文档内容
重庆一中高 2028 届高一上期期中考试
数学试题卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.
2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合要求.
1. 已知全集 ， ， ，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据交集、并集、补集的概念求出 .
【详解】 ，则 ，
又 ，则图中阴影部分表示的集合是 .
故选：D
2. 已知函数 ，则 （ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】分段函数求值，分别代入对应解析式即可得解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为函数 ，
所以 ，
故选：B..
3. 设 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数、对数函数的性质分析出 、 、 的取值范围，比较大小即可.
【详解】指数函数 在 上单调递减，因为 ，
所以 ，即 ；
对数函数 在 上单调递减，因为 ，
所以 ，即 ，
指数函数 在 上单调递增，因为 ，所以 ，即 .
综上， .
.
故选：D
4. 函数 的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先分析函数 的单调性，再利用零点存在定理分析判断选项．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 在定义域 上单调递增， 在 内单调递增，
所以 在定义域 上单调递增，
， ，
， ，
根据零点存在定理可知，函数 的零点所在区间为 ．
故选：C
5. “ ”是“ ”的（ ）条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】求解出已知不等式的解集，利用充分条件、必要条件的定义进行判断.
【详解】由 ，得 ；由 ，得 ，
因为 可以推出 ，且 不能推出 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
即“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
6. 已知函数 的图像如图所示，则 的解析式可能是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合函数图像，利用性质和特值排除可得答案.
【详解】对于A，函数 的定义域为 ，
因 为 ，
所以函数 为奇函数，故排除A；
对于B，函数 的定义域为 ，故排除B；
对于D， 恒成立，当且仅当 时等号成立，故排除D.
故选：C.
7. 已知 ， ，则 可用 表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数的运算即可求得结果.
【详解】∵ ，∴ ，∴
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学科网（北京）股份有限公司.
故选：B.
8. 设t为实数，已知函数 ， ，若存在实数a，b（
）同时满足 和 ，则实数t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得 ， ，令 ，则 ，利用单调
性求出最值即可求解.
【详解】 ，定义域为 ，
所以 ，
所以 ，所以 为奇函数，
在 上单调递增， 在 上单调递增，
故函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司存在实数a，b（ ）同时满足 ，故 ，且 .
，即 ，
令 ，
，
在 上为减函数，所以 .
故选： .
二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知实数 满足 ，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可.
【详解】对于A：
因为 ，所以 ，A错误；
对于B：
因为 ，所以 ，所以B正确；
对于C：
因为 ，所以 ，C正确；
对于D：
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，所以 ，D错误.
故选：BC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题：“ ”的否定是“ ”
B. 函数 （ 且 ）恒过定点
C. 已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为
D. 函数 的值域为
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，运用含有一个量词的命题的否定书写方法来判断A选项；B选项，运用对数函数恒过定
点真数为1来进行判断；C选项，考查抽象函数定义域求法；D选项，考查利用复合函数单调性，求函数
值域问题.
【详解】对于A：命题：“ ”的否定是“ ”，故A正确；
对于B：函数 （ 且 ）的恒过定点，令 ， 解得 ， ，
所以 恒过定点为 ，故B错误；
对于C：已知函数 的定义域为 ，即 ，即 ，所以 的定义域为
,
则对于 ，由 ，得 ，即 定的义域为 ，故C正确；
对于D：令 ， ，二次函数 开口向下，在 上单调递增，
在 上单调递减，又因为 在定义域上为减函数，
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学科网（北京）股份有限公司故 在 上单调递减，在 上单调递增，在 处取最小值， ，
故 的值域为 ，故D错误.
故选：AC
11. 已知关于x的方程 （ ， ）恰有三个不同的实数解 ， ， ，
其中 ，则下列选项中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】设 ，得出函数 为偶函数，从而有 ，因此方程
必有一解为0，代入得 ，分 和 两种情况得出函数 的单调性和最
值，从而求得 ，可得选项.
【详解】令 ，则 的定义域为 ，
有 ，
故 为偶函数，则 ，故A正确；
必有一解为0，则 ，即 ，
①当 时，因 时， ，
故 ，当且仅当 时取等号；
②当 时， 在 上递增， ，
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学科网（北京）股份有限公司由 可得 ，
即 ，解得 ，
又 在 上递增， ，即 ，解得 ，则
，故B、D正确，C错误.
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数 在 上是减函数，则实数m的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用幂函数的性质建立方程，求解参数即可；
【详解】因为幂函数 在 上是减函数；
所以 ；
故答案为：
13. 已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则函数 的
单调递增区间为________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求函数 ，再求 ，利用复合函数单调性的判断方法
求函数的单调递增区间.
【详解】由题意可知
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学科网（北京）股份有限公司，
令 ，则 ，
i因为 在定义域内单调递减，若要求函数 的单调递增函数，
则需满足 ，解得： ，
函数的单调递增区间是 .
故答案为：
14. 已知函数 的定义域为 ，且 为奇函数， 为偶函数， ，则
________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题目条件求出函数 是周期为 4 的函数，再根据函数周期性和奇偶性求出
的值.
【详解】已知函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 为奇函数，
由 为偶函数可得： ，
令 ，则 ，即 ，函数 关于直线 对称，
由 为奇函数可得： ，
结合 ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，则 ，故 的周期为4，
求 ，利用周期性 ，
由 ，令 ，得 ，
已知 ，则 ，解得 ，即 ，
求 ，利用周期性 ，
由 为偶函数，令 ，得 ，故 ，即 ，
故 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）计算： ；
（2）已知函数 的定义域是集合 ，值域是集合 ，求 .
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数的运算性质及指数幂的运算性质计算即可；
（2）根据对数的真数求出集合 ，再根据对数函数的值域求出集合 ，再根据并集的定义即可得解.
【详解】（1）
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学科网（北京）股份有限公司；
（2）令 ，解得 ，
所以 ，
，则 ，
所以 ，即 ，
所以 .
16. 某大学生小王响应国家号召决定返乡创业，振兴乡村.现有两个不同项目A，B可以考虑投资，经过市场
调查统计，当投资额为 万元时，A，B两个项目所获得的收益分别为 万元和 万元，其
中 ， ，现小王准备将10万元全部投入到这两个项目中．
（1）如果小王在A，B项目中分别投入6万元和4万元，求他能获得的收益；
（2）请制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出该最大收益．
【答案】（1） 万元
（2） 万元
【解析】
【分析】（1）结合题目中的收益函数，代入计算即可求解.
（2）设小王投入B项目 万元，则投入 项目 万元，然后根据 的范围，利用基本不等式求解最大
值即可.
【小问1详解】
小王在A，B项目中分别投入6万元和4万元，
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学科网（北京）股份有限公司所以A，B两个项目所获得的收益分别为 万元， 万元，
所以他能获得的收益为 万元.
【小问2详解】
设小王投入B项目 万元，则投入 项目 万元， .
那么总收益为
万元，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
故小王投入B项目 万元，投入 项目 万元时，获得最大总收益，总收益的最大值为 万元.
17. 已知二次函数 的二次项系数为 1，函数 满足对任意 ，均有
成立．
（1）求 的解析式；
（2）已知函数 ，若对 ， 使得 成立，求实数t
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】 （1）设 ，根据题意列方程组 即可求出，再检验
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学科网（北京）股份有限公司即可；
（2）令 ，求出 的最大值，则问题转化为对 ， 恒成立，
再求解一元二次不等式即可求解.
【小问1详解】
依题意可设 ，
则 ，
因 ，则 ，即 ，得 ，
则 ，
检验： ，
则 ，符合题意，
故 ；
【小问2详解】
令 ，则 ，
因 在 上单调递减，则 ，
因对 ， 使得 成立，
则对 ， ，
即对 ， ，
即 ，即 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，则 ，得 ，
则实数t的取值范围为 .
18. 对 于 函 数 ， 若 存 在 使 得 成 立 ， 则 称 为 的 不 动 点 ． 若
（ ），
的
（1）若 ， ，求 不动点；
（2）若对任意 ，函数 恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）若 ， ，求函数 的不动点．
【答案】（1） 和3.
（2）
（3） 和 .
【解析】
【分析】（1）解方程 即可求解；
（2） 恒有两个相异实根，即判别式恒大于零，再根据二次函数图像知判别式小于零，解得 的
取值范围；
（3）由条件确定 ，令 ，得到 ，两方程相加得到
，由 或 求解即可.
【小问1详解】
当 时， ，
由题意可知 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司故当 时， 的不动点为 和3.
【小问2详解】
因为 恒有两个不动点，
所以 ，即 恒有两个相异实根，
所以 恒成立，
于是设 ，所以 恒成立，
所以 ，解得 ，
故当 ， 恒有两个相异的不动点时， 的取值范围是 ．
【小问3详解】
当 ， 时，
，则 ，
则 可化为下式：
，
令 ，
则 ，
两式相加可得： ，
即 ，
当 时，可得 ，解得 或 ，
当 时，可得： ，
即 ， ，无解，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的解为： 或 ，
即不动点为 和 .
19. 已知函数 为奇函数，且 ．
（1）求 ，并指出函数 在 的单调性（不用证明）；
（2）若方程 有四个不等实根 ，
①求实数m的取值范围；
②求 的范围．
【答案】（1） ，函数 在 上单调递减，在 单调递增.
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义即可求出；
（2）①通过令 ，把题目化成二次函数有两个不等的实数根即可求出；
②利用 得到 ， ，再利用单调性即可求出.
【
小问1详解】
函数 为奇函数， ，即 ，解得 ，
又 ， ，解得 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司设 ，
当 ，则 ， ， ，即函数
在 是单调递增函数；
当 ，则 ， ， ，即函数
在 是单调递减函数，
综上所述，函数 在 上单调递减，在 单调递增.
【小问2详解】
①令 ，则方程 化为 ，
为奇函数，故图象关于原点对称，
又方程 有四个不等实根，
有两个不等的实根 ，则 ，
又当 时， ，当且仅当 ，即 时等号成立， ，
为奇函数，故图象关于原点对称， 当 时， ，
，
设 ，则 ，解得 ，
故实数m的取值范围为 .
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学科网（北京）股份有限公司②结合①可知 是 的两个根，同时注意到 ，
， ，其中 ，
同时 ， ，
同理 ，由 ，可得 ，
原式 ，显然关于 在 上单调递增，
.
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学科网（北京）股份有限公司
