文档内容
漳州市2024-2025学年（下）乙丙级联盟校高一联考
数学试卷
（考试时间：120分钟 满分150分）
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡
上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．已知向量 ， ，且 ，则
A.9 B.8 C.6 D.3
2.复数 的共轭复数 等于
A. B. C. D.
3．把 按斜二测画法得到 ，如图所示，其中 ， ，那么
是一个
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
4.已知 ， ， ，则 与 的夹角为（ ）.
A． B． C． D．
5.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m//α，n//β，α//β，则m//n
B．若m//α，m//β，α∩β＝n，则m//n
C．若n//α，n//β，则α//β
D．若m//n，n⊂α，则m//α6．已知某圆台轴截面的周长为10、面积为 ，圆台的高为 ，则该圆台的表面积为
A． B． C． D．
7．在 中，已知 ， ，则 的面积为
A． B． C．2 D．
8．已知单位向量 ，且向量 的夹角为 ，若对任意的 恒成立，
则实数 的值为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若向量 ，则
A． B．
C． 在 上的投影向量为 D． 与 的夹角为
10．记 ，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
11．已知 的重心为 ，外心为 ，内心为 ，垂心为 ，则下列说法正确的是
A．若 是 中点，
B．若 ，则
C． 与 不共线D．若 ，则 .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知 是方程 的一个根，则 ．
13．已知向量 ， ，若 ，则 ．
14．已知四边形 中， ， ，则 ．设
与 面积分别为 ， ． 的最大值为 ．（第一空2分，第二空3
分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
如图，在 中， ，点 是 的中点，设 ， ,
（1）用 表示 ， ；
（2）如果 ， ， 有什么位置关系？用向量方
法证明你的结论．
16．（15分）
已知复数 ， 其中 是实数．
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 是纯虚数，求17.（15分）
在 中，内角 所对的边分别为 ，且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 的面积.
18．（17分）
在锐角 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 ．
(1)求 ；
(2)若 为____________，线段 的延长线交 于点 ，求 的最大值或最小值．
（从条件①内心, ②垂心， ③重心， ,任选一个作答）
19．（17分）
如图所示正四棱锥 ， ， ， 为侧棱 上的点，且
，求：(1)正四棱锥 的表面积；
(2)若 为 的中点，求证： 平面 ；
(3)侧棱 上是否存在一点 ，使得 平面 .若存在，求 的值；若不存在，试说
明理由.漳州市2024-2025学年（下）乙丙级联盟校高一联考
数学参考答案
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的
主要考察内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内
容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一
半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C D A A B C D B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BC ABC ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
【解析】
（1）因为 ，
所以 ，
因为 是 的中点，
．
（2）因为 ，所以 ，所以 ．
16．（15分）
【解析】【详解】（1）复数 ，则 ，又a是实数，
因此 ，解得 ，
所以实数a的值是 .
（2）复数 ， ，
则 ，
因为 是纯虚数，于是 ，解得 ，因此 ，又 ，
则 ，即有 ，
所以 .
17．（15分）
【解析】
【详解】（1）在 中，由 ，则 ，
由余弦定理知： ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ，即 ，
由正弦定理 ，
由 ，所以 ， ，
由 ， ，解得： 或 ，
即 或 ，
当 时， ，在 中，由正弦定理 ，所以 ，
所以 ；
当 时，三角形为等边三角形， ，
.
综上：当 时， ；当 时， .
18．（17分）
【解析】（1）由正弦定理可得 ，
又 ，
所以 ,
又 ，
所以 ，即 ，又 ，所以 ；
（2）若选条件①：
因为 为 的内心，所以 ，
由 ，得
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 .
当且仅当 时取面积最小值 .
若选条件②：
因为 为 的垂心，且 ，所以 ，故 ，即 ，
又 ，
即 ，所以
所以 .
当且仅当 时取面积最小值 .
若选条件③：
因为 为 的重心，且 ，所以 ，
又 ，故 ，
即 ，
即 ，所以
所以 .
当且仅当 时取最大值 .
19．（17分）
【解析】（1）在正四棱锥 中， ，
则正四棱锥侧面的高为 ，
所以正四棱锥的表面积为 ；
（2）如图，连接 交 于点O，连接 ，则O为AC的中点，
当M为SA的中点时， ，
又 平面 平面 ，所以 平面 ；
（3）在侧棱 上存在点E，使得 平面 ，满足 .
理由如下：
取 的中点Q，由 ，得 ，
过Q作 的平行线交 于E，连接 ， ，
中，有 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，由 ，得 .
又 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ，而 平面 ，
所以 平面 .
