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第 05 讲一元二次方程、分式方程的解法及应用【挑战中考满分模拟
练】
一．根的判别式（共1小题）
1．（2022•天宁区校级二模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图
象研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出
了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义 ．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：
在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性
质；
（3）已知函数 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式
的解集．
（4）若方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ．二．根与系数的关系（共2小题）
2．（2022•随县一模）已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝ ．
3．（2022•黄石港区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x ，x ．
1 2
（1）求m的取值范围；
（2）若x ，x 满足3x ＝|x |+2，求m的值．
1 2 1 2
三．一元二次方程的应用（共10小题）
4．（2022•江岸区校级模拟）某公司以3万元/吨的价格收购20吨某种水果后，分成A，B两类（A类直接
销售，B类深加工成果酱后再销售），并全部售出：
A类水果的销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝﹣x+13．
B类水果深加工总费用m（单位：万元）与加工数量n（单位：吨）之间的函数关系是m＝12+3n，B类
果酱每吨利润率（不考虑深加工费用）是A类水果每吨利润率的2倍，按此标准定B类的销售价格．
注：总利润＝售价﹣总成本；利润率＝（售价﹣进价）÷进价．
（1）设其中A类水果有x吨，用含x的代数式表示下列各量．
①B类果酱有 吨；
②A类水果所获得总利润为 万元；
③B类果酱所获得总利润为 万元．
（2）若A类水果比B类果酱获得总利润低24万元，问A，B两类水果各有多少吨？
（3）若A，B两类水果获得总利润和不低于48万元，直接写出x的取值范围．5．（2022•裕安区校级一模）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头
盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售
价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．
（1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？
（2）商店降价销售后，决定每销售1顶头盔就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且1≤m≤5），帮
助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的
值．
6．（2022•常州一模）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有 7.5
万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万
人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的
知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月
后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．7．（2022•法库县模拟）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，
若每次下降的百分率相同
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定
采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，
且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
8．（2022•台儿庄区一模）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以
1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一
个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？
9．（2022•盂县一模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB边
以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动
时间为t（s）．
（1）当t为几秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的 ？
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．10．（2022•大连模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分枝，主干，
支干和小分枝的总数是73，每个支干长出多少分枝？
11．（2022•庐阳区校级四模）某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元
购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元
购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．
（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？
（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？
12．（2022•永州模拟）今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”
活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017
年单价为162元．
（1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：
试问去哪个商场购买足球更优惠？
13．（2022•祁阳县校级模拟）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均
为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x．
（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．
四．高次方程（共1小题）
14．（2022•扬州一模）已知x 、x 、x 为方程x3+3x2﹣9x﹣4＝0的三个实数根，则下列结论一定正确的是
1 2 3
（ ）
A．x x x ＜0 B．x +x ﹣x ＞0 C．x ﹣x ﹣x ＞0 D．x +x +x ＜0
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
五．无理方程（共1小题）
15．（2022•揭阳一模）小明用下面的方法求出方程2 ﹣3＝0的解，
方程 换元法得新方程 解新方程 检验 求原方程的解
2 ﹣3＝0 令 ＝t，
t＝ t＝ ＞0 ，
则2t﹣3＝0
所以x＝
请你仿照他的方法求出下面方程的解，并写出你的解答过程．
解方程：x+2 ﹣3＝0．
六．分式方程的解（共2小题）
16．（2022•渝中区校级模拟）已知关于x的一元一次不等式组 的解集为x＞2，且关于y的分式方程 ＝1﹣ 的解为正整数，则所有满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．9
17．（2022•恩施市模拟）已知关于 x 的分式方程 的解是非负数，则 m 的取值范围是
（ ）
A．m≤5且m≠﹣3 B．m≥5且m≠﹣3 C．m≤5且m≠3 D．m≥5且m≠3
七．分式方程的应用（共26小题）
18．（2022•江津区一模）2021年11月2日，重庆市九龙坡区、长寿区分别新增1例新冠本土确诊．当疫
情出现后，各级政府及有关部门高度重视，坚决阻断疫情传播．开州区赵家工业园区一家民营公司为了
防疫需要，引进一条口罩生产线生产口罩，该产品有三种型号，通过市场调研后，按三种型号受消费者
喜爱的程度分别对A型、B型、C型产品在成本的基础上分别加价20%，30%，45%出售（三种型号的
成本相同）．经过一个月的经营后，发现 C型产品的销量占总销量的 ，且三种型号的总利润率为
35%．第二个月，公司决定对 A型产品进行升级，升级后 A型产品的成本提高了 25%，销量提高了
20%；B型、C型产品的销量和成本均不变，且三种产品在第二个月成本基础上分别加价20%，30%，
50%出售，则第二个月的总利润率为 ．
19．（2022•牡丹江二模）某商场准备购进A，B两款净水器，每台A款净水器比B款净水器的进价少600
元，用36000元购进A款净水器的台数是用27000元购进B款净水器台数的2倍，A，B两款净水器每台
售价分别是1350元、2100元．请解答下列问题：
（1）A，B两款净水器每台进价各是多少元？
（2）若该商场用6万元资金全部用于购进A和B两款净水器，购进B款净水器不超过8台，设购进A
款净水器a台，则该商场有几种进货方案？
（3）在（2）条件下，为促进销售，商场推出每购买一台净水器可抽奖一次，中奖顾客赠送同款净水器
滤芯一个．A，B两款净水器每个滤芯的进价分别是400元、500元．如果这批净水器全部售出，除去奖
品的费用后仍获利5250元，那么两款净水器滤芯共赠送多少个？请直接写出答案．
20．（2022•东营二模）为了防止水土流失，某村开展绿化荒山活动，计划经过若干年使本村绿化总面积新增360万平方米．自2014年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完
成任务．问实际每年绿化面积多少万平方米？
21．（2022•长春模拟）列方程解应用题：
中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承
优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环
画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600
元购买《三国演义》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格．
22．（2022•章丘区模拟）山地自行车越来越受到大众的喜爱，某车行经销了某品牌的A、B两型车，其经
销的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆车的销售价将比去年降低400元，若卖出的数量相同，销
售总额将比去年减少20%．其中A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：
A型车 B型车
进货价格（元） 1100 1400
销售价格（元） 今年的销售价格 2000
试问：
（1）今年A型车每辆售价多少元？
（2）该车行计划新进一批A型车和B型车共60辆（见上表），要使这批车获利不少于33000元，A型
车至多进多少辆？
23．（2022•南岗区校级一模）某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文
学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等．
（1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？（2）若今年文学书的单价比去年提高了25%，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文
学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多
少本文学书？
24．（2022•南岗区校级二模）某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用160元购进的A种纪念品与用
240元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比A种纪念品的进价贵10元．
（1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？
（2）若该商店A种纪念品每件售价24元，B种纪念品每件售价35元，这两种纪念品共购进1 000件，
这两种纪念品全部售出后总获利不低于4 900元，求A种纪念品最多购进多少件．
25．（2022•扬州三模）某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，陈老师从少年宫带回来两条信息：
信息一：按原来报名参加的人数，共需要交费用320元，如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，
就可以享受优惠，此时只需交费用480元；
信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元．
根据以上信息，现在报名参加的学生有多少人？
26．（2022•包头模拟）甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工 30天完成该项工程的 ，
这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．
（1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
（2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？27．（2022•朝阳区校级模拟）某市政工程队承担着1200米长的道路维修任务．为了减少对交通的影响，
在维修了240米后通过增加人数和设备提高了工程进度，工作效率是原来的4倍，结果共用了6小时就
完成了任务．求原来每小时维修多少米？
28．（2022•本溪模拟）东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接
着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．
（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；
（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少
是多少元？
29．（2022•丰泽区校级模拟）现有一工程由甲工程队单独完成这工程，刚好如期完成，若由乙工程队单
独完成此项工程，则要比规定工期多用6天，现先由甲乙两队合做3天，余下的工程再由乙队单独完成，
也正好如期完成．
（1）求该工程规定的工期天数；
（2）若甲工程队每天的费用为0.5万元，乙工程队每天的费用为0.4万元，该工程总预算不超过3.9万
元，问甲工程队至少要工作几天？30．（2022•平房区校级模拟）某工厂签了1200件商品订单，要求不超过15天完成．现有甲、乙两个车间
来完成加工任务．已知甲车间的加工能力是乙车间加工能力的 1.5倍，并且加工240件需要的时间甲车
间比乙车间少用2天．
（1）求甲、乙每个车间的加工能力每天各是多少件？
（2）甲、乙两个车间共同生产了若干天后，甲车间接到新任务，留下乙车间单独完成剩余工作，求甲
乙两车间至少合作多少天，才能保证完成任务．
31．（2022•松北区三模）甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙
工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天
数的1.5倍．
（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
（2）若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修
路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？
32．（2022•博白县校级模拟）五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重
洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共 2000件送往灾区，已知
每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵 10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购
买乙种物品的件数相同
（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？
（2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例
购买这2000件物品，需筹集资金多少元？33．（2022•泰安模拟）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后
果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的 2倍，但单价贵
了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率
不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
34．（2022•东平县模拟）荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买
一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒
个数的一半．
（1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？
（2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果荣庆公司需
要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么
荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯？
35．（2022•诸城市一模）某校为美化校园，计划对面积为 1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程
队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为
400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8
万元，至少应安排甲队工作多少天？
36．（2022•道外区二模）兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，
老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．（1）第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？
（2）老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出 时，出现了滞销，于是决定
降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润＝售
价﹣进价）
37．（2022•保定一模）甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要 40分钟完工：若甲、
乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
（1）问乙单独整理多少分钟完工？
（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
38．（2022•营口模拟）南宁市2006年的污水处理量为10万吨/天，2007年的污水处理量为34万吨/天，
2007年平均每天的污水排放量是2006年平均每天污水排放量的1.05倍，若2007年每天的污水处理率
比2006年每天的污水处理率提高40%（污水处理率＝ ）．
（1）求南宁市2006年、2007年平均每天的污水排放量分别是多少万吨？（结果保留整数）
（2）预计我市2010年平均每天的污水排放量比2007年平均每天污水排放量增加20%，按照国家要求
“2010年省会城市的污水处理率不低于70%”，那么我市2010年每天污水处理量在2007年每天污水处
理量的基础上至少还需要增加多少万吨，才能符合国家规定的要求？39．（2022•市中区校级模拟）在汕头市“创文”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲
工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作
了36天完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了a天完成，乙做另一部分用了y天
完成．若乙工程队还有其它工作任务，最多只能做52天．求甲工程队至少应做多少天？
40．（2022•旌阳区校级模拟）我校在开学前去商场购进A，B两种品牌的乒乓球拍，购买A品牌球拍共花
费1800元，购买B品牌球拍共花费700元，且购买A品牌球拍数量是购买B品牌球拍的3倍，已知购
买一副B品牌球拍比购买一副A品牌球拍多花5元．
（1）求购买一副A品牌、一副B品牌球拍各需多少元？
（2）为了进一步发展“校园乒乓球”，学校在开学后再次购进了A，B两种品牌的球拍，每种品牌的球
拍都不少于16副，在购买时，商场对两种品牌的球拍的销售单价进行了调整，A品牌球拍销售单价比
第一次购买时提高了5%，B品牌球拍按第一次购买时销售单价的6折出售且总花费恰好为903元，那么
此次有哪些购买方案？
41．（2022•百色一模）早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间
比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．
（1）求小明步行速度（单位：米/分）是多少；
（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，
小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程
最多是多少米？
42．（2022•振兴区校级模拟）某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制
作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务．原来每天制作多少件？
43．（2022•宁波模拟）“5，12”汶川大地震后，某药业生产厂家为支援灾区人民，准备捐赠 320箱某种
急需药品，该厂家备有多辆甲、乙两种型号的货车，如果单独用甲型号车若干辆，则装满每车后还余
20箱未装；如果单独用同样辆数的乙型号车装，则装完后还可以再装 30箱，已知装满时，每辆甲型号
车比乙型号车少装10箱．
（1）求甲、乙两型号车每辆车装满时，各能装多少箱药品？
（2）已知将这批药品从厂家运到灾区，甲、乙两型号车的运输成本分别为400元/辆和430元/辆．设派
出甲型号车u辆，乙型号车v辆时，运输的总成本为z元，请你提出一个派车方案，保证320箱药品装
完，且运输总成本z最低，并求出这个最低运输成本为多少元？
