高一年级期中数学答案_2025年05月试卷_0516云南省玉溪市一中2024-2025学年高一下学期期中考试_云南省玉溪市一中2024-2025学年高一下学期期中考试数学PDF版含答案（可编辑）

玉溪一中 2027 届高一年级(下)期中试卷参考答案 一、单选题： D C C D D 𝐵 A C 二、多选题： BC ABC AB 7 三、填空题：√ 2 4 2√ 3 6 四、解答题： 15. 【解析】 (1)证明：如图，点𝐹是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中𝐴𝐶中点， 连接𝐵𝐷，点𝐹是对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷的交点， 所以𝐹是𝐵𝐷的中点，𝐸是𝑃𝐵的中点， 所以𝐸𝐹//𝑃𝐷， 又因为𝐸𝐹 ⊄平面𝑃𝐴𝐷，𝑃𝐷 ⊂平面𝑃𝐴𝐷， 所以𝐸𝐹//平面𝑃𝐴𝐷； (2)由(1) 𝐸𝐹//𝑃𝐷 连接𝐴𝐸，∠𝐸𝐹𝐴或其补角即为异面直线𝑃𝐷与𝐴𝐶所成的角 由于平面𝑃𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑃𝐴⊥𝐴𝐵，𝑃𝐴⊥𝐴𝐷，又𝐴𝐵 ⊥𝐴𝐷 得𝑃𝐵 =𝑃𝐷 =𝐴𝐶 =2√2， 所以𝐴𝐸 =𝐸𝐹 =𝐴𝐹 =√2， 1 所以∠𝐸𝐹𝐴=60°, 𝑐𝑜𝑠∠𝐸𝐹𝐴= 2 1 所以𝐸𝐹与𝐵𝐷所成的角的余弦值为 ． 2 16.【解析】(1)证明：∵𝐴𝐷 ⊥平面𝐵𝐶𝐷， ∴𝐴𝐷 ⊥𝐵𝐶， 又∵𝐵𝐶 =𝐶𝐷 =2，𝐵𝐷 =2√2 ∴𝐵𝐶2+𝐶𝐷2 =𝐵𝐷2 ∴𝐵𝐶 ⊥𝐶𝐷， 所以𝐵𝐶 ⊥平面A𝐶𝐷 𝐵𝐶 ⊂平面𝐴𝐵𝐶， ∴平面𝐴𝐵𝐶 ⊥平面𝐴𝐷𝐶． (2)由(1)知𝐵𝐶 ⊥平面A𝐷𝐶， 连接𝐶𝑀,则𝐶𝑀是𝐵𝑀在面𝐴𝐷𝐶上的射影， ∴∠𝐵𝑀𝐶为𝐵𝑀与平面𝐴𝐷𝐶所的角， ∴𝑀为𝐴𝐷的中点，𝑀𝐷 =1 第1页，共3页2 ∴𝐵𝑀 =3，𝐵𝐶 =2，𝑠𝑖𝑛∠𝐵𝑀𝐶 = ． 3 𝑐𝑜𝑠∠𝐵𝑀𝐶 = √5 ． 3 17．【解析】(1)由𝑓(0)=𝑠𝑖𝑛𝜑=− √3 ，又− 𝜋 <𝜑 < 𝜋 2 2 2 𝜋 得𝜑 =− 3 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 由𝑓( )=sin ( 𝜔− )=0，得 𝜔− =2𝑘𝜋,𝑘 ∈𝑍 6 6 3 6 3 𝑇 1 2𝜋 𝜋 = ∙ > 得0<𝜔 <3 取𝑘 =0，𝜔 =2 ， 4 4 𝜔 6 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝑓(𝑥)=sin (2𝑥− )，由2𝑘𝜋− ≤2𝑥− ≤2𝑘𝜋+ ,𝑘 ∈𝑍 3 2 3 2 𝜋 5𝜋 得𝑓(𝑥)增区间[𝑘𝜋− ,𝑘𝜋+ ],𝑘 ∈𝑍; 12 12 7𝜋 (2) 𝑦 =𝑓(𝑥)+𝑘在区间[0, ]恰好有三个零点， 6 𝜋 7𝜋 即𝑓(𝑥)=sin (2𝑥− )与𝑦=−𝑘在区间[0, ]有三个交点，𝛼，𝛽，𝛾（𝛼 <𝛽 <𝛾)， 3 6 − √3 ≤−𝑘 ≤0 得0≤𝑘 ≤ √3 2 2 𝜋 7𝜋 5𝜋 11𝜋 此时𝑓(𝑥)=sin (2𝑥− )在区间[0, ]有两条对称轴𝑥 = 和𝑥 = 3 6 6 6 ∴(𝛼+𝛽)+(𝛽+𝛾)= 5𝜋 + 11𝜋 = 8𝜋 6 6 3 8𝜋 𝛼+2𝛽 +𝛾 = ． 3 18．【解析】(1) 由 sin(𝐴−𝐵)=sin𝐶−sin𝐵 得， sin(𝐴−𝐵)=sin(𝐴+𝐵)−sin𝐵 ， 所以 sin𝐵 =sin(𝐴+𝐵)−sin(𝐴−𝐵)=2cos𝐴sin𝐵 ， 又 0<𝐵 <𝜋 ，所以 sin𝐵 >0 ， 1 𝜋 所以 cos𝐴= ，因为 0<𝐴<𝜋 ，所以 𝐴 = ； 2 3 (2)由 △𝐴𝐵𝐶 外接圆的半径为 2√ 6 ，则得 𝑎 = 4√ 6 sin𝐴=2√ 2 ， 3 3 𝑏 2 +𝑐2−𝑎2 (𝑖)由余弦定理得， cos𝐴= ，即 𝑏2+𝑐2 =𝑏𝑐+8 ， 2𝑏𝑐 所以 𝑏2+𝑐2 =𝑏𝑐+8≥2𝑏𝑐 ，解得 𝑏𝑐 ≤8 ，当且仅当𝑏 =𝑐 =2√ 2时取等号， 1 所以 𝑆 = 𝑏𝑐sin𝐴 ≤2√ 3 ， ∆𝐴𝐵𝐶 2 故 △𝐴𝐵𝐶 面积的最大值为 2√ 3 ． 3  3 (𝑖𝑖) 由BAAC= ，得bccos = ，所以bc=3， 2 3 2 又因为𝑎 =2√ 2 ，由余弦定理 第2页，共3页1 𝑎2 =𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐 =(𝑏+𝑐)2−3𝑏𝑐 =8 2 所以，所以𝑏+𝑐 =√ 17 因为S =S +S ，所以 1 𝑏𝑐 √3 = 1 𝑏𝐴𝐷 1 + 1 𝑐𝐴𝐷 1 ， ABC ABD ACD 2 2 2 2 2 2 所以𝐴𝐷 = √3𝑏𝑐 = 3√ 51 ． (𝑏+𝑐) 17 𝑒𝑥+𝑒−𝑥 2 𝑒𝑥−𝑒−𝑥 2 𝑒2𝑥+𝑒−2𝑥+2 𝑒2𝑥+𝑒−2𝑥−2 19. 【解析】(1)由题意，cosℎ2(𝑥)−sinℎ2(𝑥)=( ) −( ) = − =1 ; 2 2 4 4 𝑒𝑥+𝑒−𝑥 2 𝑒𝑥−𝑒−𝑥 2 𝑒2𝑥+𝑒−2𝑥+2 𝑒2𝑥+𝑒−2𝑥−2 𝑒2𝑥+𝑒−2𝑥 或者cosℎ2(𝑥)+sinℎ2(𝑥)=( ) +( ) = + = ； 2 2 4 4 2 sinℎ(𝑥) (2) tanℎ(𝑥)= ,𝑥 ∈𝑅, cosℎ(𝑥) 𝑒−𝑥−𝑒𝑥 sinℎ(−𝑥)= =−sinh (𝑥) 2 𝑒−𝑥+𝑒𝑥 cosℎ(−𝑥)= =cosh (𝑥) 2 sinℎ(−𝑥) −sinℎ(𝑥) ∴tanℎ(−𝑥)= = =−tanh(𝑥)，tanℎ(𝑥)是奇函数 cosℎ(−𝑥) cosℎ(𝑥) 𝑒𝑥−𝑒−𝑥 𝑒2𝑥−1 𝑒2𝑥+1−2 2 tanℎ(𝑥)= = = =1− 𝑒𝑥+𝑒−𝑥 𝑒2𝑥+1 𝑒2𝑥+1 𝑒2𝑥+1 tanℎ(𝑥)在𝑅是增函数， 𝑒2𝑥 >0, 𝑒2𝑥+1>1得0< 2 <2 𝑒2𝑥+1 2 ∴1− 得tanℎ(𝑥)∈(−1,1)； 𝑒2𝑥+1 𝑒𝑥+𝑒−𝑥 2 𝑒2𝑥−𝑒−2𝑥 (3)由题意可知4𝑚( ) −2( )−3≥0在[ln2,+∞)上恒成立， 2 2 𝑒2𝑥−𝑒−2𝑥+3 𝑒4𝑥+3𝑒2𝑥−1 整理得𝑚 ≥ = 在[ln2,+∞)上恒成立， 𝑒2𝑥+𝑒−2𝑥+2 (𝑒2𝑥+1) 2 𝑒4𝑥+3𝑒2𝑥−1 令𝑓(𝑥)= ， (𝑒2𝑥+1) 2 (𝑒2𝑥+1) 2 +(𝑒2𝑥+1)−3 −3 1 则𝑓(𝑥)= = + +1， (𝑒2𝑥+1) 2 (𝑒2𝑥+1) 2 𝑒2𝑥+1 1 令𝑡 = ，因为𝑥 ≥ln2，所以𝑒2𝑥 ≥𝑒2ln2 =4， 𝑒2𝑥+1 1 1 所以𝑒2𝑥+1≥5，所以0< ≤ ， 𝑒2𝑥+1 5 1 所以𝑦 =−3𝑡2+𝑡+1,𝑡 ∈(0, ], 5 1 2 13 因为𝑦 =−3𝑡2+𝑡+1=−3(𝑡− ) + ， 6 12 1 1 1 13 所以函数𝑦 =−3𝑡2+𝑡+1在(0, ]上单调递增，在( , ]上单调递减，所以𝑦≤ ， 6 6 5 12 13 13 故𝑚 ≥𝑦 = ，即𝑚的取值范围为[ ,+∞)． max 12 12 第3页，共3页