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挑战 20 2 3 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题33圆与新定义综合问题
【例1】（2022•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于
x轴的对称点为P ，点P关于y轴的对称点为P ，称△P PP 为点P的“关联三角形”．
1 2 1 2
（1）已知点A（1，2），求点A的“关联三角形”的面积；
（2）如图，已知点B（m，m）， T的圆心为T（2，2），半径为2．若点B的“关联
三角形”与 T有公共点，直接写出m的取值范围；
⊙
（3）已知 O的半径为r，OP＝2r，若点P的“关联三角形”与 O有四个公共点，直
⊙
接写出∠PP P 的取值范围．
⊙1 2 ⊙
【例2】2022•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中， O的半径为1，AB＝1，且A，B
两点中至少有一点在 O外．给出如下定义：平移线段AB，得到线段A′B′（A′，
⊙
B′分别为点A，B的对应点），若线段A′B′上所有的点都在 O的内部或 O上，
⊙
则线段AA′长度的最小值称为线段AB到 O的“平移距离”．
⊙ ⊙
（1）如图1，点A ，B 的坐标分别为（﹣3，0），（﹣2，0），线段A B 到 O的
1 1 ⊙ 1 1
⊙
“平移距离”为 ，点A ，B 的坐标分别为（﹣ ， ），（ ， ），线段
2 2
A B 到 O的“平移距离”为 ；
2 2
（2）若⊙点A，B都在直线y＝ x+2 上，记线段AB到 O的“平移距离”为d，求
d的最小值；
⊙
（3）如图2，若点A坐标为（1， ），线段AB到 O的“平移距离”为1，画图并
说明所有满足条件的点B形成的图形（不需证明）．
⊙【例3】（2022•开福区校级一模）我们不妨定义：有两边之比为1： 的三角形叫敬“勤
业三角形”．
（1）下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是 ；（填序号）
①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三
角形．
（2）如图1，△ABC是 O的内接三角形，AC为直径，D为AB上一点，且BD＝
2AD，作DE⊥OA，交线段OA于点F，交 O于点E，连接BE交AC于点G．试判断
⊙
⊙
△AED和△ABE是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出 的值；如果
不是，请说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，当AF：FG＝2：3时，求∠BED的余弦值．
【例4】（2022•清苑区二模）【问题提出】
如图1， O与直线a相离，过圆心O作直线a的垂线，垂足为H，且交 O于P、Q两
点（Q在P、H之间）．我们把点P称为 O关于直线a的“远点”，把PQ•PH的值称
⊙ ⊙
为 O关于直线a的“远望数”．
⊙
⊙（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），过点E画垂直于y轴
的直线m，则半径为1的 O关于直线m的“远点”坐标是 ，直线m向下平移
个单位长度后与 O相切．
⊙
（2）在（1）的条件下求 O关于直线m的“远望数”．
⊙
【拓展应用】
⊙
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（6 ，0），与y轴交于点
N，点F坐标为（1，2），以F为圆心，OF为半径作 F．若 F与直线l相离，O是
F关于直线l的“远点”．且 F关于直线l的“远望⊙数”是⊙12 ，求直线l的函数
表达式．
⊙ ⊙
一．解答题（共20题）
1．（2022•长沙县校级三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形
中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”．例
如：如图1，在△ABC中，AD为边BC上的中线，△ABD与△ABC相似，那么称△ABC
为关于边BC的“优美三角形”．
（1）如图2，在△ABC中，BC＝ AB，求证：△ABC为关于边BC的“优美三角形”；
（2）如图3，已知△ABC为关于边BC的“优美三角形”，点D是△ABC边BC的中点，
以BD为直径的 O恰好经过点A．
①求证：直线CA与 O相切；
⊙
②若 O的直径为2⊙ ，求线段AB的长；
（3）已知三角形ABC为关于边BC的“优美三角形”，BC＝4，∠B＝30°，求△ABC
⊙
的面积．2．（2022•西城区校级模拟）点P（x ，y ），Q（x ，y ）是平面直角坐标系中不同的两
1 1 2 2
个点，且x ≠x ．若存在一个正数k，使点P，Q的坐标满足|y ﹣y |＝k|x ﹣x |，则称P，
1 2 1 2 1 2
Q为一对“限斜点”，k叫做点P，Q的“限斜系数”，记作k（P，Q）．由定义可知，
k（P，Q）＝k（Q，P）．
例：若P（1，0），Q（3， ），有|0﹣ |＝ |1﹣3|，所以点P，Q为一对“限斜点”，
且“限斜系数”为 ．
已知点A（1，0），B（2，0），C（2，﹣2），D（2， ）．
（1）在点A，B，C，D中，找出一对“限斜点”： ，它们的“限斜系数”为
；
（2）若存在点E，使得点E，A是一对“限斜点”，点E，B也是一对“限斜点”，且
它们的“限斜系数”均为1．求点E的坐标；
（3） O半径为3，点M为 O上一点，满足MT＝1的所有点T，都与点C是一对
“限斜点”，且都满足k（T，C）≥1，直接写出点M的横坐标x 的取值范围．
⊙ ⊙ M
3．（2022•常州一模）对于平面直角坐标系xOy中的图形M、N，给出如下定义：P为图形
M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最小值，那么称这
个最小值为图形M、N间的“图距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B
（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．
（1）d（点O，△ABC）；
（2）线段L是直线y＝x（﹣2≤x≤2）上的一部分，若d（L，△ABC）＝1，且L的长度最长时，求线段L两个端点的横坐标；
（3） T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（ T，△ABC）＝1，直接写出t的取值
范围．
⊙ ⊙
4．（2022•秦淮区二模）【概念认识】
与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与
矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．
【初步理解】
（1）如图①～③，四边形ABCD是矩形， O 和 O 都与边AD相切， O 与边AB
1 2 2
相切， O 1 和 O 3 都经过点B， O 3 经过点 ⊙D，3个 ⊙ 圆都经过点C．在这3⊙ 个圆中，是
矩形ABCD的第Ⅰ类圆的是 ，是矩形ABCD的第Ⅱ类圆的是 ．
⊙ ⊙ ⊙
【计算求解】
（2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的
半径长．
【深入研究】
（3）如图④，已知矩形ABCD，用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，并写出必要的
文字说明）
①作它的1个第Ⅰ类圆；
②作它的1个第Ⅱ类圆．
5．（2022•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中， O的半径为1，A为任意一点，B为
O上任意一点．给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在
⊙
⊙
O上时，p＝0），最大值为q，那么把 的值称为点A与 O的“关联距离”，记
作d（A， O）．
⊙ ⊙
⊙（1）如图，点D，E，F的横、纵坐标都是整数．
①d（D， O）＝ ；
②若点M在线段EF上，求d（M， O）的取值范围；
⊙
（2）若点N在直线y＝ 上⊙，直接写出d（N， O）的取值范围；
（3）正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P， O）的最小
⊙
值为1，最大值为 ，直接写出m的最小值和最大值． ⊙
6．（2022•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中， O的半径为1，已知点A，过点A作
直线MN．对于点A和直线MN，给出如下定义：若将直线MN绕点A顺时针旋转，直
⊙
线MN与 O有两个交点时，则称MN是 O的“双关联直线”，与 O有一个交点P
时，则称MN是 O的“单关联直线”，AP是 O的“单关联线段”．
⊙ ⊙ ⊙
（1）如图1，A（0，4），当MN与y轴重合时，设MN与 O交于C，D两点．则MN
⊙ ⊙
⊙
是 O的“ 关联直线”（填“双”或“单”）； 的值为 ；
（2）如图2，点A为直线y＝﹣3x+4上一动点，AP是 O的“单关联线段”．
⊙
①求OA的最小值；
⊙
②直接写出△APO面积的最小值．
7．（2022•宁波模拟）定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线
相切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边．（1）如图1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，点O在AC边上，以OC为半径的 O
恰好经过点B，求证： O是△ABC的切圆．
⊙
（2）如图2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6， O是△ABC的切圆，且另外两条边都
⊙
是 O的切边，求 O的半径．
⊙
（3）如图3，△ABC中，以AB为直径的 O恰好是△ABC的切圆，AC是 O的切边，
⊙ ⊙
O与BC交于点F，取弧BF的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于点
⊙ ⊙
H，若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的长．
⊙
8．（2022•朝阳区一模）在平面直角坐标系 xOy中，对于直线l：y＝kx+b，给出如下定义：
若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．
（1）如图1， O的半径为1，当k＝1，b＝1时，直接写出直线l关于 O的“圆截
距”；
⊙ ⊙
（2）点M的坐标为（1，0），
①如图2，若 M的半径为1，当b＝1时，直线l关于 M的“圆截距”小于 ，
求k的取值范围；
⊙ ⊙
②如图3，若 M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线 l关于 M的
“圆截距”的最小值2，直接写出b的值．
⊙ ⊙
9．（2022•鄞州区校级一模）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、
四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直
的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．
（1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是 （填序号）；①矩形 ②菱形 ③正方形
（2）如图，四边形ABCD内接于圆，P为圆内一点，∠APD＝∠BPC＝90°，且∠ADP
＝∠PBC，求证：四边形ABCD为“婆氏四边形”；
（3）在（2）的条件下，BD＝4，且AB＝ DC．
①当DC＝2 时，求AC的长度；
②当DC的长度最小时，请直接写出tan∠ADP的值．
10．（2022•城关区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是
（1，0），（7，0）．
（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，那么称点P为线段
AB的“完美点”．
①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，则点C的坐标是 ， C的半径是
；
⊙
②y轴正半轴上是否有线段AB的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果
没有，请说明理由；
（2）若点P在y轴负半轴上运动，则当∠APB的度数最大时，点P的坐标为 ．
11．（2021•常州一模）在平面直角坐标系xOy中， O的半径是 ，A，B为 O外两
点，AB＝2 ．给出如下定义：平移线段AB，使⊙平移后的线段A′B′成为⊙O的弦
⊙（点A′，B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值成为线段AB到 O
的“优距离”．
⊙
（1）如图1， O中的弦P P 、P P 是由线段AB平移而得，这两条弦的位置关系是
1 2 3 4
；在点P
1
，P
2
， ⊙P
3
，P
4
中，连接点A与点 的线段长度等于线段AB到 O的
“优距离”；
⊙
（2）若点A（0，7），B（2，5），线段AA′的长度是线段AB到 O的“优距离”，
则点A′的坐标为 ；
⊙
（3）如图2，若A，B是直线y＝﹣x+6上两个动点，记线段AB到 O的“优距离”为
d，则d的最小值是 ；请你在图2中画出d取得最小值时的示意图，并标记相应
⊙
的字母．
12．（2022秋•姜堰区期中）如图1，在平面内，过 T外一点P画它的两条切线，切点分
别为M、N，若∠MPN≥90°，则称点P为 T的“限角点”．
⊙
⊙
（1）在平面直角坐标系 xOy 中，当 O 半径为 1 时，在① P （1，0），②
1
⊙
，③P （﹣1，﹣1），④P （2，﹣1）中， O的“限角点”是
3 4
；（填写序号）
⊙
（2）如图2， A的半径为 ，圆心为（0，2），直线l：y＝﹣ x+b交坐标轴于点
B、C，若直线l上有且只有一个 O的“限角点”，求b的值．
⊙
（3）如图3，E（2，3）、F（1⊙，2）、G（3，2）， D的半径为 ，圆心D从原点
O出发，以 个单位/s的速度沿直线l：y＝x向上运⊙动，若△EFG三边上存在 D的
“限角点”，请直接写出运动的时间t（s）的取值范围．
⊙13．（2022秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于
点P给出如下定义：将点P绕点M逆时针旋转90°，得到点P'，点P'关于点N的对称点
为Q，称点Q为点P的“对应点”．
（1）如图1，若点M在坐标原点，点N（1，1），①点P（﹣2，0）的“对应点”Q
的坐标为 ；②若点P的“对应点”Q的坐标为（﹣1，3），则点P的坐标为
；
（2）如图2，已知 O的半径为1，M是 O上一点，点N（0，2），若P（m，0）
（m＞1）为 O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．①当点M（a，b）在第
⊙ ⊙
一象限时，求点Q的坐标（用含a，b，m的式子表示）；②当点M在 O上运动时，
⊙
直接写出PQ长的最大值与最小值的积为 .（用含m的式子表示）
⊙
14．（2022秋•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知 O的半径为2，对于点
P，直线l和 O，给出如下定义：
⊙
若点P关于直线l对称的点在 O上或 O的内部，则称点P为 O关于l的反射点．
⊙
⊙ ⊙ ⊙
（1）已知直线l为x＝3，
①在点P （4，0），P （4，1），P （5，1）中，是 O关于l的反射点有 ；
1 2 3
②若点P为x轴上的动点，且点P为 O关于l的反射
⊙
点，则点P的横坐标的最大值为
．
⊙（2）已知直线l的解析式为y＝kx+2（k≠0），
①当k＝﹣1时，若点P为直线x＝ 上的动点，且点P为 O关于l的反射点，则点P
的纵坐标t的取值范围是 ；
⊙
②点B（2，2），C（ ，1），若线段BC的任意一点都为 O关于l的反射点，则k
的取值范围是 ．
⊙
15．（2022•钟楼区校级模拟）在平面直角坐标系 xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A
（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），D（1，0）．对于图形M，给出如下定义：P
为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间
的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d（M）．
已知点E（3，0）．
①直接写出d（点E）的值；
②过点E画直线y＝kx﹣3k与y轴交于点F，当d（线段EF）取最小值时，求k的取值
范围；
③设T是直线y＝﹣x+3上的一点，以T为圆心， 长为半径作 T．若d（ T）满足
⊙ ⊙
d（ T）＞ + ，直接写出圆心T的横坐标x的取值范围．
⊙
16．（2021秋•慈溪市期中）如图1，在 O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以
⊙A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中的“爪形A”，弦BA，CA，DA
称为“爪形A”的爪．
（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC．①证明：圆中存在“爪形D”；②
若∠ADC＝120°，求证：AD+CD＝BD．
（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时
“爪形D”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果．
17．（2021秋•润州区校级月考）在平面直角坐标系xOy中， C的半径为r，P是与圆心
C不重合的点，点P关于 C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足
⊙
CP+CP′＝2r，则称P′为点P关于 C的反称点，如图为点P及其关于 C的反称点
⊙
P′的示意图．
⊙ ⊙
（1）当 O的半径为1时，
⊙
①分别判断点M（3，1），N（ ，0），T（﹣1， ）关于 O的反称点是否存在？
若存在，直接求其坐标；
⊙
②将 O沿x轴水平向右平移1个单位为 O′，点P在直线y＝﹣x+1上，若点P关于
O′的反称点P′存在，且点 P′不在坐标轴上，则点 P的横坐标的取值范围
⊙ ⊙
；
⊙
（2） C的圆心在x轴上，半径为1，直线y＝﹣x+12与x轴，y轴分别交于点A、B，
点E与点D分别在点A与点B的右侧2个单位，线段AE、线段BD都是水平的，若四边
⊙
形ABDE四边上存在点P，使得点P关于 C的反称点P′在 C的内部，直接写出圆
心C的横坐标的取值范围．
⊙ ⊙
18．（2021•建邺区二模）【概念学习】在平面直角坐标系xOy中， O的半径为1，若 O平移d个单位后，使某图形上所有
点在 O内或 O上，则称d的最小值为 O对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如
⊙ ⊙
图①，A（3，0），B（4，0），则 O对线段AB的“最近覆盖距离”为3．
⊙ ⊙ ⊙
⊙
【概念理解】
（1） O对点（3，4）的“最近覆盖距离”为 ．
（2）如图②，点P是函数y＝2x+4图象上一点，且 O对点P的“最近覆盖距离”为
⊙
3，则点P的坐标为 ．
⊙
【拓展应用】
（3）如图③，若一次函数y＝kx+4的图象上存在点C，使 O对点C的“最近覆盖距
离”为1，求k的取值范围．
⊙
（4）D（3，m）、E（4，m+1），且﹣4＜m＜2，将 O对线段DE的“最近覆盖距
离”记为d，则d的取值范围是 ．
⊙
19．（2022•东城区校级开学）对于 C和 C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP
⊙ ⊙
与 C交于点Q（点Q可以与点P重合），且1≤ ≤2，则点P称为点A关于 C的
“生长点”．
⊙ ⊙
已知点O为坐标原点， O的半径为1，点A（﹣1，0）．
（1）若点P是点A关于 O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的
⊙
点P的坐标 ；
⊙
（2）若点B是点A关于 O的“生长点”，且满足∠BAO＝30°，求点B的纵坐标t的
取值范围；
⊙
（3）直线y＝ x+b与x轴交于点M，且与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于
O的“生长点”，直接写出b的取值范围是 ．
20．（2022•东城区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M
⊙
上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d
（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）＝0，如图，点A（﹣2
，0），B（0，2）．
（1）如果 O的半径为2，那么d（A， O）＝ ，d（B， O）＝ ；
（2）如果 O的半径为r，且d（ O，线段AB）＞0，求r的取值范围；
⊙ ⊙ ⊙
⊙ ⊙（3）如果C（0，m）是y轴上的动点， C的半径为1，使d（ C，线段AB）＜1，
直接写出m的取值范围为 ．
⊙ ⊙
