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襄阳四中 2025 级高一上学期质量检测四
数学试题
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知函数 则 （ ）
A. B. e C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数由里到外逐步求解即可.
【详解】由题可得 ，故 ．
故选：D.
2. 已知命题 ： ， ，则 为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】利用全称命题的否定可得出结论.
【详解】命题为全称命题，则命题的否定为 ， ，
故选：A．
3. 已知幂函数 在 上单调递减，设 ，
则 大小关系为（ ）
A. B.C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的单调性以及定义，可得其函数解析式，利用对数函数和指数函数的单调性，比较大
小，结合幂函数的奇偶性和单调性，可得答案.
【详解】由题意，可得 ，解得 ，则 ，显然该函数为偶函数，
由函数 在其定义域上单调递增，则 ，
由函数 在其定义域上单调递增，则 ，
故 ，即 ，
由函数 在 上单调递减，则 .
故选：C.
4. 下列结论正确的是（ ）
A. 若角 ，则角 是第一象限角
B. 若角 ，则角 与角 的终边相同
C. 若角 为锐角，则角 为钝角
D. 若角 的终边上有一点 ，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据角度直接判断A；根据 判断B，根据 ， 判断C，根据三角
函数终边点的定义判断D.【详解】对于A，角 是第四象限角，故错误；
对于B，由于 ，故角 与角 的终边相同，正确；
对于C，角 为锐角，则 ， ，故 为钝角不一定成立，错误；
对于D，由题 ，故 ，错误.
故选：B
5. 已知函数 （ ）的图象过函数 图象的定点，则
的最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】先求得 图象的定点 ，得到 ，再由 ，结
合基本不等式，即可求解.
【详解】由函数 ，令 ，可得 ，所以 图象的定点 ，
又由函数 的图象过函数 图象的定点 ，
可得 ，即 ，且 ，
则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，所以 的最小值为 .
故选：D.6. 已知函数 ，曲线 和 恰有一个交点，则
（ ）
A. 1 B. -1 C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】将 转化为 ，构造函数 ，利用偶函数的对称性即可确
定方程只有一个根时 的值.
【详解】由 可得 ，
整理得 ，
设 ，则函数 的定义域为 ，
所以 ，则 在 上为偶函数，
若方程 只有一个根，根据偶函数的对称性可得 .
故选：C.
7. 已知函数 ，若仅存在一个整数 ，使得方程 有4个不同的实
根，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用二次函数性质并结合题意得到每一部分根的个数，再转化为交点问题求解参数范围即可.
【详解】若方程 有4个不同的实根，如图，作出符合题意的图像，当 时， ，
则由二次函数性质得此时 最多有两个不同的实根，
而当 时， ，此时 一定有两个不同的实根，
即 与 有两个不同的交点，得到 ，
当 时，结合题意得 有两个不同的实根，
的
此时 与 有两个不同 交点，
且此时 ， ，
可得 ，即 ，
因为仅存在一个整数 ，所以 ，解得 ，
而 ，得到 ，故A正确.
故选：A
8. 已知实数 是函数 的两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B【解析】
【分析】在同一平面直角坐标系中作出函数 与 的图像，结合图像进行讨论得到
的范围.
【详解】令 ，则 ，在同一平面直角坐标系中作出函数 与
的图像，如图所示.
不妨设 ，则由图像可得 ，所以 ，故D错误.
，
，故C错误.
， ，即 ，
.
又 ， ，故A错误，B正确
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“ ， ”的否定是“ ， ”B. 若 是第二象限角，则 在第二象限
C. 已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为
D. 若角 的终边过点 ，则
【答案】AC
【解析】
【分析】应用全称命题的否定判断A，应用诱导公式判断B，应用扇形的弧长及面积公式判断C，应用任
意角的正弦定义计算判断D.
【详解】A：命题“ ， ”的否定是“ ， ”故A正确;
B： 因为 ，又因为 是第二象限角， ，
所以 ，则 在第三象限，故 错
误;
C：已知扇形的面积为4，周长为10，则 ，可得 或 ，而 ，
(舍)或 ，故C正确；
D：角 的终边过点 ，当 时， ，故D错误；
故选：AC．
10. 设函数 的定义域为 ，且满足 为奇函数， 为偶函数，当 时，
，则（ ）
A. B. 在 上单调递减C. 为奇函数 D. 方程 仅有10个不同实数解
【答案】ACD
【解析】
【分析】由 为奇函数和 为偶函数得 ，即 是周期为8的周期
函数即可判断AC，作出函数 在 和 的函数图象，利用数形结合即可判断BD.
【详解】由 为奇函数，可得 ，即 （*），
又 为偶函数，则 ，即 ，
由（*）， ，即 ，
则 ，故 ，
所以 是以8为一个周期的周期函数，
对于A， ，故A正确；
对于C， ，
又 为奇函数，所以 为奇函数，故C正确；
对于B，因方程 的根的个数，即 与 的交点个数，
作出函数 在 和 的函数图象：
由图可知 在 上单调递增，故B错误；
由图可知， 与 有10个交点，即方程 仅有10个不同实数解，故D正确.
故选：ACD.11. 已知 ，下列说法正确的是（ ）
A. 的解集为
B. 存在实数 ，使函数 有三个零点
C. 对任意 ，存在实数 ，使方程 恒有两解 且 为定值
D. 若 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】解不等式 可判断A；根据解析式判断出 单调性，结合 的图象可判断B；方
程整理得 ，求出 ，对任意 ，令 ，可判断C；求出
、 、 ，判断出 是以3为周期的周期函数，利用周期性可判断D.
【详解】对于A，由 得 ，解得 ，
可得 的解集为 ，故A正确；
对于B， ， ，
当 时， 单调递增，
且 时， ， 时， ，当 时， 单调递增，
且 时， ， 时， ，
令 ，得
令 ，当 时， 单调递减， ，
当 时， 单调递增， ，
当 时， 单调递减， ，
其图象如下，
所以不存在实数 ，使函数 有三个零点，故B错误；
对于C，方程 整理得 ，
若有两解 ，需判别式 ，且 ，
对任意 ，令 ，则 ，
此时方程为 ，即方程 ，有两解， ，
所以存在实数 ，使方程 恒有两解 且 为定值0，故C正确；
对于D， ，
，
，
所以 是以3为周期的周期函数，
且 ， ， ， ，
则 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 计算： _____．
【答案】3
【解析】
【分析】利用指数、对数的运算性质及换底公式化简计算即可．
【详解】原式
故答案为：3．
13. 设方程 的根为 ，方程 的根为 ，则 的值为
_________．【答案】7
【解析】
【分析】设函数 与 的交点为 ，函数 与 的交点为
，由反函数的性质得到 ， 再由方程根的定义得到 ， ，再
将其代入所求式计算即得.
【详解】由方程 的根为 ，设函数 与 的交点为 ；
由方程 的根为 ，设函数 与 的交点为 ；
为
又因 函数 与函数 互为反函数，所以两者图象关于 对称，
而且直线 与直线 互相垂直，
则点 与 关于 对称，则 得到 ；
由题意得到 ， 则 ， ；
所以 .
故答案为：7
14. 已知函数 ，若关于x的方程 有2个不同的实根，则实数a的取值范围
为________；若关于x的方程 有4个不同的实根，则实数a的取值范围
为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据分段函数解析式，画出函数图象，判断方程 有2个不同 的实数根时参数的范围；再
根据一元二次方程的解法，方程的根与函数图象交点之间的关系，以及分段函数的性质，求出参数范围.【详解】
如图所示，方程 有2个不同的实数根时， ，即实数a的取值范围为 ；
由 ，因式分解得 ，
解得 或 .
由函数图象可知 有2个不同的实数根，则 也有2个不同的实根，
则 ，解得 或 ，
即实数a的取值范围为 .
故答案为： ， .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）求值： ；（2）已知角 终边上的一点 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）先利用诱导公式化简成特殊角的三角函数，然后根据特殊角的三角函数值进行计算；
（2）根据点 在角 终边上，计算出 ，再利用诱导公式化简，即可解出.
【详解】（1）原式 ；
（2）因为点 在角 终边上，所以 ，
化简：
.
16. 已知函数
（1）求函数 在区间 上的最大值；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）33； （2） .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用换元法，结合指数函数单调性、二次函数性质求出最大值.
（2）利用指数函数、二次函数单调性确定函数 在 上的单调性，由此脱去法则“f”并分离参数，利用二次函数性质求出最大值即得.
【小问1详解】
函数 ，令 ，则 ，
当 时，则 ，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
而 ，所以函数 在 上的最大值为33.
【小问2详解】
由（1）知，函数 ，函数 在 上单调递增，
函数 在 上单调递增，因此函数 在 上单调递增，
由 ，得 ，则由 ，得 ，
依题意， 对 恒成立，则 在 上恒成立，
，
当 时， ，则当 ，即 时， 取得最大值1，
因此 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 .
17. 为积极响应上级号召，坚定“四个自信”中的文化自信，某市电视台于2021年年初开通了“优秀传统文
化”视频号，并组织专业团队运营，由于内容丰富多彩，该视频号受到广大群众的喜爱，关注度也逐年增
加，以2021年作为第1年，运营团队在每年年底利用数据监测系统对该视频号本年度的观看人次统计如下
表：
第 年 1 2 3 4
观看人次（十
35 40 58 67
万）
为了描述年数 与第 年该视频号观看人次 （单位：十万）的关系，现有以下三种模型供选择：①；② ；③ .
（1）由于视频号初创，监测系统对2021年的数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从①②③中选
出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测2028年的观看人次能否超过80（单位：
十万）；
（2）为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，2025年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测
系统，经该系统分析，2021年的观看人次修正为28（单位：十万），2024年的观看人次修正为85（单位：
十万）
（i）根据修正后的数据，请从①②③中选择合适的模型，并求相应的函数解析式；
（ii）按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过200（单位：十万），其运营团队可被评为
“优秀文化传播集体”荣誉称号，根据（i）中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被
评为“优秀文化传播集体”？（参考数据： ， ， .）
【答案】（1）选择模型①， ，2028年
（2）（i）选择模型②， ；（ii）2027年
【解析】
【分析】（1）选择模型①，将点的坐标代入解析式，求出解析式，将 代入求值即可下结论；
（2）（i）选择模型②，利用待定系数法求出解析式即可；（ii）由题意建立不等式，结合对数的运算性质
计算即可下结论.
【小问1详解】
由题意，选择模型①，
将 ， 分别代入①式可得：
，解得 ， ，所以 ， 也满足该式.
当 时， ，
即按该模型预测，该视频号2028年的观看人次达到80.5（单位：十万人），
所以2028年该视频号观看人次能超过80（单位：十万人）.
【小问2详解】
（i）由题意，选择模型②，
将 ， 分别代入②式可得： ，解得 ， ，
所以 ， ， 均满足该式.
（ii）该视频号观看人次超过200（单位：十万人），
即不等式 ，所以 ，
不等式两边同时取常用对数得， ，
所以 ，
即按（i）中求得的函数模型变化，估计最快到2027年，
该视频号运营团队能被评为“优秀文化传播集体”.
18. 已知 .
（1）证明： ；
（2）若函数 ，当定义域为 时，值域为
，求实数 的取值范围.【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过变形得 ，利用函数 的单调性即可；
（2）首先求出 ，则得到方程组，转化成 是 上两个大于4的根，即
上有两个大于4的根，列出不等式组，解出即可.
【小问1详解】
设 ，设 ，
易得 在 上为增函数，
则 为增函数，
而 ，即 .
【小问2详解】
由题意知： ,
， ，解得 或
设 ， ，
因为反比例函数 在 和 上单调递增，通过向左平移4个单位，再向上平移1个单位即可得到 ，
则函数 在 和 上单调递增，
根据复合函数单调性知 在 和 的范围内各自单调递减，
而 ，且 ，故 ，
因为定义域为 ，故 ，
根据 在 上单调递减，
，
是方程 上两个大于4的根，
上有两个大于4的根，
则有 ，
.
19. 对于定义域为 的函数 ，如果同时满足以下三个条件：①任意的 ，总有 ；
② ；③若 ， ， ，总有 成立,则称函数为理想函数.
（1）证明：若函数 为理想函数，则 ；
（2）证明：函数 ， 是理想函数；
（3）证明：若函数 为理想函数，假定存在 ，使得 且 ，则
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】(1) 令 分别代入题设条件进行分析即可.
(2)对①②直接根据二次函数的性质进行判断,对③需代入计算化简
证明 即可.
(3)取 ,再根据题目条件代入 分析论证即可.
【详解】(1)令 ,代入 可得： 即： ,
又由条件①得： ,故： ；
(2)对于函数 ,易得其值域 ,满足①要求；其中 .满足②要求,
若 , , ,
故满足③,综上所述：函数 是理想函数；
(3)取 ,则： ,因此： 假设：,若 ,则 ；若 ,则 ,
都与题设矛盾,所以假设不成立,则 .
【点睛】本题主要考查新定义题型的一般方法,根据题目所给的条件逐个验证函数满足的性质.
同时证明时需紧抓题中给的条件 等,代入相关值进行论证即可.属于综合题型.
