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禹州市第三高级中学集萃校区 2025-2026 学年上学期高一第一次阶段
性训练
数学卷
命题人：赵红远 审题人：王军领
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知 ，则 与 大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用作差比较法求解.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：C.
2. 与集合 相等的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合描述法的定义，求出集合中的元素.
【详解】12的所以正因数有 ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：B.
3. 命题“ ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出命题“ ”为真命题的充要条件，然后可选出答案.
【详解】由 可得： ，
当 时， ，所以 ，
则 的取值范围为 ，
满足其一个充分不必要条件的集合为 ，则： 为 的真子集,
故其一个充分不必要条件是： .
故选:C.
4. 下列叙述正确的是（ ）
A. ，
B. 命题“ ， ”的否定是“ ， 或 ”
C. 命题“ ， ”的否定是真命题
D. 设x， ，则“ 且 ”是“ ”的必要不充分条件
【答案】BC
【解析】
【分析】通过配方可判断A，根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断 B，写出命题的否定，即可判
断 C，根据充分条件、必要条件的定义判断D.
【详解】对于A：因为 ，故A不正确；
对于B：命题“ ， ”的否定是“ ， 或 ”，故B正确；
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学科网（北京）股份有限公司对C：命题“ ， ”的否定为：“ ， ”，显然 ，
则命题“ ， ”为真命题，故C正确；
对于D：由“ 且 ”，得“ 且 ”，可以推得出“ ”，
故“ 且 ”是“ ”的充分条件，故D错误；
故选：BC.
5. 如果 ， 是实数，那么“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件．
【详解】当 时，满足 ，而 ，则充分性不成立；
当 时，若 ，则 ，
所以 ，而 ，则 ；
若 ，则 ，
所以 ，而 ，则 ，则必要性成立．
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B
6. 已知 且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质判断D；举例说明即可判断ABC.
【详解】A：当 时， ，故A错误；
B：当 时，满足 ，但 不成立，故B错误；
C：当 时， ，故C错误；
D：由 ，得 ，故D正确.
故选：D
7. 下列函数中，最小值为 的是（ ）
A. B.
C. ， D.
【答案】D
【解析】
【分析】A中举反例即可，B利用基本不等式等号成立条件不满足，C利用基本不等式求得最小值不是 ，
D先平方，再利用二次函数求解即可.
【详解】对于A， ，当 时， ，不符合要求，故A错误；
对于B： ，当且仅当 时取等号，
由 得 显然不成立，所以等号取不到，
即 的最小值不是 ，故B错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于C：因为 ，所以 ，
，
当且仅当 时取等号，最小值不是 ，故C错误；
对于D： ，易知 ， ，
则 ，
当 即 或 时， 有最小值 ，即 有最小值 ，故D对.
故选：D
8. 已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，利用待定系数法求得 ，利用不等
的
式 性质即可求 的取值范围．
【详解】设 ，
所以 ，解得 ，即可得 ，
为
因 ， ，
所以 ，
故选：A．
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学科网（北京）股份有限公司二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知实数 满足 ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】利用不等式的性质，逐项计算可得结论.
【详解】因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，故A错误；
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，故B错误；
因为 ， ，所以 ，故C正确；
因为 ，所以 ，所以 ，又 ，
所以 ，故D正确.
故选：CD.
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】AC
【解析】
【分析】利用不等式的性质、特殊值、 的单调性、作差法、依次判断各选项即可得出结果.
【详解】对于A，由 可得 ，又 ，因此可得 ，即A正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于B，若 ，此时 ，即B错误；
对于C，若 ，所以 ，即C正确；
对于D，由 可得 ，即 ，
同理，由 可得 ，即 ，所以 ，即D错误.
故选：AC
11. 已知 ， .若 ，则（ ）
A. 的最小值为9 B. 的最小值为9
C. 的最大值为 D. 的最大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用“1”的变形，得 ， ，展开后利用基本
不等式求最值，判断AB选项；利用 ，变形构造基本不等式求最值，进而判断CD.
【详解】由题意知 ， .
A. ，
当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值是4，故A不正确；
B. ，
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学科网（北京）股份有限公司当 ， 时，等号成立，
所以 的最小值为9，故B正确；
C.由于 ， ，故 ，
当 时等号成立，即 时等号成立，
所以 的最大值为 ，故C正确；
D. ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
但 ，所以等号不能成立，故D不正确.
故选：BC.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成
积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所
求的最值，这也是最容易发生错误的地方
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 牛栏山一中高一年级某班有学生 人，其中音乐爱好者 人，体育爱好者 人，还有 人既不爱好
体育也不爱好音乐，则这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有______人．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【
分析】运用集合间关系即可得出结果.
【详解】
由题意作出Venn图，从而求解人数，
设这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有 人，
则可得， ，解得， ，
即这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有 人，
故答案为： .
13. 集合 ，若 ,则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】分 ， 和 三种情况讨论即可.
【详解】当 时， ，满足 ；
当 时， ，
若 ，则 ，解得 ；
当 时， ，
若 ，则 ，解得 ；
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学科网（北京）股份有限公司综上：
故答案为：
14. 已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出 的最小值，即可得解.
【详解】因为 ， ，且 ，
所以 ，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
又 恒成立，所以 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ， ， ．
（1）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据充分不必要条件的性质，得到集合 是集合 的真子集，从而得到关于实数 的不等
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学科网（北京）股份有限公司式组，求解不等式组，即可得到实数 的取值范围.
（2）根据集合 是否为空集进行分类讨论，结合 ，分别求出实数 的取值范围，最后取并集
即可.
【小问1详解】
已知“ ”是“ ”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义可知集合 是集合 的真子
集.
已知 ， ，则 ，解得 .
故实数 的取值范围为 .
【
小问2详解】
当 时，因为 ，所以 ，解得 ，此时 成立；
当 时， ，解得 .
因为 ， ，则 或 ，解得 或 ，故此时 .
的
综上，若 ，则实数 取值范围为 .
16. 已知集合 ．
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若 ，且 ，求m的值；
（3）求实数 的值使得 ．
【答案】（1）
（2） 或
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学科网（北京）股份有限公司（3） 或
【解析】
【分析】（1） 是方程 的根，代入即可求a；
（2）分 和 两种情况进行讨论即可；
（3）由 可得 ，即 ，分 ， ， ， 四种情况
讨论即可．
【小问1详解】
∵ ，∴ ，解得 ．
【小问2详解】
．
由 ，
若 ，即 ，满足题设，
若 ，即 ，则 或 ，
将 代入 可得 （不成立，舍去），或 ，
综上， 或 ．
【小问3详解】
由 ，且 ，则 ，即 ，
当 时， 无实数根，即 ，解得 ；
当 时， 有两相等实数根 ， ，则 ，
符合题意；
当 时， 有两相等实数根， ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司此时 为 ，则 ，不合题意；
当 时， 有两实数根0和4，
此时 且 ，解得 且 ，则 ；
故综合上述， 的取值范围为 或 ．
17. 某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长 、宽 的矩形，面积为 ．版面设计如图所
示：海报上下左右边距均为 ，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为
．三个栏目的文字宣传区域面积和为 ，
（1）用 、 表示文字宣传区域面积和 ；
（2）如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和 最大？最大面积是多少？
【答案】（1）
（2）长和宽分别为 时，面积 取得最大值 .
【解析】
【分析】（1）利用矩形的面积公式列式即得.
（2）由（1）的结论，利用基本不等式求出最大值.
【小问1详解】
依题意，三个栏目的文字宣传区域拼在一起，相当于长宽分别为 的矩形，
所以 .
【小问2详解】
依题意， ，由（1）知 ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时取等号，由 ，解得 ，
所以纸张的长和宽分别为 时，面积 取得最大值 .
18. （1）若 ，求 的最大值；
（2）已知 ，求 的最大值；
（3）设正实数 ，满足 ，求 的最小值.
【答案】（1） （2） （3）
【解析】
【分析】（1）根据条件，直接利用基本不等式，即可求解；
（2）根据条件得 ，再利用基本不等式，即可求解；
（3）根据条件得 ，再利用基本不等式，即可求解；
【详解】（1）因为 ，则 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最大值为 .
（2）因为 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最大值为 .
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学科网（北京）股份有限公司（3）因为正实数 ，满足 ，则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最小值为 .
19. 已知集合 ，集合B满足 ．
（1）判断 ， ， ， 中的哪些元素属于B；
（2）证明：若 ， ，则 ；
（3）证明：若 ，则 ．
【答案】（1） ，
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于 即可；
（2）先证明若 ， ，则 ，即可得到 ，从而得证；
（3）依题意可得 ，从而求出 ，再说明 即可.
【小问1详解】
因为 ，所以 ；
因为 ，所以 ；
因为 没有倒数，所以 ；
因为 ，所以 ；
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学科网（北京）股份有限公司综上可得 ， .
【小问2详解】
先证明：若 ， ，则 ；
设 ， ， 为整数，
所以 ，
由于 ， 都是整数，所以 ，
当 ， 时， ， ，所以 ，所以 ；
【小问3详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ， 都是整数，
所以 为整数，
所以 ，
假如 ，则 ，则 应为 的倍数，
设 为整数，若 ，则 不是 的倍数；
若 ，则 不是 的倍数；
若 ，则 不是 的倍数；
所以 ，即 .
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