高一数学_2025年12月高一试卷_251215四川省成都市树德中学2025-2026学年高一上学期期中考试（全）

树德中学高2025级高一上学期半期考试数学试题
命题人：叶强 审题人：肖兴佳、洪晓蕾、严芬
本试卷满分150分，考试时间120分钟
第一部分(选择题 共58分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1.命题“∃x>1，lnx-x+1>0”的否定为 ( )
A. ∃x>1，lnx-x+1≤0 B. ∃x≤1，lnx-x+1>0
C. ∀x≤1，lnx-x+1>0 D. ∀x>1，lnx-x+1≤0
a2
2.计算 的结果为 ( )
a∙ 3a2
3 1 5 6
A. a2 B. a2 C. a6 D. a5.
3.已知非零实数a，b，c，且a>b，则下列式子中一定成立的是 ( )
b+c b
A. a2>b2 B. 2a>2b C. > D. ac>bc
a+c a
1 4.若函数f(x)= 2  x ，函数f(x)与函数g(x)图象关于直线y=x对称，则函数g4-x2  的单调
递减区间是 ( )
A. [-2,0) B. (-2,0] C. (0,2] D. [0,2)
5.已知函数fx  =log 2ax+b  a>0,b>0  恒过定点2,0 
b 1
，则 + 的最小值为( )． a b
A. 2 2+1 B. 2 2 C. 3 D. 2+2
3
6.设a=log 3，b=0.30.2，c= ，则 ( )
2 2
A. a<c<b B. a<b<c C. b<c<a D. c<b<a
7.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，若f(-4)=0，则不等式
(x-2)f(x  )<0的解集是( )
A. (-4,4) B. (-∞,-4)∪(4,+∞)
C. (-4,0)∪(4,+∞) D. (-4,2)∪(4,+∞)
8.若f(x)=ln 4x2+1+2x 
1
+lna+
2-x
 +b是奇函数，则log a
2

9.下列说法中正确的是 ( )
A. 已知幂函数fx
b
+e2 的值为 ( )
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
 =3m2-2m  xm在0,+∞ 
1
上是严格减函数，则m=-
3
5
B. 函数y=f(3x+2)的定义域为 - ,1  3 
f(x)
，则函数y= 的定义域为1,5 x-1 
C. 已知函数f x+1  =x+3，则f(x)=x2-2x+4(x≥1)
D. 函数fx  =log a2-3ax  在区间1,2 
1
上单调递增，则a∈0,
3

10.若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为xx
1
<x<x
2
 ，x <x ，a,b,c均为实数，则下列
1 2
正确的有 ( )
A. 若x >0，则b>0
1
4
B. 若x =-1,x =4，则bx+c>0的解集为-∞,-
1 2 3

C. 若x 1 =-1,x 2 =4，则cx2+2bx-2a>0的解集为-∞,-1 
1
∪- ,+∞ 2 
D. 若b=-4a，则c<4a
11.已知Px 1 ,y 1  ，Qx 2 ,y 2  y -y ，定义直线PQ的斜率为k = 2 1 ，对数函数y=log x与y= PQ x -x 4
2 1
log x的图象如图所示，过原点O的直线交y=log x的图象于不同的A，B两点，过点A，B分
2 4
别作y轴的平行线交y=log x于C，D两点，交x轴于M，N两点，则 ( ) 2
A. O，C，D三点共线
B. 梯形CDNM的面积为梯形ABNM面积的2倍
C. k +k =2k AD BC AB
1
D. 当BC⎳x轴时，点A坐标为2,
2

第二部分(非选择题 共92分)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
27
12.计算：
8

1 4
3 +2log 2-log -log 8⋅log 3= .
3 39 9 2
13.已知函数fx  =x2+bx+c（，b,c为实数）则“f2  =f-2  ”是“fx  为偶函数”的
条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空)
2x-1 14.已知函数f(x)=  , x≤1
log (x-1)
2

  ，若方程f(x)=a有四个不同的解x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ，则a的
, x>1
x +x +4
取值范围是 ，若x <x <x <x ，则x +x + 3 4 的取值范围是 ．
1 2 3 4 1 2 x x
3 4
高一数学 2025-12 第1页 共2页四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
x-a 15.（13分）已知全集为U=R．集合A=x <0  x-3a  1 ，常数a>0,B= x  2    x2-5x+6 >1   ．
(1)(7分)当a=1时，求A∩∁ B；
U
(2)(6分)若x∈A是x∈B的必要非充分条件，求实数a的取值范围．
16.（15分）猴痘是由猴痘病毒所致的一种人畜共患病，既往猴痘疫情主要在非洲地区流行，2022
年后逐渐扩散至全球大多数国家和地区，2022年1月至2024年7月31日，全球已经有121个
国家报告了猴痘病例103048例，其中死亡229例.2024年8月，世卫组织宣布猴痘疫情构成“国
际关注的突发公共卫生事件”.猴痘病毒经过变异之后传染性极强，假设猴痘病毒在特定环境
下具有下表传染规律：每隔单位时间数进行一次记录，用xx∈N*  表示经过的单位时间数，用
y表示猴痘感染人数.
x ⋯ 2 4 6 8 ⋯
y ⋯ 8 64 511 4097 ⋯
(1)(8分)若从y=m⋅xnm≠0,n≠0 
18.已知函数fx
与y=k⋅ax(k≠0,a>0且a≠1)两个函数模型中选择
一个来刻画猴痘病毒感染规律，请推理说明选择哪一个更合适，并写出其对应的的解析式；
(2)(7分)求至少经过多少个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人.(参考数据： 2≈
1.414,lg2≈0.301)
a-1
17.（15分）已知函数f(x)=1- (a>0且a≠1)为定义在R上的奇函数.
ax+1
(1)(3分)求a的值；
(2)(6分)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；
(3)(6分)解关于x的不等式f(log x)+f(3x-3)<0.
3
 =3x与函数gx  =log 2 x，函数φx  =g2+x  +g2-x  的定义域为D.
(1) (4分)求φx  的定义域D和值域；
(2) (6分)若存在x∈D，使得mf2x  ≥1-fx  成立，求m的取值范围；
(3) (7分)已知函数y=hx  的图象关于点Pa,b  中心对称的充要条件是函数y=hx+a 
1
-b为奇函数.利用上述结论，求函数y=
fx 
的对称中心.
+3
19.（17分）若函数fx  的定义域为0,+∞  ，且满足fx 
1
+f
x
 =0，则称fx  为“德函数”.
(1)(5分)分别判断下列函数是否为“德函数”，并说明理由；
①hx  =log a x(a>0,a≠1)； ②fx 
1
=x+ x>0 x  ； ③gx 
x+lnx, x>1
 
0, x=1
= . 
 1
lnx- , 0<x<1  x
(2)(5分)若“德函数”fx  在0,1  上单调递增，求证：fx  在0,+∞  上单调递增；
(3)(7分)已知fx  为“德函数”，且当x∈1,+∞  时，fx  =log ax2-ax+4  -2,(a>0,a
≠1)，若fx  在0,+∞  上的值域为R，求a的取值范围.
高一数学 2025-12 第2页 共2页树德中学高2025级高一上学期半期考试数学试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1—8. DCBB ACDB
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. ACD 10. BD 11. ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 2 13. 充要 14. 0,1  ; -∞,2 
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
x-1
15.(1)当a=1时，对于集合A， <0，即x-1
x-3
 x-3  <0，解得1<x<3，故A=1,3  .
1
对于集合B，
2

x2-5x+6 1
>1=
2

0 1
，因y=
2

t
单调递减，故x2-5x+6<0，
即x-2  x-3  <0，解得2<x<3，故B=2,3  .则∁ B= -∞,2 ∪
U
  3,+∞  ，
因此A∩∁ B=1,2
U
 .………………………………………………………………………………7分
(2)由(1)知B=2,3 
x-a
.对于集合A， <0，即x-a
x-3a
 x-3a  <0.
A=a,3a  .因x∈A是x∈B的必要非充分条件，故B是A的真子集，
则  a≤2 ，且等号不同时成立，解得1≤a≤2.实数a的取值范围是1,2
3a≥3
 .…………………13分
m⋅2n=8, m=1,
16.(1)若选y=mxn，将x=2,y=8和x=4,y=64代入得

，解得

，
m⋅4n=64 n=3
得y=x3，代入x=6得y=216，这与题干x=6时y=511差异很大，所以该函数模型不适合：
若选y=k⋅axk>0,a>1 
k⋅a2=8,
，将x=2,y=8和x=4,y=64代入得  ，
k⋅a4=64
解得 

k=1, ，得y=( 8)x，代入x=6得y=512,x=8得y=4096，与表中数据接近，
a= 8
∴y=( 8)x适合作为拟合猴痘病毒感染规律的函数模型；……………………………………8分
(2)设至少需要x个单位时间数，则( 8)x>100000，两边同时取底数为10的对数得xlg 8>5，
3 即x⋅lg22  3 10 10 >5，∴ x⋅lg2>5，又∵lg2≈0.301，∴x> ≈ ≈11.074，
2 3lg2 0.903
∵x∈N*,∴x的最小值为12，
即至少经过12个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人.……………………………15分
17.【解析】(1)证明：由函数fx  为奇函数，有f0 
当a=3时，fx
a-1
=1- =0，解得a=3，
2

2
=1- ，f-x
3x+1

2 2×3x 2×3x+1
=1- =1- =1-
1 3x+1
+1
3x
 -2
=-1+
3x+1
2
=-f-x
3x+1
 ，符合函数fx  为奇函数，可知a=3符合题意．……………………………3分
(2)设x >x ，
2 1
有fx 2  -fx 1 
2
=1- 3x2+1 
2
-1- 3x1+1 
2 2
23x2-3x1
= - = 3x1+1 3x2+1

3x1+1

3x2+1

，
由x 2 >x 1 ，有3x2>3x1，有fx 2  >fx 1  ，故函数fx  在R上单调递增；…………………………9分
(3)由f(log x)+f(3x-3)<0⇔f(log x)<-f(3x-3)=f(3-3x)
3 3
从而log x<3-3x，可得3x+log x-3<0，
3 3
令gx  =3x+log 3 x-3，可知fx  的定义域为0,+∞  ，
因为y=3x,y=log 3 x在定义域0,+∞  上单调递增，
可知fx  在定义域0,+∞  上单调递增，且f1  =0，
对于不等式即为fx  <f1  ，解得0<x<1，所以不等式log 3 x<3-3x的解集是0,1  .……15分
18.(1)因为φx  =g2+x  +g2-x  =log 22+x  +log 22-x  =log 22+x  2-x  .
所以要使得φx  有意义，则2+x  2-x  >0，解得x∈-2,2  .
因为φx  =log 22+x  2-x  =log 24-x2  ，0<4-x2≤4，
所以φx  ≤log 2 4=2，所以φx  的定义域为-2,2  ，值域为-∞,2  .…………………………4分
(2)因为mf2x  ≥1-fx  ，所以m32x+3x-1≥0.
因为x∈-2,2 
1
，所以3x∈ ,9
9

1
.令t=3x，则t∈ ,9
9
 ，则不等式变为mt2+t-1≥0，
1-t 1 1 1 1
所以m≥ = - = -
t2 t2 t t 2

2 1
- .
4
1
因为t∈ ,9
9

1 1
，所以 ∈ ,9
t 9

1 1 1
，所以- ≤ -
4 t 2

2 1
- ≤72.
4
1
所以存在x使得不等式成立，则m的取值范围是m≥- .……………………………………10分
4
(3)设y=hx 
1
=
fx 
的对称中心为a,b
+3
 ，则函数tx  =hx+a  -b是奇函数，
即tx 
1
= -b是奇函数，则t-x
3x+a+3
 +tx 
1 1
= -b+ -b=0恒成立，
3-x+a+3 3x+a+3
3x+a+3-x+a+6
所以
 -2b31-x+a+31+x+a+32a+9 
3-x+a+3  3x+a+3 
=0恒成立，
所以3x+a+3-x+a+6  -2b31-x+a+31+x+a+32a+9  =0恒成立。
所以1-6b  3x+a+3-x+a  +23-b32a-9b  =0.
因为上式对任意实数x恒成立，所以

1-6b=0 ，
3-b32a-9b=0
1
b= 1
解得 6 .所以函数y=
a=1 fx 
1
图象的对称中心为1,
+3 6
 .………………………………17分
高一数学 2025-12 第1页 共2页19.【详解】(1)①hx 
1
+h x 
1
=log x+log  a a x  =log 1=0，所以为“德函数” a
②fx 
1
+f x 
1 1
=x+ + +x≠0，所以不为“德函数” x x
1
③当x>1时，则 ∈(0,1)，从而gx x 
1
+g x 
1 1
=x+lnx+ln - =0 x 1
x
1 当x∈(0,1)时，则 >1从而gx
x
 1 +g
x
 1 1 1 =lnx- + +ln =0
x x x
当x=1时，g1  =0，所以为“德函数”……………………………………………………………5分
(2)任取x 1 ,x 2 ∈0,+∞  ，且x <x 1 2
①若0<x 1 <x 2 ≤1，由于fx  在0,1  上单调递增，则fx 1  <fx 2 
1 1
若1≤x 1 <x 2 ，则0< x < x ≤1，由于fx
2 1
 在0,1 
1
上单调递增，则f x
2

1
<f x
1
 ，结合“德函
数”的定义，有fx 1  <fx 2  即fx  在1,+∞  上单调递增
若0<x 1 <1<x 2 ，由①②，则有fx 1  <f1  =0<fx 2  ，故fx  在0,+∞  上单调递增…10分
(3)令x∈1,+∞  时，fx  =log ax2-ax+4  -2的值域为A ，
根据“德函数”的定义，要使若fx  在0,+∞  上的值域为R，
只需A⊇0,+∞  或者A⊇-∞,0  即可。
因为x2-ax+4>0在1,+∞ 
4
恒成立。∴x2+4>ax⇔x+
x
 >a⇔a<4
min
∴0<a<4且a≠1
a
①0<a<1,令t=x2-ax+4=x-
2

2 a2
+4- 在1,+∞
4
 单调递增，从而t>5-a
则y=g(t)=log t-2单调递减
a
从而fx  =log ax2-ax+4  -2在1,+∞  单调递减，∴fx  ∈-∞,log a (5-a)-2  ⊇-∞,0 
-1- 21 -1+ 21
∴log (5-a)≥2=log a2⇔0<5-a≤a2⇔a≤ 或5>a≥ (舍去)
a a 2 2
①1<a<4
1 a a
(i)1<a≤2，则 < ≤1，则t=x2-ax+4=x-
2 2 2

2 a2
+4- 在1,+∞
4
 单调递增
而y=g(t)=log t-2单调递增
a
从而fx  =log ax2-ax+4  -2在1,+∞  单调递增，
∴fx  ∈log a (5-a)-2,+∞  ⊇0,+∞ 
-1- 21 -1+ 21
∴log (5-a)≤2=log a2⇔0<5-a≤a2⇔a≤ 或5>a≥
a a 2 2
∴a∈   -1+ 21 ，2
 2

a
(ii)2<a<4，则1< <2，
2
a
则t=x2-ax+4=x-
2

2 a2 a
+4- 在1,
4 2

a
单调递减， ,+∞
2

从而fx
在单调递增
而y=g(t)=log t-2单调递增
a
 =log ax2-ax+4 
a
-2在1, 2 
a
单调递减， ,+∞ 2  在单调递增，
∴fx 
a2
∈ log 4- a 4   -2,+∞  ⊇0,+∞ 
a2 ∴log 4- a 4  a2 16 ≤2=log a2⇔0<4- ≤a2⇔ ≤a2<16且2<a<4，∴a∈2，4 a 4 5 
综上所述∴a∈   -1+ 21 ，4  2  ……………………………………………………………………17分
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