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2025~2026 学年高一年级 2 月期末总结考
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题
区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合 ，则
A． B． C． D．
2．命题“ ”的否定为
A． B．
C． D．
3．
A． B． C． D．
4．中国扇子文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一部分．某传统折扇可视作如图所示简化的平面扇
形，该扇形的面积为 ，半径为 ，则该扇形的圆心角为
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司5．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
A． B． C． D．
6．已知正数 满足 ，则 的最小值为
A．2 B．4 C．6 D．8
7．已知函数 的部分图象如图所示，则
A． B．1 C． D．
8．已知 为实数， 是函数 的零点，则
A． B．1 C．2 D．3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知幂函数 ，则
A．当 为奇函数时，
B．当 为偶函数时，
C．当 为奇函数时， 在 上单调递减
D．当 为偶函数时， 在 上单调递减
10．已知函数 的图象如图所示，则下列关系式中正确的是
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
11．记函数 ，则
A． 的一个周期为 B．函数 在 上单调递减
C．函数 的图象关于 对称 D．函数 的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． _____．
13．在平面直角坐标系 中，设角 的终边上任一点 到原点 的距离为 ，规定：比
值 分别叫做 的正割，余割，分别记作 ，即 ．已知 ，
则 _____．
14．已知 是定义在 上的偶函数，当 时， 恒成立，且 ，则
关于 的不等式 的解集为_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）已知集合 ．
（1）当 时，求 ；
（2）设 ，若 是 的必要不充分条件，求 的取值范围．
16．（本小题满分15分）已知 为锐角，且 ．
学科网（北京）股份有限公司（1）求 的值；
（2）求 的值．
17．（本小题满分15分）中国新能源技术引领全球发展趋势，新能源汽车备受人们喜爱．某销售部统计了
6个月新能源汽车的销售量（百辆）如下表：
第 个月 1 2 3 4 5 6
销售量 （百辆） 3 5 6.2 7 7.6 8.2
为描述从第1个月开始销售量随时间的变化关系，现有三个函数模型可供选择：
① ；② ；③ ．
（1）请选出最符合实际的函数模型，并说明理由；
（2）请选择表中的数据，求出函数解析式；
（3）预测从第几个月开始销售量不低于11百辆?
18．（本小题满分17分）已知函数 ．
（1）证明： ；
（2）求 的单调递增区间；
（3）若函数 在区间 上存在2个零点和1个对称轴，求实数 的取值范
围．
19．（本小题满分17分）已知函数 ，定义函数 ．
（1）判断 在 上的单调性，并证明你的结论；
（2）求函数 在 上的最大值；
（3）设 ，若关于 的不等式 在
上有解，求实数 的取值范围．
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参考答案、提示及评分细则
1．A 因为集合 ，所以 ．故选A．
2．C 存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“ ”的否定为“
”．故选C．
3．B
．
故选B．
4．D 设该扇形的圆心角为 rad，由 得 ，
解得 ，将 化为角度制为 ．故选D．
5．C 因为函数 的定义域为 ，即 ，所以 ，所以 的定义域为
，又 ，则 ，所以 ，因此函数 的定义域为 ．故选C．
6．B ，
当且仅当 ，即 时，取等号．故选B．
7．D 由图可知， 的最小正周期为 ，
所以 ，解得 ，所以 ，又 ，
所 以 ， 解 得 ， 取 ， 得 ， 则
学科网（北京）股份有限公司，所以 ．故选D．
8．A 由题意可知， ，即 ，
设 ，易知 在 上单调递增，又 ，
所以 ，所以 ，则 ．故选A．
9．ACD 由幂函数的定义可知， ，即 ，
解得 ，或 ，当 时， 为奇函数，
且 在 上单调递减，A，C正确；
当 时， 为偶函数，且 在 上单调递减，B错误，D正确．故选ACD．
10．BC 因为 为单调递减函数，所以 ，
由 得 ，所以 ，又 ，所以 ，A错误；
又 ，所以 ，B正确；
根据指数函数的性质可知， ，所以 ，C正确；
，所以 ，D错误．故选BC．
11．ABD ，
所以 的一个周期为 ，A正确；
，
因为 在 上单调递增，所以函数 在 上单调递减，B正确；
因为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以函数 的图象关于 对称，C错误；
因为 ，所以 ，
则 ，当 时， 取得最小值；
当 时， 取得最大值，所以函数 的值域为 ，D正确．
故选ABD．
12． ．
13． 根据三角函数的定义与 ，不妨取 的终边上的点为 ，
所以 ，根据新定义可知， ，
所以
14． 当 时， 恒成立，
所以 ，设 ，有 ，
所以 在 上单调递减，因为 是定义在 上的偶函数，
所以 ，
则 为偶函数，所以 在 上单调递增．
由 ，得 ，
又 ，所以 ，则 ，即 ，
解得 ，或 ，故原不等式的解集为 ．
15．解：（1）当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ．
（2）易求 ，
因为 是 的必要不充分条件，所以 ，
所以 解得 ，
故 的取值范围为 ．
16．解：（1） ．
（2） ，
又 ，所以 ，则 ，
故 ．
17．解：（1）由表中数据可知，销售量逐月增加，但增加速度随 的增加而变慢．
对于模型① ，销售量逐月减少，不符合题意；
对于模型② ，销售量逐月增加，但增加速度随 的增加而变慢，符合题意；
对于模型 ，销售量逐月增加，但增加速度随 的增加而变快，不符合题意，
所以最符合实际的函数为模型②．
（2）选取数据组 ，代入 ，（可选择 中任意两组）
得 解得 ，
故函数解析式为 ．
（3）令 ，
即 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司故从第16个月开始销售量不低于11百辆．
18．（1）证明：
当 时，即 时， ，
故 ．
（2）解：令 ，
解得 ，
故 的单调递增区间为 ．
（3）解： ，
设函数 的最小正周期为 ，
由题意可知， ，即 ，解得 ，
由正弦函数的图象可知，两个相邻零点之间必有一条对称轴．
由 ，得 ，
由 得 ，
又 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司则 或
解得 ，或 ，
故实数 的取值范围为 ．
19．解：（1） 在 上单调递增．
证明如下：
任取 ，且 ，则
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
即 ，
故 在 上单调递增．
（2） ，
令 ，又 ，且 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，
又 的图象的对称轴为 ，
当 时， ；
当 时， ．
学科网（北京）股份有限公司（3）因为 ，
所以函数 的图象的对称中心为 ．
，
由基本不等式得 ，所以 ，
要使不等式 在 上有解，则 ，
解得 ，
故实数 的取值范围为 ．
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