文档内容
专题 02 一次函数及其应用
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）一次函数图像与定义
（1）形如y= kx ＋ b （k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b=0 时，函数y=kx（k≠0）
叫做正比例函数。
（2）注意：理解一次函数概念应注意下面两点：
①解析式中自变量x的次数是1 次
②自变量x的系数为常数
③正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数
形如y= k x ＋ b（k、b为常数，k ≠ 0）的函数叫做一次函数。当b=0 时，函数y=kx（k ≠ 0）
叫做正比例函数。
（二）一次函数图像性质
（1）一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与性质
k＞0 k<0
k，b符号
b＞0 b＜0 b=0 b>0 b<0 b=0
大致
图象
一、二、 一、三、 二、三、
经过象限 一、三 一、二、四 二、四
三 四 四
图象性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
（2）一次函数与坐标轴的交点坐标：
①求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的b
(− ,0)
k
交点是 ，
②求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故与y轴的交点是(0，b)；
③正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．
（三）一次函数的平移
（1）一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.
（2）左右平移变x，上下平移变等号右边的整体（口诀：左加右减；上加下减）
（四）待定系数法求解解析式
（1）关键：确定一次函数y=kx+b(k≠0)中的字母 k
与
b
的值。
（2）步骤：
①设一次函数表达式；
②根据已知条件将x，y的对应值代人表达式；
③解关于k，b的方程或方程组；
④确定表达式。
（3）若两条直线平行，那么它们的k相等
（五）一次函数与方程、不等式关系
（1）一次函数与方程：一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图
象与x轴交点的横坐标.
{y=k x+b ¿¿¿¿
1
y=k x+b
（2）一次函数与方程组：二元一次方程组 的解⇔两个一次函数 1 和
y=k x+b
2 图象的交点坐标.
（3）一次函数与不等式
①函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集
②函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集
（六）一次函数的实际应用
（1）一般步骤
①设出实际问题中的变量；
②建立一次函数关系式；
③利用待定系数法求出一次函数关系式；
④确定自变量的取值范围；
⑤利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；
⑥做答.
（2）方案问题
①“方案决策型”问题是指一个问题有多种不同方案的情形下，如何选择其中最科学、最合理、最
能合乎要求的方案，通常涉及两个变量，其中一个变量最大或最小，一般利用这个最值解决问题。②命题角度：
★求一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最大值或最小值；
★利用一次函数进行方案选择；
★利用一次函数解决个税收取问题；
★利用一次函数解决水、电、煤气等资源收费问题。
（3）最值问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围
内的前提下求出最值；确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值。
模块三 考点一遍过
考点1：正比例函数定义
典例1：若函数y=(k+3)x+k2−9是关于x的正比例函数，则（ ）
1
A．k=−3 B．k=±3 C．k=3 D．k=
3
【变式1】下列各关系中成正比例的有（ ）
①圆的周长与半径；
②速度一定，路程与时间；
③当三角形的面积一定时，它的一条边和这条边上的高h；
④长方形的面积一定时，长与宽．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式2】已知y= y + y ，y 与x成正比例，y 与x−1成正比例，且当x=3时，y=4；当x=1时，
1 2 1 2
y=2，则y关于x的函数解析式为 ．
【变式3】已知函数y=(m−2)xm2−3+n+3（m，n是常数）是正比例函数，则m+n的值为
．
考点2：正比例函数图像性质
k−3
典例2：若反比例函数y= 的图象在一、三象限，正比例函数y=(2k−9)x的图象在二、四象
x
限，则k的整数值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1】七个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线y=kx将这七个正方形分成面
积相等的两部分，则k的值为（ ）3 2 3
A． B． C． D．1
5 3 4
【变式2】如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax，②y=bx，③y=cx，其中
a，b，c均为常数，则将a，b，c按从小到大排列为 （用“<”符号连接）
7
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点A(3,m)在正比例函数y= x的图象上，点B(1,0)和点
3
C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，则点C的坐标是 ．
考点3：一次函数定义
典例3：一次函数y=(k+2)x+k2−4经过原点，则k=（ ）
A．2 B．−2 C．±2 D．0
1
【变式1】下列函数：①y=−x；②y=2x+11；③y=−x2+(x+1)(x−2)；④y= 中，关于x的
x
一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式2】已知一次函数y=(m−1)xm2−3+3，y随x的增大而减小，则m的值为
．【变式3】当k= 时，函数y=(k+1)x2−|k|+4是一次函数．已知点(−4,y )，(2,y )都在这个
1 2
一次函数图像上，则y ，y 的大小关系是 ．
1 2
考点4：一次函数图像性质——画图
典例4：某数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数y=|x−1|的图象与性质进行了探究，下
面是该小组的探究过程，请补充完整：
(1)列表：
x … −1 0 1 2 3 …
y … b 1 0 1 2 …
其中，b= ；
(2)描点并连线；
在下面平面直角坐标系中画出函数y=|x−1|的图象；
(3)根据图象直接写出函数y=|x−1|图象的两条性质．
【变式1】已知一次函数 （ 为常数）．
y=(a−2)x+a2−4 a
(1)若a=3，则这个函数图象不经过第 象限；
(2)若这个函数的图象经过原点，求a的值．
【变式2】已知一次函数y=(1−4k)x+3k−6，请解答下列问题：
(1)k为何值时，该函数的图象与直线y=−3x+1平行？
(2)k为何值时，y随x增大而增大？
(3)k为何值时，该函数的图象经过第二、三、四象限？
【变式3】在平面直角坐标系中画出函数y=2x−4的图象，并完成下列问题：(1)函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积是______；
(2)观察函数y=2x−4的图象，当自变量x=______时，y=−4；当自变量______时，y≥−4．
考点5：一次函数图像性质——平移
典例5：若将直线y=−2x−3向下平移3个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线
y=kx+b说法正确的是（ ）
A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于(−2,0)
C．与y轴交于(0,6) D．y随x的增大而减小
【变式1】一次函数y=x−1的图象平移后经过点(−4,2)，则平移后的函数解析式为 （ ）
A．y=x−6 B．y=−x−2 C．y=x+6 D．y=x−8
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点
A(2,2)，C(4,0)，直线y=2x+1以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过 秒该直线可将平行
四边形OABC的面积平分．
【变式3】已知一次函数y=−x的图象向上平移2个单位后，与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
则△AOB的面积等于 ．
考点6：一次函数的解析式
典例6：已知y−2与x+1成正比例，当x=7时，y=6，
(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)当y=−2时，求x的值；
(3)若点P(−6,m+4)在该函数图象上，求m的值．
【变式1】已知：一次函数y=kx+4的图象经过点A(−3,−2)．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)在直角坐标系中画出这个一次函数的图象；
(3)函数值y随着x值的增大而________．（填“增大”或“减小”）．
【变式2】一次函数y=kx+b的图象经过点(3,−2)和点(−1,6)．
(1)求出该一次函数的解析式；
(2)并求该图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标．
【变式3】如图，直线y=kx+6与x轴、y轴分别相交于点E、F．点E的坐标为(−6,0)，点A的坐
标为(−4,0)．点P(x,y)是直线y=kx+6上的一个动点．
(1)求k的值；
(2)当点P(x,y)在第二象限时，
①试写出△OPA的面积S与x的函数关系式；
②当△OPA的面积是10时，求此时P点的坐标．
考点7：一次函数与一次方程
典例7：若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）A．关于x不等式kx+b>0的解集是x<1
B．关于x的不等式kx+b>4的解集是x>3
C．关于x的方程kx+b=0的解是x=3
D．当02时，y<0；④关于x的方程
kx+b=0的解为x=2；其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【变式2】如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A(1,5)，则关于a的一元一次方程ka+b=5的解为
．
1
【变式3】如图，直线y = x与直线y =kx+b相交于点A(m,2)，则关于x的方程kx+b=2的解为
1 2 2
．考点8：一次函数与不等式
1
典例8：如图，直线l ：y =ax(a≠0)与直线l ：y = x+b(b≠0)交于点P，有四个结论：①a<0
1 1 2 2 2
②a>0③当x>0时，y >0④当x<−2时，y >y ，其中正确的是（ ）
1 1 2
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，若直线y =−x+a与直线y =bx−4相交于点P，则下列结
1 2
论正确的是（ ）
A．方程−x+a=bx−4的解是x=−3
B．不等式−x+a>−3和不等式bx−4>−3的解集相同
C．不等式组bx−4<−x+a<0的解集是−20；②
1 2
a+bkx+b的解集是x<1；
④当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大．A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
1
【变式2】如图，直线y=x+m与直线y=− x−n相交于点A，则二元一次方程组¿的解为
2
．
1
【变式3】如图，已知一次函数L :y=− x+5与L :y=2x相交于点C，现有一次函数
1 2 2
L :y=kx+2，若L ，L ，L 不能围成三角形，则k的值为 ．
3 1 2 3
考点10：一次函数实际应用
典例10：A公司电商平台，在2024年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，周销售
量y（件）与销售单价售价x（元/件）之间的函数图像如图所示．(1)求y与x的函数表达式；
(2)若该商品进价为30（元/件）
①当售价x为多少元时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润；
②因原料涨价，该商品进价提高了a（元/件）(a>0)，公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超
80（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量y与售价x仍满足（1）中的函数关系，若周销售
最大利润是6300元，求a的值．
【变式1】小林生日时，妈妈送她一个斜挎包，如图①，包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣
构成，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，
其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度x(cm)与双层部分的长度y(cm)满足
一次函数关系，经测量，得到如下数据：
单层部分的长度
… 60 70 80 90 100 110 …
x/cm
双层部分的长度
… 40 35 30 25 20 15 …
y/cm
(1)请在图②的平面直角坐标系中，描出各点，并把这些点依次连接起来，画出函数图象，根据图象
猜想y与x是否满足一次函数的关系？如果是，请求出y关于x的函数表达式，并验证你的猜想；
(2)当挎带的长度为110cm时，此时双层部分的长度为_______cm；
(3)若刚买回来的斜挎包挎带全为双层，小林的身高最合适的挎带长度为126cm，调节挎带长度的方
法是_________．
【变式2】高邮市大力发展本地特色产业——高邮湖大闸蟹养殖，中秋前后进入大闸蟹成熟期，某
运输公司经过多轮竞标获得60吨大闸蟹转运权，负责运往M市，该公司中标的大闸蟹转运初始费用
为800元/吨．已知该公司安排了A、B、C型货车20辆用于装运大闸蟹，已知三种车型每辆车的最
大装载量、运输费用如表所示：
车型 A B C最大装载量（吨） 5吨 3吨 2吨
运输费用（元/辆） 2000 1500 800
规定所有大闸蟹必须一次性同时发货，每辆车都必须装满才能出发，应公司要求，运输货物时B型
车的装载量不超过A型车和C型车的装载量总和，同时A型车的数量不超过6辆，设这次运输使用A
型车x辆，B型车y辆，根据以上信息回答下列问题：
(1)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
(2)设此次转运的利润为Q（元），求Q与x之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润：
（利润=转运初始总费用−运输总费用）
(3)由于车辆紧缺，这次运输过程中每辆A型车的运输费用要增加a元，该公司在本次转运中获得的
最大利润为17400元，请求出a的值．
【变式3】《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，
箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读
取箭尺读数计算时间，某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．
研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为120cm），得到如表：
供水时间
0 2 4 6 8
x(h)
箭尺读数 1 4
6 30 54
y(cm) 8 2
(1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间x(h)，纵轴表示箭尺读数y(cm)，描出以表格
中数据为坐标的各点，并连线；
(2)请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式（写过程）；
(3)应用上述得到的规律计算：
如果本次实验记录的开始时间是上午8:00，那么当箭尺读数为90cm时是几点钟？
【变式4】小华骑自行车从家出发沿公路匀速前往图书馆，小华妈妈骑电动车从图书馆出发沿同一
条路回家，线段OA与折线B−C−D−E分别表示两人离家的距离y(km)与小华的行驶时间t(h)之间
的函数关系的图象，请解决以下问题．(1)小华家到图书馆的路程是________km；线段OA对应的函数表达式为________（0≤t≤0.8）；
(2)求线段CD对应的函数表达式；（不必写自变量的取值范围）
(3)图象中线段OA与线段CD的交点K的坐标为________．点K坐标表示的实际意义是________；
(4)设小华和妈妈两人之间的距离为3km，t的值为________(h)．
【变式5】某公司有A型产品80件，B型产品120件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中140
件给甲店，60件给乙店，且都能卖完．甲店销售A型产品利润每件400元，销售B型产品利润每件
340元；乙店销售A型产品利润每件320元，销售B型产品利润每件300元．
(1)若公司要求总利润不低于70280元，求出公司能采用几种不同的分配方案？
(2)为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利m元，但让利后A型产品的每件利润
仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A、B型产品的每件利润不变，问该
公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？
【变式6】根据以下素材，探索完成任务：
如何制定订餐方案
某班级组织志愿者活动，需提前为同学们订购午餐，现有A、B两种套餐可供选择，套餐信
息及团购优惠方案如下所示：
套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案
素 A：米饭套 方案一：A套餐满20份及以上每份均打9
30元
材 餐 折；
1
方案二：B套餐满12份及以上每份均打8折；
B：面食套
25元
方案三：总费用满850元立减90元．
餐
（方案三不可与方案一、方案二叠加使用）
素 该班级共31位同学，每人都从A、B两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统
材 计，有20人已经确定A或B套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，
2 三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元．
问题解决
任
务 已知确定套餐的20人中，有_________人选择A套餐，___________人选择B套餐．
1任
设两种套餐皆可的同学中有m人选择A套餐，该班订餐总费用为w元，当全班选择A套餐人数
务
不少于20人时，请求出w与m之间的函数关系式．
2
任
务 要使得该班订餐总费用最低，则A、B套餐应各订多少份？并求出最低总费用．
3
【变式7】问题情境：国庆假期，小李陪爸爸一起去种子公司购买一种新品种玉米种子，经过多次
协商，种子公司销售玉米种子，零售价格为每千克5元，并提出多买可优惠：如果一次性购买10千
克以上的种子，超过10千克部分的种子的价格打八折，销售价表格如下：
购买种子的数量/千克 2 5 10 12 20 30 …
13
付款金额/元 10 50 58 …
0
任务一：由于表格中有两处印刷不清，爸爸要求小李直接写出表格中空缺的值，你能否帮小李完成？
请直接写出；
任务二：爸爸说这次购买数量大于10千克，但不确定具体数量，小李想利用所学知识为爸爸建立一
个数量关系，便于爸爸计算，若设购买种子数量为x(x>10)千克，付款金额为y元，请你为小李建
立y与x的函数关系式；
任务三：小李爸爸计划第一次购买种子40千克，第二次再购买8千克，若考虑两次购买种子的数量
合在一起购买，请你帮小李爸爸计算出可省多少钱？
【变式8】我们把一只手掌，大拇指与小拇指尽量张开，两指间的距离称为指距．根据最近人体构
造学的研究成果表明，一般情况下人的身高h和指距d成某种关系．数学综合与实践小组从函数角
度进行了身高h与指距d的关系进行如下探究：
[观察测量]
数学综合与实践小组通过对我校师生抽样调查，收集数据，并抽取部分作为样本得到下表：
指距
19 20 21 22 23
d(cm)
身高 17
151 160 169 187
h(cm) 5
[探究发现]
（1）小组建立如图所示的平面直角坐标系，横轴表示指距d(cm)，纵轴表示身高h(cm)，描出以表
格中所有数据为坐标的各点．（2）经过观察思考，实践小组发现表格中有一组身高的数据有误，重新测量后证实了这一发现．经
过纠正，该组数据应为：指距为________cm时，身高约为________cm．
（3）在平面直角坐标系中，描出这些数据对应的点，发现这些点大致位于同一个函数图象上，则这
个函数最有可能是________．（填写函数类型）；该函数的表达式为________；
[结论应用]
（4）应用上述发现的规律推测：
①小婉的指距为20.5cm，则她的身高约为________cm．
②李老师的身高为173.5cm，则他的指距约为________cm．
【变式9】五一期间，某移动公司就上网收费套餐推出三种优惠方案，具体如下表所示：
收费方 包时上网时间（小
月使用费（元） 超时费（元/小时）
案 时）
A 30 25 m
B 38 32 m+1
C n 无限 0
方案A和方案C每月所需的费用y（元）与每月使用的时间x（时）之间的函数关系图象如下图所示：
(1)填空：表中的m=____________，n=____________；
(2)请在图中画出方案B的图象，并写出当上网时间不少于33小时方案B每月所需的费用y（元）与每
月使用的时间x（时）之间的函数关系式；
(3)当每月使用的时间x在什么范围时，选择方案A最省钱；
当每月使用的时间x在什么范围时，选择方案B最省钱；
当每月使用的时间x在什么范围时，选择方案C最省钱．
考点11：一次函数的性质
典例11：已知一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象经过点(−1,6)，(1,2)，则下列说法
不正确的是（ ）A．图象不经过第三象限 B．y随着x的增大而减小
C．图象与x轴交于(−2,0) D．图象与y轴交于(0,4)
【变式1】已知一次函数y=kx+b(k≠0)，如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是
（ ）
x … −1.5 0 1 2 …
… 6 3 1 −1 …
A．y随x的增大而增大
B．该函数的图象经过一、二、三象限
C．关于x的方程kx+b=−1的解是x=2
D．该函数的图象与y轴的交点是(0,2)
【变式2】已知一次函数y=(m−1)x−2m+1，其中m≠1．
（1）若点B(1,t),C(3,t+2)都在该一次函数的图象上，则m= ．
（2）当−2≤x≤3时，函数有最大值为2，则函数表达式为 ．
【变式3】如图，已知直线L：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A ，点A ，A ，…在直线L上点
1 2 3
B ，B ，B ，…在x轴的正半轴上，若△A OB ，△A B B ，△A B B ，…均为等腰直角三角
1 2 3 1 1 2 1 2 3 2 3
形，直角顶点都在x轴上，则点A 的坐标为 ．
2024
