，即 ，
此时 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，解得 ，
所以 ，且 ，即 为方程 的两根，
得 ，所以 ，得 ，
即 的最大值为 ；
要使 最小，则 应在对称轴的同侧，不放设m，n在抛物线对称轴右侧，
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