文档内容
专题 06 相似三角形
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）图形相似的性质
（1）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（2）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
（3）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
（4）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形
（二）平行线平分线段成比例
a c
（1）比例线段在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 = ，那么这四条
b d
线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
（2）比例的基本性质
a c
①基本性质： = ⇔ad＝bc；（b、d≠0）
b d
a c a±b c±d
②合比性质： = ⇔ ＝ ；（b、d≠0）
b d b d
a c m a+c+…+m
③等比性质： = ＝…＝ ＝k（b＋d＋…＋n≠0）⇔ ＝k．（b、d、…、n≠0）
b d n b+d+…+n
（3）平行线分线段成比例定理及推论
①两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
AB DE
即如图所示，若l∥l∥l，则 = ．
3 4 5 BC EFl1 l2
A D l3
B E l4
C F l5
②平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
OA OB
即如图所示，若AB∥CD，则 = ．
OD OC
A B
O
C D
③平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC．
A
D E
B C
（4）黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0．618，那么线段AB被点C黄
金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
（三）相似三角形的判定
相似三角形的判定
如图
判定1：两个三角形对应边成比例，则这两个
三角形相似
∵ ；∴
判定2：两个三角形有两个角对应相等，则这 如图
两个三角形相似 ∵ ；∴
如图
判定3：两个三角形有两边成比例，及其夹角
相等，则这两个三角形相似
∵ ； ； ∴
（四）相似三角形的性质
如图：两个三角形相似，则有对应边成比例
∵ ； ∴
如图；两个三角形相似，则有对应角相等
∵ ；
∴如图：两个三角形相似，则有对应边上中线的比
等于相似比
∵ ； ∴
如图：两个三角形相似，则有对应边上高线的比
等于相似比
∵ ； ∴
如图：两个三角形相似，则有对应角的角平分线
的比等于相似比
∵ ； ∴
如图：两个三角形相似，则两个三角形周长的比
等于相似比
∵ ；
∴
如图：两个三角形相似，则两个三角形面积的比
等于相似比
∵ ；
∴
（五）常见的相似模型
模型一：A字模型
模型二：8字模型模型三：子母模型（射影定理）
模型四：一线三等角模型
模型五：手拉手模型（旋转模型）
（六）相似三角形的应用举例（1）测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质
即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：
在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
（2）测量物体宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造
“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构
造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河
的宽度．
模块三 考点一遍过
考点1：比例的性质
典例1：如果6m=7n(n≠0)，那么下列比例式成立的是（ ）
m n m 7 m 6 m n
A． = B． = C． = D． =
7 6 6 n n 7 6 7
a c e 5
【变式1】若 = = = （b、d、f均为正数），则下列式子不一定成立的是（ ）
b d f 7
a+b 2a+c−e 5
A． =−6 B． =
a−b 2b+d−f 7
c+e a+5 a+c+e+5 5
C． = D． =
d+f b+7 b+d+f +7 7
a b c
【变式2】已知非零实数a，b，c满足 = = ，且a+b=34，c值为 ．
5 12 13
a c e 2 2a−c+e
【变式3】若 = = = ，则 = ．
b d f 3 2b−d+f
考点2：线段的比
典例2：如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长
为20m，试计算主持人应走到离A点大约（ ）m处是比较得体的位置．A．12.36m B．7.64m C．12.36m或7.64m D．13.36m
【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、
BD交于点F，则DF∶BF等于（ ）
A．2∶5 B．2∶3 C．3∶5 D．3∶2
【变式2】已知7m=2n，则(m+n)：m= ．
【变式3】如图，点P把线段AB分成两部分，且BP为AP与AB的比例中项．如果AB=2，那么
AP= ．
考点3：成比例线段
典例3：下列四组线段中，不成比例的是（ ）
A．3cm，9cm，2cm，6cm B．1cm，√3cm，√2 cm，√6 cm
C．1cm，2cm，3cm，9cm D．1cm，2cm，4cm，8cm
【变式1】下列各组中的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．a=1，b=1，c=1，d=5 B．a=1，b=√2，c=2√2，d=8
C．a=2，b=√5，c=2√3，d=√15 D．a=√2，b=3，c=2，d=8
【变式2】已知线段a=3cm，b=5cm，c=8cm，若线段a， b， c， d 是成比例线段，则线段d
的长为 ．
【变式3】下列四组线段中：①a=1，b=√2，c=√2，d=2，②a=√3cm，b=2cm，c=√2cm，
d=√6cm，③a=6cm，b=2cm，c=3cm，d=1m，④a=3cm，b=4cm，c=9cm，d=15cm；其
中a，b，c，d是成比例线段的有 ．（请填写序号）
考点4：平行线平分线段成比例
典例4：如图，AG：GD=4：1,BD：DC=2：3，则AE：EC的值是（ ）A．3:2 B．4：3 C．6:5 D．8:5
【变式1】如图，直线l ∥l ∥l ，直线a、b与l 、l 、l ，分别相交于点A、B、C和D、E、F．
1 2 3 1 2 3
已知AB=3,BC=5,EF=4，则DF的长为（ ）
32 12 20
A． B． C．2 D．
5 5 3
【变式2】如图，已知l ∥l ∥l ，AB:BC=1:2，如果DF=10，那么DE= ．
1 2 3
【变式3】如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交
点．若DH=3，则AC= ．
考点5：相似三角形的判定——证明题
典例5：如图，△ABC中，∠A=55°，∠B=45°，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且
∠ADE=80°，(1)求证△AED∽△ABC；
(2)如果AD=4，BD=6，AE=5，求CE的长．
【变式1】已知平行四边形ABCD，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F．
(1)求证：△ABE∽△ADF；
(2)若EF∥BD，求证：AB=AD．
EO DO
【变式2】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD，CE相交于点O，且 = ，
BO CO
求证：
(1)△BOE∽△COD；
(2)△ADE∽△ABC．
【变式3】如图，已知：在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，且∠BDE=∠BCA．
(1)求证：△ABE∽△BDC；
(2)如果AE=AC，求证：AC2=AD⋅AB．考点6：相似三角形的判定——添加条件
典例6：如图，△ABC中，点D是边AB上一点，点E为△ABC外一点，DE∥BC，连接BE．从
DE DB
下列条件中：①∠E=∠A；② = ．选择一个作为添加的条件，求证：△EDB∽△ABC．
BA BC
【变式1】如图，∠1=∠2
(1)要使△ABC∽△ADE，需要添加什么条件，说明理由；
(2)在（1）的条件下，如果AB=2AD， DE=2，则BC=
【变式2】如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，联结CP．要使△ACP∽△ABC，还需要补
充的一个条件是______，或______．
请回答：
(1)补充的条件是______，或______；
(2)请你参考上面的图形和结论，探究、解答下面的问题：
如图2，在△ABC中，∠A=60°，AC2=AB2+AB⋅BC．求∠B的度数．
【变式3】已知：如图，在 ABC中，点D在AC上（点D不与A，C重合）．若再添加一个条件，
就可证出 ABD∽△ACB． △
△（1）你添加的条件是 ；
（2）根据题目中的条件和添加上的条件证明 ABD∽△ACB．
考点7：相似三角形的性质——求解
△
典例7：如图，D、E分别是AB、AC上的两点，连结DE，∠BED+∠C=180°．
(1)求证：△ABC∽△ADE；
(2)若AB=6，AC=4，AD=3，求BE的长．
AE 3
【变式1】在平行四边形ABCD中，E为AD边上的一点，且 = ,CE交BD于F，BF=25cm．
DE 2
(1)求：△EDF∽△CBF．
(2)求DF的长
【变式2】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC．E是边AB上一点，CE与对角线BD交于点F，
且BE2=EF⋅EC．
求证：
(1)△ABD∼△FCB；
(2)BD⋅BE=AD⋅CE．
【变式3】如图所示，在矩形ABCD中，E是BC上一点，AF⊥DE于点F．(1)求证：DF⋅CD=AF⋅CE．
(2)若AF=4DF，CD=12，求CE的长．
考点8：相似三角形的性质——坐标
典例8：如图，点A、B、C、D的坐标分别是(1,0)、(5,0)、(3,2)、(4,1)，如果以点
C、D、E为顶点的直角三角形与△ABC相似，则E点的坐标可能是下列的（ ）
①(2,1) ②(3,1) ③(4,2) ④(5,2)
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【变式1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）
和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】如图，在直角坐标系xOy中，A(−4,0)，B(0,2)，连接AB并延长到点C，连接CO，若
△COB∽△CAO，则点C的坐标为 ．
【变式3】在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如
图5×5的方格中，作格点△ABC和△OAB相似（相似比不为1），则点C的坐标是 ．考点9：相似三角形的性质——网格
典例9：以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
PD
(1)在图①中， ＝ ；（填两数字之比）
PA
AP 3
(2)如图②，在线段AB上找一点P，使 = （利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作
BP 2
法）；
(3)如图③，大小4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A，B，C都在小正方形的格点上，请在图中画
出与△ABC相似且面积不相等的一个三角形．
【变式1】在6×6的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．
(1)在图1中将△ABC绕点C顺时针旋转90°，画出旋转得到的△A′B′C；
(2)在图2中画出一个与△ABC相似的△ACD，且使得相似比不为1．（画出一个即可）
AM 3
(3)在图3中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段AC上找一点M，使得 = ．
CM 2
【变式2】图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫
格点（网格线的交点）．△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按
下列要求画图，保留作图痕迹．AD 3
(1)在图①中，分别在边AB、AC上画点D、E，连接DE，使△ADE∽△ABC，且 = ．
AB 4
BF 2
(2)在图②中，分别在边BC、AB上画点F、G，连接FG，使△BFG∽△BCA，且 = ．
BC 3
【变式3】在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．
(1)作出一个△A B C ，使△ABC∽△A B C ；
1 1 1 1 1 1
(2)在边AC上确定一点D，使S :S =2:3．（保留作图轨迹）
△ABD △CBD
考点10：相似三角形的性质——证明
典例10：已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，BD=DC，
BD⋅BC=BE⋅AC．
(1)求证：∠ABE=∠DEB；
FD AD
(2)延长BA、ED交于点F，求证： = ．
FE DC
【变式1】如图，在锐角三角形ABC中，CE⊥AB于点E，点D在边AC上，连接BD交CE于点
F，且△BEF∽△CDF．
(1)求证：BD⊥AC；(2)求证：△AEC∽△FEB；
(3)连接AF，已知EF:BE=3:5，求AF:BC．
【变式2】如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC,DF∥AC．
(1)求证：△ADE∽△DBF．
(2)若BF=3,CF=6,AE=8，求AC的长．
【变式3】如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，点P为BC边上一动点（不与点B、C
重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B．
(1)求证：AB⋅CM=BP⋅PC；
(2)当△PCM为直角三角形时，求线段PB长度．
考点11：相似三角形的性质——尺规
典例11：如图，在△ABC中，∠A′=∠A．
(1)以线段A′B′为边，利用尺规在给出的图形上作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC．（要求：
尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在（1）中所作的图形中，若AB=5，BC=3,A′B′=8，求B′C′的长．
【变式1】“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角
形．
如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC．(1)利用尺规作∠B的平分线，交边AC于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明
字母）；
(2)证明：AD2=CD⋅CA．
【变式2】“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角
形，如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC．
(1)实践与操作：利用尺规作∠B的平分线，交边AC于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不
写作法，标明字母）；
(2)猜想与证明：请你利用所学知识，证明点D是边AC的黄金分割点．
【变式3】如图，在 ABC中，AB=AC=5，BC=6．
（1）动手操作：利用
△
尺规作以BC为直径的圆O，并标出圆O与AB的交点D，与AC的交点E，连
接DE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合应用：在你所作的圆中，
①求证：DE//BC；
②求线段DE的长．
考点12：相似三角形判定与性质综合典例12：【问题呈现】
（1）如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD、CE．求证：BD=CE．
【类比探究】
（2）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、CE，则
BD
=______．
CE
【拓展提升】
（3）如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，
∠DAE=∠BAC=30°，连接BD、CE．
BD
①求 的值；
CE
②延长CE交BD于点F，交AB于点G，求∠BFC的度数．
．
【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．在AB边上取一点E，连接DE，
使得AE=DE．
(1)求证：DE∥AC；
(2)作EF∥BC，交AC于点F，连接DE．求证：△ABC∽△≝¿．
【变式2】如图，在△ABC中，D为边AB的中点，点E在边AC上，连结ED，并延长ED至点F，
连结AF，使AF∥BC，且AF2=FD×FE．(1)求证：∠FAD=∠FEA．
(2)若AB=20，AE=13，求EC的长．
【变式3】如图， 在菱形ABCD中，∠C=60°,AB=4，点 E是边BC的中点， 连接
DE、AE、BD．
(1)求DE的长；（结果保留根号）
(2)点F 为边CD上的一点， 连接AF， 交DE于点G， 连接EF， AF⊥EF．
①求证：△AGD∽△EGF；
②求DF的长．
考点13：相似三角形的实际应用
典例13：测量路灯高度，人在路灯下的影长等
活动目标 测量路灯高度，人在路灯下的影长等
工具 皮尺、1m标杆
活动一：测 如图1，1m标杆PQ垂直于地面，PQ在路灯光源B
量路灯AB 照射下在地面产生影子PC，测量
的高度． PC=1.5m,AP=7.5m．
活动二：测
如图2，身高1.6m的同学MN站在离路灯2m远的地
量某同学
方，即AM=2m，MN在路灯光源B照射下在地面
MN的影
产生影子MD．
长．
如图，1m标杆PQ垂直于地面，PQ在相邻路灯光源
B与B′照射下在地面产生影子PF与PE，若路灯
活动三：有 AB=A′B′，通过测量猜想发现了一个有趣的结论：
趣的发现．
PF PA
=
PE PA′
根据上面数学活动记录，回答下面问题：
(1)根据活动一测得的数据计算路灯AB的高度；(2)根据活动二测得的数据计算同学MN的影长；
PF PA
(3)请证明活动三猜想的结论： = ．
PE PA′
【变式1】阿代的数学研学日记
课题：测量旗杆的高度
地点：青岛市山海二十六中学操场
时间：2025月3月2日
昨天上午代兴国老师要带我们去操场测量旗杆的高度，昨天我们小组设计了一个方案，方案如下：
小亮拿着标杆垂直于地面放置，我和小聪用卷尺测量标杆、标杆的影长和旗杆的影长，如图1所
示，标杆AB=a，影长BC=b，旗杆的影长DF=c，则可求得旗杆DE的高度为_______．
今天测量时阴天就不能用昨天的方案了，
如图2所示，张世昌老师将升旗用绳子拉直，使绳子的底端G刚好触到地面，用仪器测得绳子与地
面的夹角为37°，然后又将绳子拉到一个0.5米高的平台上，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平
台，剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的夹角为54°，利用这些数据能求出旗杆DE的高
度吗？
请你回答阿代的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75；sin54°≈0.8，cos54°≈0.58，
tan54°≈1.45）
【变式2】数学思考
(1)我国古代经典数学著作《孙子算经》有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标
杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”其大意如下：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出
它在太阳底下的影长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图1），它的影长五寸（备注：
1丈=10尺，1尺=10寸），问竹竿长多少？若设竹竿长x尺．则可列方程： _________．
解决问题
(2)数学兴趣小组的同学对某古塔进行了测量，测量方法如下：如图2，甲同学在古塔AB的影子顶端
D处竖直立一根木棒CD，并测得此时木棒的影长DE=2.4米，然后，乙同学在BD的延长线上找出一点F，使得A，C，F三点在同一直线上，并测得DF=2.5米．已知图中所有点均在同一平面内，
木棒CD=2米，AB⊥BF，CD⊥BF，根据以上测量数据，求古塔的高度AB．
【变式3】综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如
下：
【实地测量】
(1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶
端A，∠DCE=∠ACB．小组中的同学测得小康的眼睛距地面高度DE=1.5米，小康到镜面的距离
EC=3米，镜面到旗杆的距离CB=15米．求旗杆的高度．
(2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼晴D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在
一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度为1.5米，标杆高CF=4米，EF=3米，
BF=9米，DE，CF，AB均垂直于地面，DH与水平面平行．求旗杆的高度．
(3)利用测角仪测量：小华所在的小组决定先在水平地面上选取观测点E，F（E，F，B在同一直线
上），分别测得旗杆顶端A的仰角∠α=39°，∠β=28°，再测得EF=6米，点C，D到地面的距离
CF，DE均为1.5米．求旗杆的高度（参考数据：tan28°≈0.5，tan39°≈0.8）．
