文档内容
专题 01 实数（10 个高频考点）（强化训练）
【考点1 正负数的意义】
1．（2022·湖北宜昌·中考真题）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山峰，
每登高1km气温的变化量为−6°C，攀登2km后，气温下降__________°C．
【答案】12
【分析】根据题意知，气温变化量为−6°C乘以攀登高度，即可求解．
【详解】根据 “每登高1km气温的变化量为−6°C”知：
攀登2km后,气温变化量为：
−6×2=−12
下降为负：所以下降12°C
故答案为：12．
【点睛】本题考查了分析信息的能力，正负数的意义，有理数的计算，根据题意分析得出变化量，再结合
正负数的意义是解题的关键．
2．（2022·湖北宜昌·中考真题）向指定方向变化用正数表示，向指定方向的相反方向变化用负数表示，
“体重减少1.5kg”换一种说法可以叙述为“体重增加_______kg”．
【答案】-1.5
【分析】根据负数在生活中的应用来表示．
【详解】减少1.5kg可以表示为增加﹣1.5kg,
故答案为:﹣1.5．
【点睛】本题考查负数在生活中的应用,关键在于理解题意．
3．（2022·福建·中考真题）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷
新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基
准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗
一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为_________米．
【答案】−10907
【分析】海平面以上的高度用正数表示，海平面以下的高度用负数表示．据此可求得答案．
【详解】解：∵高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，∴“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，可记为-10907，
故答案为：-10907．
【点睛】本题考查了正数，负数的意义及其应用，解题的关键是掌握正数、负数的意义．
4．（2022·江苏连云港·中考真题）某药品说明书上标明药品保存的温度是(20±2)℃，该药品在____℃范围
内保存才合适．
【答案】（18 ～22 ）
【详解】解：温度是20 ℃±2 ℃，表示最低温度是20 ℃－2 ℃＝18 ℃，
最高温度是20 ℃＋2 ℃＝22 ℃，
即18 ℃～22 ℃之间是合适温度．
故答案为：（18 ～22 ）
5．（2022·四川雅安·中考真题）如果用+3℃表示温度升高3摄氏度，那么温度降低2摄氏度可表示为
___________．
【答案】-2℃
【分析】直接利用正负数的意义分析得出答案．
【详解】解：如果用+3℃表示温度升高3摄氏度，
那么温度降低2摄氏度可表示为：-2℃．
故答案为：-2℃．
【点睛】此题主要考查了正数和负数，正确理解正负数的意义是解题关键．
【考点2 无理数的识别与估算】
6．（2022·湖北荆州·中考真题）若3−√2的整数部分为a，小数部分为b，则代数式(2+√2a)⋅b的值是
______．
【答案】2
【分析】先由1<√2<2得到1<3−√2<2，进而得出a和b，代入(2+√2a)⋅b求解即可．
【详解】解：∵ 1<√2<2，
∴1<3−√2<2，
∵ 3−√2的整数部分为a，小数部分为b，
∴a=1，b=3−√2−1=2−√2．
∴(2+√2a)⋅b=(2+√2)×(2−√2)=4−2=2，故答案为：2．
【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数
整数和小数部分的求解方法．
7．（2022·湖北随州·中考真题）已知m为正整数，若√189m是整数，则根据
√300
√189m=√3×3×3×7m=3√3×7m可知m有最小值3×7=21．设n为正整数，若 是大于1的整
n
数，则n的最小值为______，最大值为______．
【答案】 3 75
√300 √300
【分析】根据n为正整数， 是大于1的整数，先求出n的值可以为3、12、75，300，再结合
n n
是大于1的整数来求解．
√300 √3×2×5×2×5 √3 √300
【详解】解：∵ = =10 ， 是大于1的整数，
n n n n
√300 √3
∴ =10 >1．
n n
∵n为正整数
∴n的值可以为3、12、75，
n的最小值是3，最大值是75．
故答案为：3；75．
【点睛】本题考查了无理数的估算，理解无理数的估算方法是解答关键．
8．（2022·安徽·中考真题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等
腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是√5−1，它介于整数n和n+1之间，
则n的值是______．
【答案】1
【分析】先估算出√5，再估算出√5−1即可完成求解．
【详解】解：∵√5≈2.236；
∴√5−1≈1.236；
因为1.236介于整数1和2之间，
所以n=1;
故答案为：1．
【点睛】本题考查了对算术平方根取值的估算，要求学生牢记√5的近似值或者能正确估算出√5的整数部
分即可；该题题干前半部分涉及到数学文化，后半部分为解题的要点，考查了学生的读题、审题等能力．1
9．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）若两个连续的整数a、b满足a<√130，−(−3)=3>0，(−3) 2=9>0，−√3<0，
∴四个数中，负数是−√3．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了正数和负数，解题的关键是判断一个数是正数还是负数，关键是看它比0大还是
比0小．
【考点4 实数的相关概念】
1 3
16．（2022·湖南郴州·中考真题）有理数−2，− ，0， 中，绝对值最大的数是（ ）
2 2
1 3
A．−2 B．− C．0 D．
2 2
【答案】A
【分析】根据绝对值的含义求出各个数的绝对值，再比较大小即可．
| 1| 1 |3| 3
【详解】|−2|=2， − = ，0的绝对值为0， = ，
2 2 2 2
1 3
∵0＜ ＜ ＜2，
2 2
∴绝对值最大的数为-2，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的含义以及有理数的大小比较等知识，掌握绝对值的含义是解答本题的关键．
17．（2022·山东临沂·中考真题）满足m>|√10−1|的整数m的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】先化简|√10−1|并估算√10−1的范围，再确定m的范围即可确定答案．
【详解】∵3<√10<4，
∴2<√10−1<3，
∵|√10−1|=√10−1，m>|√10−1|，
∴m≥3，故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，无理数的估算和不等式的求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
18．（2022·四川凉山·中考真题）√81的平方根是( )
A．±3 B．3 C．±9 D．9
【答案】A
【分析】根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：√81=9，
9的平方根是±3，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于
a，则这个数叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根，记作±√a=±x．
19．（2022·江苏南京·中考真题）一般地，如果xn=a（n为正整数，且n>1），那么x叫做a的n次方根，
下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是±2
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大
【答案】C
【分析】根据题意n次方根，列举出选项中的n次方根，然后逐项分析即可得出答案．
【详解】A.∵24=16 (−2) 4=16，∴16的4次方根是±2，故不符合题意；
B.∵25=32，(−2) 5=−32，∴32的5次方根是2，故不符合题意；
C.设x=√32,y=√52,
则x15=25=32,y15=23=8,
∴x15>y15, 且x>1,y>1,
∴x>y,
∴当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意；
D.由C的判断可得：D错误，故不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了新概念问题，n次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x
是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．
20．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）下列各数是负数的是（ ）A．(−1) 2 B．|−3| C．−(−5) D．√3−8
【答案】D
【分析】先将各选项的数进行化简，再根据负数的定义进行作答即可
【详解】解：(−1) 2=1，是正数，故 A 选项不符合题意；
|−3|=3，是正数，故 B 选项不符合题意；
−(−5)=5，是正数，故 C 选项不符合题意；
√3−8=−2，是负数，故 D 选项符合题意．
【点睛】本题考查了负数的定义，涉及乘方，绝对值的化简，立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【考点5 实数的大小比较】
1
21．（2022·江苏常州·中考真题）−2的相反数是__________，− 的绝对值是________，立方等于−64的
3
数是_______．
1
【答案】 2 -4
3
【详解】﹣2的相反数是2， 的绝对值是 ，立方等于﹣64的数是﹣4．
√2 √3
22．（2022·山东临沂·中考真题）比较大小： ______ （填写“>”或“<”或“＝”）．
2 3
【答案】＞
【分析】比较两者平方后的值即可．
2 2
√2 1 √3 1
【详解】解：∵( ) = ，( ) = ，
2 2 3 3
1 1
∵ > ，
2 3
√2 √3
∴ > ．
2 3
故答案为：>．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是灵活变通，比较两者平方后的结果．
23．（2022·山东临沂·中考真题）比较大小：2√6___5（选填“>”、“ =”、“ <” ）．
【答案】＜
【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解．【详解】解：∵2√6=√24，5=√25，
而24＜25，
∴2√6＜5．
故答案为：＜．
【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方
法就是把它们还原成带根号的形式，然后比较被开方数即可解决问题．
24．（2022·广东茂名·一模）四个实数﹣2，0，﹣√2，3中，最小的实数是______．
【答案】-2
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此
判断即可．
【详解】解：∵﹣2<﹣√2<0<3，
∴四个实数﹣2，0，﹣√2，3中，最小的实数是﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查实数大小比较，掌握实数比较大小法则“正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于
一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小”是解题的关键．
25．（2022·福建龙岩·一模）若四个有理数a，b，c，d同时满足：a>b，a+b=c+d，a−bb，a-bd，再结合a+b=c+d，可知c>a，从而可得b>d，由此即可确定
最终结果.
【详解】∵a>b，a-b0，即c>d，
又∵a+b=c+d，
∴ad，
∴dd是解题的关键.
【考点6 实数的运算】
1 −2
26．（2022·陕西·中考真题）计算：-2×√3 -27+|1-√3|-( )
2
【答案】1＋√3【分析】按顺序先分别进行立方根的运算、绝对值的化简、负指数幂的运算，然后再按运算顺序进行计算
即可.
【详解】原式＝－2×(－3)＋√3－1－4
＝1＋√3.
【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了立方根、负整数指数幂等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的
关键.
27．（2022·陕西·西安市第三十一中学模拟预测）任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算．
（1）用含m的代数式表示该程序的运算过程
（2）当实数m+√2的一个平方根是−√3时，求输出的结果．
【答案】（1）(m2+m)÷m−2m；（2）−2+√2
【分析】（1）直接利用运算程序即可得到关于m的代数式；
（2）把已知数据带入求解即可；
【详解】解：（1）由题意可得(m2+m)÷m−2m．
（2）原式=m+1−2m=−m+1，
当实数m+√2的一个平方根是−√3时，m+√2=(−√3) 2 ，即m=3−√2．
所以原式=−(3−√2)+1=−2+√2．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，准确得出运算程序是解题的关键．
28．（2022·安徽·模拟预测）观察下列关于自然数的等式；
① 22-21=21
② 23-22=22③24-23=23
……
根据上述规律解决下列问题:
(1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式:______；
(2)根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式：_______；
(3)若a=2100，试用含a的式子表示：21+22+23+……+2100的值．
【答案】(1)25-24=24
(2)2n+1-2n=2n
(3)2a-2
【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出第④个等式；
（2）根据题目中式子的特点可以写出第n个等式；
（3）根据发现的规律，可以计算出所求式子的值．
(1)
∵①22−21=21；②23−22=22；③24−23=23；
则第④个等式是：25-24=32-16=24，
故答案为：25-24=24；
(2)
第n个等式是：2n+1-2n=2n，
故答案为：2n+1-2n=2n；
(3)
根据规律：
21+22+23+．．．+2100
=(22-21)+(23-22)+(24-23)+……+(2101-2100)
=22-21+23-22+24-23＋……+2101-2100
=2101-21
=2101-2．
∵a=2100，
∴原式=2a-2
【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，
求出所求式子的值．1 −1
29．（2022·广东顺德德胜学校三模）计算：|− √3|− t(a−n60°)−−√12−(π−3.14)0．
3
【答案】2−2√3
【分析】先根据绝对值、特殊角的三角函数值、负整数次幂、二次根式、零次幂等知识化简，然后再运算
即可．
1 −1
【详解】解：|− √3|− t(a−n60°)−−√12−(π−3.14)0
3
=√3−√3+3−2 √3−1
=2−2√3．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，灵活运用绝对值、特殊角的三角函数值、负整数次幂、二次根
式、零次幂等知识点成为解答本题的关键．
30．（2022·陕西省西安高新逸翠园学校模拟预测）计算：(√3−2) 0 − ( − 1) −2 +4cos30∘−|√3−√18|．
2
【答案】3√3-3√2-3
【分析】先计算乘方与化简二次根，代入特殊角的三角函数值，再计算乘法，化简绝对值，最后计算加减
即可．
√3
【详解】解：原式=1-4+4× -|√3-3√2|
2
=1-4+2√3+√3-3√2
=3√3-3√2-3．
【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握零指数幂、负整指数幂运算法则和熟记特殊角三角函数值是
解题的关键．
【考点7 非负数的运用】
31．（2022·青海·中考真题）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足
√2a−3b+5+(2a+3b−13) 2=0，则此等腰三角形的周长为（ ）．
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
【答案】D
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】解：∵√2a−3b+5+(2a+3b−13) 2=0，
∴¿解得¿，
①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8，
所以该等腰三角形的周长为7或8．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则
每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行
判断．
32．（2022·河北·一模）已知y=√x−8+√8−x+18，则代数式√x−√y的值为（ ）
A．−√2 B．−√3 C．√2 D．√3
【答案】A
【分析】根据二次根式的非负性可知x=8，从而得到y，代值求解即可．
【详解】解：对于y=√x−8+√8−x+18，
∵√x−8≥0,√8−x≥0，
x−8≥0
∴{ ，解得x=8，则y=18，
8−x≥0
∴√x−√y=√8−√18=2√2−3√2=−√2，
故选：A．
【点睛】本题考查利用二次根式非负性求值，涉及到二次根式的运算，熟练掌握二次根式非负性是解决问
题的关键．
33．（2022·贵州黔西·中考真题）已知⊙O 和⊙O 的半径分别为m、n，且m、n满足√m−1+(n−2) 2=0，
1 2
5
圆心距OO= ，则两圆的位置关系为_______．
1 2 2
【答案】相交．
【分析】直接利用偶次方的性质以及二次根式的性质得出m，n的值，再利用圆与圆的位置关系判断方法
得出答案．
【详解】解：∵⊙O 和⊙O 的半径分别为m、n，且m、n满足√m−1+(n−2) 2=0，
1 2
∴m﹣1=0，n﹣2=0，
解得：m=1，n=2，
∴m+n=3，5
∵圆心距OO= ，
1 2 2
∴两圆的位置关系为：相交．
故答案为相交．
【点睛】此题主要考查了偶次方的性质以及二次根式的性质以及圆与圆的位置关系，正确把握两圆位置关
系判断方法是解题关键．
34．（2022·四川巴中·中考真题）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足√a2−9+(b−2) 2=0，则第三
边c的取值范围是_____________．
【答案】1＜c＜5．
【详解】解：由题意得，a2−9=0，b−2=0，
解得a=3，b=2，
∵3﹣2=1，3+2=5，
∴1＜c＜5．
故答案为1＜c＜5．
【点睛】考点：1．三角形三边关系；2．非负数的性质：偶次方；3．非负数的性质：算术平方根．
35．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室三模）已知实数a、b满足√a−3+|b+2|=0，若关于x的一元二
1 1
次方程x2−ax+b=0的两个实数根分别为x ，x ，则 + 的值为______．
1 2 x x
1 2
3 1
【答案】− ##﹣1.5##−1
2 2
【分析】根据非负性求得a、b的值，再根据一元二次方程根与系数关系求得x +x 、x x ，代入
1 2 1 2
1 1 x +x
+ = 1 2 求解即可．
x x x x
1 2 1 2
【详解】解：∵实数a、b满足√a−3+|b+2|=0，
∴a﹣3=0，b+2=0，
解得：a=3，b=﹣2，
∴x2−3x−2=0，
∵一元二次方程x2−3x−2=0的两个实数根分别为x 、x ，
1 2
∴x +x =3，x x =−2，
1 2 1 21 1 x +x 3
∴ + = 1 2 =− ，
x x x x 2
1 2 1 2
3
故答案为：− ．
2
【点睛】本题考查代数式求值、二次根式被开方数的非负性、绝对值的非负性、一元二次方程根与系数关
系，熟练掌握非负性和一元二次方程根与系数关系是解答的关键．
【考点8 新定义运算】
36．（2022·浙江台州·一模）定义：若一个两位数k，满足k=m2+mn+n2（m，n为正整数），则称该两位
数k为“类完全平方数”，记F(k)=mn．例如：39=22+2×5+52，则39是一个“类完全平方数”，且
F(39)=2×5=10．
（1）已知37是一个“类完全平方数”，则F(37)=___________；
a−9
（2）若两位数a是一个“类完全平方数”，且F(a)= ，则a的最大值=___________．
3
【答案】 12 93
【分析】（1）根据k=m2+mn+n2（m，n为正整数）进行推导即可求出答案；
a−9
（2）根据两位数a是一个“类完全平方数”，F(a)= 推出a−9是3的倍数并且a满足F(k)=mn，求
3
a的最大值，逐个尝试即可求出正确答案．
【详解】解：（1）∵37是一个“类完全平方数”，37=3²+3×4+4²
∴F（37）=12
故答案为：12
a−9
（2）∵两位数a是一个“类完全平方数”，且F(a)=
3
∴a−9是3的倍数
当a−9=99时，a=108，不满足a是两位数；
当a−9=96时，a=105，不满足a是两位数；
当a−9=93时，a=102，不满足a是两位数；
当a−9=90时，a=99，满足a是两位数，
99−9
∵F(99)= =30=1×30=2×15=3×10=5×6
3
又∵12+1×30+302=931，22+2×15+152=259，32+3×10+102=139，52+5×6+62=91，
∴a=99不符合题意，当a−9=87时，a=96，满足a是两位数，
96−9
∵F(96)= =29=1×29，
3
又∵12+1×29+292=871，
∴a=96不符合题意，
当a−9=84时，a=93，满足a是两位数，
93−9
∵F(93)= =28=1×28=2×14=4×7，
3
又∵42+4×7+72=93，
∴a=93符合题意，
∴a的最大值为93，
故答案为：93．
【点睛】本题考查了阅读材料题，认真读懂题干中的例子是解答本题的关键．
37．（2022·重庆八中三模）如果一个四位数A，如果其千位上的数字与百位上的数字之和等于10，十位上
的数字与个位上的数字只和等于9，且百位上的数字与个位上的数字不同，则称A为“十拿九稳数”．现
a
将A的千位数字与十位数字的差记作a，将A的百位数字与个位数字的差记作b，并规定F(A)= ．
b
1
例如：A=1927，∵1+9=10，2+7=9，且9≠7，∴1927是一个“十拿九稳数”，F(1927)=− ．
3
(1)若M是最大的“十拿九稳数”，N是最小的“十拿九稳数”，求F(M)−F(N)；
(2)一个四位数T是“十拿九稳数”，若F(T)是整数且T除以5余数为2，求出所有符合条件的T．
【答案】(1)0
(2)2827或4627或9172或7372
【分析】（1）根据“十拿九稳数”的定义分别求出M和N各个数位上的数字即可得到答案；
（2）设四位数T是千位数字为x（1≤x≤9，且x为整数），十位数字为y（0≤ y≤9，且y为整数），则
百位数字为10−x，个位数字为9−y且10−x≠9−y即x−y≠1，
x−y 1
则F(T)= =−1+ ，再根据F(T)是整数，得到1−x+ y=±1，由T除以5余数为
10−x−9+ y 1−x+ y
2，推出y=7或y=2，即可求解即可．
(1)
解：由题意可得，当M时最大的“十拿九稳数”时，M的千位和百位数字分别是9、1，十位和个数数字分别是9、0；当N是最小的“十拿九稳数”时，N的千位和百位数字分别是1、9，十位和个位数字分别是
1、8，
9−9 1−1
∴F(M)= =0，F(N)= =0，
1−0 9−8
∴F(M)−F(N)=0；
(2)
解：设四位数T是千位数字为x（1≤x≤9，且x为整数），十位数字为y（0≤ y≤9，且y为整数），则百
位数字为10−x，个位数字为9−y且10−x≠9−y即x−y≠1，
x−y 1
∴F(T)= =−1+ ，
10−x−9+ y 1−x+ y
∵F(T)是整数，
∴1−x+ y=±1，
∵T除以5余数为2，
∴9−y=2或9−y=7，
∴y=7或y=2，
当y=2时，x=2或x=4，
当y=7时，x=9或x=7，
∴满足题意的T为2827或4627或9172或7372．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．
38．（2022·重庆八中二模）如果一个四位自然数M的千位数字和百位数字相等，十位数字和个位数字之
和为8，我们称这样的数为“等合数”，例如：对于四位数5562，∵5=5且6+2=8，∴5562为“等合数”，
又如：对于四位数4432，∵4=4但3+2≠8，所以4432不是“等合数”
(1)判断6627、1135是否是“等合数”，并说明理由；
(2)已知M为一个“等合数”，且M能被9整除．将M的各个数位数字之和记为P（M），将M的个位数
字与十位数字的差的绝对值记为Q（M），并令G（M）=P（M）×Q（M），当G（M）是完全平方数（0
除外）时，求出所有满足条件的M．
【答案】(1)6627不是“等合数”， 1135是“等合数”，理由见解析
(2)5580，5508，5535，5553
【分析】（1）根据“等合数”的定义判断，即可求解；
（2）设M的千位和百位数为a，十位数为b，则个位数为8-b，其中a为0＜a≤9的整数，b为0≤b≤8的整数，可得P（M）= 2a+8， Q（M）=|8−2b|，从而得到G（M） =(2a+8)×|8−2b|，0≤|8−2b|≤8，
再由M能被9整除．可得2a+8能被9整除，从而得到a=5，再由G（M）是完全平方数（0除外）可得到
|8−2b|=8或2，即可求解．
（1）
解∶ 6627不是“等合数”， 1135是“等合数”，理由如下：
∵6=6，但2+7≠8，
∴6627不是“等合数”，
∵1=1且3+5=8，
∴1135是“等合数”；
（2）
解：∵M为一个“等合数”，
∴可设M的千位和百位数为a，十位数为b，则个位数为8-b，其中a为0＜a≤9的整数，b为0≤b≤8的整数，
∴P（M）=a+a+b+8-b=2a+8， Q（M）=|8−b−b|=|8−2b|，
∴G（M）=P（M）×Q（M）=(2a+8)×|8−2b|，0≤|8−2b|≤8，
∵M能被9整除．
∴2a+8能被9整除，
1
当2a+8=9时，a= ，
2
当2a+8=18时，a=5，
19
当2a+8=27时，a= ，
2
当2a+8=36时，a=14（不合题意，舍去），
∴a=5，
∵G（M）是完全平方数（0除外），
∴18|8−2b|是完全平方数（0除外），
∵0≤|8−2b|≤8，
∴|8−2b|=8或2，
解得：b=8或0或3或5，
∴符合条件的M为5580，5508，5535，5553．
【点睛】本题主要考查了新定义的应用，含绝对值的方程，不等式组的应用，理解新定义是解题的关键．
39．（2022·重庆巴蜀中学三模）材料阅读：如果一个四位自然数t的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为9，百位数字与个
位数字的差为1，那么称t为“九一数”．把t的千位数字的2倍与个位数字的和记为P(t)，百位数字的2
2P(t)
倍与十位数字的和记为Q(t)，令G(t)= ，当G(t)为整数时，则称t为“整九一数”．
Q(t)
例如：5544满足：5+4=9，5−4=1，且P(5544)=14，Q(5544)=14，
2P(5544) 2×14
G(5544)= = =2为整数，∴5544是“整九一数”．
Q(5544) 14
又如，6231满足：6+3=9，2−1=1，P(6231)=13，Q(6231)=7，
2×13 26
但G(6231)= = 不为整数，∴6231不是“整九一数”．
7 7
(1)判断7221，4352是否是“整九一数”？并说明理由．
(2)若M=2000a+1000+100b+10c+d（其中1≤a≤4，1≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9且a、b、c、d均
为整数）是“整九一数”，求满足条件的所有M的值．
【答案】(1)7221是“整九一数”；4352不是“整九一数”，理由见解析
(2)满足条件的M的值为：5544，7221，7322，7524
【分析】（1）根据“整九一数”的定义进行求解判断即可；
（2）先根据题意得到M=(2a+1)bcd是“整九一数”，则2a+c+1=9，d=b−1，
∴c=8−2a，P(M)=4a+2+d=4a+b+1，Q(M)=2b+c=2b−2a+8，从而推出
2P(M) 4a+b+1
G(M)= = ，据此求解即可．
Q(M) b−a+4
(1)
解：∵7+2＝9，2−1=1，且P(7221)=15，Q(7221)=6，
2P(7221) 2×15
G(7221)= = =5为整数，
Q(7221) 6
∴7221是“整九一数”．
∵4+5＝9，3−2=1，但P(4352)=10，Q(4352)=11，
2×10 20
G(4352)= = 不为整数，
11 11
∴4352不是“整九一数”．
(2)解：∵M=(2a+1)bcd是“整九一数”，
∴2a+c+1=9，d=b−1，
∴c=8−2a，
∴P(M)=4a+2+d=4a+b+1，Q(M)=2b+c=2b−2a+8，
2P(M) 4a+b+1
∴G(M)= =
Q(M) b−a+4
b+5 2
①当a=1时，G(M)= =1+ 不是整数（舍），
b+3 b+3
b+9 7
②当a=2时，G(M)= =1+ ，
b+2 b+2
∴b=5，c=8−4=4，d=4，M=5544，
b+13 12
③当a=3时，G(M)= =1+ ，
b+1 b+1
∴b＝2，3，5时满足条件，
∴c=2．
∴M＝7221，7322，7524．
b+17
④当a=4时，G(M)= （舍）
b
综上，满足条件的M的值为：5544，7221，7322，7524．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，列代数式，正确理解题意是解题的关键．
40．（2022·重庆北碚·模拟预测）对于个位数字不为0的任意一个两位数m，交换十位数字和个位数字的位
m−n m+n
置，得到一个新的两位数n，记F(m)= ，G(m)= ．
9 11
74−47 74+47
例如：当m=74时，则n=47，F(74)= =3，G(74)= =11．
9 11
(1)计算F(38)和G(59)的值；
(2)若一个两位数m=10a+b（a，b都是整数，且5≤a≤9，1≤b≤9），F(m)+2G(m)是一个整数的平方，
求满足条件的所有m的值．
【答案】(1)-5，14
(2)m的值为：51、67、74、81、99
【分析】（1）根据新规定的两位数记数方法来进行计算即可求解；（2）根据一个两位数m=10a+b（a，b都是整数），表示出n=10b+a，利用新规定的记数法求出
F(m)+2G(m)，结合5≤a≤9，1≤b≤9，F(m)+2G(m)是一个整数的平方，
确定出3a+b是一个整数的平方的数有：16、25、36，再结合a和b的取值范围来求解．
(1)
解：根据题意得在
38−83
F(38)= =−5；
9
59+95
G(59)= =14；
11
(2)
解：∵一个两位数m=10a+b（a，b都是整数），
∴n=10b+a，
10a+b−10b−a 10a+b+a+10b
∴F(m)= =a−b，G(m)= =a+b，
9 11
∴F(m)+2G(m)=a−b+2a+2b=3a+b．
∵5≤a≤9，1≤b≤9，
∴16≤3a+b≤36，
∴3a+b为整数的有：16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、
34、35、36．
∵F(m)+2G(m)是一个整数的平方，
∴3a+b是一个整数的平方的数有：16、25、36．
∵5≤a≤9，1≤b≤9，a，b都是整数，
∴①当b=1时，
3a+b=16时得a=5，此时m=51，
3a+b=25时得a=8，此时m=81，
35
3a+b=36时得a= （舍去）；
3
②当b=2时，
14
3a+b=16时得a= （舍去），
3
23
3a+b=25时得a= （舍去），
334
3a+b=36时得a= （舍去）；
3
③当b=3时，
13
3a+b=16时得a= （舍去），
3
22
3a+b=25时得a= （舍去），
3
3a+b=36时得a=11（舍去）；
④当b=4时，
3a+b=16时得a=4（舍去），
3a+b=25时得a=7，此时m=74，
32
3a+b=36时得a= （舍去）；
3
⑤当b=5时，
11
3a+b=16时得a= （舍去），
3
20
3a+b=25时得a= （舍去），
3
31
3a+b=36时得a= （舍去）；
3
⑥当b=6时，
10
3a+b=16时得a= （舍去），
3
3a+b=25时得a=3（舍去），
3a+b=36时得a=10（舍去）；
⑦当b=7时，
3a+b=16时得a=3（舍去），
3a+b=25时得a=6，此时m=67，
29
3a+b=36时得a= （舍去）；
3
⑧当b=8时，
8
3a+b=16时得a= （舍去），
3
17
3a+b=25时得a= （舍去），，
328
3a+b=36时得a= （舍去）；
3
⑨当b=9时，
7
3a+b=16时得a= （舍去），
3
16
3a+b=25时得a= （舍去），，
3
3a+b=36时得a=9，此时m=99．
综上所述，m的值为：51、67、74、81、99．
【点睛】本题主要考查了新定义，分类讨论思想，理解新的两位数的记数法是解答关键．
【考点9 科学计数法】
41．（2022·西藏·中考真题）我国神舟十三号载人飞船和航天员乘组于2022年4月16日返回地球，结束了
183天的在轨飞行时间．从2003年神舟五号载人飞船上天以来，我国已有13位航天员出征太空，绕地球
飞行共约2.32亿公里．将数据232000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.232×109 B．2.32×109 C．2.32×108 D．23.2×108
【答案】C
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|< 10，n为整数，且n比原来的整
数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：232000000＝2.32×108．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|< 10，确定a与n的
值是解题的关键．
42．（2022·云南曲靖·中考真题）截止2018年5月末，中国人民银行公布的数据显示，我国外汇的储备规
模约为3.11×104亿元美元，则3.11×104亿表示的原数为（ ）
A．2311000亿 B．31100亿 C．3110亿 D．311亿
【答案】B
【分析】科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到
的数，据此求解即可．
【详解】3.11×104亿=31100亿
故选B．
【点睛】此题主要考查了科学记数法-原数，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小
的数a×10-n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．
43．（2022·湖北武汉·中考真题）科学家在实验室中检测出某种病毒的直径的为0.000000103米，该直径用
科学记数法表示为___________米．
【答案】1.03×10-7
【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同
的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】解：0.000000103=1.03×10-7．
故答案为：1.03×10-7
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原
数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．
44．（2022·广西贵港·中考真题）将实数3.18×10−5用小数表示为______
【答案】00000318 .
【分析】根. 据科学记数法的表示方法a×10n(1≤a<9)即可求解；
【详解】解：3.18×10−5=0.0000318；
故答案为00000318；
【点睛】本.题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键
45．（2022·广西桂林·中考真题）我国雾霾天气多发，PM2.5颗粒物被称为大气.的元凶．PM2.5是指直径小
于或等于2.5微米的颗粒物，已知1毫米=1000微米，用科学记数法表示2.5微米是___毫米．
【答案】2.5×10﹣3
【详解】试题分析：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，
表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大
于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点
前的1个0）．因此，
∵1毫米=1000微米，
∴2.5微米=0.0025毫米=2.5×10﹣3毫米．
【考点10 近似数与有效数字】
46．（2022·辽宁本溪·中考真题）我国以2010年11月1日零时为标准时点进行了第六次全国人口普查，结
果公布全国总人口为1370536875人，请将这个数据用科学记数法（保留三个有效数字）表示约为
__________．【答案】
【详解】本题考查科学记数法概念
a×10的n次幂的形式．将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|<10，n表示整数，这种记
数方法叫科学记数法．
已知人口为1370536875人，用科学记数法保留三个有效数字为
47．（2022·贵州六盘水·中考真题）通过第六次全国人口普查得知，六盘水市人口总数约为2851180人，
这个数用科学记数法表示是_____________人（保留两个有效数字）．
【答案】2.9×106
【详解】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，
由于2851180有7位，所以可以确定n=7-1=6．
有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
解答：解：2851180=2.851180×106≈2.9×106．
故答案为2.9×106．
48．（2022·四川·东辰国际学校七年级阶段练习）近似数3.20所表示的准确数x的取值范围是_______．
【答案】3.195≤x＜3.205
【分析】利用近似数的精确度求解．
【详解】解：近似数3.20表示的数x的取值范围是3.195≤x＜3.205．
故答案为：3.195≤x＜3.205
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的
表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近
似数中哪个相对更精确一些．
49．（2022·山东济宁·一模）第七次全国人口普查数据显示，山东省常住人口约为10152.7万人，将
10152.7万用科学记数法（精确到十万位）可表示为__________．
【答案】1.015×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整
数．
【详解】解：10152.7万＝1.01527×108≈1.015×108．故答案为：1.015×108．
【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜
10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
50．（2022·江苏宿迁·一模）某工厂两年内产值翻了一番，则该工厂产值年平均增长的百分率等于 _____．
（结果精确到0.1%，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732．）
【答案】41.4％
【分析】设该工厂产值年平均增长的百分率为x，利用两年后的产值＝原产值×（1+年平均增长的百分率）
2，即可得出关于x的一元二次方程，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：设该工厂产值年平均增长的百分率为x，
由题意得：(1+x) 2=2，
解得： x =√2−1，x =−√2−1（不合题意，舍去），
1 2
∴x ≈0.414=41.4％
1
∴该工厂产值年平均增长的百分率约为41.4％．
故答案为：41.4％．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，近似数．解题的关键在于根据题意列正确的方程．
