文档内容
2025 年中考第三次模拟考试（北京卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后
的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条
直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意，
故选：B．
2． 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．
其活跃用户数在上线21天后达到了 万．将 万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查了科学记数法的表示，掌握其形式，确定 的值的方法是关键．
科学记数法的表示形式为 ，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于
10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值，当原数的绝对值小于1时，把
原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解．
【详解】解： 万 ，
故选：C ．
3．将直角三角板 （ ）按下图的方式摆放在一条直线 上，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对顶角相等、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查对顶角相等，直角三角形两锐角互余．根据对顶角相等得到，再由直角三角形两锐角互余求出 ，进而即可解答．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
．
故选：B．
4．已知在一个不透明的箱子里共有5个红球和3个白球，它们除颜色外其余都相同，则从
箱子里随机摸出一个球，是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据概率公式计算概率
【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率的计算方法是解题关键．先求出从箱
子里随机摸出一个球的所有等可能的结果，再找出从箱子里随机摸出一个球是红球的结果，
然后利用概率公式计算即可得．
【详解】解：∵从箱子里随机摸出一个球共有 种等可能的结果，其中，从箱子里随
机摸出一个球是红球的结果有5种，
∴从箱子里随机摸出一个球是红球的概率为 ，
故选：D．
5．如图，数轴上标注了实数a，b，c对应点的位置， ，下列结论一定正确的是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、两个有理数的乘法运算
【分析】本题考查的是实数与数轴，由数轴可知， ，进而得 ， ，
再由 得 ，由此判断各选项即可．
【详解】解：由数轴可知， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选项D符合题意；
∵ ，
∴ ，
实数b和零的位置关系无法确定，
故选项A、B、C无法确定，不符合题意．
故选：D．
6．若关于x的一元二次方程 无实数根，则实数c的值可能为（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】C
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程
，若 ，则方程有两个不相等的实数根，若
，则方程有两个相等的实数根，若 ，则方程没有实数根，据
此求出实数c的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 无实数根，
∴ ，
∴ ，
∴四个选项中只有C选项符合题意，故选：C．
7．如图，已知 ，求作： ，使 ．
作法：（1）以点 为圆心，任意长为半径作 ，分别交 ， 于点 ， ，连接 ；
（2）以 为圆心， 的长为半径作弧，交 于点 ，连接 ， ；
（3）作射线 ， 即为所求作的角．下列结论正确的是（ ）
A． 的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
B．
C．
D． 是等腰三角形
【答案】D
【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、等腰三角形的定义、尺规作一个角等于已知
角
【分析】本题考查了尺规作图，三角形的不等关系，等腰三角形的判定．根据题干中的作
图步骤即可判断各选项．
【详解】解：A．由作法知： ，
∴ ，故A不正确；
B．由作法知： ，
由三角形三边关系得 ，故B不正确；
C．不能证明 ，故C不正确；
D．由作法知，点 在圆O上，则 ，
∴ 是等腰三角形，故D正确．
故选：D．
8．如图，在正方形 中， 、 交于点 ， 为 延长线上的一点，且，连接 ，分别交 于点 ，连接 ，给出下面三个结论：
① 平分 ；
② ；
③ ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三
角形、求角的正切值
【分析】由正方形的性质可得 垂直平分 ， ，可得 ，由角的
数量关系可求 ，即 平分 ，故 正确；由
，故 正确；通过证明 ，可得
，根据勾股定理可得 故 正确，即可求解．
【详解】解：设 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
四边形 是正方形，垂直平分 ， ，
，
，
，
平分 ，故①正确；
，故②正确；
， ，
，
，
，
，
，故③正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形的知识，角
平分线的定义，平行线的性质，垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的
关键．
第 II 卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题主要考查实数及二次根式有意义的条件，熟练掌握实数的性质及二次根式有
意义的条件是解题的关键；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负
数”可进行求解．
【详解】解：由题意得： ，
∴ ；
故答案为 ．
10．因式分解： ．【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
本题考查了提公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【详解】解：原式 ．
故答案为： ．
11．方程 的解为 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【分析】此题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得
到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解： ，
方程两边同时乘 得： ，
解得： ，
经检验， 时， ，
分式方程的解为 ，
故答案为： ．
12．在平面直角坐标系 中，若函数 的图象经过点 和 ．则
．
【答案】0
【知识点】求反比例函数值
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点 和 代入 之中得
， ，由此可得 的值．
【详解】
解： 函数 的图象经过点 和 ， ， ，
， ，
．
故答案为：0．
13．某校拟招聘一名优秀的数学教师，设置了笔试、面试、试讲三项水平测试，综合成绩
按照笔试占 ，面试占 ，试讲占 进行计算，小徐的三项测试成绩如图所示，则
她的综合成绩为 分．
【答案】
【知识点】求加权平均数
【分析】本题考查了加权平均数，解题关键是熟记加权平均数公式，准确进行计算．利用
加权平均数公式计算即可．
【详解】解：她的综合成绩为 （分）；
故答案为： ．
14．如图， ， 分别与 相切于点 ， ， 交 于点 ，四边形 是平行
四边形，若 ，则 ，劣弧 ．【答案】
【知识点】应用切线长定理求解、求弧长、切线的性质定理、特殊三角形的三角函数
【分析】根据切线长定理得 ，结合平行四边形的性质推得 、
，通过三角函数可求得 的长，通过弧长公式可求得劣弧 的长．
【详解】解：如图，连接 ，
， 分别与 相切于点 ， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
劣弧 ，
在 中， ，
，
．故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，平行四边形的性质，弧长公式，特殊
角的三角函数值，熟练掌握切线长定理是解题关键．
15．如图，在正方形中，点 在 上， 于点 ， 于点 .若 ，
，则 的面积为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性
质，要求△ 的面积，需要知道 和 的边长，先证 ，再证
即可求解，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解： 四边形 是正方形，
， ，
， ，
，
，
，
，
， ，
同理可得 ，
又 ，
，，即 ，
，
．
故答案为： ．
16．小黄、小刘、小李三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁
判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进
行．半天训练结束时，发现小李共当裁判 局，小刘、小黄分别进行了 局、 局比赛，
在这半天的训练中，三人共进行了 局比赛，其中第 局比赛的裁判是
．
【答案】 小黄
【知识点】逻辑推理与论证
【分析】本题考查推理与论证，解题的关键是根据题意，分析其存在的规律和方法；
先确定小刘和小黄之间打了 局，小刘和小李之间打了 局，小黄和小李打了 局，进而
确定三人一共打的局数和小黄当裁判的局数即可得解；
【详解】解： 小李共当裁判 局，
小刘和小黄之间打了 局，
小刘、小黄分别进行了 局、 局比赛，
小刘和小李之间进行了 局比赛，
小黄和小李之间进行了 局比赛，
三人一共打了 局比赛，
小刘打了 局比赛、小黄打了 局比赛，
小刘当裁判 局，小黄当裁判 局，
而小李当裁判 局，从 到 共 个奇数， 个偶数，
每一局都有胜负，
不会出现连续做裁判的情况，
小黄当裁判的局为奇数局，
第 局比赛的裁判是小黄，
故答案为： ；小黄
三、解答题（本大题共12个小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算：
【答案】
【知识点】实数的混合运算、特殊三角形的三角函数、零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数
幂，和化简绝对值，掌握知识点，正确计算是解题的关键．
先计算零指数幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，和计算负整数指数幂，再进行
实数的混合运算即可．
【详解】解：
………………………………2分
．………………………………5分
18．解不等式组：
【答案】
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题考查了解不等式组，先分别算出每个不等式的解集，再求出它们的公共部分
的解集，即可作答．
【详解】解：
由 解得 ，………………………………2分
由 解得 ，………………………………4分
∴不等式组的解集为 ．………………………………5分19．已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【知识点】分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握运算法则和正确计算是解题的关键．
先进行括号内分式加法计算，再将除法化为乘法，进行分式乘法计算，化至最简，再将
变形，整体代入求值即可．
【详解】解：
………………………………1分
………………………………2分
，………………………………3分
∵ ，
∴ ，………………………………4分
∴原式 ．………………………………5分
20．在平面直角坐标系 中，将函数 向上平移2个单位，与 的
图象交于点 ．
(1)求 的值；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值，且小于
函数 的值，直接写出 的取值范围．【答案】(1) ， ；
(2) 且 ．
【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数解析式、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数的平移，两直线的交点问题，确定不等式
的取值范围，掌握一次函数的图象和性质是解题关键．
（1）根据一次函数的平移得到新函数 ，再求出两直线的交点坐标，得到
的值，再代入函数解析数求出 的值即可；
（2）根据题意得：当 时， 且 ，然后对每个不等式分两种情况
分析求解，最后确定取值范围即可．
【详解】（1）解：将函数 向上平移2个单位，得到新函数 ，
当 时， ，………………………………1.5分
即函数 与函数 的图象交于点 ，
将点 代入函数 ，
则 ，
解得： ；………………………………3分
（2）解：由（1）得： ，
根据题意得：当 时， 且 ，
，
当 时， ，最大值在 时，得 ，
当 时， ， 恒成立，得 ，
综合得： ；
，
当 时， ，最小值在 时，得 ，
当 时， ， 恒成立，得 ，
综合得： ；综上可得： 且 ．………………………………6分
21．某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为
，流速为 ；开水的温度为 ，流速为 ．某学生先接了一会儿温水，
又接了一会儿开水，得到一杯 温度为 的水（不计热损失），求该学生分别接温
水和开水的时间．
物理常识
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：
开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度．
【答案】接温水的时间为 ，接开水的时间为 .
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．设该学生接温水的时间为 ，接开水的时间为 ，根据“该学生先接了一会
儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯 温度为 的水（不计热损失）”，可列出
关于 的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设该学生接温水的时间为 ，接开水的时间为 ，
根据题意得：
，………………………………3分
解得： ，………………………………4分
答：该学生接温水的时间为 ，接开水的时间为 ．………………………………5分
22．如图，在 中， ， ，点D在 上，过点D作 交
于点E，延长 到点F，使 ，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、公式法解一元二次方程
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、
含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识．
（1）由等腰直角三角形的性质得 ，进而证明 ，得 ，
再证明 ，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得 ，设 ，则 ，
再由含 角的直角三角形的性质得 ，然后由勾股定理得出方程，解方程即
可．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，………………………………1分
∴ ，
∵ ，
∴ ，………………………………2分
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形；………………………………3分
（2）解：由（1）可知，四边形 是平行四边形，
∴ ，
设 ，则 ，
由（1）可知， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，………………………………4分
由勾股定理得： ，
即 ，………………………………5分解得： ， （不符合题意，舍去），
∴ ．………………………………6分
23．某校九年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高
（单位： ），数据整理如下：
．1班 168 171 172 174 174 176 177 179
2班 168 171 175 176 176 176 177 177
．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如表：
班
平均数 中位数 众数
级
1班 173.875 174 174
2班 174.5
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中 的值；
(2)如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高越整齐．据此推断：在1班和
2班的选手中，身高比较整齐的是 班（填“1”或“2”）；
(3)1班的6位首发选手的身高分别为168，172，174，174，176，177．如果2班已经选出
4位首发选手，身高分别为168，175，176，176，要使得2班6位首发选手的平均身高不
低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则选出的另外两名选手的身高分别
是 和 ．
【答案】(1)176，176
(2)2
(3)171，176
【知识点】求中位数、根据方差判断稳定性、求众数
【分析】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义
是解题的关键．
（1）根据中位数和众数概念，即可作答；
（2）根据方差的概念，即可作答；
（3）先求出1班6位首发选手的平均身高，再求出2班另外两名选手的身高取值范围；接
着根据题意，从方差的概念入手，确定第六位选手的身高．
【详解】（1）2班数据从小到大排列为168，171，175，176，176，176，177，177，从中可以看出一共八个数，第四个数据为176、第五个数据为176，所以这组数据的中位数
为： ，故 ；………………………………1分
其中176出现的次数最多，所以这组数的众数为176，故 ；……………2分
故答案为：176，176．………………………………2分
（2）根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性
也越小，反之亦然．
1班的身高分布于 ，2班的身高分布于 ，
从中可以看出，2班的数据较1班的数据波动较小，更加稳定，所以2班的选手身高比较整
齐，
故答案为：2．………………………………3分
（3） （厘米）
设2班另外两名选手的身高分别为 厘米， 厘米，
则 ，
，
∵方差要尽可能小，
则2班6位首发选手的身高数据应分布于 ，
即：另外两名选手的身高分别是 和 ，
故答案为：171，176．………………………………5分
24．如图，在 中， ，以 为直径作 ，过点 作 的切线交
的延长线于点 ，点 在 上，作 交 的延长线于点 ， 与 交于
点 ．
(1)求证： ；(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、已知正弦值求边长、切线的性质定理
【分析】本题考查了切线的性质，正弦的定义，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上
知识是解题的关键；
（1）连接 ，根据切线的性质以及等腰三角形的性质，结合 ，可以得出
，进而根据等角对等边，即可得证；
（2）设 的半径为 ，根据 ，得出 ，勾股定理求得 ，进而证明
，根据相似三角形的性质列出比例式，可得 ．
【详解】（1）证明：连接 ，
是 的切线，
，
，
，
，
，………………………………1分
又 ，
，
，
又 ，
，
；………………………………2分（2）设 的半径为r，
，
，
解得 ，………………………………3分
在 中， ，………………………………4分
，
，………………………………5分
即 ，
即 ，
解得 ．………………………………6分
25．某机器工作至电量剩余 时开始充电．充电系统提供两种不同的充电模式，机器剩
余电量 （单位： ）与充电时间 （单位：min）的关系如下表所示：
2
充电时间 （ ） 0 5 10 15 25 30
0
模式一剩余电量 （ 1 7
25 55 85 100
） 0 0
模式二剩余电量 （ 1 9
31 57 78 97 100
） 0 0(1)① ；
②通过数据分析，发现可以用函数来刻画 与 ， 与 之间的关系，在给定的平面直角坐
标系（图 ）中画出这两个函数图象；
(2)充电系统通过调节充电电流 （单位：安培 ）来控制电量，已知充电模式一的初始电
流为 安培，剩余电量每增加 ，充电电流将减小 安培，则 分钟时充电模式一的
充电电流 安培；充电模式二的充电电流与充电时间的函数关系如图 所示．根据以上
数据并结合函数图象判断：当两种充电模式的电流相同时，剩余电量相差约 ．
【答案】(1)① ；②画图见解析
(2) ，
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、其他问题(实际问题与二次函数)、从函数的图
象获取信息
【分析】（ ）由表格可知， 的值每增加 ， 的值增加 ，进而即可求解；
（ ）①根据表格数值描点连线画出图象即可；②根据题意可求出 的值及 与 的函数关
系式，进而画出图象即可求解；
本题考查了函数的综合应用，理解题意是解题的关键
【详解】（1）解：①由表格可知， 的值每增加 ， 的值增加 ，
∴ ，
故答案为： ；………………………………1分
②根据表格数据描点连线画出函数图象如下：………………………………2分
（2）解：∵ 时， ，
∴ 安培；
由题意得，充电模式一的电流： ，
当 时， ；当 时， ，
∴充电模式一的充电电流与充电时间的函数关系图象如下：
………………………………3分
由函数图象可知，当 时，两种充电模式的电流相同，
∴剩余电量相差约 ，
故答案为： ， ．………………………………5分
26．在平面直角坐标系 中，已知 ， 是抛物线 上两点．
(1)求抛物线的对称轴；(2)若对于 ， ，都有 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二
次函数的对称性和增减性，解一元一次不等式组，是解题的关键．
（1）化为顶点式，根据二次函数的性质，即可求解；
（2）根据 ，分 时， 时，根据二次函数的性质，分情况列出不等式组解不
等式组，即可求解．
【详解】（1）解： ，对称轴为直线 ；…………………1分
（2）解：对于 ， ，
∴
∴
∴ ………………………………2分
①当 时，若 且 ，
∴ 即
∴ ，
解得 ，（舍去）………………………………3分
若 且 ，
∴ 即解得： ， ………………………………4分
②当 时，若 且 ，
∴ 即
∴ ，
∴无解………………………………5分
若 且 ，
∴ 即
解得： （舍去） ………………………………6分
综上所述， ………………………………6分
27．已知 ，点 ， 分别在射线 ， 上，将线段 绕点
逆时针旋转 得到线段 ，过点 作 的垂线交射线 于点 ．
(1)如图1，当点 在射线 上时，点 恰好是 的中点，请写出 与 之间的关系，并
证明；
(2)如图2，若 与 之间的关系如（1）所求，当点 在 外部时，作 ，交
射线 于点 ；
①依题意补全图形；
②用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．【答案】(1) ，见解析
(2)①见解析；② ，证明见解析
【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、全等三角形综合问题、斜边
的中线等于斜边的一半
【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，直线三角形斜边中线等于
斜边的一半，掌握旋转的性质，等腰三角形的判定和性质是关键．
（1）连接 ，点 是 的中点， ，则 ，所以 ，
由旋转得到 ，由三角形的内角和定理得到 ，由此
即可求解；
（2）①根据题意作图即可；②在射线 上取点 ，使得 ，取 的中点 ，连
接 ，可证 ，则 ， ，
，根据 是 的中点，则 ， ， ， ，
， ，由此即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，
………………………………1分
由题意得：点 是 的中点， ，
，
，
，
，………………………………2分
，
；………………………………3分
（2）解：①依题意补全图形；………………………………4分
② ，………………………………4.5分
证明：在射线 上取点 ，使得 ，取 的中点 ，连接 ，
………………………………5分
，
，
，
，
，
，………………………………5.5分
， ，
，
，
， ，
是 的中点，
， ，
，
，………………………………6分
，
，
，
，
．………………………………7分28．在平面直角坐标系 中，对于点 ，给出如下定义：若点 以点
为中心顺时针旋转 后，能与点 重合，则称点 为线段 的“完美等直点”．
(1)如图1，当 时，线段 的“完美等直点”坐标是______；
(2)如图2，当 时，若直线 上的一点 ，满足 是线段 的“完美等
直点”，求点 的坐标及 的值；
(3)当 时，若点 在以 为圆心， 为半径的圆上，若 是线段 的
“完美等直点”，直接写出 的横坐标 的取值范围．
【答案】(1)
(2) ， ；
(3)
【知识点】一次函数与几何综合、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、圆的基本
概念辨析
【分析】（1）先表示 ， ，可得 ，如图，证明四边形
为正方形，从而可得答案；
（2）如图，过 作 轴的平行线，交直线 于 ，过 作 轴的平行线，交直线 于，证明 ，可得 ， ，设 ，可得 ，
；
（3）如图，当 时，即 ，而 在 上， ，半径为 ，可得
，过 作 轴的平行线，过 作 轴的平行线，两线交于 ，过 作 轴于
，证明 ，可得 ， ，设 ，而 ， ，
结合 ， 的半径为 ，可得 ，此时 的横坐标的最小值为
，当 时，如图，过 作 轴的平行线，过 作 轴的平行线，两线交于 ，过 作
轴于 ，同理可得： ，可得 到 的距离为 ，此时
的横坐标的最大值为 ，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
如图，
∵点 以点 为中心顺时针旋转 后，能与点 重合，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ；………………………………1分（2）解：如图，过 作 轴的平行线，交直线 于 ，过 作 轴的平行线，交直线
于 ，
………………………………2分
由题意可得： ， ，
∴ ，
∴ ，………………………………3分
∴ ， ，
∵ 在直线 上， ， ，
∴设 ，
∴ ，………………………………4分
解得： ，
∴ ， ；………………………………5分
综上： ， ；
（3）解：如图，当 时，即 ，而 在 上， ，半径为 ，
∴ ，过 作 轴的平行线，过 作 轴的平行线，两线交于 ，过 作 轴于 ，
同理可得： ，
∴ ， ，
设 ，而 ， ，结合 ， 的半径为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 到 的距离为 ，
∴此时 的横坐标的最小值为 ，
当 时，如图，过 作 轴的平行线，过 作 轴的平行线，两线交于 ，过 作
轴于 ，同理可得： ，
∴ ， ，
设 ，而 ， ，结合 ， 的半径为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 到 的距离为 ，
∴此时 的横坐标的最大值为 ，
综上： ；………………………………7分
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，旋转的性质，正方形的判定与性质，圆
的基本性质，圆的定义，作出符合题意的图形是解本题的关键．
