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共同体学校 25 级高一 10 月学情检测数学试卷
总分：150分 时量：120分钟
麓山国际 麓山滨江 麓山梅溪湖 麓山慈利 长沙六中
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一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解.
【详解】由 ，则 ，
集合 ，
故
故选：D.
2. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
.
C ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知
命题“ ， ”的否定为 ， .
故选：D
3. 设 ，则“ 且 ”是“ ”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分不必要条件的判定方法进行判定.
【详解】因为若“ 且 ”则“ ”成立；
但当“ ”时，“ 且 ”未必成立.比如“ ， ”时，“ ”成立，但“ 且
”不成立.
所以“ 且 ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
4. 若 ，则 的最小值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式可求和的最小值.
【详解】因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
所以 的最小值为4.
故选：D
5. 下列函数中与函数y＝x表示同一个函数的是（ ）
A. y＝|x| B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数概念，分析函数的三要素是否相同即可求解.
【详解】对于选项 ,值域与函数 不同，所以不是同一个函数，故排除 ；
对于选项 ，函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故排除 ；
对于选项 ，函数定义域不同，所以不是同一个函数，故排除 ；对于选项 ，因为函数 与函数 是同一个函数，故 正确，
故选： .
6. 若函数 是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合一次函数和二次函数的单调性即可求得.
【详解】由题意可知， 在 上单调递增，则 ，即 ，
在 上单调递增，则 ，
又 是R上的单调递增函数，则 ，即 ，
综上可得，实数a的取值范围是 .
故选：C
7. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得 的范围为 ，求解 的范围，再结合分母不为0即可得解．
【详解】由题意得 ，解得 ，
由 ，解得 ，故函数 的定义域是 ，
故选：B．
8. 定义在 上的函数 满足：对任意 ， 且 ， ，若 ，则不等
式 的解集为（ ）
.
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数 ，判断函数 的单调性，根据函数单调性解不等式 ，可
得所求不等式的解集.
【详解】不妨设 ，因为 ，所以 ，
所以 .
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，因为 ，所以 ，
所以 的解集为 ，
所以 的解集为 .
故选：B
二、多选题（每小题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分，共18分）
9. 已知 均为实数，下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ， ，则.
C 若 ， ，则 D. 若 ，
【答案】AB
【解析】
【分析】结合不等式的性质逐项分析即可.
【详解】选项A，若 ，则 ， ，即 ，选项A正确；
选项B，若 ， ，则 ， ， ，即 ，选项B正确；
选项C，若 ， ，取 ， ， ， ，则 ， ， ，选项C错
误；
选项D，若 ， ，则 ，选项D错误.
故选：AB.
10. 若函数 的定义域为 ，则实数 可以是（ ）
A. 0 B. 3 C. 6 D. 8
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意，转化为对任意 ，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】函数 的定义域为 ，
则对任意 ， 恒成立，
当 时，显然不成立；
当 时，则 恒成立，
当 时，则满足 ，解得 ，
综上可得：实数 取值范围是 ，结合选项，可得ABC符合题意.
故选：ABC.11. 设正实数 满足 ，则（ ）
A. 有最大值为 B. 有最小值为
C. 有最小值为5 D. 有最大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式即可判断 AB，由 ，利用基本不等式即可判断 C，利用
(当且仅当 时，等号成立)，即可判断D.
【详解】对于A：由 ，当且仅当 时，等号成立，故A错误；
对于B：由 ，当且仅当 时，等号成立，故B正确；
对于C：由 ，又
，
当且仅当 时，等号成立，所以 ，故C正确；
对于D：由 ，所以
，当且仅当 时，所以等号不成立，故D错误.
故选：BC.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 已知 是一次函数且 ，则 的解析式______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意设 ，利用待定系数法求解.
【详解】 是一次函数，下设 ，
由 ，则 ，
化简可得： ，
由对应系数相等可知， ，解得 ，
则 .
故答案为：
13. 存在 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用分离参数法，结合函数的单调性求实数 的取值范围.
【详解】因为存在 ，所以 ，
又当 ， 单调递减，所以 的最大值为 .
所以 .故答案为：
14. 若关于 的方程 的两个根 都在区间 上，则 a 的值范围为
____________．
【答案】
【解析】
【分析】结合二次函数根的区间分布，列出不等式组，解出即可.
【详解】设 ，由题可知，若 都在区间 内，
则需满足 ，所以 解得 ．
故答案为： .
四、解答题（共5个大题，77分）
15. 已知集合 ，集合 .
（1）求集合 和 ；
（2）求 .
【答案】（1） ， 或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用分式不等式的解法可得出集合 ，利用一元二次不等式的解法可得出集合 ；
（2）利用补集的定义可得出集合 .
【小问1详解】由 得 ，即 ，
即 ，解得 ，所以 ，
因为 ，解得 或 ，
所以 或 .
【小问2详解】
因为 或 ，由补集的定义可得 .
16. 设全集 ，集合 ， ，其中 ．
（1）若“ ”是“ ”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围；
（2）若命题“ ，使得 ”是真命题，求实数a的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据条件可知 ，列不等式，即可求解；
（2）首先求当 时 的取值范围，再求其补集.
【小问1详解】
，
“ ”是“ ”的必要而不充分条件，
，解得 ，即实数 的取值范围为 ；
【小问2详解】
若命题“ ，使得 ”是假命题，则 ，
， 或 ，
①当 时， ，解得 ，
②当 时，则 ，无解，
即命题为假命题时，实数 的取值范围为 ，
命题为真命题时，实数 的取值范围为 ．
17. （1）已知正数 ， 满足 .求 的最小值；
（2）已知 ， ， 均为正实数，且 ，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据基本不等式的概念，和换元法，对代数式进行消元，再根据基本不等式，求出最小值
即可.
（2）根据基本不等式的概念，对原不等式进行化简，进而求出最小值.
【详解】（1）由 ，得 .
因为 ， ，所以 ，即 ，
所以
，当且仅当 ，即 时取等号，故 的最小值为 .
（2）因为 ， ， 均为正实数，且 ，
代入得 ，
根据基本不等式可知 ，
代入得 ，当且仅当 时，等号成立，原命题
得证.
18. 已知函数 对于任意的 都有 .
（1）求 的解析式；
（2）设函数 ，若对任意的 ，总存在 ，使得
成立，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据解方程组法求解析式；
（2）根据题意可得函数 在 上的值域是 在 上的值域的子集，根据二次函数性质，
求出参数范围即可.
【小问1详解】
已知 ，用 替换 得 ，联立方程组，得 ，
解得 .
【小问2详解】
若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，可得 在 上的值域是
在 上的值域的子集，
由（1）可得 ，当 时， ；
为二次函数，对称轴为 ，开口向上，在 上单调递增；
所以 在 上的最小值为 ，最大值为 ；
可得 ，即 ，解得 ，所以 的取值范围为 .
19. 已知定义在 上的函数 满足对任意的 ， ， ，当 时，
， .
（1）求 和 的值.
（2）判断 在 上的单调性并证明.
（3）求不等式 的解集.
【答案】（1） .
（2） 在 上单调递减；证明见解析（3）
【解析】
【分析】（1）结合函数的性质，利用赋值法求函数值.
（2）利用函数单调性的定义，证明函数在给定区间上的单调性.
（3）利用（1）、（2）的结论，把函数不等式转化为代数不等式求解.
【小问1详解】
令 ，则 ，所以 ，
令 ， ，得 ，所以
令 ， ，得 ，所以 ，
令 ， ，得 ，所以 .
【小问2详解】
在上单调递减；
设 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，故 在 上单调递减.
【小问3详解】
由（1）知 ，
不等式 化为 ，
因为 在 上单调递减，所以 ，
即 ，解得 ，
即不等式 的解集是 .
