文档内容
专题 06 填空题中之分类讨论思想
【中考考向导航】
目录
【直击中考】.....................................................................................................................................................1
【考向一 与等腰三角形有关的分类讨论问题】............................................................................................1
【考向二 与直角三角形有关的分类讨论问题】............................................................................................7
【考向三 与矩形有关的分类讨论问题】......................................................................................................10
【考向四 与菱形有关的分类讨论问题】......................................................................................................18
【考向五 与正方形有关的分类讨论问题】..................................................................................................23
【考向六 与圆的分类讨论问题】..................................................................................................................28
【考向七 与相似有关的分类讨论问题】......................................................................................................33
【直击中考】
【考向一 与等腰三角形有关的分类讨论问题】
例题：（2022·四川广安·统考中考真题）若（a﹣3）2+ =0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为
________．
【答案】11或13##13或11
【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性求得 的值，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论，
根据构成三角形的条件取舍即可求解．
【详解】解：∵（a﹣3）2+ =0，
∴ ， ，
当 为腰时，周长为： ，
当 为腰时，三角形的周长为 ，
故答案为：11或13．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作
等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为_____．
【答案】3或 ．
【分析】分两种情况，先证明 ，再根据全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图， 点在 的右边，与 都是等边三角形，
， ， ，
，
即 ．
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
等边三角形 的边长为3，
如图， 点在 的左边，
同上， ，
， ，
，
过点 作 交 的延长线于点 ，则 ，
， ，
，
在 中， ，
，，
或 （舍去），
，
等边三角形 的边长为 ，
故答案为：3或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明 是解题
的关键．
2．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）在 中， ，有一个锐角为 ， ，若点 在
直线 上（不与点 ， 重合），且 ，则 的长为_______．
【答案】 或9或3
【分析】分∠ABC=60、∠ABC=30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．
【详解】解：当∠ABC=60°时，则∠BAC=30°，
∴ ，
∴ ，
当点P在线段AB上时，如图，
∵ ，
∴∠BPC=90°，即PC⊥AB，
∴ ；
当点P在AB的延长线上时，
∵ ，∠PBC=∠PCB+∠CPB，
∴∠CPB=30°，∴∠CPB=∠PCB，
∴PB=BC=3，
∴AP=AB+PB=9；
当∠ABC=30°时，则∠BAC=60°，如图，
∴ ，
∵ ，
∴∠APC=60°，
∴∠ACP=60°，
∴∠APC=∠PAC=∠ACP，
∴△APC为等边三角形，
∴PA=AC=3．
综上所述， 的长为 或9或3．
故答案为： 或9或3
【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的
判定和性质等，分类求解是本题解题的关键．
3．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在 中， ， ，以点 为圆心，
长为半径作弧，交射线 于点 ，连接 ，则 的度数是______．
【答案】10°或100°
【分析】分两种情况画图，由作图可知得 ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：如图，点 即为所求；在 中， ， ，
，
由作图可知： ，
，
；
由作图可知： ，
，
，
，
．
综上所述： 的度数是 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了作图 复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握
基本作图方法．
4．（2022·青海西宁·统考中考真题）矩形ABCD中， ， ，点E在AB边上， ．若点P
是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是
________．
【答案】 或
【分析】分情况讨论：①当AP=AE=5，点P在边AD上时，由勾股定理可求得底边PE的长；②当
PE=AE=5，点P在边BC上时，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出底边AP即可．
【详解】解：∵矩形ABCD
∴∠A=∠B=90°，
分两种情况：
当AP=AE=5，点P在边AD上时，如图所示：
∵∠BAD=90°，
∴PE= =5 ；当PE=AE=5，点P在边BC上时，如图所示：
∵BE=AB-AE=8-5=3，∠B=90°，
∴PB= =4，
∴底边AP= ；
综上，等腰三角形AEP的底边长是 或
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进行分类讨论是
解决问题的关键．
5．（2022·江西·统考中考真题）已知点A在反比例函数 的图象上，点B在x轴正半轴上，若
为等腰三角形，且腰长为5，则 的长为__________．
【答案】5或 或
【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．
【详解】解：①当AO=AB时，AB=5；
②当AB=BO时，AB=5；
③当OA=OB时，则OB=5，B（5，0），
设A（a， ）（a>0），
∵OA=5，
∴ ，
解得： ， ，
∴A（3，4）或（4，3），
∴AB= 或AB= ；综上所述，AB的长为5或 或 ．
故答案为：5或 或 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当时，
求出点的坐标是解题的关键．
【考向二 与直角三角形有关的分类讨论问题】
例题：（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）在 中， 为边 上的高， ，
，则 是___________度．
【答案】40或80##80或40
【分析】根据题意，由于 类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三
角形外部讨论求解．
【详解】解：根据题意，分三种情况讨论：
①高在三角形内部，如图所示：
在 中， 为边 上的高， ，
，
，
；
②高在三角形边上，如图所示：
可知 ，
，
故此种情况不存在，舍弃；
③高在三角形外部，如图所示：在 中， 为边 上的高， ，
，
，
；
综上所述： 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨
论是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）如图，在 中， ，点P为斜边
上的一个动点（点P不与点A．B重合），过点P作 ，垂足分别为点D和点E，连接
交于点Q，连接 ，当 为直角三角形时， 的长是_____________
【答案】3或
【分析】根据题意，由 为直角三角形，可进行分类讨论：①当 ；②当 两种
情况进行分析，然后进行计算，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵当 为直角三角形时，可分情况进行讨论
①当 时，如图：则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
在直角△ACP中，由勾股定理，则
；
②当 时，如图
∵ ， ，
∴四边形CDPE是矩形，
∴CQ=PQ，
∵AQ⊥CP，
∴△ACP是等腰三角形，即AP=AC=
综合上述， 的长是3或 ；
故答案为：3或 ；
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，30度直角三角形的性质等
知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，运用分类讨论的思想进行解题．
2．（2022·河南·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ，点D为AB的中点，
点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝
90°时，AQ的长为______．【答案】 或 ## 或
【分析】连接 ，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分 点在线段 上和 的延长线上，且
，勾股定理求得 即可．
【详解】如图，连接 ，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ，
， ，
，
根据题意可得，当∠ADQ＝90°时， 点在 上，且 ，
，
如图，在 中， ，
在 中，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点 的位置是解题的关
键．
【考向三 与矩形有关的分类讨论问题】
例题：（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形 为矩形， ，点E为边 上一点，
将 沿 翻折，点C的对应点为点F，过点F作 的平行线交 于点G，交直线 于点H．若
点G是边 的三等分点，则 的长是____________．【答案】 或
【分析】过点 作 于点 ，根据题意可得四边形 是平行四边形，证明 ，等面积
法求得 ，勾股定理求得 ，可得 的长，进而即可求解．
【详解】①如图，过点 作 于点 ，
，
四边形 是平行四边形
折叠
即
，
四边形 是矩形
中，
，中，
②如图，当 时，
同理可得 ，
，
，
中，
故答案为： 或
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识，注意分类
讨论是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，AD＝4，AC，BD为矩形的对角线，
E是AD边的中点，点F是CD上一点，连接EF，将△DEF沿EF折叠，当点G落在矩形对角线上时，则
折痕EF的长是 _____．【答案】 或
【分析】分两种情况，分别画出图形：当G在AC上时，连接DG交EF于M，证明∠AGD＝90°，从而
EF∥AC，得EF是△ADC的中位线，可得EF＝ ；当G在BD上，设BD交EF于N，证明
△ABD∽△DEF，可得 ＝ ，EF＝ ．
【详解】解：当G在AC上时，连接DG交EF于M，如图甲所示：
∵E是AD中点，
∴AE＝DE，
∵将△DEF沿EF折叠，
∴DE＝GE，∠DME＝∠GME＝90°，
∴AE＝DE＝GE，
∴∠EAG＝∠EGA，∠EDG＝∠EGD，
∵∠EAG+∠EGA+∠EDG+∠EGD＝180°，
∴2∠EGA+2∠EGD＝180°，
∴∠EGA+∠EGD＝90°，即∠AGD＝90°，
∴∠AGD＝∠DME，
∴EF∥AC，
∵E是AD中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF＝ AC，
∵AC＝ ＝ ＝ ＝5，
∴EF＝ ；
当G在BD上，设BD交EF于N，如图乙所示：
∵将△DEF沿EF折叠，
∴∠DNF＝90°，
∴∠DFN＝90°﹣∠FDN＝∠ADB，
∵∠EDF＝90°＝∠BAD，
∴△ABD∽△DEF，
∴ ＝ ，
∵BD＝AC＝5，DE＝ AD＝2，∴ ＝ ，
∴EF＝ ，
综上所述，折痕EF的长是 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查矩形中的翻折问题，涉及相似三角形的判定与性质，三角形的中位线等知识，解题的关
键是掌握翻折的性质．
2．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）在长为2，宽为x（ ）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一
个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形
（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为________．
【答案】 或
【分析】分析题意，根据x的取值范围不同，对剩下矩形的长宽进行讨论，求出满足题意的x值即可．
【详解】解：第一次操作后剩下的矩形两边长为 和 ，
，
又 ，
，
，
则第一次操作后，剩下矩形的宽为 ，
所以可得第二次操作后，剩下矩形一边为 ，
另一边为： ，
∵第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，
∴第二次操作后剩下矩形的长是宽的2倍，
分以下两种情况进行讨论：
①当 ，即 时 ，
第三次操作后剩下的矩形的宽为 ，长是 ，
则由题意可知： ，解得： ；
②当 ，即 时，
第三次操作后剩下的矩形的宽为 ，长是 ，
由题意得： ，
解得： ，
或者 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质以及分类讨论的数学思想方法，熟练掌握矩形，正方形性
质以及分类讨论的方法是解题的关键．
3．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，
BC上，点C，D的对应点分别在E，F且点F在矩形内部，MF的延长线交BC与点G，EF交边BC于点
H． ， ，当点H为GN三等分点时，MD的长为______．
【答案】 或4
【分析】由折叠得，∠DMN=∠GMN，EF=CD==4，CN=EN=2，∠EFM=∠D=90°，证明 得
，再分两种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，CD=AB=4，∠D=∠C=90°，
∴∠DMN=∠GNM，
由折叠得，∠DMN=∠GMN，EF=CD==4，CN=EN=2，∠EFM=∠D=90°，
∴∠GMN=∠GNM，∠GFH=∠NEH，∴GM=GN，
又∠GHE=∠NHE，
∴ ，
∴ ，
∵点H是GN的三等分点，则有两种情况：
①若 时，则有：
∴EH= ，GF=2NE=4，
由勾股定理得， ,
∴GH=2NH=
∴GM=GN=GH+NH= ，
∴MD=MF=GM-GF= ；
②若 时，则有：
∴EH= ，GF= NE=1，
由勾股定理得， ,
∴GH= NH=
∴GM=GN=GH+NH=5；
∴MD=MF=GM-GF=
综上，MD的值为 或4．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性
质等知识，进行分类讨论是解答本题的关键．
4．（2022·黑龙江·统考中考真题）在矩形ABCD中， ， ，点E在边CD上，且 ，点
P是直线BC上的一个动点．若 是直角三角形，则BP的长为________．
【答案】 或 或6
【分析】分三种情况讨论：当∠APE=90°时，当∠AEP=90°时，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延
长线于点F，即可求解．
【详解】解：在矩形ABCD中， ， ，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，如图，当∠APE=90°时，
∴∠APB+∠CPE=90°，
∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠BAP=∠CPE，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴ ，即 ，
解得：BP=6；
如图，当∠AEP=90°时，
∴∠AED+∠PEC=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠PEC，
∵∠C=∠D=90°，
∴△ADE∽△ECP，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ；
如图，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，
根据题意得∠BAF=∠ABP=∠F=90°，
∴四边形ABPF为矩形，∴PF=AB=9，AF=PB，
∵∠PAF+∠DAE=90°，∠PAF+∠APF=90°，
∴∠DAE=∠APF，
∵∠F=∠D=90°，
∴△APF∽△EAD，
∴ ，即 ，
解得： ，即 ；
综上所述，BP的长为 或 或6．
故答案为： 或 或6
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩
形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
【考向四 与菱形有关的分类讨论问题】
例题：（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，已知在菱形 中， ， ，点 是
上的一个动点，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，将 沿 折叠，使点 落在点
处，当 是直角三角形时， 的长为____．
【答案】 或
【分析】分两种情形①当 与O重合时， 是直角三角形，此时 ．②当
时， 是直角三角形，此时 ，列出方程即可解决问题．
【详解】解：如图，连接 交 于O．∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ， 是由 翻折得到，
∴ ，
①当 与O重合时， 是直角三角形，
此时 ．
②当 时， 是直角三角形，
此时 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述，满足条件的 的长为 或 ．
【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思
考问题，是由中考填空题中的压轴题．
【变式训练】
1．（2022秋·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校联考期中）已知，抛物线 上有两
点 ， ，将抛物线沿水平方向平移，平移后点A的对应点为 ，点B的对应点为 ，且四边
形 刚好为菱形，那么平移后的抛物线的顶点坐标为 _____．
【答案】 或
【分析】利用待定系数法求得函数的解析式得到顶点坐标，由四边形 为菱形，得出
，即可得出向右平移5各单位的得到新抛物线，进而即可求得平移后的抛物线的顶点坐
标．
【详解】解：根据题意得 ，解得 ，
．
，
∵四边形 为菱形，
，
，
∴顶点为 ，
∴当抛物线向右平移5个单位的抛物线的顶点为 ．
当抛物线向左平移5个单位是抛物线顶点为
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，菱形
的性质，求得抛物线的解析式是解题的关键．
2．（2022·河南信阳·校考一模）如图，在菱形 中， ， ，点 为线段 上一动点，
过点 作 交 于点 ，沿 将 折叠，点 的对称点为点 ，连接 、 、 ，当
为等腰三角形时， 的长为______．
【答案】 或 或 或 或
【分析】分类讨论：如图 ，当 时，如图 ，当 时，如图 中，当
时，分别求出即可．
【详解】解：如图 ，当 时，点 与 重合或在点 处．
当 与 重合时， 与 也重合，此时 ；在菱形 中， ，
作 于 ，
在 中， ， ， ，
；
如图 ，当 时，点 与 重合或在 处，
点 与 重合， 是 的垂直平分线，
，
当 在 处时，过 作 于 ，
则可得 ，
则 ，
；
如图 中，当 时，
，
．
综上所述：当 为等腰三角形时， 的长为 或 或 或 或 ．
故答案为 或 或 或 或 ．【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，分类讨论是解题关键．
3．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）在矩形 中， ， ，点 ， 在直线
上，且四边形 为菱形，若线段 的中点为点 ，则线段 的长为____．
【答案】 或
【分析】两种情况：①由矩形的性质得出 ，由菱形的性
质得出 ，由勾股定理求出 ，得出 ，即可求出 ；②同①得出 ，求
出 ，即可得出 的长．
【详解】解：分两种情况：
①如图1所示：
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵四边形 为菱形，
∴
∴ ，
∴ ，
∵M是 的中点，
∴ ，
∴ ；
②如图2所示：同①得： ，
∵M是 的中点，
∴ ，
∴ ；
综上所述：线段 的长为： 或 ；
故答案为： 或 ．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形和菱形的性质，并能进行推理计
算是解决问题的关键．
【考向五 与正方形有关的分类讨论问题】
例题：（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）正方形 中，E，F分别是 ， 上的点，连结 交
对角线 于点G，若 恰好平分 ， ，则 的值为______．
【答案】 或4
【分析】延长 交 于R，作 于T，不妨设 ， ， ，可证得 是等
腰三角形，可推出 ，进而表示出 ，然后解 ，从而求出x的值，进而可得结
果．
【详解】解：如图，延长 交 于R，作 于T，
，
不妨设 ， ，则 ，设 ，
四边形 是正方形，
， ，
， ， ，
，
恰好平分 ，，
，
，
，
在 中， ， ，
由勾股定理得 ，
解得 ， ，
或 ，
当 时， ，
，
当 时， ，
，
综上所述， 或4，
故答案为： 或4．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，平行线分线段成比例，勾股定理等知识点，解题
的关键是作辅助线，构造出等腰三角形．
【变式训练】
1．（2022秋·山东日照·九年级校考期末）等腰 ， ， ，正方形 的两个顶
点在 的一边上，另两个顶点在 的另两边上，则正方形 的边长为____________．
【答案】 或
【分析】分两种情况讨论：①正方形的边 在 上，根据正方形的性质，证明 ，得到
，再利用等腰三角形的性质，得到 ，由勾股定理得到 ，即可求出正方形边长；②
正方形的边 在 上，作 ，利用三角形的面积，求出 ，再证明 ，利用相似比 ，即可求出正方形边长．
【详解】解：①如图1，正方形的边 在 上，P、N分别在 、 上，过D作 交 于点
E，
设正方形边长为 ，
正方形 ，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
解得： ；
②如图2，正方形的边 在 上，P、N分别在 、 上，过D作 于点D，作 于
点G，
设正方形边长为 ，
， ， ， ，
，
，
，
，
，
解得： ，
综上所述，正方形的边长为 或 ，
故答案为： 或 ．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的额判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，
熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
2．（2022秋·江西宜春·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，正方形 的 在 轴正半轴上，边
在第一象限，且 ， ．将正方形 绕点 顺时针旋转 ，若点 对应点
恰好落在坐标轴上，则点 的对应点 的坐标为___________．
【答案】 或
【分析】由正方形 的 在 轴正半轴上，边 在第一象限，且 ， ，先求出 长，
进而得出 ，画出图形：当正方形 绕点A顺时针旋转 ，分两种情况，
①点B的对应点 恰好落在x轴正半轴上时，②点B的对应点 恰好落在y轴负半轴上时．
【详解】解：∵正方形 的 在 轴正半轴上，边 在第一象限，且 ， ，∴
，
画图如下：
当正方形 绕点A顺时针旋转 ，作 轴于E，分两种情况
①点B的对应点 恰好落在x轴正半轴上时，如图，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
在△AB′O和△EB′C′中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点C的对应点 的坐标为 ；
②点B的对应点 恰好落在y轴负半轴上时，如图，
则 ，
∴ ，
∴点C的对应点 的坐标为 ；
综上所述：点C的对应点 的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，图形的旋转变换，三角形全等，掌握正方形的性质，勾股定
理，图形的旋转变换，三角形全等，利用分两种情况考虑点 的位置求点 坐标是解题关键．
3．（2021秋·北京东城·九年级校考期末）如图，正方形 的面积为3，点 是 边上一点， ，将线段 绕点 旋转，使点 落在直线 上，落点记为 ，则 的长为______．
【答案】 或
【分析】根据正方形的性质可得 ， ，再根据旋转的性质可得
，然后利用“ ”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等可得
，然后分点F在线段 上和 的延长线上两种情况讨论求解即可．
【详解】解： 正方形 的面积为3，
， ，
根据旋转的性质可得 ，
在 和 中， ，
，
，
①点F在线段 上时， ，
②点F在 的延长线上时， ，
综上所述， 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出全等三角
形是解题的关键，难点在于要分情况讨论．
【考向六 与圆的分类讨论问题】
例题：（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，将一块三角板放置在 中，点A、B在圆上， 为
直角， ，点 为 上一点，则 的度数是 _____．【答案】 或
【分析】根据点P的位置分两种情况讨论，即可得出答案．
【详解】解：如图：
当点P在优弧 上时，连接 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当点 在劣弧 上时，连接 ， ，
∵四边形 为圆内接四边形，
∴ ，
∴ ，
综上分析可知， 的度数是 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，解题关键是利用分类
讨论的思想，数形结合．
【变式训练】
1．（2021秋·浙江湖州·九年级统考期末）在 中，弦 和弦 （ ， 都不是直径）构成的
，M，N分别是 和 的中点，则 的度数为_______．
【答案】 或【分析】连接 ，利用垂径定理得 ， ，再分类讨论，当 在圆心异侧时
（如图1），利用四边形内角和得结果；当 在圆心同侧时（如图2），利用三角形内角和定理得结
果．
【详解】解：连接 ，
∵M，N分别是 和 的中点，
∴ ， ，
当 在圆心异侧时（如图1），
∵ ， ，
∴ ；
当 在圆心同侧时（如图2），
∵ ， ，
∴ ，
综上， 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、四边形内角和定理、三角形的内角和定理；熟练掌握垂径定理，进行
分类讨论是解决问题的关键．
2．（2022秋·辽宁葫芦岛·九年级校考阶段练习）已知 是 的两条平行弦， ，
的半径为13，则弦 与 的距离为 _____．
【答案】17或7
【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：当 在点O的两侧，作 于M，延长 交 于N，连接 ，
因为 ，则 ，
，
， ，
，
∴此时弦 与 之间的距离为17；
当 在点O的同侧，作 于Q，交 于P，连接 ，
，
，
，
，
∴此时弦 与 之间的距离为7，
∴弦 与 之间的距离为17或7．
故答案为：17或7．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形．
3．（2023秋·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校考期末）已知 半径为1， 是 的一条弦，且
，则弦 所对的圆周角度数是______．
【答案】 或
【分析】根据题意画出图形，由 垂直于 ，利用垂径定理得到C为 的中点，求出AC的长，在
中，利用勾股定理求出 ，确定出 为等腰直角三角形，同理 为等腰直角
三角形，确定出 度数，利用圆周角定理即可求出 与 的度数．
【详解】解：如图所示，过O作 于C，∵ ，
∴C为 的中点，即 ，
在 中， ，
根据勾股定理得： ，即OC＝AC，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴弦 所对的圆周角为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．
4．（2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）已知点 到 上各点的最大距离为 ，最小
距离为 ，则 的半径为___________．
【答案】 或 ## 或
【分析】分类讨论，当点 在圆外时，根据圆外一点 到圆上各点的最大距离减去最小距离等于圆的直径，
当点 在圆内时，根据圆内一点 到圆上各点的最大距离加上最小距离等于圆的直径即可求解．
【详解】解：当点 在圆外时，∵ 外一点 到 上各点的最大距离为 ，最小距离为 ，
∴ 的直径为 ，
∴ 的半径为 ，
当点 在圆内时，∵ 内一点 到 上各点的最大距离为 ，最小距离为 ，
∴ 的直径为 ，∴ 的半径为 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆上各点的最大距离和最小距离求出直径是解答的关键．
【考向七 与相似有关的分类讨论问题】
例题：（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）如图，正方形 的边长为8， ， ，线
段 的两端在 、 上滑动，当 ______时， 与 相似.
【答案】2或4##4或2
【分析】根据 ， 中 ，所以在 中，分 与 和 是对应边两种情况利用
相似三角形对应边成比例求出 与 的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．
【详解】解： ，
，
又 与以 、 、 为顶点的三角形相似，
分两种情况：
① 与 是对应边时， ，
，
即 ，
解得： ；
② 与 是对应边时， ，
，
即 ，
解得： ．
综上所述：当 为4或2时， 与 相似．
故答案是：4或2．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定；利用相似三角形对应边成比例的性质
和直角三角形勾股定理求解是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）已知点P是直线 上一点，且 ，若线段的长为2，则线段 的长为______．
【答案】 或
【分析】分点P是在点B左边、点B右边两类讨论即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
当点P是在点B左边时，如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
当点P是在点B右边时，如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为 或 ．
【点睛】本题考查已知线段比例关系求线段长度问题，解题的关键是分类讨论点P的位置．
2．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点 ， ， 与
位似，位似中心是原点，且 的面积等于 面积的 ，则点 对应点 的坐标为______．
【答案】 或 ## 或
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 ,那么位似图形对应点
的坐标的比等于 或 进行计算即可．
【详解】解： 的面积等于 面积的 ，
∴位似比为 ，∵ ，位似中心是原点，
∴点 对应点 的坐标为 或 ，
故答案为： 或
【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,
那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 掌握位似图形的性质是解题的关键．
3．（2023秋·上海·九年级校考期末）在 中， ， ， ，点 在斜边 上，
把 沿直线 翻折，使得点 落在同一平面内的点 处，当 平行 的直角边时， 的
长为______．
【答案】1或3
【分析】如图1，当 ，根据平行线的性质得到 ，根据折叠的性质得到 ，
，根据三角形的面积公式得到 ，由相似三角形的性质即可得到结论；如图2，
当 ，根据折叠的性质得到 ， ， ，根据平行线的性质得到
，于是得到 ，推出 ，于是得到 ．
【详解】解： 中， ， ， ，
， ，
①如图1，当 ，
，
把 沿直线 折叠，点 落在同一平面内的 处，
，
，
，
，
，
，
，，
，即 ，
，
；
②如图2，当 ，
把 沿直线 折叠，点 落在同一平面内的 处，
， ， ，
，
，
，
，
综上所述： 的长为：1或3，
故答案为：1或3．
【点睛】本题考查了翻折变换 折叠问题，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
4．（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图， 中， ， ，点 为 中点．
点 在 右侧， ，且 ，射线 交 于点 ，若 为等腰三角形，则线段
的长为______．
【答案】 或
【分析】延长 交于点 ，分当 时，当 时，分别画出图形，根据相似三角形的性质与判定即可求解．
【详解】解：如图，延长 交于点 ，
当 时，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∵
∴ ，
∵ 是 的中点，则
∴
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
则 ，
∴ ,
在 中， ,
∴ ,
在 中， ，
，
即 ，
解得： ；
当 时，设 ，同理可得 ，
则 ，
∵
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ,
在 中， ，
在 中， ,
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵ 不平行 ，
∴不存在 的情形，
综上所述，线段 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾
股定理，分类讨论是解题的关键．
