文档内容
难点与易错点 03 方程与不等式中的参数问题（6 大题型）
题型一：分式方程的增根问题
题型二：分式方程的无解问题
题型三：分式方程的特殊解问题
题型四：一元二次方程根的情况判断
题型五：一元二次方程根与系数关系
题型六：不等式组的整数解问题
题型一：分式方程的增根问题
增根问题的解题关键
分式方程有增根是指解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,方程的两边都乘了一个
可能使分母为零的整式.
【中考母题学方法】
【典例1】（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程 （m为常数）有增根，则增根
是 ．
【答案】
【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．
【详解】∵关于x的分式方程 （m为常数）有增根，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
【变式1-1】（2024·上海松江·三模）若分式方程 有增根，则k的值为
【答案】3
【知识点】根据分式方程解的情况求值【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增
根代入整式方程即可求得相关字母的值．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出 的值，代入整式方程计算即可求出 的值．
【详解】解：去分母得： ，
分式方程有增根，
，
解得： ，
把 代入整式方程得： ．
故答案为：3．
【变式1-2】难点分情况讨论x的值,使方程两边同乘的整式为零
（2024·山东菏泽·模拟预测）若关于 的方程： 有增根，则 ．
【答案】 或
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题主要考查了分式方程的增根和分式方程无解的情况；先将分式方程化为整式方程，根据方程
有增根，可得到 ，然后代入整式方程，即可求解．
【详解】解∶方程两边同乘以 ，得 ，
整理得 ，
∵原方程有增根，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
∴a的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
【中考模拟即学即练】1．（2024·云南·模拟预测）若关于x的分式方程 有增根，则m的值为
【答案】
【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值
【分析】此题主要考查分式方程的解．先去掉分母，再把增根 代入即可求出m的值．
【详解】解：去分母得 ，
∵关于x的分式方程 有增根，
∴ ，即增根 ，
把增根 代入 得 ，
解得 ，
故答案为： ．
2．（2023·四川成都·二模）若关于x的分式方程 有增根，则a的值是 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式方程有增根的问题，正确解分式方程得到 是解题的关键．先解分式
方程得到 ，再根据分式方程有增根得到 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
∵分式方程有增根，∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
3．（2024·宁夏银川·三模）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务：
解：去分母，得 …………第一步
去括号，得 …………第二步
移项、合并同类项，得 …………第三步
解得 …………第四步
经检验： 是原分式方程的解…………第五步
(1)上面的解题过程从第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
(2)上面解题过程的第五步是检验分式方程是否产生增根，增根指的是（文字叙述）
(3)请你帮这个同学正确解答这个分式方程．
【答案】(1)一，去分母时忘记符号（负号）
(2)满足整式方程，使最简公分母为0的解，即为分式方程的增根
(3)见详解
【分析】本题主要考查解分式方程，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验的方法
是解题的关键．
（1）根据去分母的方法即可判定；
（2）根据解分式方程的方法，增根的概念即可求解；
（3）运用解分式方程的方法即可求解．
【详解】（1）解： ，
去分母得， ，
∴第一步开始出错，出错的原因是去分母时忘记符号（负号）；
故答案为：一，去分母时忘记符号（负号）；（2）解：增根：满足整式方程，使最简公分母为0的解，即为分式方程的增根；
（3）解： ，
去分母得， ，
去括号得， ，
移项得，
合并同类项得， ，
系数化为1得，x=2，
检验，当x=2时，原分式方程的分母 ，
∴原分式方程无解．
题型二：分式方程的无解问题
无解问题的解题关键
分式方程无解是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等,它包含两种情形①原方程化去分母后
的整式方程无解;②原方程化去分母后的整式方程有解,但这个解却使原方程的分母为0.它是原方程的
增根,从而原方程无解.
【中考母题学方法】
【典例2】（2024·四川达州·中考真题）若关于 的方程 无解，则 的值为 ．
【答案】 或2
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，先解分式方程得到 ，再根据分式方程无解得到
或 ，解关于k的方程即可得到答案．
【详解】解：
去分母得： ，
解得： ，∵关于 的方程 无解，
∴当 或 时，分式方程无解，
解得： 或 （经检验是原方程的解），
即 或 ， 无解．
故答案为： 或2．
【变式2-1】易错点去分母后未知数的系数含参,需分类讨论
（2024·山东菏泽·三模）若关于 的分式方程 无解，则 ．
【答案】1或2
【知识点】分式方程无解问题
【分析】此题主要考查分式方程无解的情况求解，解题的关键是熟知解分式方程的方法．先把分式方程化
为整式方程，再根据方程无解分情况讨论即可求解．
【详解】解：
当 时，即 时，原分式方程无解；
当 时，
∵原分式方程无解
∴
解得
综上， 或
故答案为：1或2．
【变式2-2】易错点去分母后未知数的系数含参,需分类讨论
（2024·广东梅州·模拟预测）若关于x 的方程 无解，则a的值为 ．
【答案】1或
【知识点】分式方程无解问题【分析】此题考查了分式方程的无解问题，先整理方程得到 ，分 和 两种情况，
分别进行求解即可．
【详解】解：
去分母得： ，
整理得： ，
当 时，方程无解，故 ；
当 时， 时，分式方程无解，
则 ，
∴关于x 的方程 无解，则a的值为：1或 ．
故答案为：1或 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·贵州黔东南·一模）若关于 的分式方程 无解，则 的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】D
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查分式方程无解问题，将方程转化为整式方程，求出分式的分母为0时的 的值，代入整
式方程求出 的值即可．
【详解】解：方程去分母，得： ，
∵方程无解，
∴整式方程无解或方程有增根，
∴ ，
∴ ，
把 代入 ，得： ，
∴ ；
故选D．2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程 无解，则k的值为 ．
【答案】 或0
【分析】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，再根据
分式方程无解时分式方程中的分母为0，列出关于k的分式方程，解分式方程即可，解题关键是熟练掌握
解分式方程的一般步骤聚和分式方程无解的条件．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵关于x的分式方程 无解，
∴ ，
解得： ，即 ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
故答案为： 或 ．
3．（2024·江苏宿迁·二模）若关于 的分式方程 无解，则 的取值是 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．先把分式方程化
为整式方程，解出整式方程，再根据分式方程无解，可得到关于a的方程，即可求解．
【详解】解：去分母，得 ，
解得 ，
∵分式方程无解，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
4．（2022·浙江温州·模拟预测）设a，b为实数，关于 的方程 无实数根，求代数式
8a+4b+|8a+4b-5|的值．
【答案】5
【分析】先将分式方程通分去分母化成整式方程，再根据方程无实数解得出关于含a、b的整式的取值范围，
再据此作答即可求解．
【详解】将 化简得： ，
∵原分式方程无实数根，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了将分式方程化为一元二次方程以及根据一元二次方程根的情况得到方程判别式的符号
以此来求解代数式值的知识，注重整体代入是解答本题的关键．
5．（2022·广西梧州·一模）已知关于x的分式方程 无解．
(1)求a的值；
(2)先化简，后求值： ．
【答案】(1)a=-1
(2)-a-2；－1
【分析】（1）先求出分式方程 的解，再根据关于x的分式方程 无解，即可
求得a的值；
（2）先算括号内的减法，然后计算括号外的除法，即可将题目中的式子化简，然后将（1）中的a的值代
入化简后的式子计算即可．【详解】（1）由方程 得：
，
，
∵此分式方程无解，
∴此分式方程有增根 ，
∴ 即 ；
（2）原式＝ ，
＝ ，
＝ ，
∵由（1） ，
∴原式＝ ．
【点睛】本题考查分式的化简求值、分式方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出a的值．
题型三：分式方程的特殊解问题
特殊解问题的解题思路
分式方程的特殊解是指题中已知解为负数或非负数等,通常先将解用含参数的代数式表示出来,再根据解
为特殊解求解参数的范围,注意分式方程的解不能使分母为零。
【中考母题学方法】
【典例3】（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程 的解为正数，则 的取值范围（ ）
A． B． 且
C． D． 且
【答案】B
【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解
的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以 得， ，
解得 ，∵分式方程 的解为正数，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
即 ，
∴ ，
∴ 的取值范围为 且 ，
故选： ．
【变式3-1】．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于 的分式方程 的解是负数，那么实
数 的取值范围是（ ）
A． 且 B． C． D． 且
【答案】A
【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的
解是负数得到 ，并结合分式方程的解满足最简公分母不为 ，求出 的取值范围即可，熟练掌握
解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以 得， ，
解得 ，
∵分式方程的解是负数，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 且 ，
故选： ．【变式3-2】．（2024·甘肃金昌·三模）若有六张完全一样的卡片正面分别写有 ， ， ，0，1，2，
3，现背面向上，任意抽取一张卡片，其上面的数字作为k的值能使关于x的分式方程 的解为正数，
且使反比例函数 图象过第一、三象限的概率为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据概率公式计算概率、已知双曲线分布的象限，求参数范围、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题主要考查了简单概率计算、解分式方程以及反比例函数的图象与性质，求出使分式方程有正
数解的情况是解决本题的关键．依据题意，由关于 的分式方程的解为正数，从而 且
，故可得 的范围；再由反比例函数图象过第一、三象限，进而可以求出 的可能值，然后由
概率公式进行计算即可获得答案．
【详解】解：∵分式方程 的解为 ，是正数，
∴ 且 ，
解得 且 ，
∵反比例函数 图象过第一、三象限，
∴ ，解得 ，
∴ 且 ，
∴在数字 ， ， ，0，1，2，3中，满足条件的 的值有0，2，任意抽取一张卡片，其上面的数字符
合题意的概率为 ．
故答案为： ．
【变式3-3】．（2023·四川成都·模拟预测）使关于x的分式方程 的解为非负数，且使反比例函数的图象经过一，三象限，则满足条件的所有整数 的和 ．
【答案】1
【难度】0.65
【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，反比例函数的图象和性质；先解分式方程，根
据方程的解的情况，结合分式的分母不为0，求出 的取值范围，进而求出整数 的值．
【详解】解：解 ，得： ，
∵式方程 的解为非负数，且 ，
∴ ，且 ，
∴ 且 ，
∵反比例函数 的图象经过一，三象限，
∴ ，
∴ ，
∴满足条件的整数 为： ，
∴ ；
故答案为：1．
【变式3-4】（2023·浙江·模拟预测）已知关于 的方程 的方程恰好有一个实数解，求
的值及方程的解．
【答案】 , 或 ， ； 或 或 ， 或 ，
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据分式方程解的情况求值、公式法解一元二次方程
【分析】去分母，转化为整式方程，根据整式方程为一元一次方程，即 ，为一元二次方程，即 ，
分别求解．而当方程为一元二次方程时，又分为 (方程有等根，满足方程恰好有一个实数解)，若
，则方程有两不等实根，且其中一个为增根，而增根只可能为 或 ．
【详解】解：两边同乘 ,得 ，
若 ，若 ，由题意，知 ，
解得 ，
当 时， ，当 时， ，
若方程有两不等实根，则其中一个为增根，
当 时， ， ，
当 时， ， ．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元二次方程．关键是将分式方程转化为整式方程，根据整式方程
的特点及题目的条件分类讨论．
【变式3-5】．（2022·四川成都·一模）在 中， ， ， 是 边上的中线，记
且 为正整数．则 使关于 的分式方程 有正整数解的概率为 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】根据概率公式计算概率、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、根据分式方程解的情况求
值
【分析】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，得到AC=BE=4，在△ABE中，根据三边
关系可知AB-BE0,一元二次方程有两
个不相等的实数根:若Δ=0,一元二次方程有两个相等的实数根:若Δ<0,一元二次方程没有实数根.
【中考母题学方法】
【点例3】（2024·山东泰安·中考真题）关于 的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．
根据一元二次方程有实数根的条件是 ，据此列不等式求解即可．【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ ，解得 ．
故选B．
【变式3-1】（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
请写出一个满足题意的k的值： ．
【答案】0（答案不唯一）
【难度】0.85
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
先根据判别式的意义得到 ，解不等式得到 的范围，然后在此范围内取一个值即可．
【详解】解∶∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ，
∴当k取0时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为：0（答案不唯一）．
【变式3-2】难点结合根的情况求参数的范围
（2024·四川绵阳·二模）若关于x的分式方程 有解，且关于y的方程 有实数根，则
的范围是 ．
【答案】 且
【难度】0.65
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了分式方程的解有意义的概念，一元二次方程实数根的判断，掌握求解的方法是解题的
关键．
根据分式有意义的情况得到 ，化简分式后代入即可得到 的取值，再根据一元二次方程根的判别式求
解即可．【详解】解： ，化简得： ，
∵ ，即 ，
∴ ，解得： ，
∵ 有实数根，
∴ ，
解得： ，
∴综上 且 ，
故答案为： 且 ．
【变式3-3】难点根的情况与三角形的综合应用
（2024·广东广州·一模）关于 的方程 有两个相等的实数根，若 是 的三边长，
则这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断三边能否构成直角三角形、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．由关于x的方程 有两
个相等的实数根，可得 ，整理得 ，根据勾股定理逆定理判断 的
形状即可．
【详解】解：∵关于x的方程 有两个相等的实数根，
∴ ，整理得 ，
∴ 是直角三角形，
故选：B．
【变式3-4】．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线 （ 是常数）与 轴没有交点，则 的取
值范围是 ．
【答案】【难度】0.65
【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题主要考查了抛物线 与x轴的交点问题，掌握抛物线 与x轴没有
交点与 没有实数根是解题的关键．
由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可．
【详解】解：∵抛物线 与x轴没有交点，
∴ 没有实数根，
∴ ， ．
故答案为： ．
【中考模拟即学即练】
1．（2025·河南·模拟预测）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是( )
A． 且 B． C． 且 D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了一元二次方程的定义、元二次方程根的判别式的意义，根据一元二次方程的定义和判
别式的意义得到 且 ，即可求解．
【详解】解：由题意可得：
解得： 且
故选：A．
2.（2024·四川达州·一模）对于实数 定义新运算： ，若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】新定义下的实数运算、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式．根据新定义运算法则列方程，然后根据
一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
即 ，
∵关于 的方程 有两个不相等的实数根，
∴ ， ，
解得： 且 ，故C正确．
故选：C．
3．（2024·湖北随州·一模）定义：如果一元二次方程 满足 ，那么称这个方程
为“奇妙方程”．已知 是“奇妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为 ．
【答案】2
【难度】0.85
【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，先由新定义得到 ，再由判
别式得到 ，则 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵ 是“奇妙方程”，
∴ ，
∵方程有两个相等的实数根，
∴ ，∴ ，
解得： ，
∴ ．
故答案为：2．
4．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为 ．
【答案】 /0.5
【难度】0.65
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程 的两根分别为 ，
，则 ， ，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
先根据根与系数的关系得到 ， ，然后把 化简为 然后整体代入即可．
【详解】解： 方程 的两根分别为 ， ，
， ，
．
故答案为： ．
5.（2024·上海宝山·一模）若二次函数 图像与一次函数 （ ）只有一
交点，则 的取值范围为 ．
【答案】 或
【难度】0.65
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、其他问题(二次函数综合)
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合应用、一元二次方程的根的判别式等知识，理解并掌握相关知识是解题关键．分三种情况讨论：首先令 ，整理并结合一元二次方程的根
的判别式确定 ；再确定一次函数 的图像经过点 、 ，结合二次函数图像与一次函
数图像只有一交点，可得关于 的不等式组并求解；当 时，抛物线经过点 ，计算 的值，即可获
得答案．
【详解】解：根据题意，令 ，
整理可得 ，
则 ，
解得 ，
将 代入 ，可得 ，
将 代入 ，可得 ，
即一次函数 的图像经过点 、 ，
对于二次函数 ，
当 时， ，
当 时， ，
∵当 时，二次函数图像与一次函数图像只有一交点，
∴应满足
或 ，
解得 ，
当 时，抛物线经过点 ，∴ ，
解得 或 （舍去），
综上所述， 的取值范围为 或 ．
故答案为： 或 ．
6．（2024·新疆克孜勒苏·一模）已知关于 的方程 ．求证：方程总有两个不相
等的实数根
【答案】见解析
【难度】0.85
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，求出 ，再判断即可．
【详解】解：∵
∴
∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
7．（2023·湖北黄冈·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 ，其中 、 、 分
别为 三边的长．
(1)如果 是方程的根，试判断 的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由；
(3)如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】(1) 是等腰三角形，理由见解析
(2) 是直角三角形，理由见解析
(3) ，
【难度】0.85
【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、判断三边能否构成直角三角
形、等腰三角形的定义
【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的判定，等边三角形的性质，解一元二次方程，解本题的关键是建立方程．
（1）将 代入方程中，化简即可得出 ，即可得出结论；
（2）利用一元二次方程有两个相等的实数根，用 建立方程，即可得出 ，进而得出结论；
（3）先判断出 ，再代入化简即可得出方程 ，解方程即可得出结论．
【详解】（1）解： 是等腰三角形，
理由：当 时， ，
化简得： ，
是等腰三角形；
（2）解： 是直角三角形，
理由： 方程有两个相等的实数根，
，
，
是直角三角形；
（3）解： 是等边三角形，
，
原方程可化为： ，
即： ，
，
， ，
即：这个一元二次方程的根为 ， ．
题型五：一元二次方程根与系数关系
ax2 bxc 0(a 0) x，x
如果一元二次方程 的两个实数根是 1 2，
b c
x x x x
那么 1 2 a ， 1 2 a .
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.【中考母题学方法】
【典例5】（2024·四川巴中·中考真题）已知方程 的一个根为 ，则方程的另一个根为
．
【答案】4
【难度】0.85
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于
，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设方程的另一个根为m，
∵方程 有一个根为 ，
∴ ，
解得： ．
故答案为：4．
【变式5-1】利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值
（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程 的两根为m，n，则 的值为
．
【答案】6
【难度】0.65
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的解、一元二次
方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若 是一元二次方程
的两根时， ，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
根据根与系数的关系得 ， ，再把 变形为 ，
然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程 的两个根为 ， ，∴ ，
∴
故答案为：6．
【变式5-2】（2024·四川南充·中考真题）已知 ， 是关于 的方程 的两个不相等
的实数根．
(1)求 的取值范围．
(2)若 ，且 ， ， 都是整数，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、公式法解一元二次方程
【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方
程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
（1）根据“ ， 是关于 的方程 的两个不相等的实数根”，则 ，得出关于
的不等式求解即可；
（2）根据 ，结合（1）所求 的取值范围，得出整数 的值有 ， ， ，分别计算讨论整数 的不同
取值时，方程 的两个实数根 ， 是否符合都是整数，选择符合情况的整数 的值
即可．
【详解】（1）解：∵ ， 是关于 的方程 的两个不相等的实数根，
∴ ，∴ ，
解得： ；
（2）解：∵ ，由（1）得 ，
∴ ，
∴整数 的值有 ， ， ，
当 时，方程为 ，
解得： ， （都是整数，此情况符合题意）；
当 时，方程为 ，
解得： （不是整数，此情况不符合题意）；
当 时，方程为 ，
解得： （不是整数，此情况不符合题意）；
综上所述， 的值为 ．
【变式5-3】．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知关于x的方程 的两个实数根的倒数和等于
3，且关于x的方程 有实数根．当k为正整数时，求不等式 的解．
【答案】 或
【难度】0.65
【知识点】分式有意义的条件、公式法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次
方程根的情况求参数
【分析】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，分式有意义、解一元二次方程等知识点，在解方
程时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程．
由于关于x的方程 的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方
程求出a，又由于关于x的方程 有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、
有可能是一元二次方程，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程 的两个根为 ，
则 ，
由条件知 ，即 且 ，
故 ．
则方程 为 ．
当 ，即 时，关于x的方程 为 有实数根，
不等式 即为 ，
则 ，
或 ．
当 时， ，
．
又 是正整数，且 ，
，但使不等式 的分母 无意义．
综上，不等式 的解为： 或 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·四川内江·中考真题）已知关于 的一元二次方程 （ 为常数）有两个不相等的实
数根 和 ．
(1)填空： ________， ________；(2)求 ， ；
(3)已知 ，求 的值．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ；
(3) ．
【难度】0.65
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解
题的关键．
（ ）利用根和系数的关系即可求解；
（ ） 变形为 ，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得
，即得 ，进而可得 ；
（ ）把方程变形为 ，再把根和系数的关系代入得 ，可得 或
，再根据根的判别式进行判断即可求解．
【详解】（1）解：由根与系数的关系得， ， ，
故答案为： ， ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵关于 的一元二次方程 （ 为常数）有两个不相等的实数根 和 ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
（3）解：由根与系数的关系得， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
∴一元二次方程 为 或 ，
当 时， ，不合题意，舍去；
当 时， ，符合题意；
∴ ．
2．（2024·四川眉山·二模）已知关于 的一元二次方程 有实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)设方程两实数根分别为 、 ，且满足 ，求 的取值范围．
【答案】(1)m的取值范围是 ；
(2)m的取值范围 ．
【难度】0.65
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解
集
【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式等知识点，（1）根据根的判别式得出 ，求出不等式的解集即可；
（2）求出 ， ，再代入 计算即可解答；
熟练掌握一元二次的根与系数的关系是解决此题的关键．
【详解】（1）方程 整理得 ，
∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴ ，
解得： ，
即m的取值范围是 ；
（2）∵ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故m的取值范围 ．
题型六：不等式组的整数解问题常考类型及思路
求不等式组的整数解及整数解的和与个数:先解不等式组,再根据解集判断求解:已知不等式组有(无)解,
求参数的取值范围:先用含参数的式子表示不等式组中各不等式的解集,再根据不等式组有(无)解构造关
于参数的不等式(组)求解:已知不等式组的整数解个数,求参数的取值范围:先用含参数的式子表示不等
式组的解集,结合特殊解的个数,确定具体的特殊解,再列不等式(组)求解.
【中考母题学方法】
【典例6】（2024·山东济南·中考真题）解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
【答案】 ，整数解为：0，1，2，3．
【难度】0.65
【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再找不等式组
的解集，即可得到整数解．
【详解】解：解不等式①，得
解不等式②，得
在同一条数轴上表示不等式①②的解集
原不等式组的解集是
整数解为0，1，2，3
【变式6-1】（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组： 并求所有整数解的和．
【答案】 ，
【难度】0.85
【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解．解各不等式，可得出x的取
值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论．【详解】解： ，
解不等式①得： ；
解不等式②得： ，
∴原不等式组的解集 ，
∴不等式组所有整数解的和为 ．
【变式6-2】．（2023·黑龙江大庆·中考真题）若关于 的不等式组 有三个整数解，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组有三个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于
的不等式组求得 的范围．
【详解】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
不等式组有三个整数解，
不等式组的整数解为 ，0、1，
则 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，
同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
【变式6-3】难点不等式组与方程结合,确定参数情况
（2024·重庆·中考真题）若关于 的不等式组 至少有2个整数解，且关于 的分式方程
的解为非负整数，则所有满足条件的整数 的值之和为 ．
【答案】16【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于 的一元一次不
等式组至少有两个整数解，确定 的取值范围 ，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得 ，
由分式方程的解为非负整数，确定 的取值范围 且 ，进而得到 且 ，根据范围确定
出 的取值，相加即可得到答案．
【详解】解： ，
解①得： ，
解②得： ，
关于 的一元一次不等式组至少有两个整数解，
，
解得 ，
解方程 ，得 ，
关于 的分式方程的解为非负整数，
且 ， 是偶数，
解得 且 ， 是偶数，
且 ， 是偶数，
则所有满足条件的整数 的值之和是 ，
故答案为：16．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·湖南长沙·模拟预测）若关于 的不等式组 有且只有两个偶数解，且关于 的分式
方程 有解，则所有满足条件的整数 的和是（ ）
A． B．10 C． D．【答案】C
【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数
【分析】先根据不等式组“有且只有两个偶数解”求出 的取值范围，再解分式方程，并由该方程有解得
到 、 ，综合后即可得到所有满足条件的整数 的和．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
原不等式组的解集为： ，
原不等式有且只有两个偶数解，
，
，
解分式方程得： ，
原分式方程有解，
，
是原分式方程的增根，
，
综上， ，且 ， ， 为整数，
或 ，
所有满足条件的整数 的和是 ．．
故选： ．
【点睛】本题考查的知识点是由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值，解题关键是熟
练掌握根据不等式组解集的情况求参数及根据分式方程解的情况求值的方法．
2．（2023·黑龙江·中考真题）关于 的不等式组 有3个整数解，则实数 的取值范围是
．
【答案】 /
【难度】0.65【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】解不等式组，根据不等式组有3个整数解得出关于m的不等式组，进而可求得 的取值范围．
【详解】解：解不等式组 得： ，
∵关于 的不等式组 有3个整数解，
∴这3个整数解为 ， ， ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确得出关于m的不等式组是解
题的关键．
3．（2024·重庆渝北·模拟预测）若关于x的不等式组 有解且至多有4个整数解，且关于
y的分式方程 的解为整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 ．
【答案】10
【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数
【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，
解题的关键是掌握以上运算法则．不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且至多有4个整数解确
定出 的范围，再由分式方程解为整数，确定出满足题意整数 的值，求出之和即可．
【详解】解：不等式组整理得： ，
解得： ．
∵不等式组有解且至多4个整数解，
，解得： ，
分式方程 ，
去分母得： ，
解得： ，
∵ ， ，
∵分式方程的解为整数， ， ，
或4或6，
则满足题意整数 之和为 ．
故答案为：10．
4．（2024·重庆渝中·二模）若关于x 的不等式组 至少有四个整数解，且关于y 的分式方
程 的解是非负整数，则满足条件的所有整数 的和是 ．
【答案】1
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查的一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，理解题意是关键，本题先解不等式组根
据解集的情况可得 ，再解分式方程结合解的情况可得 且 ，再结合 为整数， 为非负
整数，从而可得答案．
【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
解得： ，∵关于 的不等式组 至少有四个整数解，
∴三个整数解为 ， ， ， ；
∴ ，
解得： ；
∵ ，
去分母得： ，
整理得： ，
∵关于 的分式方程 的解是非负整数，
∴ 且 ，
解得： 且 ，
∴ 且 ，
∵ 为整数， 为非负整数，
∴ 的值为 ， ，
∴ ；
故答案为：1
5．（2024·江苏扬州·中考真题）解不等式组 ，并求出它的所有整数解的和．
【答案】 ，整数和为6
【难度】0.65
【知识点】求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题主要考查解不等式组的整数解，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是解题的关键．
根据不等式的性质分别求出不等式①，②的解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小
小大取中间，大大小小无解”即可求解，结合解集取整数，再求和即可．【详解】解： ，
由①得， ，
解得， ；
由②得， ，
移项得， ，
解得， ，
∴原不等式组的解为： ，
∴所有整数解为： ，
∴所有整数解的和为： ．
