文档内容
2025 年中考第二次模拟考试（北京卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．用一个平面截一个几何体，得到的截面是矩形，则这个几何体不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】截一个几何体
【分析】本题考查了几何体的截面，根据圆锥、圆柱、球体，三棱柱的几何特征，分别分析出用一个平面
去截该几何体时，可能得到的截面的形状，逐一比照后，即可得到答案．
【详解】解：A. 截面可能是矩形，故该选项不符合题意；
B. 截面可能是矩形，故该选项不符合题意；C. 截面不可能是矩形，故该选项符合题意；
D. 截面可能是矩形，故该选项不符合题意；
故选：C．
2．地球上的海洋面积约为 ，用科学记数法将 表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．
确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值大于 与小数点移动的位数相同．
【详解】解： ，
故选：C．
3．如图，直线 ， 是直角三角形， ，点 在直线 上．若 ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角性质等．延长 交直线n于点D，根据平行线的
性质求出 ，再根据三角形的外角性质解答即可．
【详解】解：延长 交直线n于点D，如图所示．
∵ ，∴ ．
在 中， ．
故选：C．
4．湖北省博物馆目前拥有众多重要文物，其中有曾侯乙编钟、越王勾践剑、吴王夫差矛、崇阳铜鼓，从
中随机选择一种文物进行参观，恰好选择的文物是越王勾践剑的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据概率公式计算概率
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，熟知概率计算公式是解题的关键．直接由概率公式求解即可．
【详解】解：从 件文物中随机选择一种文物进行参观，恰好选择的文物是越王勾践剑的概率是
故选：C．
5．实数 在数轴上对应的点如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．函数 中， 随 的增大而减小
【答案】C
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、不等式的性质、判断一次函数的增减性
【分析】本题考查利用数轴判断代数式符号及大小，涉及不等式性质、绝对值意义、一次函数图象与性质
等知识，先由实数 在数轴上对应的点的位置得到 ，再逐项判断代数式符号，结合不等
式性质、绝对值意义、一次函数图象与性质判断即可得到答案，熟练掌握利用数轴判断代数式符号及大小、
绝对值意义、一次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：实数 在数轴上对应的点，如图所示，
，
A、 ，由不等式性质可知 ，选项正确，不符合题意；
B、 ，
由不等式性质可知 ，选项正确，不符合题意；
C、 ，
，由绝对值意义可知 ，选项错误，符合题意；
D、 ，
，
由一次函数图象与性质可知，函数 中， 随 的增大而减小，选项正确，不符合题意；
故选：C．
6．若关于 的一元二次方程 没有实数根，则 的值可能为（ ）
A． B． C．0 D．-1
【答案】A
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 没有实数根，
∴ ，
解得 ．
故选：A．
7．如图，已知 ，尺规作图的方法作出了 ，请根据作图痕迹判断
的理论依据是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【知识点】尺规作图——作三角形
【分析】本题考查作图 复杂作图，全等三角形的判定等知识．根据 判定三角形全等．
【详解】解：由作图可知， ， ， ，
故 ．
故选：A．
8．如图，正方形边长为 ，点 是正方形 内一点，满足 ．连接 ，则下面给出的四个
结论中，所有正确结论的序号为（ ）
① ；② ；③ 的度数最大值为 ；④当 时， ．
A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④
【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、解直角三角形的相关计算
【分析】本题主要考查了圆与正方形综合、解直角三角形、勾股定理等知识点，根据题意得到点E的运动
轨迹是解题的关键．
如图：连接 交 于H，取 中点O，连接 ，先证明点E在以点O为圆心， 为直径的圆上运
动，当 三点共线，即点E运动到点H时 ，当 三点共线时， 有最小值，
据此可判断①②；如图：当 与 相切时 有最大值，证明 ，得到
， ，则 ，再证明 ，得到
，即可判断③④．
【详解】解：如图：连接 交 于H，取 中点O，连接 ，
∵四边形 是正方形，∴ ；
∵ ，
∴点E在以点O为圆心， 为直径的圆上运动，
∵ ，
∴点H在 上，
∵ ，
∴当 三点共线，即点E运动到点H时， ，故①正确；
∵点E在以点O为圆心， 为直径的圆上运动，
∴当 三点共线时， 有最小值，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ 的最小值为 ，故②错误；
如图：当 与 相切时 有最大值，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数最大值不是 ，故③错误；
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确．
综上，正确的有①④．
故选：B．
第 II 卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．若代数式 有意义，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零成为解题的关键．
根据分式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】解：∵代数式 有意义，
∴ ，解得： ．
故答案为： ．
10．分解因式： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式x，再利用平方差公式因式分解即可．【详解】解： ，
故答案为： ．
11．分式方程 的解是 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【分析】此题考查解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验
即可得到分式方程的解．
【详解】解： ，
去分母得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解．
故答案为： ．
12．在反比例函数 的图象上有三个点 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
．（用“<”连接）
【答案】
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数 的性质：当
时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 时，图象在二、四象限，在每一象
限内，y随x的增大而增大．
根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，然后利用 得到 ，
．
【详解】解：∵
，
反比例函数图象在第一、三象限，∴在每一象限内， 随 的增大而减小
，
， ，
，
故答案为： ．
13．某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量(单位：g)，得到的数据如
下：
50.03 49.99 49.98 50.01 50.00
49.97 49.99 50.04 50.02 50.02
当一个工件的质量x(单位：g)满足 时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这200
个工件中一等品的个数是 ．
【答案】
【知识点】由样本所在的频率区间估计总体的数量
【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握知识点是解题的关键．先计算出10个工件中为一等品的频
率，再乘以总数200即可求解．
【详解】解：10个工件中为一等品的有49.99，50.01，50.00，49.99这4个，
∴这200个工件中一等品的个数为 个，
故答案为：80．
14．如图， 是 的直径，若 ，则 ．
【答案】 /50度
【知识点】三角形内角和定理的应用、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，连接 ，由圆周角定理可得 ，，再由三角形内角和定理计算即可得解．
【详解】解：如图，连接 ，
，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15．如图， 为菱形 的对角线 上的一个定点， 为边 上的一个动点， 的垂直平分线分
别交 ， 于点 ， ， ，连接 ．若 长的最小值为 ，则 的长为 ．
【答案】 /
【知识点】垂线段最短、含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求角度、解直角三角形的相关计算
【分析】由菱形的性质得 ，根据“垂线段最短”知：当 长取最小值时 ，
由含 角的直角三角形的性质得 ，继而得到 ，最后根据锐角三角函数的定
义即可得解．
【详解】解：∵四边形 是菱形且 ，
∴ ，∵ 为菱形 的对角线 上的一个定点， 为边 上的一个动点，且 长的最小值为 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
即 的长为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查菱形的性质，含 角的直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，垂线段最短等知识
点，解题的关键是正确理解垂线段最短的意义．
16．以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两
个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要 分钟．
用时
准备时间（分钟） 加工时间（分钟）
种类
米饭 3 30
炒菜1 5 6
炒菜2 5 8
汤 5 15
【答案】33
【知识点】利用合适的统计量做决策、实践与应用
【分析】奔着节约时间又不使每道程序互相矛盾的情况下进行分析解决问题．
【详解】解：根据题意，可以这样安排：
先准备米饭（3分钟），然后使用电饭煲加工米饭（30分钟）
在加工米饭的同时，准备汤菜（5分钟），然后使用煲汤锅加工汤（15分钟）
接下来摘菜（5+5=10分钟），炒菜（6+8=14分钟），即炒菜和汤共需29分钟∴妈妈做好这顿饭，最少需要30+3=33分钟
故答案为：33．
【点睛】本题属于合理安排时间问题，要抓住既节约时间又不使工序矛盾来进行分析设计．
三、解答题（本大题共12个小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算： ．
【答案】
【知识点】化简绝对值、求一个数的立方根、实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了实数的运算，细心化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值，绝对值的意义以及立方根的知识点化简计算即可．
【详解】解：原式=
=
= ．
18．解不等式组 并写出它的所有整数解．
【答案】它的整数解为 ， ， ， ．
【知识点】求一元一次不等式组的整数解
【分析】分别解不等式，找出解集的公共部分，再写出整数解即可.
【详解】解：解不等式 ，
，
，
，
，
，
，
∴不等式组的解集为 ．∴它的整数解为 ， ， ， ．
19．已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【知识点】运用平方差公式进行运算、多项式乘多项式——化简求值
【分析】先根据已知条件式得到 ，再根据整式混合运算法则进行化简，然后把 代入
求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
20．在矩形 中，连接 ，延长 至 ，使 ，过点 作 交 延长线于点 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)连接 ，若 ， ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形
【分析】本题主要考查矩形的性质和菱形的判定，掌握相关图形的基本性质，并能结合勾股定理计算线段长度是解题的关键．
（1）根据矩形性质先判定四边形 是平行四边形，然后有 即可证明菱形；
（2）先根据矩形性质得到 和 的长度，然后用勾股定理算出 即为 ，然后算出 的长度，在
利用勾股定理计算 即可．
【详解】（1）证明：由矩形可得： ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 是菱形；
（2）解：在矩形 中， ， ， ，
在 中， ，
由（1）得： ，
∴ ，
在 中， ．
21．麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收制作业．已知一台A
型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台
B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同．
(1)一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？
(2)该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收
割任务，至少要安排多少台A型收割机？
【答案】(1)一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷
(2)至少要安排7台A型收割机
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的工程问题
【分析】（1）设一台A型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦 公
顷，然后根据一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同列
出方程求解即可；
（2）设每天要安排y台A型收割机，然后根据确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务列出不等式求
解即可．
【详解】（1）解：设一台A型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦公顷．
根据题意，得 ，
解得
经检验： 是所列分式方程的根
∴ （公顷）．
答：一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷．
（2）解：设每天要安排y台A型收割机，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：至少要安排7台A型收割机．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的式
子求解是解题的关键．
22．在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 和 ，与过点 且平
行于x轴的直线交于点C．
(1)求该函数的表达式及点C的坐标；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值小于函数 的值且大于 ，直接写出
a的值．
【答案】(1) ；
(2)1
【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌
握数形结合思想的应用是解题的关键．
（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点 的纵坐标为 ，代入函数解析式求出点 的横坐
标即可；
（2）根据函数图象得出当 过点 时满足题意，代入 求出 的值即可．【详解】（1）把点 和 代入 得： ，
解得 ，
∴该函数的解析式为 ，
由题意知点 的纵坐标为 ，
当 时，
解得： ，
∴点 的坐标为 ；
（2）由（1）知：当 时， ，
因为当 时， 的值小于函数 的值且大于 ，
所以当 过点 时满足题意，
∴ ，
解得： ．
23．为了解甲、乙两种水稻的长势，农业科技人员从一块试验田中分别随机抽取甲、乙两种水稻的稻穗各
20株，获取了每株稻穗的谷粒数（单位：颗），数据整理如下；
a．甲种水稻稻穗谷粒数：
170，172，176，177，178，182，184，193，196，202，
206，206，206，206，208，208，214，215，216，219
b．乙种水稻稻穗谷粒数的拆线图：c．甲、乙两种水稻稻穗谷粒数统计汇总表：
数据 平均 中位 众
品种 数 数 数
甲 196.7 m 206
乙 196.8 195 n
根据以上信息，回答下列问题：
(1) __________， __________；
(2)若水稻稻穗谷粒数的方差越小，则认为水稻产量的稳定性越好．据此推断，甲、乙两种水稻中，产量更
稳定的是__________（填“甲”或“乙”）；
(3)单株稻穗的谷粒数不低于200颗的水稻视为优良水稻，若该试验田中有甲、乙两种水稻各4000株，请
估计优良水稻的株数．
【答案】(1)204，195；
(2)乙；
(3)3800株．
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、求众数、根据方差判断稳定性
【分析】本题考查了折线统计图，样本估计总体，中位数，众数等．
（1）根据中位数和众数的概念，即可解答；
（2）根据表格分析以及方差的概念和意义，即可解答；
（3）分别计算出两种睡到的优良率即可求解；分别求出两种水稻的优良水稻数量，相加即可求解．
【详解】（1）解：将甲的数据从小到大排列，可以发现一共20个数据，第10个数据为202，第11个数据
为206，所以这组数据的中位数为 ，∴ ；
根据乙种水稻稻穗谷粒数的折线图可以发现，每柱稻穗的谷粒为195出现的次数最多，也就是说这组数据
的众数为195，
∴ ．
（2）解：根据表格可得乙的平均数、中位数、众数都比较接近，故乙更稳定．
故答案为：乙；
（3）解：甲的水稻优良率为： ，
乙的水稻优良率为： ，
故从水稻优良率分析，应推荐种植甲种水稻；
若该实验田中有甲、乙两种水稻各4000株，
则甲的优良水稻有 （株），
乙的优良水稻有 （株），
∴共有 （株）．
答：优良水稻株数为3800株．
24．如图， 为 外一点，过点 作 的切线，切点为 ，连接 交 于点 为 上一点，
连接 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）由圆周角定理得到 ．根据 得到 ．由等边对等角得
到 ．则 ．即可证明结论；（2）过点O作 于点E， ，得到 ．由切线的性质得到 ．由
，得到 ．则 ．得到 ．则 ，
，由勾股定理即可求出 的长．
【详解】（1）证明：∵点A，B，C在 上，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ；
（2）解：过点O作 于点E， ，
∴ ，
∵过点 作 的切线，切点为A，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ， ．
∴在 中，．
【点睛】此题考查了切线的性质定理、勾股定理、解直角三角形、垂径垂径定理、等边对等角、圆周角定
理等知识，熟练掌握切线的性质定理和垂径定理是解题的关键．
25．某温室在 的温度范围内培育一种植物幼苗，该幼苗的生长速度受温度影响．为了提高幼苗
的生长速度，研究人员尝试使用一种新型肥料．实验发现，肥料的用量也会显著影响幼苗的生长速度．以
下是部分实验数据：
设肥料用量为x克， 温度下的幼苗每天生长速度为 厘米/天，25℃温度下的幼苗每天生长速度为
厘米/天
1
x 0 2 3 4 6 7 8
0
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
0 5 6 8 7 6 2 1
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1 6 7 9 6 4 3 2
(1)在不使用肥料的情况下，该幼苗在 时的生长速度是______厘米/天；
(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画 与 与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出函数
的图象；
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①在 下，使用约______克的肥料时，幼苗的生长速度最快（结果保留一位小数）；
②若希望幼苗的生长速度在 和 下都不低于1.5厘米/天，肥料的用量最少为______克，最多约为
______克．（结果保留一位小数）．【答案】(1)1
(2)见详解
(3)①5.0；②2.0，6.5
【知识点】从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象
【分析】本题主要考查了函数的图象等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）由表格可直接得解；
（2）描点连线即可；
（3）①根据数据和函数图象观察即可得解；②根据表格数据和函数图象观察即可得解．
【详解】（1）解：由表格可知幼苗在 时的生长速度是1.0厘米 天，
故答案为：1；
（2）解：函数图象如下图；
（3）解：①由图象观察可知，当 时， 最大，
故答案为：5.0；
②由表格和图象我们发现，当 时， 和 都不低于1.5厘米 天，
此时最少用料为2.0克，最多为6.5克；
故答案为：2.0，6.5．
26．在平面直角坐标系中，设二次函数 （ 是常数）．
(1)当 时，求函数图象的顶点坐标；
(2)若函数图象经过点 ，求证： ；
(3)已知函数图象经过点 ，点 ，若对于任意的 都满足 ，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3) 或 ．
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式
【分析】
（1）当 时，代入函数解析式，进而可求顶点坐标即可；
（2）将点 ， ，代入 得， ， ，则
，进而结论得证；
（3）由题意知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线 ，则 在对称轴右侧，由对于任意
的 都满足 ，则点A，B，C存在如下情况：情况1，如图1，根据二次函数的图象与性
质，以及 ，列不等式求解集即可；情况2，如图2，由二次函数的图象与性质分别求解满足要求
的解集即可．
【详解】（1）解：当 时，函数解析式为 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ；
（2）证明：∵函数图象经过点 ， ，
∴ ， ．
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，∴ ；
（3）解：由题意知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线 ，则 在对称轴右侧，
∵对于任意的 都满足 ，
∴点A，B，C存在如下情况：
情况1，如图1，当 时， ，
∴ ，且 ，解得 ；
情况2，如图2，
当 时， ．
∴ ，
∴ ，且
解得 ，
综上所述， 或 ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于数形结合．
27．如图， ，点 在 上，过点 作 的平行线，与 的平分线交于点 ， 为 的
中点，点 在 上，（不与点 ， 重合），连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线
段 ，连接 ．
(1) 直接写出线段 与 之间的数量关系；
用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明；
(2)连接 并延长，分别交 ， 于点 ， ，过点 作 的垂线，交 于点 ．依题意补全图
形，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1) ，理由见解析； ，证明见解析；
(2) ，理由见解析．
【知识点】根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、全等的性质和SAS
综合（SAS）
【分析】（ ） 由平行线的性质结合角平分线的定义得出 ，再由等角对等边即可得证；
由平行线的性质得出 ，推出 ，由旋转的性质可得 ，
，求出 ，证明 ，得出 ，再由 为 的中点得出
，即可得证；
（ ）根据题意补全图形即可，在 上截取 ，连接 ，证明 ，得出
， ，结合平行线的性质得出 ，由题意得出 ，在 上截
取 ，由（ ）可得: ，求出 ，证明 ，得出 ，
从而得出 ，最后由平行线分线段成比例定理即可得出答案．【详解】（1） ，理由如下：
由题意得： ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
，
证明：由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
由旋转的性质可得： ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ；
（2）补全图形如图所示：
连接 并延长，分别交 ， 于点 ， ，过点 作 的垂线，交 于点 ，，理由如下：
在 上截取 ，连接 ，
由（ ）可得 ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 上截取 ， 由（ ）可得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，即 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，旋转的性质，平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握以上知识
点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
28．平面直角坐标系 中，已知线段 ， 为线段 上一点 不与点 、 重合 ，以 为圆心，
长为半径画 ，以 为顶点作 ， ，若角 的两边一边与 相切，另一边与
相交，则称线段 与 关于点 关联．
(1)若点 为线段 的中点，线段 与 关于点 关联，则满足条件的 值可以是________①
② ③ ④ ．
(2) 半径为 ， 是 上一点， ， 是 轴上一点，线段 与 关于点 关联，直接写出
的取值范围；
(3) 半径为 ，点 是 上一点，点 ， ，线段 与 关于点 关联，若在直线
上存在满足条件的点 ，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)①②
(2) 或
(3)
【知识点】一次函数与几何综合、切线的性质定理、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）由点P为线段 的中点得 ,根据锐角三角函数可求出 ，从而
，进而可得答案；
（2）根据题意，点 与点 重合， ，当点B在y轴的正半轴时和，当点B在y轴的负半轴时两种情况求解即可；
（3）依题意当 ，则 点就是线段 的中点，但是 点是在圆 上运动的， 点只能是从中点
的右侧的范围满足题意的根据中位线的性质可得 中点 始终在以 为圆心 半径为 的 上运
动， 始终在线段 扫得区域，进而上下平移 ，与 相切，即可求解．
【详解】（1）如图，
由新定义知 与 相切，
∴ .
∵点P为线段 的中点，
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ 与 相交，
∴ ,
∴①②符合题意.
故答案为：①②；
（2）如图，当点 在 轴的正半轴时，
线段 与 关于点 关联，
，
当 与 相切与点 时，连接 ，则
，
四边形 是矩形，
，四边形 是正方形，
，
当点 与点 重合时， ，
；
当点 在 轴的负半轴时，如图，
同理可求 .
综上可知， 或
（3）在 上任取一点 ，在 上任取一点 ，以 为圆心， 为半径作 ，过点 分别作 的切
线 ，∵要使线段 与 关于点 关联，
∴
即
∴
取 中点 则 点在线段 上 不包括端点 、 .
随着 在 上运动 取 中点 ,
∴ 中点 始终在以 为圆心,半径为 的 上运动，
∴ 始终在线段 扫得区域,
∴当 与 相切时,
如图所示，取点 ，则
∴ 是等腰直角三角形，∴
∴
∵ b过点 ,
代入解得：
当 过点 时 ,
∴ .
【点睛】本题考查含 的直角三角形三边关系，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形性质，切线性
质，一次函数图像性质等知识点，熟悉相关图形的性质是解决问题的关键．
