漳州市2024-2025学年（下）乙丙级联盟校高一联考(定稿)_2025年05月试卷_0527福建省漳州市乙丙级联盟校2024-2025学年高一下学期期中考试

漳州市 2024-2025 学年（下）乙丙级联盟校高一联考 数 学 试 卷 （考试时间：120分钟 满分150分） 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡 上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。     1．已知向量a (2,4)，b(3,x)，且a//b，则x A.9 B.8 C.6 D.3 2.复数z (32i)i 的共轭复数z 等于 A.23i B.23i C.23i D.23i 3 3．把VABC按斜二测画法得到△ABC，如图所示，其中BO CO 1，AO ，那么 2 VABC是一个 A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形       4.已知 a 2，b 3， ab  19，则a与b的夹角为（ ）. π π 2π 5π A． B． C． D． 3 6 3 6 5.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若m//α，n//β，α//β，则m//n B．若m//α，m//β，α∩β＝n，则m//n C．若n//α，n//β，则α//β D．若m//n，n⊂α，则m//α 高一数学 第1页（共4页） {#{QQABLQS54ggwgBYACD4KVwEgCUmQkIGQJWoGBVCcqAQrQIFIFIA=}#}6．已知某圆台轴截面的周长为10、面积为3 3，圆台的高为 3 ，则该圆台的表面积为 A．6π B．10π C．11π D．12π 5   7．在VABC中，已知cosC  ，CACB 5，则VABC的面积为 5 1 5 A． B． C．2 D． 5 5 5         8．已知单位向量a,b ，且向量a,b 的夹角为60，若对任意的R,|ab||ab|恒成立， 则实数的值为 1 1 1 A．1 B． C． D． 2 3 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若向量a  2,0,b    1, 3  ，则 A． a  b   a  b  B．a  b  2   1   π C．b在a上的投影向量为 a D．a与b的夹角为 2 6 1 3 10．记  i，则下列结论正确的是 2 2 A.1 B.2 1 C.2025 1 D.2 0 11．已知ABC的重心为G，外心为O，内心为I ，垂心为H ，则下列说法正确的是 A．若M 是BC中点，AG:GM 2:1    1 B．若 AB 1，则ABAO  2    AB AC C． AH 与    不共线 AB cosB AC cosC     10 D．若2HA3HB4HC 0 ，则cosBHC  . 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知1i是方程x2bxc 0(b,cR)的一个根，则bc ． 13．已知向量a  2,3，b  3,1，若  a  kb     a  b   ，则k ． 14．已知四边形ABCD中，ABBCCD1，AD 3，则 3cosAcosC  ．设△ABD 与△BCD面积分别为S ，S ．S2 S2的最大值为 ．（第一空2分，第二空3分） 1 2 1 2 高一数学 第2页（共4页） {#{QQABLQS54ggwgBYACD4KVwEgCUmQkIGQJWoGBVCcqAQrQIFIFIA=}#}四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 1   如图，在ABC中，AD  AB ，点E是CD的中点，设AB a，AC b, 3   （1）用a，b表示CD，AE； （2）如果 a 3b ，CD，AE有什么位置关系？用向量方法证明你的结论． 16．（15分） 已知复数z ia，z 1i其中a是实数． 1 2 (1)若z2 2i，求实数a的值； 1 z z  z  2  z  3  z  2025 (2)若 1 是纯虚数，求 1  1   1   1  z 2 z 2 z 2  z 2  z 2  17.（15分） 在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足a2b2abc2. (1)求角C的大小； (2)若b2，c2bcosB，求VABC的面积. 高一数学 第3页（共4页） {#{QQABLQS54ggwgBYACD4KVwEgCUmQkIGQJWoGBVCcqAQrQIFIFIA=}#}18．（17分） 3 在锐角VABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bacosC csinA． 3 (1)求 A ； (2)若Q为____________，线段AQ的延长线交BC于点D，求S 的最大值或最小值． ABC （从条件①内心,AD3,②垂心，AD3③重心，AQ2,任选一个作答） 19．（17分） 如图所示正四棱锥SABCD，SASBSCSD2，AB 2，P为侧棱SD上的点，且 SP3PD，求： (1)正四棱锥SABCD的表面积； (2)若M 为SA的中点，求证：SC//平面BMD； SE (3)侧棱SC上是否存在一点E，使得BE//平面PAC.若存在，求 的值；若不存在，试说明 EC 理由. 高一数学 第4页（共4页） {#{QQABLQS54ggwgBYACD4KVwEgCUmQkIGQJWoGBVCcqAQrQIFIFIA=}#}漳州市 2024-2025 学年（下）乙丙级联盟校高一联考 数学参考答案 评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的 主要考察内容比照评分标准制定相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D A A B C D B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 7 12．0 13．4 14．1 8 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】 1 （1）因为AD  AB ， 3    1  1 所以CD  ADAC  ABAC  ab， 3 3 因为E是CD的中点，  1   1 1  1 1 1 1 AE  (ADAC)  ( AB AC) AB AC  a b． 2 2 3 6 2 6 2   1  1 1  （2）因为 a 3b ，CDAE   ab   a+ b 3  6 2  高一数学参考答案 第1页（共5页） {#{QQABLQS54ggwgBYACD4KVwEgCUmQkIGQJWoGBVCcqAQrQIFIFIA=}#}1 1 1 1 1 1  a2 ab ab b2  a2 b2 18 6 6 2 18 2 1 1 1 1  a 2 b 2  (3b)2 b 2 0 18 2 18 2   所以CD  AE，所以CD  AE． 16．（15分） 【解析】【详解】（1）复数z ia，则z2 (ai)2 (a2 1) 2ai 2i，又a是实数， 1 1 a210 因此 ，解得a1， 2a2 所以实数a的值是1. （2）复数z ia，z 1i aR， 1 2 z ai (ai)(1i) (1a)(a1)i 1a a1 则 1      i， z 1i (1i)(1i) 2 2 2 2 1a 0 z   2 z 因为 1 是纯虚数，于是 ，解得a1，因此 1 i，又i1i,i2 1,i3 i,i4 1， z 2 a1 0 z 2  2 则nN*,i4n3 i,i4n2 1,i4n1 i,i4n 1，即有nN*,i4n3i4n2i4n1i4n0 ， z z z z 所以 1 ( 1)2( 1)3( 1)2025506(ii2i3i4)ii . z z z z 2 2 2 2 17．（15分） 【解析】 【详解】（1）在ABC中，由a2b2abc2，则a2b2c2 ab， a2b2c2 ab 1 由余弦定理知：cosC    ， 2ab 2ab 2 π 因为C0,π，所以C  . 3  π （2）因为b2,c2bcosB ，所以cosB0，即B0, ，  2 由正弦定理sinC 2sinBcosB ， π 3 3 由C  ，所以2sinBcosB ，sin2B ， 3 2 2  π π 2π 由B0, ，2B0,π，解得：2B 或2B ，  2 3 3 π π 即B 或B ， 6 3 π π ①当B 时，AπBC  ， 6 2 高一数学参考答案 第2页（共5页） {#{QQABLQS54ggwgBYACD4KVwEgCUmQkIGQJWoGBVCcqAQrQIFIFIA=}#}b 2 a b a   4 在ABC中，由正弦定理  ，所以 sinB 1 ， sinA sinB 2 1 所以S  absinC 2 3； VABC 2 π ②当B 时，三角形为等边三角形，abc2， 3 1 1 3 S  absinC  22  3 . ABC 2 2 2 π π 综上：当B 时，S 2 3；当B 时，S  3. 6 ABC 3 ABC 18．（17分） 3 【解析】（1）由正弦定理可得sinBsinAcosC sinCsinA ， 3 又sinBsinACsinAcosCcosAsinC， 3 所以cosAsinC sinCsinA, 3 又sinC0， 所以cosA 3 sinA，即tanA 3，又A0,π，所以A π ； 3 3 （2）若选条件①： 1 π 因为Q为VABC的内心，所以BADCAD BAC  ， 2 6 1 π 1 π 1 π 由S  S S ，得 bcsin  cADsin  bADsin ABC ABD ACD 2 3 2 6 2 6 3bc 因为AD3，所以bc ， 3 3bc 所以bc  2 bc ，即bc12， 3 1 1 3 所以S  bcsinBAC  12 3 3 . △ABC 2 2 2 当且仅当bc时取面积最小值3 3. 若选条件②： 1 1 3 1 因为Q为VABC的垂心，且AD3，所以S  bcsinBAC  bc  a3 ， △ABC 2 2 2 2 故bc2 3a，即bc2 12a2， π 又a2 b2c22bccos ， 3 即bc2 12  b2c2bc  122bcbc，所以bc12 高一数学参考答案 第3页（共5页） {#{QQABLQS54ggwgBYACD4KVwEgCUmQkIGQJWoGBVCcqAQrQIFIFIA=}#}1 1 3 所以S  bcsinBAC  bc 3 3 . △ABC 2 2 2 当且仅当bc时取面积最小值3 3. 若选条件③： 3 因为Q为VABC的重心，且AQ2，所以AD AQ3， 2  1     2 1  2  2    又AD ABAC ，故 AD  AB  AC 2 AB  AC cosBAC ， 2 4 即9 1 c2b2bc  ， 4 即36c2b2bc3bc，所以bc12 1 1 3 所以S  bcsinBAC  bc 3 3 . △ABC 2 2 2 当且仅当bc时取最大值3 3. 19．（17分） 【解析】（1）在正四棱锥SABCD中，SA SB SC SD2, AB 2， 2 14 则正四棱锥侧面的高为h 22( )2  ， 2 2 1 14 所以正四棱锥的表面积为S 4  2  2 2 2 72； 2 2 （2）如图，连接BD交AC于点O，连接MO,BM,DM ，则O为AC的中点， 当M为SA的中点时，OM//SC， 又OM 平面BMD,SC平面BMD， 所以SC//平面BMD； SE （3）在侧棱SC 上存在点E，使得BE//平面PAC，满足 2. EC 理由如下： 取SD的中点Q，由SP3PD，得PQPD， 过Q作PC的平行线交SC 于E，连接BQ，BE， △BDQ中，有BQ//PO，又PO平面PAC，BQ平面PAC， SQ SE SQ 所以BQ//平面PAC，由 2，得  2. QP EC QP 高一数学参考答案 第4页（共5页） {#{QQABLQS54ggwgBYACD4KVwEgCUmQkIGQJWoGBVCcqAQrQIFIFIA=}#}又QE//PC，又PC平面PAC，QE 平面PAC， 所以QE//平面PAC，又BQQEQ,BQ、QE平面BEQ， 所以平面BEQ //平面PAC，而BE平面BEQ， 所以BE //平面PAC. 高一数学参考答案 第5页（共5页） {#{QQABLQS54ggwgBYACD4KVwEgCUmQkIGQJWoGBVCcqAQrQIFIFIA=}#}