专题 02 分式方程及其应用（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距
480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快
160km/h，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
480 480
A． − =4
x+160 x
480 480
B． − =4
x x+160
480 480
C． − =4
x x−160
480 480
D． − =4
x−160 x
【答案】B
【知识点】列分式方程
【详解】解：设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，则高铁列车的平均速度为（x+160）km/h，
根据题意
480 480
，可得： − =4，
x x+160
故选B．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
a 2
2．若关于x的分式方程 +1=− 无解，则a的值为（ ）
x−1 x−1
A．−1 B．0 C．1 D．−2
【答案】D
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查分式方程无解问题，将方程转化为整式方程，求出分式的分母为0时的x的值，代
入整式方程求出a的值即可．
【详解】解：方程去分母，得：a+x−1=−2，
∵方程无解，
∴整式方程无解或方程有增根，
∴x−1=0，
∴x=1，把x=1代入a+x−1=−2，得：a+1−1=−2，
∴a=−2；
故选D．
3．九（1）班在以“植树节，我行动”为主题的班会上通过了平均每人植6棵树的决议：如果只由
女同学完成，每人应植树15棵，如果只由男同学完成每人应植树的棵树为（ ）
A．9 B．12 C．10 D．14
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【详解】试题分析：设单独由男生完成，每人应植树x棵．那么根据题意可得出方程： + = ，
解得：x=10．检验得x=10是方程的解．因此单独由男生完成，每人应植树10棵．故选C．
考点：分式方程的应用．
2+ax 4
4．若关于x的一元一次不等式组¿的解集为x≤－5，且关于x的分式方程 +2= 有非负整
3−x x−3
数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．－6 B．－4 C．－2 D．0
【答案】D
【知识点】根据分式方程解的情况求值、由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】先解不等式组，根据不等式组的解集得到a的范围，再解分式方程，根据分式方程的解为
非负数得到a的值，即可求解．
【详解】解：不等式组整理得：¿，
由解集为x⩽−5，得到2a+3>−5，即a>−4，
分式方程去分母得：−2−ax+2(x−3)=4，
整理得：(2−a)x=12，
12
解得：x= ，
2−a
由x为非负整数，且x≠3，得到2−a=1，2，3，6，12，
解得a=1或0或−1或−4或−10
∵a>−4，
∴a=1或0或−1，
符合条件的所有整数a的和为1+0−1=0．
故选：D．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．2022年北京冬奥会的比赛场馆分为3个赛区，分别是北京赛区、延庆赛区、张家口赛区，3个赛区之间均有高速铁路和高速公路相通，北京赛区清河高铁站与张家口赛区太子城高铁站之间的高速
铁路里程为166km，高速公路里程为178km，已知从清河高铁站到太子城高铁站乘“复兴号”列车
比乘汽车少用2h，“复兴号”列车的平均速度是汽车平均速度的3倍，求“复兴号”列车和汽车的
平均速度．设汽车的平均速度是xkm/h，则可列方程为（ ）
166 178 166 178 178 166 178 166
A． − =2 B． +2= C． − =2 D． +2=
x 3x x 3x x 3x x 3x
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】由“复兴号”列车和汽车的平均速度之间的关系，可得出“复兴号”列车的平均速度为
3xkm/h，利用时间=路程÷速度，结合从清河高铁站到太子城高铁站乘“复兴号”列车比乘汽车少
用2h，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】∵“复兴号”列车的平均速度是汽车平均速度的3倍，汽车的平均速度为xkm/h，
∴“复兴号”列车的平均速度为3xkm/h．
178 166
依题意得： − =2．
x 3x
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．昆明市区与石林风景区相距约为84km，甲驾驶小轿车，乙乘坐旅游大巴，从昆明市区走同一路
线去石林风景区，甲比乙晚出发20分钟，最后两人同时到达石林风景区（中途停的时间忽略不计），
已知小轿车的速度是旅游大巴速度的1.2倍．设旅游大巴的速度为xkm/h，则所列方程正确的是（
）
84 84 1 84 1 84 84 84 1 84 84
A． + = B． − = C． − = D． =
x 1.2x 3 1.2x 3 x x 1.2x 3 1.2x x
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】设旅游大巴的速度为xkm/h，则小轿车的速度为1.2xkm/h，根据甲比乙晚出发20分钟为等
量关系即可求得答案．
【详解】解：设旅游大巴的速度为xkm/h，则小轿车的速度为1.2xkm/h，由题意得，
84 84 1
− = ，
x 1.2x 3
故选C．
【点睛】本题考查了分式方程的实际问题的应用——行程问题，找准等量关系，根据等量关系建立
方程是解题的关键．
7．某商店出售A，B两种型号的钢笔，已知A型号的钢笔比B型号的钢笔贵5元，小红用50元买了A型号的钢笔，用若干元买了相同数量B型号的钢笔，小红手机微信里的余钱共有83元，扫码付完
款后发现余钱剩3元，设A型号的钢笔每支售价为x元，根据题意可列出的方程为（ ）
50 30 50 33
A． = B． =
x x−5 x x−5
30 50 50 30
C． = D． =
x x−5 x x+5
【答案】A
【分析】根据题意，先得出B型号的钢笔每支售价（x-5）元，再根据小红用50元买A型号的钢笔数
量=用（83-3-50）元买B型号的钢笔的数量列方程即可解答．
【详解】解：根据题意，B型号的钢笔每支售价（x-5）元，花了83-3-50=30元，
50 30
则有： = ，
x x−5
50 30
故答案为： = ．
x x−5
【点睛】本题考查看分式方程的应用，能读懂题意，找到等量关系是解答的关键．
x m
8．若关于x的分式方程 − =2的解为正数，则m的取值范围是（ ）
x−1 1−x
A．m<−2 B．m>−2且m≠−1
C．m>−2 D．m<2且m≠1
【答案】B
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】此题考查了利用分式方程的解求参数的取值范围，正确求解分式方程并掌握分式的分母不
x m
等于零的性质是解题的关键．先求出分式方程的解，根据关于x的分式方程 − =2的解为
x−1 1−x
正数，分式有意义的条件，可得2+m>0且2+m≠1，进而求解即可．
x m
【详解】解：∵ − =2，
x−1 1−x
∴x+m=2(x−1)，
∴x=2+m，
x m
∵关于x的分式方程 − =2的解为正数，
x−1 1−x
∴x>0且x−1≠0，即x>0,x≠1，
∴2+m>0且2+m≠1，
∴m>−2且m≠−1，
故选：B．9．为了抵消美国关税提高带来的损失，某厂商不得不将出口到美国的A类产品每件提高3美元，结
果美国人发现：现在用900美元购进A类商品的数量与提价前用750美元购进A类商品的数量相同，
设A类商品出口的原价为m美元/件，根据题意可列分式方程为（ ）
900 750 900 750
A． = B． =
m+3 m m m+3
900 750 900 750
C． = D． =
m m−3 m−3 m
【答案】A
【知识点】列分式方程
【分析】设A类商品出口的原价为m美元/件，则提价后的价格为(m+3)美元/件，根据数量=总价÷
单价，结合现在用900美元购进A类商品的数量与提价前用750美元购进A类商品的数量相同，即可
得出关于m的分式方程，此题得解．
【详解】解：设A类商品出口的原价为m美元/件，则提价后的价格为(m+3)美元/件，
900 750
依题意得： = ．
m+3 m
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10．某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，
当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又
用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，
但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的
单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ）
12000 11000 12000 11000
A． = −40 B． −40=
x x−5 x x+5
12000 11000 11000 12000
C． +40= D． +40=
x+5 x x x−5
【答案】A
【知识点】列分式方程
【分析】设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为(x−5)
元/件，根据购进的第二批这种“脆红李”比第一批多购进了40件，列出方程即可．
【详解】解：设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为
(x−5)元/件，根据题意得：
12000 11000
= −40，故A正确．
x x−5
故选：A．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．
1 2
11．方程 = 的解是（ ）
x+1 x
A．x=−2 B．x=−1 C．x=1 D．x=2
【答案】A
【知识点】解分式方程
【分析】根据解分式方程的方法和步骤进行求解即可．
【详解】解：去分母，得：x=2x+2，
移项合并，得：−x=2，
化系数为1，得：x=−2，
经检验，x=−2是原分式方程的解．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤．
1 2
12．方程 = 的解为（ ）
x x+3
A．x＝3 B．x＝4 C．x＝﹣3 D．x＝﹣4
【答案】A
【知识点】解分式方程
【分析】将分式方程化为整式方程，求解，检验，即可
【详解】去分母：2x=x+3
化简：x=3
检验：x=3≠0；x+3=3+3=6≠0
故原方程的解为：x=3
故选：A
【点睛】本题考查分式方程的运算，注意计算结果要检验
13．2023年“全民健身日”这一天，广大市民积极参与运动，锻炼身体，增强体质，甲、乙两人沿
着总长度为2km的“健身步道”行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前40min走完全程，如果
设乙的速度为xkm/h，那么下列方程中，正确的是（ ）
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A． − =40B． − = C． − =40 D． − =
x 1.5x x 1.5x 3 1.5x x 1.5x x 3
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】此题考查了分式方程的应用，设乙的速度为xkm/h，则甲的速度为1.5xkm/h，甲比乙提
前40min走完全程，据此列方程即可.【详解】解：设乙的速度为xkm/h，则甲的速度为1.5xkm/h，
2 2 2
− =
x 1.5x 3
故选：B
2
14．分式方程 −1=0的解是（ ）
x−1
A．x=1 B．x=−2 C．x=3 D．x=−3
【答案】C
【知识点】解分式方程
【分析】按照解分式方程的步骤解答即可．
2
【详解】解： −1=0
x−1
2-（x-1）=0
2-x+1=0
-x=-3
x=3
检验，当x=3时，x-1≠0，故x=3是原分式方程的解．
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本步骤为去分母、去括号、移项、合并同类
项、系数化为1,以及检验，特别是检验是解分式方程的关键．
15．某同学现有一装有若干个黄球的袋子．为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中放入
了30个绿球(所有球除颜色外其余均相同)，摇匀后随机抓取60个，其中绿球共计10个，则袋子中
黄球的数量约为（ ）
A．200个 B．180个 C．240个 D．150个
【答案】D
【知识点】解分式方程、由频率估计概率
30 10
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，设黄球的数量为x，根据题意可得 = ，求出解
30+x 60
即可．
【详解】设黄球的数量为x，根据题意得
30 10
=
30+x 60
解得x=150．
经检验是方程的解且符合题意 ，
所以袋子中黄球有150．故选：D．
二、填空题
6 x
16．分式方程 -1= 的解是x= .
x2−9 3−x
【答案】-5
【知识点】解分式方程
【详解】两边同时乘以（x+3）(x-3)，得
6-x2+9=-x2-3x，
解得:x=-5，
检验：当x=-5时，（x+3）(x-3)≠0，所以x=-5是分式方程的解，
故答案为-5.
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是方程两边同时乘以最简公分母，切记要进行检验.
17．A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车
速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小
时，则根据题意，可列方程 ．
200 200 1
【答案】 − =
x x+15 2
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】直接利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可．
【详解】解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，
200 200 1
可列方程： − = ．
x x+15 2
200 200 1
故答案为 − = ．
x x+15 2
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出两车所用时间是解题关键．
7 m
18．关于x的分式方程 +3= 有增根，则增根为 ．
x−1 x−1
【答案】x=1
【知识点】分式方程无解问题
【分析】根据分式方程增根的定义：使分式方程最简公分母为零的x的值即可得到答案．
7 m
【详解】解：∵关于x的分式方程 +3= 有增根，且分式方程最简公分母为x−1，
x−1 x−1
7 m
∴分式方程 +3= 的增根为x=1，
x−1 x−1
故答案为：x=1．【点睛】本题考查分式方程增根的定义，熟记使分式方程最简公分母为零的x的值叫增根是解决问
题的关键．
19．若整数a使关于x的不等式组¿，有且只有4个整数解，且使关于y的分式方程
a 5
− =−2的解满足y<−8，则所有满足条件的整数a的值为 ．
y−1 1−y
【答案】14
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了解一元一次不等组和分式方程，分别解不等式组和分式方程，确定a的取值范围，
进而求解即可，熟练掌握它们的解法是解题的关键．
3+a
【详解】解：不等式组¿的解集是： 2≤x< ，
3
∵该不等式组有且只有4个整数解，
3+a
∴5≤ <6，
3
解得：12≤a<15，
a 5 3+a
分式方程 − =−2的解是：y=− (y≠1)，
y−1 1−y 2
∵y<−8，
3+a
∴− <−8，
2
∴a>13，
综上，13<a<15（a为整数），
∴a=14，
故答案为：14．
1 1
20．填空：（1）方程x+ =10 的根是10，则另一个根是 ．
x−8 2
x2−bx n−1
（2）如果方程 = 有等值异号的根，那么m＝ ．
ax−c m+1
1 k−5 k−1
（3）如果关于x的方程 + = ，有增根x＝1，则k＝ ．
x2−x x2+x x2−1
x+1 x−1 10
（4）方程 + = 的根是 ．
x−1 x+1 3
1 a−b
【答案】 8 ． m≠±1，m＝ ，c≠0． 3． ±2．
2 a+b
【知识点】解分式方程
【分析】先找到各方程的最简公分母，然后同乘以最简公分母，化为整式方程，解即可．【详解】（1）方程两边同乘以（x﹣8），得
21
x（x﹣8）+1＝ （x﹣8），
2
整理得
37
x2﹣ x+85＝0，
2
∵方程的一根是10，
根据根与系数的关系，有
10x＝85，
1
解得x＝8 ；
2
（2）方程两边同乘以（ax﹣c）（m+1），得
（m+1）x2+[（1﹣m）a﹣b（m+1）]x＝﹣c（m﹣1），
∵原方程有等值异号的根，
∴一次项的系数等于0，即有（1﹣m）a﹣b（m+1）＝0，
a−b
解得m＝ ，
a+b
且m+1≠0，﹣c（m﹣1）≠0，即m≠﹣1，c≠0，m≠1，
a−b
故答案是m≠±1，m＝ ，c≠0；
a+b
（3）方程两边同乘以x（x2﹣1），得
x+1+（k﹣5）（x﹣1）＝x（k﹣1），
6−k
解得x＝ ，
3
∵方程有增根x＝1，
6−k
即 ＝1，
3
解得k＝3．
故答案是3；
（4）方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得
10
x2+2x+1+x2﹣2x+1＝ （x2﹣1），
3
整理得x2＝4，
解得x＝±2，
经检验x＝±2都是原方程的根，
故答案为±2．【点睛】本题考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为
整式方程求解．
21．“国十条”等楼市新政的出台，使得房地产市场交易量和楼市房价都一味呈现止涨观望的态势．
若某一商人在新政的出台前进货价便宜8%，而现售价保持不变，那么他的利润率（按进货价而定）
可由目前的x%增加到(x+10)%，x等于 ．
【答案】15
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】设进货价钱为X，售价为Y，根据题意列分式方程，求解即可．
【详解】设进货价钱为X，售价为Y，由题意可得，
Y−92%X Y−X
− =(x+10)%−x%，
92%X X
解得Y =115%X，
Y−X
代入 =x%，
X
解得：x=15，
∴x等于15．
故答案为15．
【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键．
k x
22．能使分式方程 = −1有非负实数解，且使二次函数y=x2+2x+k的图象与y轴交点在
x−1 1−x
原点的上方的k的取值范围是 ．
【答案】0<k≤1
【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、根据分式方程解的情况求值、分式有意义的条件
【分析】本题综合考查了分式方程和抛物线与坐标轴的交点问题，对于分式方程求字母系数问题，
先解方程，根据解的情况列不等式，要注意分母不为0时的情况，结合抛物线与y轴交点在原点上方，
从而得k的范围．
k x
【详解】解：由题意，∵分式方程 = −1有非负实数解，
x−1 1−x
1−k 1−k
∴x= ≥0且 ≠1．
2 2
∴k≤1且k≠−1．
又二次函数y=x2+2x+k的图象与y轴交点在原点的上方，
∴当x=0时，y=k>0，
∴0<k≤1．
故答案为：0<k≤1．23．在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机
摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则
袋子中红球约有 个.
【答案】8
【知识点】由频率估计概率、分式方程的实际应用
【分析】本题主要考查了用频率估算概率及分式方程的应用，理清题意，根据概率公式列出方程是
解题的关键．
x
设袋子中装有x个红球，根据等量关系列出方程 =0.8，然后解方程即可．
x+2
【详解】解：设袋子中装有x个红球，
x
依题意得： =0.8，
x+2
解得：x=8，
经检验，x=8是原方程的解，且符合题意，
∴袋子中红球约有8个，
故答案为：8．
2 3
24．代数式 与代数式 的值相等，则x= ．
x−4 x−8
【答案】−4
【知识点】解分式方程
2 3 2 3
【分析】根据代数式 与代数式 的值相等得到 = ，解方程并检验即可得到答案．
x−4 x−8 x−4 x−8
2 3
【详解】解：由题意得， = ，
x−4 x−8
去分母得，2(x−8)=3(x−4)，
解得，x=−4，
经检验x=−4是分式方程的根，
故答案为：−4
【点睛】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
2 m
25．关于x的分式方程 =2+ 有增根，则m的值为 ．
x−3 x−3
【答案】2
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】分式方程有增根，说明增根一定是分母为0时未知数的值，即可求出增根，再代入去分母
后的方程中即可求出参数的值．2 m
【详解】解： 关于x的分式方程 =2+ 有增根
x−3 x−3
∵
x−3=0，即x=3
∴去分母，得：
2=2(x−3)+m
把x=3代入，得
m=2
故答案是：2
【点睛】本题考查分式方程的增根和参数的求法，正确理解增根的概念是解题的关键．
三、解答题
26．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做2个，甲做120个所用的时间与乙做100
个所用的时间相等，求甲、乙两人每小时各做多少个零件？
【答案】甲每小时做12个零件，乙每小时做10个零件．
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做(x﹣2)个零件，根据工作时间＝工作总量÷工作效率
结合甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检
验后即可得出结论．
【详解】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做(x﹣2)个零件，
120 100
根据题意得： = ，
x x−2
解得：x＝12，
经检验，x＝12是分式方程的解，
x﹣2＝10个．
答：甲每小时做12个零件，乙每小时做10个零件．
【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用及分式方程的解法的运用，解答时根据条件建立
方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．
x x−3
27．小丁和小迪分别解方程 − =1过程如下：
x−2 2−x
小丁：
小迪：
解：去分母，得
解：去分母，得x+(x−3)=1，
x−(x−3)=x−2，
去括号，得x+x−3=1，
去括号，得x−x+3=x−2，
合并同类项，得2x−3=1，
合并同类项，得3=x−2，
解得，x=2，
解得，x=5，∴原方程的解是x=5． 经检验，x=2是方程的增根，原方程无解．
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”：若错误请在框内打“×”，并写出
你的解答过程．
【答案】见解析．
【知识点】解分式方程
【详解】解：×，×，正确步骤如下：
x x−3
− =1，
x−2 2−x
两边同乘(x−2)，去分母，得x+x−3=x−2，
移项，合并同类项，得x=1，
检验：将x=1代入(x−2)中可得1−2=−1≠0，
则x=1是分式方程的解，故原分式方程的解是x=1．
28．2012年3月25日央视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件后，全国各大药店的销售都受到
2
不同程度的影响，4月初某种药品的价格大幅度下调，下调后每盒价格是原价格的 ，原来用60元
3
买到的药品下调后可多买2盒．4月中旬，各部门加大了对胶囊生产监管力度，因此，药品价格4月
底开始回升，经过两个月后，药品上调为每盒14.4元．
（1）问该药品的原价格是多少，下调后的价格是多少？
（2）问5、6月份药品价格的月平均增长率是多少？
【答案】（1）原价15元/盒，下调后10元/盒；（2）20%
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、分式方程的实际应用
2
【分析】（1）设该药品的原价格是x元/盒，则下调后每盒价格是 x元/盒，根据“原来用60元买
3
到的药品下调后可多买2盒”即可列方程求解；
（2）设5、6月份药品价格的月平均增长率是a，根据“药品价格4月底开始回升，经过两个月后，
药品上调为每盒14.4元” 即可列方程求解.
2
【详解】解：（1）设该药品的原价格是x元/盒，则下调后每盒价格是 x元/盒，由题意得：
3
60 60
= +2
2 x ，解得x=15，
x
3
经检验，x=15是原方程的解，
2
∴ x=10，
3
答：该药品的原价格是15元/盒，则下调后每盒价格是10元/盒；（2）设5、6月份药品价格的月平均增长率是a，由题意得：
10(1+a) 2=14.4，解得a =0.2=20%，a =−2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：5、6月份药品价格的月平均增长率是20%．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，
正确列方程求解，要注意检验及舍去不符合题意的答案．
ab
29．我们把形如x+ =a+b（a，b不为零），且两个解分别为x =a，x =b的方程称为“完美分
x 1 2
式方程”．
3 1×3
例如x+ =4为完美分式方程，可化为x+ =1+3，∴x =1，x =3．
x x 1 2
8 (−2)×(−4)
再如x+ =−6为分式方程，可化为x+ =(−2)+(−4)，∴x =−2，x =−4．
x x 1 2
应用上面的结论解答下列问题：
2
(1)若x+ =−3为完美分式方程，则x =____，x =____．
x 1 2
q
(2)已知完美分式方程x+ =p的两个解分别为x =m，x =n，
x 1 2
1 1
①若p=3，q=−2，求 + 的值．
m n
m❑ 3+1 n❑ 3+1
②若√p❑ 2−q=0，直接写出 + 的最小值________．
m n
【答案】(1)−1，−2；
3
(2)① − ；②7
2
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式化简求值、解分式方程
【分析】本题为新定义问题，考查了分式方程的解，分式的加减运算，完全平方公式的变形求解，
因式分解的应用等知识，理解新定义，并将方程或式子灵活变形是解题关键．
（1）类比题目中“完美分式方程”的答题方法即可求解．
1 1
（2）①结合运用“完美分式方程”得到mn=q，m+n=p，将 + 变形，整体代入即可求解；
m n
n+m
②先求出q的范围，再将原式变形为(m+n) 2−2mn+ ，结合运用“完美分式方程”，代入即
mn
可求解．
2 (−1)×(−2)
【详解】（1）解： x+ =−3可化为x+ =(−1)+(−2)，
x x
∴x =−1，x =−2，
1 2故答案为：−1，−2；
（2）①由已知得mn=q，m+n=p，
∵p=3，q=−2，
1 1 m+n p 3 3
∴ + = = = =− ；
m n mn q −2 2
q
②解：由已知得完美分式方程x+ =p的两个解分别为x =m，x =n，
x 1 2
∴x2−px+q=0，
∴Δ=p2−4q≥0，
∵√p2−q=0，
∴√p2=q≥0，
∴p=±q，
∴p2=q2，
∴Δ=p2−4q=q2−4q=q(q−4)≥0，
∴q≥4或q≤0（不合题意，舍去），
m3+1 n3+1
∵ +
m n
1 1
=m2+n2+ +
m n
n+m
=(m+n) 2−2mn+ ，
mn
又∵mn=q，m+n=p，
n+m p
∴(m+n) 2−2mn+ =p2−2q+ ，
mn q
∴当p=q>0，
m3+1 n3+1 p
∴ + =p2−2q+ =q2−2q+1=(q−1) 2 ，
m n q
m3+1 n3+1
当q=4时， + =(q−1) 2=9的值最小，
m n
m3+1 n3+1
∴ + 最小值为9；
m n
当q=−p时，
m3+1 n3+1 p
∴ + =p2−2q+ =q2−2q−1=(q−1) 2−2，
m n q
m3+1 n3+1
则当q=4时， + 最小值为(4−1) 2−2=7，
m n∵此时m+n=−4,mn=4，
则m=n=−2，符合题意；
综上所述最小值为7．
30．为满足顾客的购物需求，某超市计划购进甲、乙两种干果进行销售．经了解，甲干果的进价比
乙干果的进价低20%．超市用400元购进甲种干果比用450元购进乙种干果多10袋．已知甲，乙两
种干果的售价分别为8元/袋和10元/袋．
(1)求甲、乙两种干果的进价每袋分别是多少？
(2)若超市购进这两种干果共150袋，其中甲种干果的数量不低于乙种干果数量的2倍，则超市应如
何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)甲种干果进价为4元/袋；乙种干果进价为5元/袋
(2)购买甲种干果100袋，乙种干果50袋，获得最大利润，最大利润是650元
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的实
际应用
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出分式方程； （2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为(1−20%)x元，由题意：用1000元购进甲种
水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种水果a袋，则乙种干果(150−a) 袋，利润为w元，由题意得w=−a+450，再由甲
种干果的重量不低于乙种干果重量的2倍，得a≥2 (150−a)，然后由一次函数的性质即可得出结
论．
【详解】（1）解：设乙种干果进价为x元/袋；则甲种干果的进价为(1−20%)x元/袋
400 450
根据题意得， − =10，
(1−20%)x x
解得x=5，
经检验x=5是所列方程的解，
所以(1−20%)x=4．
即甲种干果进价为4元/袋；乙种干果进价为5元/袋；
（2）解：设购买甲种干果a袋，则购买乙种干果(150−a)袋，总利润为w元．
由题意得a≥2(150−a)．
解得a≥100，
w=(8−4)a+(10−5)(150−a)=−a+750，
∵−1<0，
∴w随着a的增大而减少，
∴当a=100时，w最大=650元，即，购买甲种干果100袋，乙种干果50袋，获得最大利润，最大利润是650元．
1 x−1
31．下面是小亮同学解方程 =3− 的过程，请阅读并完成相应任务．
2−x x−2
解：去分母得，1=3+(x−1)，………………第一步
去括号得，1=3+x−1，………………第二步
解得，x=−1，………………第三步
检验：当x=−1时，2−x≠0，………………第四步
∴x=−1是原方程的根．………………第五步
任务：
(1)小亮同学的求解过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______；
(2)请你改正并写出完整的解方程过程；
(3)解分式方程产生增根的原因是______．
【答案】(1)一；方程两边同乘以最简公分母时，漏乘了不含分母的项“3”
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】解分式方程、解一元一次方程（二）——去括号
【分析】本题主要考查解分式方程，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验的方
法是解题的关键．
（1）根据去分母的方法即可判定；
（2）运用解分式方程的方法即可求解；
（3）根据解分式方程的方法，增根的概念即可求解．
【详解】（1）解：小亮同学的求解过程从第一步开始出现错误，
错误的原因是：方程两边同乘以最简公分母时，漏乘了不含分母的项“3”．
1 x−1
（2）解：原方程可化为 =3+ ．
2−x 2−x
方程两边都乘以(2−x)去分母，得1=3(2−x)+x−1．
整理，得1=5−2x．
解得x=2．
检验：当x=2时，2−x=0，所以x=2是原分式方程的增根，
所以原方程无解．
（3）解：去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰
好使最简公分母为零，就产生增根．
32．党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．某校为响应二十大报告
的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，该校计划从体育用品商场购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间”和学生社团活动．已知一
副羽毛球拍比一副乒乓球拍多30元，且用1000元购买乒乓球拍的数量和用2000元购买羽毛球拍的
数量一样．
(1)求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；
(2)学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共计100副，且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的2倍，求
最多购买乒乓球拍多少副．
【答案】(1)每副乒乓球拍的价格是30元，每副羽毛球拍的价格是60元
(2)最多购买乒乓球拍66副
【知识点】分式方程的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，
（1）设每副乒乓球拍的价格是x元，则每副羽毛球拍的价格是(x+30)元，利用数量=总价÷单价，
根据“用1000元购买乒乓球拍的数量和用2000元购买羽毛球拍的数量一样”可列出关于x的分式方
程，解之经检验后，可得出每副乒乓球拍的价格，再将其代入(x+30)中，即可求出每副羽毛球拍的
价格；
（2）设购买乒乓球拍m副，则购买羽毛球拍(100−m)副，根据“乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍
数量的2倍”可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即
可；
解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出
一元一次不等式．
【详解】（1）解：设每副乒乓球拍的价格是x元，则每副羽毛球拍的价格是(x+30)元，
1000 2000
根据题意得： = ，
x x+30
解得：x=30，
经检验，x=30是所列方程的解且符合题意，
∴x+30=30+30=60（元）．
答：每副乒乓球拍的价格是30元，每副羽毛球拍的价格是60元；
（2）设购买乒乓球拍m副，则购买羽毛球拍(100−m)副，
根据题意得：m≤2(100−m)，
200
解得：m≤ ，
3
又∵m为正整数，
∴m的最大值为66．
答：最多购买乒乓球拍66副．ax2+b y2
33．对x,y定义一种新运算T，规定T(x,y)= （其中a,b是非零常数，且x+ y≠0）．如：
x+ y
a×32+b×12 9a+b
T(3,1)= = ．若T(−2,0)=−2，且T(5,−1)=6．
3+1 4
(1)求a与b的值；
(2)若T(2m−4,−2m)=T(−2m,2m−4)，求m的值．
【答案】(1)-1
(2)1
【知识点】新定义下的实数运算、含乘方的有理数混合运算、解分式方程
【详解】解：（1）∵T(−2,0)=−2，
a×(−2) 2+b×02
∴ =−2，
−2+0
∴a=1．
∵T(5,−1)=6，
a×52+b×(−1) 2
∴ =6，
5−1
∴25a+b=24，
∴b=24−25=−1，
∴a=1,b=−1．
（2）∵T(2m−4,−2m)=T(−2m,2m−4)，
1×(2m−4) 2+(−1)×(−2m) 2
∴
2m−4−2m
1×(−2m) 2+(−1)×(2m−4) 2
= ，
−2m+2m−4
∴4m2+16−16m−4m2=4m2−4m2−16+16m，
∴32m=32，
∴m=1．
经检验，m=1是原方程的解．
∴m的值为1．
2a 1
34．（1）化简： +
a2−4 2−a
1−x 1
（2）解方程： +2=
x−2 2−x
1
【答案】（1） ；（2）原方程无解
a+2
【知识点】异分母分式加减法、解分式方程【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算，解分式方程：
（1）先通分，再把分子合并同类项，进而约分即可得到答案；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可．
2a 1
【详解】解：（1） +
a2−4 2−a
2a a+2
= −
(a+2)(a−2) (a+2)(a−2)
a−2
=
(a+2)(a−2)
1
= ；
a+2
1−x 1
（2） +2=
x−2 2−x
去分母得：1−x+2(x−2)=−1，
去括号得：1−x+2x−4=−1，
移项得：−x+2x=−1−1+4，
合并同类项得：x=2，
检验，当x=2时，x−2=0，
∴x=2是原方程的增根，
∴原方程无解．
35．如图某户外俱乐部计划组织成员到露营基地进行野餐活动，准备租赁A，B两款野餐垫．已知B
款野餐垫单价是A款的1.4倍，用140元租A款比租B款多4张．
(1)求A，B两款野餐垫的租赁单价．
(2)该俱乐部用600元租这两款野餐垫且恰好全部用完，每张野餐垫都坐满，最多能提供多少人就坐？
写出此时的租赁方案．
【答案】(1)A款野餐垫的租赁单价为10元，则B款野餐垫单价是14元
(2)最多提供340人就坐；租A款野餐垫4张，则租B款野餐垫40张
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、分式方程的实际应用
【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用；
（1）设A款野餐垫的租赁单价为a元，则B款野餐垫单价是1.4a元，根据题意列出分式方程，解方
程并检验，即可求解；600−14x 7 7
（2）设租B款野餐垫x张，则租A款野餐垫 =60− x张，根据60− x是正整数，得出
10 5 5
x的范围，设提供y人就坐，根据题意列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设A款野餐垫的租赁单价为a元，则B款野餐垫单价是1.4a元，根据题意得，
140 140
= +4
a 1.4a
解得：a=10，经检验a=10是原方程的解，
∴1.4a=14元，
答：A款野餐垫的租赁单价为10元，则B款野餐垫单价是14元；
600−14x 7
（2）解：设租B款野餐垫x张，则租A款野餐垫 =60− x张，
10 5
7
∵60− x是正整数，
5
∴x=5,10,15,20,25,30,35,40
设提供y人就坐，根据题意得，
600−14x
y=5× +8x=300+x
10
∴当x取得最大值时，x=40，
y=300+40=340
7
∴60− ×40=4
5
此时的租赁方案为：租A款野餐垫4张，则租B款野餐垫40张．
答：最多提供340人就坐；租A款野餐垫4张，则租B款野餐垫40张．
【能力提升】
36．阅读下列材料，完成探究与运用．
【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在
修60米与原计划修45米所需时间相同．问现在平均每天修多少米？
60 45
解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程 = ，…．
x x−5
同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法：
60 45 60−45 15
由
= = = =3，
x x−5 x−(x−5) 5
60
从而可得： =3，解得x=20，经检验x=20是原方程的解，…．
x
1 3 1 3 1+3
【探究】小恒同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式 = 得 = = 成立，
2 6 2 6 2+61 3 1−3
同时 = = 也成立，由此发现规律．
2 6 2−6
a c a c a c
(1)请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，若 = ，则① = =____，② = =
b d b d b d
______；
【运用】
−x+3 x2+x+3
(2)请用上述规律，解分式方程 = ．
x2−4x+5 4x+1
a+c a−c
【答案】(1) ；
b+d b−d
(2)x =2，x =1
1 2
【知识点】解分式方程、因式分解法解一元二次方程
【分析】（1）根据阅读材料和探究材料可直接得出答案；
（2）直接利用（1）中发现的规律解分式方程即可．
【详解】（1）解：小恒同学发现的规律为：已知a，b，c，d均不为0，
a c a c a+c a c a−c
若 = ，则① = = ，② = = ；
b d b d b+d b d b−d
a+c a−c
故答案为： ；
b+d b−d
−x+3 x2+x+3 −x+3+x2+x+3 x2+6
（2）解： = = = =1，
x2−4x+5 4x+1 x2−4x+5+4x+1 x2+6
x2+x+3
从而可得： =1，
4x+1
∴x2+x+3=4x+1，
∴x2−3x+2=0，
∴(x−2)(x−1)=0，
解得x =2，x =1，
1 2
经检验x =2，x =1都是原方程的解，
1 2
故原方程的解为x =2，x =1．
1 2
【点睛】本题考查了分式方程的解法，读懂材料，发现规律是解题的关键．
37．某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原
始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规
则如下：
80x
当0≤x<p时，y= ；
p20(x−p)
当p≤x≤150时，y= +80．
150−p
（其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）
公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格．
(1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若p=100，求甲、乙的报告成绩；
(2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值：
(3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：
原始成绩 10 13 14
95 100 110 115 120 125 135 140 150
（分） 5 0 5
人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5
①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；
②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率．
【答案】(1)甲、乙的报告成绩分别为76，92分
(2)125
(3)①130；②95%
【知识点】求中位数、统计表、解分式方程
80×95
【分析】（1）当p=100时，甲的报告成绩为：y= =76分，乙的报告成绩为：
100
20×(130−100)
y= +80=92分；
150−100
（2）设丙的原始成绩为x 分，则丁的原始成绩为(x −40)分，①0≤x <p时和②p≤x −40≤150
1 1 1 1
20(x −p)
时均不符合题意，③0≤x −40<p,p≤x ≤150时，y =92= 1 +80⋯⋯⑤，
1 1 丙 150−p
80(x −40)
y =64= 1 ⋯⋯⑥，解得p=125,x =140；
丁 p 1
（3）①共计100名员工，且成绩已经排列好，则中位数是第50，51名员工成绩的平均数，由表格
80×130
得第50，51名员工成绩都是130分，故中位数为130；②当p>130时，则90= ，解得
p
1040 20(130−p)
p= <130，故不成立，舍；当p≤130时，则90= +80，解得p=110，符合题意，
9 150−p95
而由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为100−5=95，故合格率为： ×100%=95%．
100
80×95
【详解】（1）解：当p=100时，甲的报告成绩为：y= =76分，
100
20×(130−100)
乙的报告成绩为：y= +80=92分；
150−100
（2）解：设丙的原始成绩为x 分，则丁的原始成绩为(x −40)分，
1 1
80x 80(x −40)
①0≤x <p时，y =92= 1 ⋯⋯①，y =64= 1 ⋯⋯②，
1 丙 p 丁 p
3200
由①−②得 =28，
p
800
∴p= ，
7
800
92×
∴ 7 920 ，故不成立，舍；
x = = ≈131>p
1 80 7
20(x −p)
②p≤x −40≤150时，y =92= 1 +80⋯⋯③，
1 丙 150−p
20(x −40−p)
y =64= 1 +80⋯⋯④，
丁 150−p
800
由③−④得：28= ，
150−p
850
∴p= ，
7
( 850)
20 x −
1 7
∴92= +80，
850
150−
7
970
∴x = ，
1 7
690 850
∴x −40= <p= ，故不成立，舍；
1 7 7
20(x −p)
③0≤x −40<p,p≤x ≤150时，y =92= 1 +80⋯⋯⑤，
1 1 丙 150−p80(x −40)
y =64= 1 ⋯⋯⑥，
丁 p
联立⑤⑥解得：
p=125,x =140，且符合题意，
1
综上所述p=125；
（3）解：①共计100名员工，且成绩已经排列好，
∴中位数是第50，51名员工成绩的平均数，
由表格得第50，51名员工成绩都是130分，
∴中位数为130；
80×130 1040
②当p>130时，则90= ，解得p= <130，故不成立，舍；
p 9
20(130−p)
当p≤130时，则90= +80，解得p=110，符合题意，
150−p
∴ 由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为100−(1+2+2)=95，
95
∴合格率为： ×100%=95%．
100
【点睛】本题考查了函数关系式，自变量与函数值，中位数的定义，合格率，解分式方程，熟练知
识点，正确理解题意是解决本题的关键．
38．在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足
1 1 1
R=R +R ；如图②，在并联电路中，总电阻R满足 = + ．
1 2 R R R
1 2
(1)如图③，已知R =12Ω，R =4Ω，总电阻为12Ω，求R 的值；
1 3 2(2)如图④，已知R 为定值电阻，现有两个电阻R 和R (R <R )，请问如何摆放R 和R 的位置，能
0 1 2 1 2 1 2
够使得总电阻最小?（在图中填写并证明）
(3)如图⑤，现有三个电阻R 、R 和R (R <R <R )，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最
1 2 3 1 2 3
小?（在图中填写，无需证明）
(4)如图⑥，已知R 为定值电阻，现有四个电阻R 、R 、R 和R (R <R <R <R )，请问如何摆放
0 1 2 3 4 1 2 3 4
这四个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明）
【答案】(1)R =24Ω
2
(2)R 在串联电路上，R 在并联电路上，理由见详解
2 1
(3)R ,R 并联，再与R 串联，能够使得总电阻最小，理由见详解
2 3 1
(4)见详解
【知识点】分式方程的实际应用、解分式方程、同分母分式加减法
【分析】本题考查了数学与物理的跨学科探究题，考查了列分式方程，解分式方程，比较分式的大
小，熟练掌握知识点，借助于物理学科知识是解题的关键．
1 1 1
（1）由题意得 + = ，解分式方程即可；
12 R 12−4
2
1 R R +R R
R= = 0 2 1 2
（2）分类讨论，①当R 在上方，R 在下方，则 1 1 R +R +R ，②当R 在上方，
1 2 + 0 1 2 2
R +R R
0 1 2
1 R R +R R
R′= = 0 1 1 2
R 在下方，则 1 1 R +R +R ，由R R <R R 得R′<R，因此当在串联电路上，
1 + 0 1 2 0 1 0 2
R +R R
0 2 1
R 在并联电路上，能够使得总电阻最小；
1
（3）分类讨论，设这三个电阻R =x,R = y,R =z，则x<y<z，①当R ,R 并联，则
1 2 3 1 2
1 xy xy+ yz+xz
R= +z= +z= xy+ yz+xz
1 1 x+ y x+ y ；②当R ,R 并联，则R′= ；③当R ,R 并联，
+ 1 3 x+z 2 3
x y
xy+ yz+xz
则R″= 由x<y<z得x+ y<x+z<z+ y，即R″<R′<R，因此R ,R 并联，再与R 串联，
z+ y 2 3 1
能够使得总电阻最小，
（4）同理由（2）（3）问可推导，R 与R 并联，再与R 串联，再与R 并联，最后与R 串联．
0 4 3 2 11 1 1
【详解】（1）解：由题意得： + = ，
12 R 12−4
2
解得R =24，
2
经检验，R =24是原方程的解，
2
∴R =24Ω；
2
1 (R +R )R R R +R R
R= = 0 1 2= 0 2 1 2
（2）解：①当R 在上方，R 在下方，则 1 1 R +R +R R +R +R ，
1 2 + 0 1 2 0 1 2
R +R R
0 1 2
1 (R +R )R R R +R R
R′= = 0 2 1= 0 1 1 2
②当R 在上方，R 在下方，则 1 1 R +R +R R +R +R ，
2 1 + 0 1 2 0 1 2
R +R R
0 2 1
∵R R <R R ，
0 1 0 2
∴R′<R，
∴当在串联电路上，R 在并联电路上，能够使得总电阻最小，
1
则如下图摆放能使得总电阻最小：
（3）解：设这三个电阻R =x,R = y,R =z，R <R <R ，即x<y<z，
1 2 3 1 2 3
1 xy xy+ yz+xz
R= +z= +z=
①当R ,R 并联，则 1 1 x+ y x+ y ；
1 2 +
x y
1 xy+ yz+xz
R′= + y=
②当R ,R 并联，则 1 1 x+z ；
1 3 +
x z
1 xy+ yz+xz
R″= +x=
③当R ,R 并联，则 1 1 z+ y
2 3 +
y z
由x<y<z得x+ y<x+z<z+ y
∴R″<R′<R，
∴R ,R 并联，再与R 串联，能够使得总电阻最小，
2 3 1
如图：（4）解：同理，由（2）（3）问可推导按照如下图方式摆放：
39．某玩具厂接的600件玩具的订单后，决定由甲、乙两车间共同完成生产任务，已知甲车间工作
效率是乙车间的2倍，乙车间单独完成此项生产任务比甲车间单独完成多用10天．
（1）求甲，乙两车间平均每天各能制作多少件玩具；
（2）两车间同时开工3天后，临时又增加了90件的玩具生产任务，为了使完成任务的总时间不超
过7天，两车间从第4天起各自提高工作效率，提高工作效率后甲车间工作效率仍是乙车间工作率
的2倍，求乙车间提高效率后每天至少生产多少件玩具．
【答案】（1）甲车间平均每天能制作60件玩具，乙车间平均每天能制作30件玩具；（2）乙车间
提高效率后每天至少生产35件玩具
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】（1）设乙车间平均每天能制作x件玩具，则甲车间平均每天能制作2x件玩具，根据工作
时间＝工作总量÷工作效率结合乙车间单独完成此项生产任务比甲车间单独完成多用10天，即可得
出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设乙车间提高效率后每天生产m件玩具，则甲车间提高效率后每天生产2m件玩具，根据甲车
间七天生产的玩具数加上乙车间七天生产的玩具数不少于订单数，即可得出关于m的一元一次不等
式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：（1）设乙车间平均每天能制作x件玩具，则甲车间平均每天能制作2x件玩具，
600 600
依题意，得： − =10，
x 2x
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，∴2x＝60．
答：甲车间平均每天能制作60件玩具，乙车间平均每天能制作30件玩具．
（2）设乙车间提高效率后每天生产m件玩具，则甲车间提高效率后每天生产2m件玩具，
依题意，得：60×3+（7﹣3）×2m+30×3+（7﹣3）m≥600+90，
解得：m≥35．
答：乙车间提高效率后每天至少生产35件玩具．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
40．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：
x2 x−1
⋅ 这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例
x+1 x+1
1 2
如： ，− 这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数.例如：
x+1 x+1
8 3×2+2 2
− = =2 类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
3 3 3
x2 x(x+1)−(x+1)+1 1
= =x−1+ ．
x+1 x+1 x+1
−x2−2x 3x3−3x+2
（1）参考上面的方法，将下列分式化为带分式： = . = ．
x2+2x+1 x2−1
x2−x−8 3x2−12x+10
（2）解分式方程： +2= ；
x2−x−6 x2−4x+4
x4+4x2+2
（3）当x取什么整数值时，分式 的值为整数．
x2+1
（4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n．十位数字与m的百位数字相同，
个位数字与m的十位数字相同，若这个三位数的平方能整除这个两位数，求满足条件的三位数m．
1 2 10
【答案】（1）−1+ ，3x+ ；（2）x= ；（3）x=0；（4）m=366
x2+2x+1 x2−1 3
【知识点】分式加减乘除混合运算、解分式方程
【分析】（1）两式根据材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式利用材料中的方法变形化简方程即可求解；
（3）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时，整数x的值；m2
（4）设三位数的百位数字为x，十位数字为y，然后表示出m，n的表达式，再计算 ，然后利用
n
材料中的方法变形，进行讨论即可．
−x2−2x −(x2+2x+1)+1 1
【详解】解：（1） = =−1+
x2+2x+1 x2+2x+1 x2+2x+1
3x3−3x+2 3x(x2−1)+2 2
= =3x+
x2−1 x2−1 x2−1
x2−x−8 3x2−12x+10
（2） +2=
x2−x−6 x2−4x+4
x2−x−6−2 3(x2−4x+4)−2
+2=
x2−x−6 x2−4x+4
2 2
3− =3−
x2−x−6 x2−4x+4
2 2
=
x2−x−6 x2−4x+4
∴x2-x-6=x2-4x+4，
∴3x=10，
10
∴x=
3
10
经检验：x= 是原方程的解；
3
x4+4x2+2 x2 (x2+1)+3(x2+1)−1
（3） =
x2+1 x2+1
1
=x2+3−
x2+1
∴当x=0时，原式=2为整数；
（4）设三位数的百位数字为x，十位数字为y，则个位数字为2x，n=10x+y，
m=100x+10y+2x=102x+10y，
∵2x＜10，
∴x＜5，
m2 (100x+10 y+2x) 2
=
n 10x+ y[10(10x+ y)+2x] 2
=
10x+ y
[10(10x+ y)] 2+4x[10(10x+ y)]+4x2
=
10x+ y
4x2
=100(10x+ y)+40x+
10x+y
m2
∵ 是整数，
n
4x2
∴ 为整数，
10x+y
∵0＜x＜5且x为整数，0＜y＜10且y为正整数，
4x2
当x=3，y=6时， 为正整数，
10x+y
∴m=366．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
