文档内容
玉溪一中 2024-2025 学年下学期高一年级期中考
数学试卷
总分:150分，考试时间：120分钟 命题人：纳晓莎 常文浩 毛润涵 审题人：吴兆平
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求。
1.命题“∃𝑥 >0,𝑥2−𝑎𝑥+𝑏 >0”的否定是( )
A. ∃𝑥 >0,𝑥2−𝑎𝑥+𝑏 ≤0 B. ∃𝑥 ≤0,𝑥2−𝑎𝑥+𝑏 >0
C. ∀𝑥 ≤0,𝑥2−𝑎𝑥+𝑏 ≤0 D. ∀𝑥 >0,𝑥2−𝑎𝑥+𝑏 ≤0
2.已知集合𝑆 ={𝑠|𝑠 =3𝑛,𝑛 ∈𝑁}，𝑇 ={𝑡|𝑡 =6𝑧,𝑧 ∈𝑁}，则𝑆∩𝑇 =( )
A. ⌀ B. 𝑆
C. 𝑇 D. 𝑍
3.在图示正方体中，𝑂为𝐵𝐷的中点，直线𝐴 𝐶∩平面𝐶 𝐵𝐷 =𝑀，下列说法错误
1 1
的是( )
A. 𝐴，𝐶，𝐶 ，𝐴 四点共面 B. 𝐶 ，𝑀，𝑂三点共线
1 1 1
C. 𝑀 ∈平面𝐵𝐵 𝐷 𝐷 D. 𝐴 𝐶与𝐵𝐷异面
1 1 1
4.如图，点𝐴，𝐵，𝐶，𝑀，𝑁为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，
不满足直线𝑀𝑁//平面𝐴𝐵𝐶的是( )
A. B. C. D.
5.已知𝐴(2,3)，𝐵(5,1)，𝐶(𝑚,2)，且𝐴，𝐵，𝐶三点共线，则𝑚 =( )
1 3
A. B.
2 2
5 7
C. D.
2 2
6.如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是𝑅的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥(以圆柱的上
底面为底面，下底面圆心为顶点)剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得
左边几何体的截面面积为𝑆 ，截得半球的截面面积为𝑆 ，则( )
1 2
A. 𝑆 <𝑆 B. 𝑆 =𝑆
1 2 1 2
C. 𝑆 >𝑆 D. 𝑆 与𝑆 的大小关系不确定
1 2 1 2
7.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取𝐴，𝐵两点，从𝐴，𝐵两点
测得树尖的仰角分别为30∘和45∘，且𝐴，𝐵两点之间的距离为80𝑚，则树
的高度为( )
A. (40+40√ 3)𝑚 B. (40+20√ 3)𝑚
第1页，共4页C. (20+40√ 3)𝑚 D. (20+4√ 3)𝑚
8.对于任意的𝑥 ∈𝑅，[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数，例如：[1.2]=1，[−1.2]=−2.十八世纪，𝑦=[𝑥]被
“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是( )
A. 函数𝑦 =[𝑥]是奇函数
B. 函数𝑦 =𝑥−[𝑥]的值域为[0,1]
C. 函数𝑓(𝑥)=𝑥−[𝑥]最小正周期为1
D. 不等式2[𝑥]2+[𝑥]−1<0的解集为{𝑥|0<𝑥 <1}
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9.下列推理正确的是( )
3 4
A. 若sin𝛼 = ，则cos𝛼 =
5 5
𝜋 1 2𝜋 1
B. 若sin( −𝑥)= ，则sin( +𝑥)=
3 3 3 3
𝜋 1
C. 若tan(𝛼+ )=2，则tan𝛼 =
4 3
𝜋 3 24
D. 若cos( −𝛼)= ，则sin2𝛼 =
2 5 25
10.如图正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 的棱长为1，则下列四个命题中正确的是( )
1 1 1 1
A. 正方体被面𝐴𝐷 𝐶分割成两部分的体积比为1:5
1
√ 2
B. 点𝐶到平面𝐴𝐵𝐶 𝐷 的距离为
1 1 2
√ 3
C.四面体𝐴 −𝐵𝐷𝐶 的外接球体积为 𝜋
1 1 2
D. 二面角𝐶 −𝐵𝐷−𝐶的大小为60°
1
11.已知向量𝑎⃗⃗ =(1,√ 3)，𝑏⃗ =(cos𝜃,sin𝜃)(0≤𝜃 ≤𝜋)，则下列说法正确的是( )
A. 若𝑎 //𝑏⃗ ，则tan𝜃 =√ 3
B. 若𝑎 ⊥𝑏⃗ ，𝜃的值为 5𝜋
6
C. 𝑎 ⋅𝑏⃗ 的取值范围为[−√ 3,2]
D. 存在𝜃，使得|𝑎⃗⃗ −𝑏⃗ |=|𝑎⃗⃗ |+|𝑏⃗ |
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若𝑧 =−1+𝑖，则|𝑧| = ．
1
13.定义在𝑅上的函数𝑓(𝑥)满足𝑓(2𝑥)=2𝑓(𝑥)−1，且𝑓(1)+𝑓(2)=3，则𝑓( ) = ．
2
14.已知两个非零向量𝑎 与𝑏⃗ 的夹角为𝜃，我们把数量|𝑎⃗⃗ |⋅|𝑏⃗ |⋅sin𝜃叫做向量𝑎 与𝑏⃗ 的叉乘𝑎 ×𝑏⃗ 的模，记作
|𝑎⃗⃗ ×𝑏⃗ |，即|𝑎⃗⃗ ×𝑏⃗ |=|𝑎⃗⃗ |⋅|𝑏⃗ |⋅sin𝜃．
若平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为4，则|𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ×𝐴⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ |= ，
若|𝑎⃗⃗ ×𝑏⃗ |=√ 3，𝑎 ⋅𝑏⃗ =1，则|𝑎 +2𝑏⃗ |的最小值为 ．
第2页，共4页四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷,底面𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，𝑃𝐴=𝐴𝐵 =2，点
𝐸、𝐹分别是𝑃𝐵、𝐴𝐶的中点．
(1)求证：𝐸𝐹//平面𝑃𝐴𝐷;
(2)求直线𝑃𝐷与𝐴𝐶所成角的余弦值．
16．(本小题15分)如图，在四面体A−BCD中，
第3页，共4页
A D ⊥ 平面BCD，𝐵𝐶 =𝐶𝐷 =𝐴𝐷 =2，BD=2 2 ．
(1)求证：平面 A B C ⊥ 平面 A D C ；
(2)若 M 是𝐴𝐷的中点，求直线𝐵𝑀 和平面𝐴𝐷𝐶所成的角的余弦值．
𝜋 𝜋
17．(本小题15分)如图函数𝑓(𝑥)=sin (𝜔𝑥+𝜑)(𝜔 >0,− <𝜑 < ，𝑥 ∈𝑅)的部分图象．
2 2
(1)求𝜔和𝜑，并求𝑓(𝑥)的单调增区间；
7𝜋
(2)若𝑦=𝑓(𝑥)+𝑘在区间[0, ]恰好有三个零点𝛼，𝛽，𝛾（𝛼 <𝛽 <𝛾)，
6
求实数 k 的取值范围，并求𝛼+2𝛽+𝛾的值．18.(本小题17分)在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴 ，𝐵 ，𝐶 所对的边分别为𝑎 ，𝑏 ，𝑐 ，sin(𝐴−𝐵)=sin𝐶−sin𝐵．
(1)求角𝐴 ；
2√ 6
(2)若△𝐴𝐵𝐶外接圆的半径为 ．
3
(𝑖) 求△𝐴𝐵𝐶面积的最大值；
(𝑖𝑖)已知𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ∙𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ = 3 ，
2
第4页，共4页
A D 为ABC 的角平分线，求 A D 的长．
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
19.(本小题17分)双曲函数是一类与三角函数类似的函数，其中双曲正弦函数sinℎ(𝑥)= ，双曲余弦
2
𝑒𝑥+𝑒−𝑥 sinℎ(𝑥)
函数cosℎ(𝑥)= (𝑒是自然对数的底数𝑒 =2.71828⋅⋅⋅)，双曲正切函数tanℎ(𝑥)= ．
2 cosℎ(𝑥)
(1)类比三角函数的平方关系：cos2𝑥+sin2𝑥 =1写出cosℎ(𝑥)、sinℎ(𝑥)的一个平方关系并证明；
(2)判断双曲正切函数tanℎ(𝑥)的奇偶性并求tanℎ(𝑥)的值域；
(3)若关于𝑥的不等式4𝑚cosℎ2(𝑥)−2sinℎ(2𝑥)−3≥0在[ln2,+∞)上恒成立，求实数𝑚的取值范围．
