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第 05 讲 一元二次方程、分式方程的解法及应用【中考过关真题练】
一．一元二次方程的解（共3小题）
1．（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（ ）
A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044
2．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 ．
3．（2022•衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中 x（cm）满
足的一元二次方程： （不必化简）．
二．解一元二次方程-直接开平方法（共2小题）
4．（2022•台湾）已知一元二次方程式（x﹣2）2＝3的两根为 a、b，且 a＞b，求 2a+b之值为何？
（ ）
A．9 B．﹣3 C．6+ D．﹣6+
5．（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．
三．解一元二次方程-配方法（共2小题）
6．（2022•聊城）用配方法解一元二次方程 3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值
为（ ）
A． B． C．2 D．7．（2022•荆州）一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 ．
四．解一元二次方程-公式法（共1小题）
8．（2022•东营）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（ ）
A．x ＝2+2 ，x ＝2﹣2 B．x ＝2+2 ，x ＝2﹣2
1 2 1 2
C．x ＝﹣2+2 ，x ＝﹣2﹣2 D．x ＝﹣2+2 ，x ＝﹣2﹣2
1 2 1 2
五．解一元二次方程-因式分解法（共4小题）
9．（2022•临沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（ ）
A．x ＝6，x ＝4 B．x ＝6，x ＝﹣4
1 2 1 2
C．x ＝﹣6，x ＝4 D．x ＝﹣6，x ＝﹣4
1 2 1 2
10．（2022•梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是 ．
11．（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
12．（2022•贵阳）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“＜”或“＞”填空：a b，ab 0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法；它们分别是配方法、公式法和因式分解法，
请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x﹣1＝0；②x2﹣3x＝0；③x2﹣4x＝4；④x2﹣4＝0．
六．根的判别式（共7小题）
13．（2022•淮安）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（ ）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
14．（2022•安顺）定义新运算a*b：对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是
通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2＝（3+2）（3﹣2）﹣1＝5﹣1＝4．若x*k＝2x（k为实数）是关于
x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
15．（2022•荆门）若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足（ ）
A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝
16．（2022•鄂尔多斯）下列说法正确的是（ ）
①若二次根式 有意义，则x的取值范围是x≥1．
②7＜ ＜8．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．
④ 的平方根是±4．
⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
17．（2022•广州）已知T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．
（1）化简T；
（2）若关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，求T的值．
18．（2022•山西）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根就是相应的二次函数 y＝ax2+bx+c
（a≠0）的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有
两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不
相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与 x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．
下面根据抛物线的顶点坐标（﹣ ， ）和一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac，
分别分a＞0和a＜0两种情况进行分析：
（1）a＞0时，抛物线开口向上．
①当Δ＝b2﹣4ac＞0时，有4ac﹣b2＜0．∵a＞0，∴顶点纵坐标 ＜0．
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．
②当Δ＝b2﹣4ac＝0时，有4ac﹣b2＝0．∵a＞0，∴顶点纵坐标 ＝0．
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根．
③当Δ＝b2﹣4ac＜0时，
……
（2）a＜0时，抛物线开口向下．
……
任务：（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；
A．数形结合
B．统计思想
C．分类讨论
D．转化思想
（2）请参照小论文中当a＞0时①②的分析过程，写出③中当a＞0，Δ＜0时，一元二次方程根的情况的
分析过程，并画出相应的示意图；
（3）实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识．例如：可用函数观
点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为 ．
19．（2022•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为 ， ，且 +2 ＝5，求m的值．
α β α β七．根与系数的关系（共9小题）
20．（2022•巴中） 、 是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且 2﹣2 ﹣ ＝4，则k的值为
． α β α α β
21．（2022•绥化）设x 与x 为一元二次方程 x2+3x+2＝0的两根，则（x ﹣x ）2的值为 ．
1 2 1 2
22．（2022•贵港）若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（
）
A．0，﹣2 B．0，0 C．﹣2，﹣2 D．﹣2，0
23．（2022•日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x ，x ，且x 2+x 2＝ ，则
1 2 1 2
m＝ ．
24．（2022•内江）已知x 、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且 + ＝x 2+2x ﹣1，则k
1 2 1 2
的值为 ．
25．（2022•随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x ，x ．
1 2
（1）求k的取值范围；
（2）若x x ＝5，求k的值．
1 2
26．（2022•凉山州）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x ，x ，则x +x ＝ ，x x ＝ ．
1 2 1 2 1 2
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x ，x ，则x +x ＝ ．x x ＝ ．
1 2 1 2 1 2（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求 的值．
27．（2022•南充）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x ，x ，若（x +1）（x +1）＝﹣1，求k的值．
1 2 1 2
28．（2022•黄石）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36
＝0，经过运算，原方程的解为x
1，2
＝±2，x
3，4
＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等
的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解为 ；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数m，n满足： + ＝7，n2﹣n＝7且n＞0，求 +n2的值．
八．由实际问题抽象出一元二次方程（共3小题）
29．（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2
元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正
确的是（ ）
A．6.2（1+x）2＝8.9
B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9
D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
30．（2022•泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几
株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如
果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 6210文能买多
少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）x＝6210 B．3（x﹣1）＝6210C．（3x﹣1）x＝6210 D．3x＝6210
31．（2022•青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长
方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去
的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．
九．一元二次方程的应用（共6小题）
32．（2022•南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利
的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（ ）
A．10.5% B．10% C．20% D．21%
33．（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进
行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
34．（2022•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，
设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝ （用百分数表示）．
35．（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、
宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；
（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．
36．（2022•毕节市）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销
售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
类别 A款钥匙 B款钥匙
扣 扣
价格
进货价 30 25
（元/件）销售价 45 37
（元/件）
（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价
和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售
利润是多少？
（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调
查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使 B款钥匙扣平均每天销
售利润为90元？
37．（2022•宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的
生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润
比上月增加 %，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量
比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多
少元？
一十．高次方程（共1小题）
38．（2022•重庆）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每
包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高 20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的
数量之比为1：3：2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为
．
一十一．分式方程的解（共4小题）39．（2022•牡丹江）若关于x的方程 ＝3无解，则m的值为（ ）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
40．（2022•遂宁）若关于x的方程 ＝ 无解，则m的值为（ ）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
41．（2022•齐齐哈尔）若关于x的分式方程 + ＝ 的解大于1，则m的取值范围是 ．
42．（2022•泸州）若方程 +1＝ 的解使关于x的不等式（2﹣a）x﹣3＞0成立，则实数a的取值范
围是 ．
一十二．解分式方程（共4小题）
43．（2022•营口）分式方程 ＝ 的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣6 C．x＝6 D．x＝﹣2
44．（2022•毕节市）小明解分式方程 ＝ ﹣1的过程如下．
解：去分母，得3＝2x﹣（3x+3）．①
去括号，得3＝2x﹣3x+3．②
移项、合并同类项，得﹣x＝6．③
化系数为1，得x＝﹣6．④
以上步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
45．（2022•济南）代数式 与代数式 的值相等，则x＝ ．
46．（2022•盐城）分式方程 ＝1的解为 ．
一十三．由实际问题抽象出分式方程（共4小题）
47．（2022•内蒙古）某班学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，
其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的 2倍，设骑车学生的速度为
xkm/h，下列方程正确的是（ ）A． ﹣ ＝20 B． ﹣ ＝20
C． ﹣ ＝ D． ﹣ ＝
48．（2022•淄博）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．
开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一
次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D． ＝
49．（2022•鞍山）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲
车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工
x件产品，根据题意可列方程为 ．
50．（2022•青岛）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题
的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了
25%，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为 ．
一十四．分式方程的应用（共10小题）
51．（2022•宁夏）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球
数量和240元购进的排球数量相等．
（1）篮球和排球的单价各是多少元？
（2）现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？
52．（2022•衢州）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 新能源车
油箱容积：40升 电池电量：60千瓦时
油价：9元/升 电价：0.6元/千瓦时续航里程：a千米 续航里程：a千米
每千米行驶费用：_____元
每千米行驶费用： 元
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新
能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
53．（2022•菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，
若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．
（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？
（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？
54．（2022•丹东）为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的
学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样
多的篮球，每个篮球的原价是多少元？
55．（2022•锦州）2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探
索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入 A、B两款物理
实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买
的B款套装数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元．56．（2022•益阳）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻
收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；
甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．
（1）甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？
（2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成
收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？
57．（2022•柳州）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都
要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积
极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具
多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机
具最多能购买多少件？
58．（2022•长春）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活
动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相
同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？59．（2022•贵港）为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比
每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．
（1）绳子和实心球的单价各是多少元？
（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的
数量各是多少？
60．（2022•烟台）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．
某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购
相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人
每个进价分别为多少元？
