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高一数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题
区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：北师大版必修第一册第一章～第四章第2节.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知全集 ， ， ，则（ （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集、补集的定义进行运算即可.
【详解】因为 ，
所以 .
因为 ，所以 .
故选：A.
2. 设 ，则 的分数指数幂形式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据根式、指数的运算求得正确答案.
【详解】 ．
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学科网（北京）股份有限公司故选：A．
3. 函数 的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】依题意 ，解得 ，
所以 的定义域是 .
故选：C
4. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
的
【分析】先解方程 ， ，再根据充分条件，必要条件 定义判断即可.
【详解】由 ，即 ，
解得 或 或 或 ，
由 ，得 或 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：B.
5. 已知 是常数，幂函数 在 上单调递增，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 9 B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数的定义、单调性求得 ，进而求得 .
【详解】由于 是幂函数，所以 ，解得 ，
当 时， ，在 上单调递减，不符合题意.
当 时， ，在 上单调递增，符合题意，
则 .
故选：A
6. 设 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数和幂函数单调性比较大小.
【详解】由 在定义域上单调递减，所以得： ，
由 在定义域上单调递增，所以得： ，
即： .故A项正确.
故选：A.
7. 某商店购进一批纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售
价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售额，则这批纪念章的
销售单价 （单位：元）的取值范围是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得出关于 的不等式，再结合 可得出答案.
【详解】由题意，得 ，即 ，
∴ ，解得 ，
又每枚的最低售价为15元，∴ .
故选：B.
8. 已 知 定 义 在 上 函 数 满 足 对 ， ， 都 有 ， 若
的
，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意根据函数单调性定义可得 在 上单调递增，原不等式等价于
，即可解出.
【详解】由 ，得 ，
令 ，则 ，因此函数 在 上单调递增，
由 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，
即 ，则 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 .
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若 ， ，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】取特殊值判断A选项和D选项，由不等式的性质判断B选项，由作差法判断C选项.
【详解】当 ， 时，满足 ，但是 ，故A错误；
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，故B正确；
因为 ，又 ，所以 ， ，所以 ，即 ，
故C正确；
当 ， ， ， 时，满足 ， ，但是 ，故D错误.
故选：BC.
10. 关于x的不等式 （其中 ），其解集可能是（ ）
A. B. R C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项， 一定满足不等式，A错误；B选项，当 ， 时满足要求；C选项，当
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学科网（北京）股份有限公司， 时满足要求；D选项，当 ， 时满足要求.
【详解】A选项，当 时， ，所以解集不可能为 ，故A错误；
B选项，当 ， 时，不等式 恒成立，即解集为R，故B正确；
C选项，当 ， 时，不等式 的解集为 ，故C正确；
D选项，当 ， ，不等式 的解集为 ，故D正确．
故选：BCD．
11. 已知函数 ，则（ ）
A. 当 时， 为偶函数
B. 既有最大值又有最小值
C. 在 上单调递增
D. 的图象恒过定点
【答案】ACD
【解析】
【分析】由奇偶性定义判断A，根据指数函数的单调性与二次函数性质求最值判断 B.由复合函数的单调性
判断C，计算 后即可判断D.
【详解】A,当 时， ，定义域为 ，
因为 ，
所以 为偶函数，A正确；
B，因为 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 有最大值，没有最小值，B错误；
C，因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，C正确；
D，当 时， ，
所以 的图象恒过定点 ，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题“ ， ”的否定是___.
【答案】 ，
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即可得出答案.
【详解】命题“ ”的否定为“ ”.
故答案为： .
13. 若函数 且 的图像不经过第四象限，则实数a的取值范围为_________
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知 在 上时恒成立.讨论当 时，因为指数函数的性质得到不等
式，解不等式得到解集；当 时，由指数函数的性质得到不等式，解不等式得到解集，即可求得
数a的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可知，当 时， 恒成立.
当 时，函数 在 上单调递减，且当 时， ，
∴ ，即 ，∴ 或 ，
由∵ ，即此情况无解；
当 时，函数 在 上单调递增，当 时， ，
∴ ，即 ， ，∴ 或 ，
∵ ，∴ ；
综上所述， .
故答案为：
14. 已知 ， ，且 ，则 的最大值为____________.
【答案】 ##0.125
【解析】
【分析】由已知条件， 可变形为 ，利用基本不等式求出 的最小值，可得
的最大值.
【详解】已知 ， ，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
则有 ， ，所以 的最大值为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 化简求值：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）11
【解析】
【分析】（1）利用指数运算性质即可求得答案；
（2）利用换底公式、对数运算性质即可求得答案.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
16. 已知 .
（1）求 的最小值；
（2）若 ，求 的最小值.
【答案】（1）4； （2）8.
【解析】
【分析】（1）由基本不等式求解最小值即可；
（2）基本不等式中 的代换，求解最小值即可.
【小问1详解】
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
当且仅当 即 时等号成立，
所以 的最小值为4.
【小问2详解】
因为 ，
所以
.
当且仅当 即 时等号成立，
所以 的最小值为8.
17. 已知二次函数 满足 .
（1）求函数 的解析式；
（2）若 ， ，求 的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）设 ，根据条件建立方程组 ，即可求解；
（2）由（1）可得 ， ，对 分类讨论，利用二次函数的性质，即可求
解.
【小问1详解】
设 ，
因为
，
所以 ，解得 ，所以 .
【小问2详解】
， .
当 时， 在 上单调递增， ；
当 时， ；
当 时， 在 上单调递减， .
综上，
.
18. 已知函数 .
（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数 在 上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；
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学科网（北京）股份有限公司（3）解关于 的不等式 .
【答案】（1）奇函数，理由见解析
（2） 在 上是单调递增函数，证明见解析
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义求解；
（2）利用函数的单调性定义求解；
（3）利用函数的单调性和奇偶性，将 转化为
求解.
【小问1详解】
是奇函数，理由如下：
由题意可知， ，
因为 的定义域为 ，且 ，
所以 是奇函数.
【小问2详解】
在 上是单调递增函数.
证明如下：
任取 ，设 ，则
.
因为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司又因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 在 上 是单调递增函数.
【
小问3详解】
由（1）（2）知 是 上单调递增的奇函数，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
可以转化为 ，
可化为 ，
即 ，
①当 时，不等式为 ，这时解集为 ；
②当 时，解不等式得到 ；
③当 时，解不等式得到 .
综上，当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 .
19. 设函数 的定义域为 ，如果 ，都有 ，满足 ，那么函数
的图象称为关于点 的中心对称图形，点 就是其对称中心．如果 ，且 ，
使得 ，满足 ，那么函数 的图象称为关于点 的弱中心对称
图形，点 就是其弱对称中心．
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学科网（北京）股份有限公司（1）若函数 的图象是关于点 的中心对称图形，求实数 的值；
（2）判断函数 的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由；
（3）若函数 的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为 ，求实数 的取值
范围．
【答案】（1）
（2）函数 的图象不是关于原点的弱中心对称图形，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意“中心对称图形”的定义分析判断即可；
（2）根据反证法，以及“弱对称中心图形”定义即可证明；
（3）根据“弱对称中心图形”定义，代入解出 表达式，讨论 取值范围，再利用换元法即可求解.
【小问1详解】
由 ，解得 ．
当 时， ，对于任意的 ，
都有 ，
所以函数 的图象是关于点 的中心对称图形，
故 ．
【小问2详解】
函数 的图象不是关于原点的弱中心对称图形．
理由如下：假设 ，使得 ，解得 ，与 矛盾，
所以函数 的图象不是关于原点的弱中心对称图形；
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学科网（北京）股份有限公司【小问3详解】
由题意可知，存在 ，且 ，使得 ，
当 时， ，则 ，
所以 ，
又知对勾函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 ；
当 时， ，则 不成立；
当 时， ，则 ，
，
令 ，则 在 上单调递增，所以 ，
所以 ．
综上可知，实数 的取值范围为 ．
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学科网（北京）股份有限公司
