文档内容
湛江高一期中联盟考试
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册，必修第二册第六章至第八章第4节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由对数函数单调性解得不等式，再由交集运算即可求解.
【详解】由题意可得 ， ，
则 ．
故选：B
2. 已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A. B. 0 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由向量线性运算的坐标表示及垂直的坐标表示，列出等式求解即可.
【详解】由题意可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以 ，
解得 ．
故选：A
3. 如图， 是利用斜二测画法画出的 的直观图，其中 轴， 轴，且
，则 的边 （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用斜二测画法可还原到原直角坐标系中，再计算边长即可
【详解】由题意可得还原后 如下：
， ， ，则
故选：C.
4. “ ”是“ ”的（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分必要条件的定义结合举反例说明.
【详解】当 ， ， 时，满足 ，此时 ，即 不能推出
；
当 ， ， 时，满足 ，此时 ，即 不能推出 .
故“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
5. 已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足 的点的集合组成的图形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的几何意义，结合圆的面积公式求解即可.
【详解】由题意可得，满足 的点的集合组成的图形是以原点O为圆心，以2及3为半径的两个
圆所夹的圆环，
则其面积为 .
故选：B.
的
6. 已知函数 图象关于点 中心对称，且 在 上单调，若 ， ，且
，则 的最小值是（ ）
A. 4 B. C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意，可得 ，利用基本不等式求解.
【详解】由题意可得 ， ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
所以 的最小值为9.
故选：D.
7. 已知函数 （ ）在 上恰有3个零点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得 ，结合零点的个数可得 ，求解即可.
【详解】因为 ， ，所以 ，
又因为函数 在 上恰有3个零点，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ．
故选：A.
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学科网（北京）股份有限公司8. 如图，在正四棱锥 中， ， ．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到
A点，则细绳的最短长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面 内，求解三角形 ，即
可求解.
【详解】如图，将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内．
由题意可知 ， ，
设 ，则 ，
所以 ，所以 ．
由余弦定理可得 ，
则 ，即细绳的最短长度为 ．
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学科网（北京）股份有限公司故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 棱台的侧面一定是梯形
B. 直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
C. 棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点
D. 过空间内不同的三点有且仅有一个平面
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据棱台的基本概念，棱台的侧面一定是梯形，且侧棱延长交于一点判断AC正确，利用圆锥形
成的概念可确定C选项，选项D当三点共线时，有无数个平面.
【详解】由棱台的定义可知棱台的侧面一定是梯形，则A正确；
绕直角三角形的一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，则B正确；
因为棱台是由棱锥截成的，所以棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点，则C正确；
当三点共线时，有无数个平面，则D错误．
故选：ABC.
10. 六角螺帽也叫六角螺母，是一种常见的紧固用零件，与螺丝、螺栓、螺钉相互配合使用，起连接紧固
机件的作用．如图，这是某六角螺帽的截面图，O是正六边形的中心，也是圆O的圆心．M，N是圆O上
的动点，且线段MN经过点O．已知 ， ，P是六边形边上的动点，则下列结论正确的是（
）
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学科网（北京）股份有限公司A. 若点P与点A重合，则 的最大值是7 B. 若P是线段AB的中点，则
C. 若P是线段AB的中点，则 D. 的最大值是7
【答案】ACD
【解析】
【分析】运用数量积的运算律，结合线性运算转化，进行计算，逐个判断即可.
【详解】对于A，若点P与点A重合，连接PO并延长，与圆O的另一个交点为H．
当点M与点H重合时， 取得最大值7，则A正确．
对于B，当P是线段AB的中点时， ，则B错误．
对于C，因为 ， ，所以
，则C正确．
对于D，因为 ，且 ，所以 ，则D
正确.
故选：ACD.
11. 已知直三棱柱 的外接球的半径为5， 是以 为斜边的直角三角形，且 ，
则（ ）
A. 直三棱柱 的体积的最大值是24
B. 直三棱柱 的体积的最大值是72
C. 直三棱柱 的侧面积的最大值是
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学科网（北京）股份有限公司D. 直三棱柱 的表面积的最大值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】先求得直三棱柱的高为 ，设 ， ，根据题意得到 ，分别求出直三棱
柱 的体积、侧面积、底面积的表达式，利用基本不等式即可判断各选项.
【详解】由题意可得直三棱柱 的高为 ．
设 ， ，则 ．
直三棱柱 的体积 ．
因为 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，则 ，故A错误，B正确．
直三棱柱 的侧面积 ．
因为 ，
所以 ，解得 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，故C正确．
直三棱柱 的上、下底面的面积之和 ，
当且仅当 时，等号成立，
则直三棱柱 的表面积 ，
当且仅当 时，等号成立，故D正确．
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
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学科网（北京）股份有限公司12. 若 是纯虚数，则 ______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据复数的运算法则，化简得到 ，结合复数的概念，列出方程组，即可求解.
【详解】由复数 是纯虚数，可得 ，解得 ．
故答案为： .
13. 某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图，这是要测量的一建筑物的高度 ，选择
与该建筑物底部 在同一水平面上的 ， 两点，测得 米， ， ，
，则该建筑物的高度 ______米.
【答案】20
【解析】
【分析】设 米，在 和 中，分别表示出 和 的长，在 中，由余弦定
理即可求出建筑物的高度 .
【详解】设 米，在 中，因为 ，则 米.
在 中，因为 ，所以 米.
在
中，由余弦定理可得 ，
因为 米，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，解得 ，所以 米.
故答案为：20
14. 若向量 ， 满足 ，且向量 与向量 的夹角为 ，则 的最小值是__________.
【答案】2
【解析】
【分析】设 ， ，利用向量的加法的三角形法则得到 ，从而将 的最小值问题转化
为 中 的最小值问题，再借助三角函数求解即可.
【详解】如图：
设 ， ，则 ，依题意 .
过 作 ，垂足为 ，则 ，
即 的最小值是2.
故答案为：2.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数 ， ，其中 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若复数 在复平面内所对应的点位于第三象限，求a的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据复数的除法运算求解；
（2）可以复数的乘法运算求解 ，再根据复数的几何意义列式求解.
【小问1详解】
当 时， ，则 .
【小问2详解】
因为 ， ，所以 ．
因为 在复平面内所对应的点位于第三象限，所以 ，
解得 ，即a的取值范围是 .
16. 石凳是以天然石材或人造石为原料制作的凳椅，是一种常见的户外休闲设施．如图，这是某广场的石
凳直观图，它是由正方体 截去四面体 ， ， ， 得到的，其
中 均为各棱的中点，且 厘米．
（1）求该石凳的体积；
（2）求该石凳的表面积（不包含底面 ）．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）该石凳的体积 立方厘米
（2）该石凳的表面积 平方厘米
【解析】
【分析】（1）由体积公式即可直接求解；
（2）由表面积概念，逐个面计算即可求解.
【小问1详解】
由题意可得正方体 的体积 立方厘米，
四面体 的体积 立方厘米，
则该石凳的体积 立方厘米
【小问2详解】
由题意可得 ， ， ， 均为边长为 厘米的等边三角形，四边形IJKL是边
长为 厘米的正方形，
则 的面积 平方厘米，
正方形 的面积 平方厘米，
五边形 的面积 平方厘米，
故该石凳的表面积 平方厘米．
17. 已知函数 .
（1）求 的单调递减区间；
（2）求 在 上的值域；
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学科网（北京）股份有限公司（3）若 是锐角，且 ，求 的值.
【答案】（1） .
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先应用辅助角公式化简再应用正弦单调区间计算求解；
（2）应用正弦函数值域计算求解；
（3）应用两角差的余弦公式计算求解.
【小问1详解】
由题意可得
.
令 ， ，
解得 ， ，
则 的单调递减区间是 .
【小问2详解】
因为 ，所以 .
当 ，即 时， 取得最大值 ；
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学科网（北京）股份有限公司当 ，即 时， 取得最小值 .
故 在 上 值域为 .
的
【小问3详解】
因为 ，所以 ，所以 .
因为 是锐角，所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，
则
.
18. 如图，在 中， ， ，且 ， ， 是 和 的交点．
（1）用 ， 表示 ， ．
（2）证明： ．
的
（3）证明： 是线段 中点．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ，
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
分析】（1）由 ，可得 ，再由 ，求出 ；
【
（2）利用数量积运算求解；
（3）由 三点共线与 三点共线，进行求解判断.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，则 ．
因为 ，所以 ，
则 ．
【小问2详解】
证明：由（1）可得
．
因为 ， ，所以 ，则 ．
【小问3详解】
证明：因为 三点共线，
所以 ．
因为 三点共线，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，解得 ，即 ，
故 是线段 的中点．
19. 如图，在四边形 中， ， ， 是等边三角形．
（1）若 ，求 的面积；
（2）若 ，求 的面积；
（3）求 的面积的最大值．
【答案】（1）
（2） .
（3） ．
【解析】
【分析】（1）通过余弦定理建立方程，求出等边 的边长.从而得到面积.，
（2）在 中用余弦定理得到 得余弦及正弦值，从而得到 的余弦值，进而求出
的面积.
（3）由（2）知，可设出 ，通过正余弦定理在 表示出 ，表示出
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学科网（北京）股份有限公司，最终通过辅助角公式求最值得出第（3）问.
【小问1详解】
在 中，由余弦定理可得:
，则 ．
因为 是等边三角形，所以 的面积 ．
【小问2详解】
在 中，由余弦定理可得 ，
则 ，故 ，
因为 是等边三角形，所以 ，
所以
，
则 的面积为 ，
【小问3详解】
设 ， ，
在 中，由正弦定理可得 ，则 ，
由余弦定理可得 ，
，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的面积：
，
因为 ， ，
所以 ，
当 时， 取得最大值 ，即 的面积的最大值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司
