文档内容
难点与易错点 03 方程与不等式中的参数问题（6 大题型）
题型一：分式方程的增根问题
题型二：分式方程的无解问题
题型三：分式方程的特殊解问题
题型四：一元二次方程根的情况判断
题型五：一元二次方程根与系数关系
题型六：不等式组的整数解问题
题型一：分式方程的增根问题
增根问题的解题关键
分式方程有增根是指解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,方程的两边都乘了一个
可能使分母为零的整式.
【中考母题学方法】
【典例1】（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程 （m为常数）有增根，则增根
是 ．
【变式1-1】（2024·上海松江·三模）若分式方程 有增根，则k的值为
【变式1-2】难点分情况讨论x的值,使方程两边同乘的整式为零
（2024·山东菏泽·模拟预测）若关于 的方程： 有增根，则 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·云南·模拟预测）若关于x的分式方程 有增根，则m的值为
2．（2023·四川成都·二模）若关于x的分式方程 有增根，则a的值是 （ ）
A． B． C．0 D．1
3．（2024·宁夏银川·三模）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务：解：去分母，得 …………第一步
去括号，得 …………第二步
移项、合并同类项，得 …………第三步
解得 …………第四步
经检验： 是原分式方程的解…………第五步
(1)上面的解题过程从第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
(2)上面解题过程的第五步是检验分式方程是否产生增根，增根指的是（文字叙述）
(3)请你帮这个同学正确解答这个分式方程．
题型二：分式方程的无解问题
无解问题的解题关键
分式方程无解是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等,它包含两种情形①原方程化去分母后
的整式方程无解;②原方程化去分母后的整式方程有解,但这个解却使原方程的分母为0.它是原方程的
增根,从而原方程无解.
【中考母题学方法】
【典例2】（2024·四川达州·中考真题）若关于 的方程 无解，则 的值为 ．
【变式2-1】易错点去分母后未知数的系数含参,需分类讨论
（2024·山东菏泽·三模）若关于 的分式方程 无解，则 ．
【变式2-2】易错点去分母后未知数的系数含参,需分类讨论
（2024·广东梅州·模拟预测）若关于x 的方程 无解，则a的值为 ．【中考模拟即学即练】
1．（2024·贵州黔东南·一模）若关于 的分式方程 无解，则 的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程 无解，则k的值为 ．
3．（2024·江苏宿迁·二模）若关于 的分式方程 无解，则 的取值是 ．
4．（2022·浙江温州·模拟预测）设a，b为实数，关于 的方程 无实数根，求代数式
8a+4b+|8a+4b-5|的值．
5．（2022·广西梧州·一模）已知关于x的分式方程 无解．
(1)求a的值；
(2)先化简，后求值： ．
题型三：分式方程的特殊解问题
特殊解问题的解题思路
分式方程的特殊解是指题中已知解为负数或非负数等,通常先将解用含参数的代数式表示出来,再根据解
为特殊解求解参数的范围,注意分式方程的解不能使分母为零。【中考母题学方法】
【典例3】（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程 的解为正数，则 的取值范围（ ）
A． B． 且
C． D． 且
【变式3-1】．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于 的分式方程 的解是负数，那么实
数 的取值范围是（ ）
A． 且 B． C． D． 且
【变式3-2】．（2024·甘肃金昌·三模）若有六张完全一样的卡片正面分别写有 ， ， ，0，1，2，
3，现背面向上，任意抽取一张卡片，其上面的数字作为k的值能使关于x的分式方程 的解为正数，
且使反比例函数 图象过第一、三象限的概率为 ．
【变式3-3】．（2023·四川成都·模拟预测）使关于x的分式方程 的解为非负数，且使反比例函数
的图象经过一，三象限，则满足条件的所有整数 的和 ．
【变式3-4】（2023·浙江·模拟预测）已知关于 的方程 的方程恰好有一个实数解，求
的值及方程的解．
【变式3-5】．（2022·四川成都·一模）在 中， ， ， 是 边上的中线，记
且 为正整数．则 使关于 的分式方程 有正整数解的概率为 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·安徽·模拟预测）关于 的方程 的解为非负数，则 的取值范围是 ．
2．（2024·四川宜宾·二模）若分式方程 的解为负数，则 的取值范围是 ．3．（23-24九年级下·四川成都·期中）若正整数 使得关于 的分式方程 有正整数解，那么
符合条件的所有正整数 的个数有 个．
4．（2024·江苏宿迁·三模）若关于x的方程 的解为正数，则m的取值范图是 ．
5．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知关于x的方程 有一个正数解，则m的取值范围
．
6．（2024·重庆·模拟预测）若关于 的不等式组 有解，且关于 的分式方程
的解为非负数，则满足条件的整数a的值的和为
题型四：一元二次方程根的情况判断
判别式判断法
用一元二次方程根的判别式 6-4ac 与0的大小判断,其判别式用符号“Δ”表示若Δ>0,一元二次方程有两
个不相等的实数根:若Δ=0,一元二次方程有两个相等的实数根:若Δ<0,一元二次方程没有实数根.
【中考母题学方法】
【点例3】（2024·山东泰安·中考真题）关于 的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
请写出一个满足题意的k的值： ．
【变式3-2】难点结合根的情况求参数的范围
（2024·四川绵阳·二模）若关于x的分式方程 有解，且关于y的方程 有实数根，则
的范围是 ．
【变式3-3】难点根的情况与三角形的综合应用（2024·广东广州·一模）关于 的方程 有两个相等的实数根，若 是 的三边长，
则这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【变式3-4】．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线 （ 是常数）与 轴没有交点，则 的取
值范围是 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2025·河南·模拟预测）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是( )
A． 且 B． C． 且 D．
2.（2024·四川达州·一模）对于实数 定义新运算： ，若关于 的方程 有两个不相
等的实数根，则 的取值范围（ ）
A． B． C． 且 D． 且
3．（2024·湖北随州·一模）定义：如果一元二次方程 满足 ，那么称这个方程
为“奇妙方程”．已知 是“奇妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为 ．
4．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为 ．
5.（2024·上海宝山·一模）若二次函数 图像与一次函数 （ ）只有一
交点，则 的取值范围为 ．
6．（2024·新疆克孜勒苏·一模）已知关于 的方程 ．求证：方程总有两个不相
等的实数根7．（2023·湖北黄冈·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 ，其中 、 、 分
别为 三边的长．
(1)如果 是方程的根，试判断 的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由；
(3)如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
题型五：一元二次方程根与系数关系
ax2 bxc 0(a 0) x，x
如果一元二次方程 的两个实数根是 1 2，
b c
x x x x
那么 1 2 a ， 1 2 a .
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
【中考母题学方法】
【典例5】（2024·四川巴中·中考真题）已知方程 的一个根为 ，则方程的另一个根为
．
【变式5-1】利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值
（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程 的两根为m，n，则 的值为
．
【变式5-2】（2024·四川南充·中考真题）已知 ， 是关于 的方程 的两个不相等
的实数根．
(1)求 的取值范围．(2)若 ，且 ， ， 都是整数，求 的值．
【变式5-3】．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知关于x的方程 的两个实数根的倒数和等于
3，且关于x的方程 有实数根．当k为正整数时，求不等式 的解．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·四川内江·中考真题）已知关于 的一元二次方程 （ 为常数）有两个不相等的实
数根 和 ．
(1)填空： ________， ________；
(2)求 ， ；
(3)已知 ，求 的值．
2．（2024·四川眉山·二模）已知关于 的一元二次方程 有实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)设方程两实数根分别为 、 ，且满足 ，求 的取值范围．题型六：不等式组的整数解问题
常考类型及思路
求不等式组的整数解及整数解的和与个数:先解不等式组,再根据解集判断求解:已知不等式组有(无)解,
求参数的取值范围:先用含参数的式子表示不等式组中各不等式的解集,再根据不等式组有(无)解构造关
于参数的不等式(组)求解:已知不等式组的整数解个数,求参数的取值范围:先用含参数的式子表示不等
式组的解集,结合特殊解的个数,确定具体的特殊解,再列不等式(组)求解.
【中考母题学方法】
【典例6】（2024·山东济南·中考真题）解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
【变式6-1】（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组： 并求所有整数解的和．
【变式6-2】．（2023·黑龙江大庆·中考真题）若关于 的不等式组 有三个整数解，则实数的取值范围为 ．
【变式6-3】难点不等式组与方程结合,确定参数情况
（2024·重庆·中考真题）若关于 的不等式组 至少有2个整数解，且关于 的分式方程
的解为非负整数，则所有满足条件的整数 的值之和为 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·湖南长沙·模拟预测）若关于 的不等式组 有且只有两个偶数解，且关于 的分式
方程 有解，则所有满足条件的整数 的和是（ ）
A． B．10 C． D．
2．（2023·黑龙江·中考真题）关于 的不等式组 有3个整数解，则实数 的取值范围是
．
3．（2024·重庆渝北·模拟预测）若关于x的不等式组 有解且至多有4个整数解，且关于
y的分式方程 的解为整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 ．
4．（2024·重庆渝中·二模）若关于x 的不等式组 至少有四个整数解，且关于y 的分式方
程 的解是非负整数，则满足条件的所有整数 的和是 ．5．（2024·江苏扬州·中考真题）解不等式组 ，并求出它的所有整数解的和．
