高一数学_2025年12月高一试卷_251215四川省成都市树德中学2025-2026学年高一上学期期中考试（全）

树德中学高2025级高一上学期半期考试数学试题 命题人：叶强 审题人：肖兴佳、洪晓蕾、严芬 本试卷满分150分，考试时间120分钟 第一部分(选择题 共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.命题“∃x>1，lnx-x+1>0”的否定为 ( ) A. ∃x>1，lnx-x+1≤0 B. ∃x≤1，lnx-x+1>0 C. ∀x≤1，lnx-x+1>0 D. ∀x>1，lnx-x+1≤0 a2 2.计算 的结果为 ( ) a∙ 3a2 3 1 5 6 A. a2 B. a2 C. a6 D. a5. 3.已知非零实数a，b，c，且a>b，则下列式子中一定成立的是 ( ) b+c b A. a2>b2 B. 2a>2b C. > D. ac>bc a+c a 1 4.若函数f(x)= 2  x ，函数f(x)与函数g(x)图象关于直线y=x对称，则函数g4-x2  的单调 递减区间是 ( ) A. [-2,0) B. (-2,0] C. (0,2] D. [0,2) 5.已知函数fx  =log 2ax+b  a>0,b>0  恒过定点2,0  b 1 ，则 + 的最小值为( )． a b A. 2 2+1 B. 2 2 C. 3 D. 2+2 3 6.设a=log 3，b=0.30.2，c= ，则 ( ) 2 2 A. a0，则b>0 1 4 B. 若x =-1,x =4，则bx+c>0的解集为-∞,- 1 2 3  C. 若x 1 =-1,x 2 =4，则cx2+2bx-2a>0的解集为-∞,-1  1 ∪- ,+∞ 2  D. 若b=-4a，则c<4a 11.已知Px 1 ,y 1  ，Qx 2 ,y 2  y -y ，定义直线PQ的斜率为k = 2 1 ，对数函数y=log x与y= PQ x -x 4 2 1 log x的图象如图所示，过原点O的直线交y=log x的图象于不同的A，B两点，过点A，B分 2 4 别作y轴的平行线交y=log x于C，D两点，交x轴于M，N两点，则 ( ) 2 A. O，C，D三点共线 B. 梯形CDNM的面积为梯形ABNM面积的2倍 C. k +k =2k AD BC AB 1 D. 当BC⎳x轴时，点A坐标为2, 2  第二部分(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 27 12.计算： 8  1 4 3 +2log 2-log -log 8⋅log 3= . 3 39 9 2 13.已知函数fx  =x2+bx+c（，b,c为实数）则“f2  =f-2  ”是“fx  为偶函数”的 条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空) 2x-1 14.已知函数f(x)=  , x≤1 log (x-1) 2    ，若方程f(x)=a有四个不同的解x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ，则a的 , x>1 x +x +4 取值范围是 ，若x 0,B= x  2    x2-5x+6 >1   ． (1)(7分)当a=1时，求A∩∁ B； U (2)(6分)若x∈A是x∈B的必要非充分条件，求实数a的取值范围． 16.（15分）猴痘是由猴痘病毒所致的一种人畜共患病，既往猴痘疫情主要在非洲地区流行，2022 年后逐渐扩散至全球大多数国家和地区，2022年1月至2024年7月31日，全球已经有121个 国家报告了猴痘病例103048例，其中死亡229例.2024年8月，世卫组织宣布猴痘疫情构成“国 际关注的突发公共卫生事件”.猴痘病毒经过变异之后传染性极强，假设猴痘病毒在特定环境 下具有下表传染规律：每隔单位时间数进行一次记录，用xx∈N*  表示经过的单位时间数，用 y表示猴痘感染人数. x ⋯ 2 4 6 8 ⋯ y ⋯ 8 64 511 4097 ⋯ (1)(8分)若从y=m⋅xnm≠0,n≠0  18.已知函数fx 与y=k⋅ax(k≠0,a>0且a≠1)两个函数模型中选择 一个来刻画猴痘病毒感染规律，请推理说明选择哪一个更合适，并写出其对应的的解析式； (2)(7分)求至少经过多少个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人.(参考数据： 2≈ 1.414,lg2≈0.301) a-1 17.（15分）已知函数f(x)=1- (a>0且a≠1)为定义在R上的奇函数. ax+1 (1)(3分)求a的值； (2)(6分)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明； (3)(6分)解关于x的不等式f(log x)+f(3x-3)<0. 3  =3x与函数gx  =log 2 x，函数φx  =g2+x  +g2-x  的定义域为D. (1) (4分)求φx  的定义域D和值域； (2) (6分)若存在x∈D，使得mf2x  ≥1-fx  成立，求m的取值范围； (3) (7分)已知函数y=hx  的图象关于点Pa,b  中心对称的充要条件是函数y=hx+a  1 -b为奇函数.利用上述结论，求函数y= fx  的对称中心. +3 19.（17分）若函数fx  的定义域为0,+∞  ，且满足fx  1 +f x  =0，则称fx  为“德函数”. (1)(5分)分别判断下列函数是否为“德函数”，并说明理由； ①hx  =log a x(a>0,a≠1)； ②fx  1 =x+ x>0 x  ； ③gx  x+lnx, x>1   0, x=1 = .   1 lnx- , 00,a ≠1)，若fx  在0,+∞  上的值域为R，求a的取值范围. 高一数学 2025-12 第2页 共2页树德中学高2025级高一上学期半期考试数学试题参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1—8. DCBB ACDB 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. ACD 10. BD 11. ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 2 13. 充要 14. 0,1  ; -∞,2  四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 x-1 15.(1)当a=1时，对于集合A， <0，即x-1 x-3  x-3  <0，解得11= 2  0 1 ，因y= 2  t 单调递减，故x2-5x+6<0， 即x-2  x-3  <0，解得20,a>1  k⋅a2=8, ，将x=2,y=8和x=4,y=64代入得  ， k⋅a4=64 解得   k=1, ，得y=( 8)x，代入x=6得y=512,x=8得y=4096，与表中数据接近， a= 8 ∴y=( 8)x适合作为拟合猴痘病毒感染规律的函数模型；……………………………………8分 (2)设至少需要x个单位时间数，则( 8)x>100000，两边同时取底数为10的对数得xlg 8>5， 3 即x⋅lg22  3 10 10 >5，∴ x⋅lg2>5，又∵lg2≈0.301，∴x> ≈ ≈11.074， 2 3lg2 0.903 ∵x∈N*,∴x的最小值为12， 即至少经过12个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人.……………………………15分 17.【解析】(1)证明：由函数fx  为奇函数，有f0  当a=3时，fx a-1 =1- =0，解得a=3， 2  2 =1- ，f-x 3x+1  2 2×3x 2×3x+1 =1- =1- =1- 1 3x+1 +1 3x  -2 =-1+ 3x+1 2 =-f-x 3x+1  ，符合函数fx  为奇函数，可知a=3符合题意．……………………………3分 (2)设x >x ， 2 1 有fx 2  -fx 1  2 =1- 3x2+1  2 -1- 3x1+1  2 2 23x2-3x1 = - = 3x1+1 3x2+1  3x1+1  3x2+1  ， 由x 2 >x 1 ，有3x2>3x1，有fx 2  >fx 1  ，故函数fx  在R上单调递增；…………………………9分 (3)由f(log x)+f(3x-3)<0⇔f(log x)<-f(3x-3)=f(3-3x) 3 3 从而log x<3-3x，可得3x+log x-3<0， 3 3 令gx  =3x+log 3 x-3，可知fx  的定义域为0,+∞  ， 因为y=3x,y=log 3 x在定义域0,+∞  上单调递增， 可知fx  在定义域0,+∞  上单调递增，且f1  =0， 对于不等式即为fx  0，解得x∈-2,2  . 因为φx  =log 22+x  2-x  =log 24-x2  ，0<4-x2≤4， 所以φx  ≤log 2 4=2，所以φx  的定义域为-2,2  ，值域为-∞,2  .…………………………4分 (2)因为mf2x  ≥1-fx  ，所以m32x+3x-1≥0. 因为x∈-2,2  1 ，所以3x∈ ,9 9  1 .令t=3x，则t∈ ,9 9  ，则不等式变为mt2+t-1≥0， 1-t 1 1 1 1 所以m≥ = - = - t2 t2 t t 2  2 1 - . 4 1 因为t∈ ,9 9  1 1 ，所以 ∈ ,9 t 9  1 1 1 ，所以- ≤ - 4 t 2  2 1 - ≤72. 4 1 所以存在x使得不等式成立，则m的取值范围是m≥- .……………………………………10分 4 (3)设y=hx  1 = fx  的对称中心为a,b +3  ，则函数tx  =hx+a  -b是奇函数， 即tx  1 = -b是奇函数，则t-x 3x+a+3  +tx  1 1 = -b+ -b=0恒成立， 3-x+a+3 3x+a+3 3x+a+3-x+a+6 所以  -2b31-x+a+31+x+a+32a+9  3-x+a+3  3x+a+3  =0恒成立， 所以3x+a+3-x+a+6  -2b31-x+a+31+x+a+32a+9  =0恒成立。 所以1-6b  3x+a+3-x+a  +23-b32a-9b  =0. 因为上式对任意实数x恒成立，所以  1-6b=0 ， 3-b32a-9b=0 1 b= 1 解得 6 .所以函数y= a=1 fx  1 图象的对称中心为1, +3 6  .………………………………17分 高一数学 2025-12 第1页 共2页19.【详解】(1)①hx  1 +h x  1 =log x+log  a a x  =log 1=0，所以为“德函数” a ②fx  1 +f x  1 1 =x+ + +x≠0，所以不为“德函数” x x 1 ③当x>1时，则 ∈(0,1)，从而gx x  1 +g x  1 1 =x+lnx+ln - =0 x 1 x 1 当x∈(0,1)时，则 >1从而gx x  1 +g x  1 1 1 =lnx- + +ln =0 x x x 当x=1时，g1  =0，所以为“德函数”……………………………………………………………5分 (2)任取x 1 ,x 2 ∈0,+∞  ，且x 0在1,+∞  4 恒成立。∴x2+4>ax⇔x+ x  >a⇔a<4 min ∴05-a 则y=g(t)=log t-2单调递减 a 从而fx  =log ax2-ax+4  -2在1,+∞  单调递减，∴fx  ∈-∞,log a (5-a)-2  ⊇-∞,0  -1- 21 -1+ 21 ∴log (5-a)≥2=log a2⇔0<5-a≤a2⇔a≤ 或5>a≥ (舍去) a a 2 2 ①1a≥ a a 2 2 ∴a∈   -1+ 21 ，2  2  a (ii)2