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第 05 讲 一元二次方程、分式方程的解法及应用【中考过关真题练】
一．一元二次方程的解（共3小题）
1．（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（ ）
A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044
【分析】将方程的根代入方程，化简得m2+3m＝2022，将代数式变形，整体代入求值即可．
【解答】解：∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，
∴m2+3m﹣2022＝0，
∴m2+3m＝2022，
∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2022m+2022
＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022
＝2022m﹣2022﹣2022m+2022
＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，考查整体思想，将m2+3m＝2022整体代入代数式求值是解题的关
键．
2．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 6 ．
【分析】将a代入x2+2x﹣3＝0，即可得出a2+2a＝3，再把a2+2a＝3整体代入2a2+4a，即可得出答案．
【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，
∴a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想的应用是本题的关键．
3．（2022•衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中 x（cm）满
足的一元二次方程： 1 5 x （ 1 0 ﹣ x ）＝ 36 0 （不必化简）．【分析】根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可．
【解答】解：由题意可得：长方体的高为：15cm，宽为：（20﹣2x）÷2（cm），
则根据题意，列出关于x的方程为：15x（10﹣x）＝360．
故答案为：15x（10﹣x）＝360．
【点评】此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方体的棱长是解题关键．
二．解一元二次方程-直接开平方法（共2小题）
4．（2022•台湾）已知一元二次方程式（x﹣2）2＝3的两根为 a、b，且 a＞b，求 2a+b之值为何？
（ ）
A．9 B．﹣3 C．6+ D．﹣6+
【分析】先利用直接开平方法解方程得到a＝2+ ，b＝2﹣ ，然后计算代数式2a+b的值．
【解答】解：（x﹣2）2＝3，
x﹣2＝ 或x﹣2＝﹣ ，
所以x ＝2+ ，x ＝2﹣ ，
1 2
即a＝2+ ，b＝2﹣ ，
所以2a+b＝4+2 +2﹣ ＝6+ ．
故选：C．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确掌握解题方法是解题关键．
5．（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．
【分析】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可．【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，
开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，
解得：x ＝1，x ＝﹣1．
1 2
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
三．解一元二次方程-配方法（共2小题）
6．（2022•聊城）用配方法解一元二次方程 3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值
为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0，
∴3x2+6x＝1，
x2+2x＝ ，
则x2+2x+1＝ ，即（x+1）2＝ ，
∴a＝1，b＝ ，
∴a+b＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
7．（2022•荆州）一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 1 ．
【分析】根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到k的值．
【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，
∴x2﹣4x＝﹣3，
∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，
∴（x﹣2）2＝1，
∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，
∴k＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将方程变形．
四．解一元二次方程-公式法（共1小题）8．（2022•东营）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（ ）
A．x ＝2+2 ，x ＝2﹣2 B．x ＝2+2 ，x ＝2﹣2
1 2 1 2
C．x ＝﹣2+2 ，x ＝﹣2﹣2 D．x ＝﹣2+2 ，x ＝﹣2﹣2
1 2 1 2
【分析】根据公式法解一元二次方程的步骤求解即可．
【解答】解：∵a＝1，b＝4，c＝﹣8，
∴Δ＝42﹣4×1×（﹣8）＝48＞0，
则x＝ ＝ ＝﹣2±2 ，
∴x ＝﹣2+2 ，x ＝﹣2﹣2 ，
1 2
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公
式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
五．解一元二次方程-因式分解法（共4小题）
9．（2022•临沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（ ）
A．x ＝6，x ＝4 B．x ＝6，x ＝﹣4
1 2 1 2
C．x ＝﹣6，x ＝4 D．x ＝﹣6，x ＝﹣4
1 2 1 2
【分析】利用十字相乘法因式分解即可．
【解答】解：x2﹣2x﹣24＝0，
（x﹣6）（x+4）＝0，
x﹣6＝0或x+4＝0，
解得x ＝6，x ＝﹣4，
1 2
故选：B．
【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，掌握十字相乘法因式分解是解答本题的关键．
10．（2022•梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是 x ＝ 2 ， x ＝﹣ 7 ．
1 2
【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（x﹣2）（x+7）＝0，
x﹣2＝0或x+7＝0，
x ＝2，x ＝﹣7，
1 2
故答案为：x ＝2，x ＝﹣7．
1 2【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
11．（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．
【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0或x+1＝0
∴x ＝3，x ＝﹣1．
1 2
【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于
一次项系数．
12．（2022•贵阳）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“＜”或“＞”填空：a ＜ b，ab ＜ 0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法；它们分别是配方法、公式法和因式分解法，
请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x﹣1＝0；②x2﹣3x＝0；③x2﹣4x＝4；④x2﹣4＝0．
【分析】（1）先根据数轴确定a、b的正负，再利用乘法法则确定ab；
（2）根据方程的系数特点，选择配方法、公式法或因式分解法．
【解答】解：（1）由数轴上点的坐标知：a＜0＜b，
∴a＜b，ab＜0．
故答案为：＜，＜．
（2）①利用公式法：x2+2x﹣1＝0，
Δ＝22﹣4×1×（﹣1）
＝4+4
＝8，
∴x＝
＝
＝
＝﹣1± ．∴x ＝﹣1+ ，x ＝﹣1﹣ ；
1 2
②利用因式分解法：x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0．
∴x ＝0，x ＝3；
1 2
③利用配方法：x2﹣4x＝4，
两边都加上4，得x2﹣4x+4＝8，
∴（x﹣2）2＝8．
∴x﹣2＝±2 ．
∴x ＝2+2 ，x ＝2﹣2 ；
1 2
④利用因式分解法：x2﹣4＝0，
∴（x+2）（x﹣2）＝0．
∴x ＝﹣2，x ＝2．
1 2
【点评】本题考查了数轴、一元二次方程的解法，掌握数轴的意义、一元二次方程的解法是解决本题的关
键．
六．根的判别式（共7小题）
13．（2022•淮安）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＜0，
∴k＜﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
14．（2022•安顺）定义新运算a*b：对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是
通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2＝（3+2）（3﹣2）﹣1＝5﹣1＝4．若x*k＝2x（k为实数）是关于
x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算出根的判别式的值，判断即可．【解答】解：根据题中的新定义化简得：（x+k）（x﹣k）﹣1＝2x，
整理得：x2﹣2x﹣1﹣k2＝0，
∵Δ＝4﹣4（﹣1﹣k2）＝4k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】此题考查了根的判别式，方程的定义，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
15．（2022•荆门）若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足（ ）
A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝
【分析】由题意分两种情况：①函数为二次函数，函数y＝ax2﹣x+1的图象与x轴恰有一个交点，可得Δ
＝0，从而解出a值；②函数为一次函数，此时a＝0，从而求解．
【解答】解：①函数为二次函数，y＝ax2﹣x+1（a≠0），
∴Δ＝1﹣4a＝0，
∴a＝ ，
②函数为一次函数，
∴a＝0，
∴a的值为 或0；
故选：D．
【点评】此题考查根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是解题的关键．
16．（2022•鄂尔多斯）下列说法正确的是（ ）
①若二次根式 有意义，则x的取值范围是x≥1．
②7＜ ＜8．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．
④ 的平方根是±4．
⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
【分析】根据二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形的内角和定理，
根的判别式判断即可．【解答】解：①若二次根式 有意义，则1﹣x≥0，解得x≤1．
故x的取值范围是x≤1，题干的说法是错误的．
②8＜ ＜9，故题干的说法是错误的．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5是正确的．
④ ＝4的平方根是±2，故题干的说法是错误的．
⑤∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
∴一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根，故题干的说法是正确的．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当
Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
也考查了二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形．
17．（2022•广州）已知T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．
（1）化简T；
（2）若关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，求T的值．
【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式化简T；
（2）根据根的判别式可求a2+ab，再代入计算可求T的值．
【解答】解：（1）T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2
＝a2+6ab+9b2+4a2﹣9b2+a2
＝6a2+6ab；
（2）∵关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2a）2﹣4（﹣ab+1）＝0，
∴a2+ab＝1，
∴T＝6×1＝6．
【点评】本题考查了整式的混合运算，根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣
4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
18．（2022•山西）阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根就是相应的二次函数 y＝ax2+bx+c
（a≠0）的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有
两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不
相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与 x轴的交点个数确定一
元二次方程根的情况．
下面根据抛物线的顶点坐标（﹣ ， ）和一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac，
分别分a＞0和a＜0两种情况进行分析：
（1）a＞0时，抛物线开口向上．
①当Δ＝b2﹣4ac＞0时，有4ac﹣b2＜0．∵a＞0，∴顶点纵坐标 ＜0．
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．
②当Δ＝b2﹣4ac＝0时，有4ac﹣b2＝0．∵a＞0，∴顶点纵坐标 ＝0．
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根．
③当Δ＝b2﹣4ac＜0时，
……
（2）a＜0时，抛物线开口向下．
……
任务：（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 AC （从下面选项中选出两个即可）；
A．数形结合
B．统计思想
C．分类讨论
D．转化思想
（2）请参照小论文中当a＞0时①②的分析过程，写出③中当a＞0，Δ＜0时，一元二次方程根的情况的
分析过程，并画出相应的示意图；
（3）实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识．例如：可用函数观
点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为 可用函数观点认识二元一次方程组的解（答案不唯
一） ．【分析】（1）根据上面小论文中的分析过程，体现的数学思想主要是数形结合和分类讨论的思想；
（2）参照小论文中的分析过程可得；
（3）除一元二次方程外，初中数学中，用函数观点还可以认识二元一次方程组的解，认识一元一次不等
式的解集等．
【解答】解：（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是AC；
故答案为：AC；
（2）a＞0时，抛物线开口向上，
当Δ＝b2﹣4ac＜0时，有4ac﹣b2＞0．
∵a＞0，
∴顶点纵坐标 ＞0
∴顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点，如图，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）无实数根；
（3）可用函数观点认识二元一次方程组的解；
故答案为：可用函数观点认识二元一次方程组的解（答案不唯一）．
【点评】本题考查了根的判别式，用函数观点认识方程、方程组以及不等式的关系，体现了数形结合数学
的思想．
19．（2022•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为 ， ，且 +2 ＝5，求m的值．
【分析】（1）利用根的判别式，进α行β计算即α可解β 答；
（2）利用根与系数的关系和已知可得 ，求出 ， 的值，再根据 ＝﹣3m2，进行计算即可解
答． α β αβ
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
，
解得： ，
∵ ＝﹣3m2，
∴α﹣β3m2＝﹣3，
∴m＝±1，
∴m的值为±1．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根的判别式，以及根与系数的关系是解题的
关键．
七．根与系数的关系（共9小题）
20．（2022•巴中） 、 是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且 2﹣2 ﹣ ＝4，则k的值为
﹣ 4 ． α β α α β
【分析】 2﹣2 ﹣ ＝ 2﹣ ﹣（ + ）＝4，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，
得到关于αk的一α元一β次α方程α，即可α解β得答案．
【解答】解：∵ 、 是方程x2﹣x+k﹣1＝0的根，
∴ 2﹣ +k﹣1＝0α，β+ ＝1，
∴α 2﹣α2 ﹣ ＝ 2﹣α﹣β（ + ）＝﹣k+1﹣1＝﹣k＝4，
∴αk＝﹣α4，β α α α β
故答案是：﹣4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．21．（2022•绥化）设x 与x 为一元二次方程 x2+3x+2＝0的两根，则（x ﹣x ）2的值为 2 0 ．
1 2 1 2
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x +x ＝﹣6，x x ＝4，
1 2 1 2
∴（x ﹣x ）2＝（x +x ）2﹣4x x
1 2 1 2 1 2
＝（﹣6）2﹣4×4
＝36﹣16
＝20，
故答案为：20．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．
22．（2022•贵港）若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（
）
A．0，﹣2 B．0，0 C．﹣2，﹣2 D．﹣2，0
【分析】设方程的另一根为a，由根与系数的关系可得到a的方程，可求得m的值，即可求得方程的另一
根．
【解答】解：设方程的另一根为a，
∵x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，
∴4﹣4+m＝0，
解得m＝0，
则﹣2a＝0，
解得a＝0．
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的
关系为：x +x ＝﹣ ，x •x ＝ ．
1 2 1 2
23．（2022•日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x ，x ，且x 2+x 2＝ ，则
1 2 1 2
m＝ ﹣ ．
【分析】根据根与系数的关系得到x +x ＝﹣2m，x x ＝ ，再由x 2+x 2＝ 变形得到（x +x ）2﹣2x x ＝
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2，即可得到4m2﹣m＝ ，然后解此方程即可．
【解答】解：根据题意得x +x ＝﹣2m，x x ＝ ，
1 2 1 2
∵x 2+x 2＝ ，
1 2
∴（x +x ）2﹣2x x ＝ ，
1 2 1 2
∴4m2﹣m＝ ，
∴m ＝﹣ ，m ＝ ，
1 2
∵Δ＝16m2﹣8m＞0，
∴m＞ 或m＜0，
∴m＝ 不合题意，
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x +x ＝
1 2 1 2
﹣ ，x x ＝ ．
1 2
24．（2022•内江）已知x 、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且 + ＝x 2+2x ﹣1，则k
1 2 1 2
的值为 2 ．
【分析】根据x 、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，可得x +x ＝2，x •x ＝k﹣1，x 2﹣2x +k
1 2 1 2 1 2 1 1
﹣1＝0，把 + ＝x 2+2x ﹣1变形再整体代入可得 ＝4﹣k，解出k的值，并检验即可得k
1 2
＝2．
【解答】解：∵x 、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
1 2
∴x +x ＝2，x •x ＝k﹣1，x 2﹣2x +k﹣1＝0，
1 2 1 2 1 1
∴x 2＝2x ﹣k+1，
1 1∵ + ＝x 2+2x ﹣1，
1 2
∴ ＝2（x +x ）﹣k，
1 2
∴ ＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系得出
x +x ＝2，x •x ＝k﹣1，从而根据已知得到关于k的方程，注意最后要由求得的k值检验原方程是否有实数
1 2 1 2
根．
25．（2022•随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x ，x ．
1 2
（1）求k的取值范围；
（2）若x x ＝5，求k的值．
1 2
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x x ＝k2+1，再利用x x ＝5得到k2+1＝5，然后解关于k的方程，最后利用
1 2 1 2
k的范围确定k的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，
解得k＞ ；
（2）根据题意得x x ＝k2+1，
1 2
∵x x ＝5，
1 2
∴k2+1＝5，
解得k ＝﹣2，k ＝2，
1 2
∵k＞ ，
∴k＝2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x x ＝
1 2 1 2
．也考查了根的判别式．
26．（2022•凉山州）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x ，x ，则x +x ＝ ，x x ＝ ．
1 2 1 2 1 2
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x ，x ，则x +x ＝ ．x x ＝ ﹣ ．
1 2 1 2 1 2
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求 的值．
【分析】（1）根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得：m+n＝ ，mn＝﹣ ，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可；
（3）可把s与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则有s+t＝ ，st＝﹣ ，再利用分式的化简求
值的方法进行运算即可．
【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝ ＝ ，x x ＝ ＝﹣ ，
1 2 1 2
故答案为： ，﹣ ；
（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，
∴m+n＝ ，mn＝﹣ ，
∴＝
＝
＝
＝ ；
（3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，
∴s与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t＝ ，st＝﹣ ，
∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st，
（s﹣t）2＝（ ）2﹣4×（﹣ ），
（s﹣t）2＝ ，
∴s﹣t＝ ，
∴
＝
＝
＝
＝ ．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，分式的化简求值，解答的关键是把 s，t看作是相应的方程的两个
实数根．
27．（2022•南充）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x ，x ，若（x +1）（x +1）＝﹣1，求k的值．
1 2 1 2
【分析】（1）根据一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，可知Δ≥0，即可求得k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系和（x +1）（x +1）＝﹣1，可以求得k的值．
1 2
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，
∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0，
解得k≤ ，
即k的取值范围是k≤ ；
（2）∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝﹣3，x x ＝k﹣2，
1 2 1 2
∵（x +1）（x +1）＝﹣1，
1 2
∴x x +（x +x ）+1＝﹣1，
1 2 1 2
∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，
解得k＝3，
即k的值是3．
【点评】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方有根时Δ≥0，以及根
与系数的关系．
28．（2022•黄石）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36
＝0，经过运算，原方程的解为x
1，2
＝±2，x
3，4
＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等
的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解为 x ＝ ， x ＝﹣ ， x ＝ ， x ＝﹣ ；
1 2 3 4
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；（3）拓展应用：
已知实数m，n满足： + ＝7，n2﹣n＝7且n＞0，求 +n2的值．
【分析】（1）利用换元法降次解决问题；
（2）模仿例题解决问题即可；
（3）令 ＝a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣0，再模仿例题解决问题．
【解答】解：（1）令y＝x2，则有y2﹣5y+6＝0，
∴（y﹣2）（y﹣3）＝0，
∴y ＝2，y ＝3，
1 2
∴x2＝2或3，
∴x ＝ ，x ＝﹣ ，x ＝ ，x ＝﹣ ；
1 2 3 4
故答案为：x ＝ ，x ＝﹣ ，x ＝ ，x ＝﹣ ；
1 2 3 4
（2）∵a≠b，
∴a2≠b2或a2＝b2，
①当a2≠b2时，令a2＝m，b2＝n．
∴m≠n，则2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0，
∴m，n是方程2x2﹣7x+1＝0的两个不相等的实数根，
∴ ，
此时a4+b4＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝ ．
②当a2＝b2（a＝﹣b）时，a2＝b2＝ ，此时a4+b4＝2a4＝2（a2）2＝ ，
综上所述，a4+b4＝ 或 ．（3）令 ＝a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0，
∵n＞0，
∴ ≠﹣n，即a≠b，
∴a，b是方程x2+x﹣7＝0的两个不相等的实数根，
∴ ，
故 +n2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝15．
【点评】本题考查根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法等知识，解题的关键是理解题意，学会
模仿例题解决问题．
八．由实际问题抽象出一元二次方程（共3小题）
29．（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2
元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正
确的是（ ）
A．6.2（1+x）2＝8.9
B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9
D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
【分析】利用该地92号汽油五月底的价格＝该地92号汽油三月底的价格×（1+该地92号汽油价格这两个
月平均每月的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得6.2（1+x）2＝8.9，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的感
觉．
30．（2022•泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几
株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如
果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 6210文能买多
少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）A．3（x﹣1）x＝6210 B．3（x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210 D．3x＝6210
【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x﹣1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于
x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一
株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x﹣1）文．
依题意得：3（x﹣1）x＝6210．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
31．（2022•青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长
方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去
的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 （ 1 1 ﹣ 2 x ）（ 7 ﹣ 2 x ）＝ 2 1 ．
【分析】根据题意和图形，可以得到裁剪后的底面的长是（11﹣2x）cm，宽为（7﹣2x）cm，然后根据长
方形的面积＝长×宽，可以列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21，
故答案为：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是写出裁剪后的底面的长和宽．
九．一元二次方程的应用（共6小题）
32．（2022•南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利
的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（ ）
A．10.5% B．10% C．20% D．21%
【分析】设该超市的月平均增长率为x，根据等量关系：1月份盈利额×（1+增长率）2＝3月份的盈利额列
出方程求解即可．
【解答】解：设从1月到3月，每月盈利的平均增长率为x，由题意可得：
3000（1+x）2＝3630，解得：x ＝0.1＝10%，x ＝﹣2.1（舍去），
1 2
答：每月盈利的平均增长率为10%．
故答案为：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，增长率＝增长数量/原数量×100%．如：
若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×
（1+增长百分率）2＝后来数．
33．（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进
行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【分析】设共有x支队伍参加比赛，根据“单循环比赛共进行了45场”列一元二次方程，求解即可．
【解答】解：设共有x支队伍参加比赛，
根据题意，可得 ，
解得x＝10或x＝﹣9（舍），
∴共有10支队伍参加比赛．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
34．（2022•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，
设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝ 30% （用百分数表示）．
【分析】设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），利用2019年的新注册用户数为100万×（1+平均
增长率）2＝2021年的新注册用户数为169万，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结
论．
【解答】解：新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），
依题意得：100（1+x）2＝169，
解得：x ＝0.3，x ＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
1 2
0.3＝30%，
∴新注册用户数的年平均增长率为30%．
故答案为：30%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
35．（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、
宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；
（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．
【分析】（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，根据扩充
后的矩形绿地面积为800m，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值分别代入
（35+x）及（15+x）中，即可得出结论；
（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，根据实地测量发现
新的矩形绿地的长宽之比为5：3，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用矩形的面
积计算公式，即可求出新的矩形绿地面积．
【解答】解：（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，
根据题意得：（35+x）（15+x）＝800，
整理得：x2+50x﹣275＝0
解得：x ＝5，x ＝﹣55（不符合题意，舍去），
1 2
∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．
答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m．
（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，
根据题意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，
即3（35+y）＝5（15+y），
解得：y＝15，
∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．
答：新的矩形绿地面积为1500m2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
36．（2022•毕节市）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销
售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
类别 A款钥匙 B款钥匙
扣 扣
价格
进货价 30 25
（元/件）销售价 45 37
（元/件）
（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价
和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售
利润是多少？
（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调
查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使 B款钥匙扣平均每天销
售利润为90元？
【分析】（1）设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，利用总价＝单价×数量，结合该网店第一次用850
元购进A、B两款钥匙扣共30件，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进（80﹣m）件B款钥匙扣，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过
2200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设再次购进的A、B两款冰墩
墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于m
的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为（a﹣25）元，平均每天可售出（78﹣2a）件，
利用平均每天销售B款钥匙扣获得的总利润＝每件的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于a的一
元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，
依题意得： ，
解得： ．
答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件．
（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进（80﹣m）件B款钥匙扣，
依题意得：30m+25（80﹣m）≤2200，
解得：m≤40．
设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为 w元，则w＝（45﹣30）m+（37﹣25）
（80﹣m）＝3m+960．
∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，∴当m＝40时，w取得最大值，最大值＝3×40+960＝1080，此时80﹣m＝80﹣40＝40．
答：当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元．
（3）设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为（a﹣25）元，平均每天可售出4+2（37﹣a）＝
（78﹣2a）件，
依题意得：（a﹣25）（78﹣2a）＝90，
整理得：a2﹣64a+1020＝0，
解得：a ＝30，a ＝34．
1 2
答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数
的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，
找出w关于m的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
37．（2022•宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的
生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润
比上月增加 %，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量
比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多
少元？
【分析】（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为（2x﹣100）吨，根据该厂3，4月
份共生产再生纸800吨，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再将其代入（2x﹣100）
中即可求出4月份再生纸的产量；
（2）利用月利润＝每吨的利润×月产量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，根据6月份再生纸项
目月利润比上月增加了25%，即可得出关于y的一元二次方程，化简后即可得出6月份每吨再生纸的利润．
【解答】解：（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为（2x﹣100）吨，
依题意得：x+2x﹣100＝800，
解得：x＝300，
∴2x﹣100＝2×300﹣100＝500．
答：4月份再生纸的产量为500吨．（2）依题意得：1000（1+ %）×500（1+m%）＝660000，
整理得：m2+300m﹣6400＝0，
解得：m ＝20，m ＝﹣320（不合题意，舍去）．
1 2
答：m的值为20．
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，
依题意得：1200（1+y）2•a（1+y）＝（1+25%）×1200（1+y）•a，
∴1200（1+y）2＝1500．
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方
程（或一元二次方程）是解题的关键．
一十．高次方程（共1小题）
38．（2022•重庆）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每
包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高 20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的
数量之比为1：3：2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为 4 ： 3
．
【分析】先根据比例设该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量分别为x，3x，2x，每包麻花的成本为y
元，每包米花糖的成本为a元，则每包桃片的成本是2y元，由三种特产的总利润是总成本的25%列方程可
得 ＝ ，从而解答此题．
【解答】解：设该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量分别为x，3x，2x，每包麻花的成本为y元，每
包米花糖的成本为a元，则每包桃片的成本是2y元，
由题意得：20%•2y•x+30%•a•3x+20%•y•2x＝25%（2xy+3ax+2xy），
15a＝20y，
∴ ＝ ，
则每包米花糖与每包麻花的成本之比为4：3．
故答案为：4：3．
【点评】本题考查三元高次方程的应用，解本题要理解题意，通过找出等量关系即可求解．
一十一．分式方程的解（共4小题）
39．（2022•牡丹江）若关于x的方程 ＝3无解，则m的值为（ ）A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
【分析】先去分母，再根据条件求m．
【解答】解：两边同乘以（x﹣1）得：mx﹣1＝3x﹣3，
∴（m﹣3）x＝﹣2．
当m﹣3＝0时，即m＝3时，原方程无解，符合题意．
当m﹣3≠0时，x＝ ，
∵方程无解，
∴x﹣1＝0，
∴x＝1，
∴m﹣3＝﹣2，
∴m＝1，
综上：当m＝1或3时，原方程无解．
故选：B．
【点评】本题考查分式方程的解，理解分式方程无解的含义是求解本题的关键．
40．（2022•遂宁）若关于x的方程 ＝ 无解，则m的值为（ ）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
【分析】解分式方程可得（4﹣m）x＝﹣2，根据题意可知，4﹣m＝0或2x+1＝0，求出m的值即可．
【解答】解： ＝ ，
2（2x+1）＝mx，
4x+2＝mx，
（4﹣m）x＝﹣2，
∵方程无解，
∴4﹣m＝0或2x+1＝0，
即4﹣m＝0或x＝﹣ ＝﹣ ，
∴m＝4或m＝0，
故选：D．
【点评】本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，分式方程无解的条件是解题的关键．41．（2022•齐齐哈尔）若关于x的分式方程 + ＝ 的解大于1，则m的取值范围是 m ＞ 0
且 m ≠ 1 ．
【分析】先解分式方程，再应用分式方程的解进行计算即可得出答案．
【解答】解： ，
给分式方程两边同时乘以最简公分母（x+2）（x﹣2），
得（x+2）+2（x﹣2）＝x+2m，
去括号，得x+2+2x﹣4＝x+2m，
解方程，得x＝m+1，
检验：当
m+1≠2，m+1≠﹣2，
即m≠1且m≠﹣3时，x＝m+1是原分式方程的解，
根据题意可得，
m+1＞1，
∴m＞0且m≠1．
故答案为：m＞0且m≠1．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式的解的定义进行求解是解决本题的关键．
42．（2022•泸州）若方程 +1＝ 的解使关于x的不等式（2﹣a）x﹣3＞0成立，则实数a的取值范
围是 a ＜﹣ 1 ．
【分析】先解分式方程，再将x代入不等式中即可求解．
【解答】解： +1＝ ，
+ ＝ ，
＝0，
解得：x＝1，
∵x﹣2≠0，2﹣x≠0，
∴x＝1是分式方程的解，
将x＝1代入不等式（2﹣a）x﹣3＞0，得：
2﹣a﹣3＞0，解得：a＜﹣1，
∴实数a的取值范围是a＜﹣1，
故答案为：a＜﹣1．
【点评】本题考查分式方程的解，不等式的解集，解题的关键是正确求出分式方程的解，要注意分母不能
为0．
一十二．解分式方程（共4小题）
43．（2022•营口）分式方程 ＝ 的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣6 C．x＝6 D．x＝﹣2
【分析】方程两边都乘x（x﹣2）得出3（x﹣2）＝2x，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解： ＝ ，
方程两边都乘x（x﹣2），得3（x﹣2）＝2x，
解得：x＝6，
检验：当x＝6时，x（x﹣2）≠0，
所以x＝6是原方程的解，
即原方程的解是x＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
44．（2022•毕节市）小明解分式方程 ＝ ﹣1的过程如下．
解：去分母，得3＝2x﹣（3x+3）．①
去括号，得3＝2x﹣3x+3．②
移项、合并同类项，得﹣x＝6．③
化系数为1，得x＝﹣6．④
以上步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】按照解分式方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．
【解答】解：去分母得：3＝2x﹣（3x+3）①，
去括号得：3＝2x﹣3x﹣3②，
∴开始出错的一步是②，
故选：B．【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解决问题的关键．
45．（2022•济南）代数式 与代数式 的值相等，则x＝ 7 ．
【分析】根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤和方法进行计算即可．
【解答】解：由题意得，
＝ ，
去分母得，3（x﹣1）＝2（x+2），
去括号得，3x﹣3＝2x+4，
移项得，3x﹣2x＝4+3，
解得x＝7，
经检验x＝7是原方程的解，
所以原方程的解为x＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤和方法是正确解答的前提，注意解分式方程要检验．
46．（2022•盐城）分式方程 ＝1的解为 x ＝ 2 ．
【分析】先把分式方程转化为整式方程，再求解即可．
【解答】解：方程的两边都乘以（2x﹣1），得x+1＝2x﹣1，
解得x＝2．
经检验，x＝2是原方程的解．
故答案为：x＝2．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键．
一十三．由实际问题抽象出分式方程（共4小题）
47．（2022•内蒙古）某班学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，
其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的 2倍，设骑车学生的速度为
xkm/h，下列方程正确的是（ ）
A． ﹣ ＝20 B． ﹣ ＝20
C． ﹣ ＝ D． ﹣ ＝
【分析】根据汽车的速度和骑车学生速度之间的关系，可得出汽车的速度为 2xkm/h，利用时间＝路程÷速
度，结合汽车比骑车学生少用20min，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：∵骑车学生的速度为xkm/h，且汽车的速度是骑车学生速度的2倍，
∴汽车的速度为2xkm/h．
依题意得： ﹣ ＝ ，
即 ﹣ ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
48．（2022•淄博）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．
开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一
次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D． ＝
【分析】根据题目中的数据和两次购买的数量相同，可以列出相应的分式方程．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的
分式方程．
49．（2022•鞍山）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲
车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工
x件产品，根据题意可列方程为 ﹣ ＝ 3 ．
【分析】根据两车间工作效率间的关系，可得出乙车间每天加工 1.5x件产品，再根据甲车间加工4000件
比乙车间加工4200件多用3天，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：∵甲车间每天加工x件产品，乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的 1.5
倍，
∴乙车间每天加工1.5x件产品，
又∵甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，
∴ ﹣ ＝3．
故答案为： ﹣ ＝3．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
50．（2022•青岛）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题
的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了
25%，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为 ﹣
＝ 3 ．
【分析】根据等量关系：原来参加3000米比赛时间﹣经过一段时间训练后参加3000米比赛时间＝3分钟，
依此列出方程即可求解．
【解答】解：依题意有： ﹣ ＝3．
故答案为： ﹣ ＝3．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设
出未知数，列出方程．
一十四．分式方程的应用（共10小题）
51．（2022•宁夏）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球
数量和240元购进的排球数量相等．
（1）篮球和排球的单价各是多少元？
（2）现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？
【分析】（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，由题意：330元购进的篮球数量和240
元购进的排球数量相等．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买排球y个，则购买篮球（20﹣y）个，由题意：购买篮球和排球的总费用不超过1800元，列出
一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，
根据题意得： ＝ ，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+30＝110．
∴篮球的单价为110元，排球的单价为80元．
（2）设购买篮球y个，则购买排球（20﹣y）个，
依题意得：110y+80（20﹣y）≤1800，
解得y≤6 ，
即y的最大值为6，
∴最多购买6个篮球．
【点评】此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式．
52．（2022•衢州）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 新能源车
油箱容积：40升 电池电量：60千瓦时
油价：9元/升 电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米 续航里程：a千米
每千米行驶费用：_____元
每千米行驶费用： 元
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新
能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然
后求解即可，注意分式方程要检验；
②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【解答】解：（1）由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为： ＝ （元），
即新能源车的每千米行驶费用为 元；
（2）①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
∴ ﹣ ＝0.54，
解得a＝600，
经检验，a＝600是原分式方程的解，
∴ ＝0.6， ＝0.06，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；
②设每年行驶里程为xkm，
由题意得：0.6x+4800＞0.06x+7500，
解得x＞5000，
答：当每年行驶里程大于5000km时，买新能源车的年费用更低．
【点评】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列
出相应的分式方程和不等式．
53．（2022•菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，
若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．
（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？
（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？
【分析】（1）设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个1.5x元，由等量关系：用3600元购进篮球
的数量比用3200元购进排球的数量少10个列出方程，解方程即可；
（2）设购买m个篮球，则购买（300﹣m）个排球，由题意：购买篮球和排球的总费用不多于28000元，
列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个1.5x元，
依题意得： ﹣ ＝10，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是方程的解，
1.5x＝1.5×80＝120．
答：篮球的进价为每个120元，排球的进价为每个80元；（2）设购买m个篮球，则购买（300﹣m）个排球，
依题意得：120m+80（300﹣m）≤28000，
解得：m≤100，
答：最多可以购买100个篮球．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
54．（2022•丹东）为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的
学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样
多的篮球，每个篮球的原价是多少元？
【分析】设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元，根据“该公司出资10000元就
购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．
【解答】解：设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元，
根据题意，得 ＝ ．
解得x＝120．
经检验x＝120是原方程的解．
答：每个篮球的原价是120元．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
55．（2022•锦州）2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探
索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入 A、B两款物理
实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买
的B款套装数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元．
【分析】设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，利用数量＝总价÷单价，结合用9900元
购买的A款套装数量比用7500元购买的B款套装数量多5套，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后
即可得出B款套装的单价，再将其代入1.2x中即可求出A款套装的单价．
【解答】解：设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，
依题意得： ﹣ ＝5，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝1.2×150＝180．
答：A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
56．（2022•益阳）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻
收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；
甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．
（1）甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？
（2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成
收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？
【分析】（1）设甲操控A型号收割机每小时收割 x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣
40%）x亩水稻，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合乙比甲多用0.4小时完成任务，即可得出关于x
的分式方程，解之经检验后即可求出甲操控A型号收割机每小时收割水稻的亩数，再将其代入（1﹣40）x
中即可求出乙操控B型号收割机每小时收割水稻的亩数；
（2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割 小时，根据要求平均损失率不超过2.4%，即可得出关
于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣
40%）x亩水稻，
依题意得： ﹣ ＝0.4，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
∴（1﹣40%）x＝（1﹣40%）×10＝6．
答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻．
（2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割 小时，
依题意得：3%×10y+2%×6× ≤2.4%×100，
解得：y≤4．
答：最多安排甲收割4小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
57．（2022•柳州）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都
要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具
多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机
具最多能购买多少件？
【分析】（1）设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要（x+1）万元，利用数量＝
总价÷单价，结合用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同，即可得出关于
x的分式方程，解之经检验后即可得出购买1件乙种农机具所需费用，再将其代入（x+1）中即可求出购买
1件甲种农机具所需费用；
（2）设购买m件甲种农机具，则购买（20﹣m）件乙种农机具，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过
46万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要（x+1）万元，
依题意得： ＝ ，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，
∴x+1＝2+1＝3．
答：购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元．
（2）设购买m件甲种农机具，则购买（20﹣m）件乙种农机具，
依题意得：3m+2（20﹣m）≤46，
解得：m≤6．
答：甲种农机具最多能购买6件．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
58．（2022•长春）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活
动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相
同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
【分析】设乙班平均每小时挖x千克土豆，根据“甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时
间相同”列分式方程，求解即可．
【解答】解：设乙班平均每小时挖x千克土豆，
根据题意，得 ，解得x＝400，
经检验，x＝400是原方程的根，且符合题意；
答：乙班平均每小时挖400千克土豆．
【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
59．（2022•贵港）为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比
每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．
（1）绳子和实心球的单价各是多少元？
（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的
数量各是多少？
【分析】（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为（x+23）元，根据数量＝总价÷单价且84元购买绳
子的数量与360元购买实心球的数量相同，列出分式方程并解答即可；
（2）设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为3m条，根据费用等于单价×数量列出方程解答即
可．
【解答】解：（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为（x+23）元，
根据题意，得 ，
解得x＝7，
经检验可知x＝7是所列分式方程的解，且满足实际意义，
∴x+23＝30，
答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元．
（2）设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为3m条，
根据题意，得7×3m+30m＝510，
解得m＝10，
∴3m＝30，
答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次方程．，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元
一次方程．
60．（2022•烟台）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．
某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购
相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人
每个进价分别为多少元？【分析】设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为（2x﹣400）元，利用数量
＝总价÷单价，结合用96000元购进A型扫地机器人的数量等于用168000元购进B型扫地机器人的数量，
即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出每个A型扫地机器人的进价，再将其代入（2x﹣400）
中即可求出每个B型扫地机器人的进价．
【解答】解：设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为（2x﹣400）元，
依题意得： ＝ ，
解得：x＝1600，
经检验，x＝1600是原方程的解，且符合题意，
∴2x﹣400＝2×1600﹣400＝2800．
答：每个A型扫地机器人的进价为1600元，每个B型扫地机器人的进价为2800元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
