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——— 学年第一学期期末考试
2025 2026
高二数学试卷参考答案
一、选择题 -
1 4 ADBC 5 - 8 BACC
二、选择题 .
9 ABD 10.CD 11.ABC
n -
三、填空题 .2 1 . - .2 7
12 n 13 ( 7,3) 14
2 7
四、解答题
. 圆心C - 则| C A| = - - 2 + + 2 = 分
15 (1) 1(2, 3), 1 ( 2 2) (0 3) 5, ……2
| C B| = - 2 + - + 2 = 分
1 (2 0) ( 4 3) 5, ……4
所以| C A| >| C B| 故点A在圆C 外 点B在圆C 内
1 1 , 1 , 1 ,
< r < 即r的取值范围为 分
∴ 5 5, ( 5,5) ……6
线段AB的中点 - - 在圆C 上 分
(2)∵ ( 1, 2) 1 , ……7
- - 2 + - + 2 = r2 即r = . 分
∴ ( 1 2) ( 2 3) , 10 ……9
又| C C | = - - 2 + + 2 = 分
1 2 ( 1 2) (1 3) 5, ……11
- <| C C | < + 圆C 与圆C 是相交关系 分
∴ 10 2 1 2 10 2, 1 2 ……13
. 连接BD 设AC与BD交于O点 连接PO.
16 (1) , ,
底面ABCD是正方形
∵ ,
O为BD的中点 又P为SD的中点 OP BS 分
∴ , , ∴ ∥ , ……2
OP 平面PAC BS 平面PAC BS 平面PAC. 分
∵ ⊂ , ⊄ , ∴ ∥ ……4
SA 底面ABCD SA BD 又AC BD 且SA AC = A
(2)∵ ⊥ , ∴ ⊥ , ⊥ , ∩
BD 平面SAC 分
∴ ⊥ , ……6
又CS 平面SAC CS BD. 分
⊂ , ∴ ⊥ ……8
以A为原点 以AB为x轴 AD为y轴 AS为z轴 建立空间直角坐标系
(3) , , , , ,
设SA = 则B S P C .
4, (2,0,0), (0,0,4), (0,1,2), (2,2,0)
A→P = A→C = 分
∴ (0,1,2), (2,2,0), ……9
设n = x y z 是平面PAC的一个法向量
1 ( , , ) ,
{n A→P = {y + z =
则由 1· 0 得 2 0 令z =
n A→C = , x + y = , 1,
1· 0 2 2 0
n = - . 分
∴ 1 (2, 2,1) ……11
又n =A→B = 是平面PAD的一个法向量. 分
2 (2,0,0) ……12
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1 ( 4 ) (2026.2)设二面角D - AP - C的平面角为θ 由图可知θ 为锐角 分
, , ……13
| n n |
θ = < n n > = 1· 2 = 4 = 2.
∴ cos cos 1, 2 | n | | n | ×
1 · 2 3 2 3
即二面角D - AP - C的余弦值为2 . 分
……15
3
ì
ï
3
ïï
. 由已知条件得í3 + 4 = 分
17 (1) ïa2 b2 1, ……2
ï
îa2 - b2 = .
1
{a2 =
解得 4, 分
b2 = . ……4
3
x2 y2
所以椭圆C的方程为 + = . 分
1 ……5
4 3
直线l的方程为y - 3 = x - 即y = x - 3. 分
(2) 3, ……6
2 2
设M x y N x y
( 1, 1), ( 2, 2),
ì
ï
x2
+
y2
=
ì
ï x + x = 4 3
联立í ïï 4 3 1, 化简得 x2 - x - = 所以í ïï 1 2 7 , 分
ï 7 4 3 9 0, ï ……8
ïy = x - 3. ïx x =- 9.
î î 1 2
2 7
| MN| = x + x 2 - x x = 4 3 2 + 36 = 10 6. 分
∴ 2 ( 1 2) 4 1 2 2 ( ) ……11
7 7 7
| - - 3 |
0 3
又点P 到直线l的距离d = 2 = 3 6 分
(0, 3) ……13
2 4
所以 PMN的面积为1 × 10 6 × 3 6 = 45.
△
2 7 4 14
即 PMN的面积为45. 分
△ ……15
14
. 证明 因为a = a - a b = a - a
18 (1) : n+ 2 4 n+ 1 3 n, n n+ 1 n,
所以b = a - a = a - a - a = a - a = b . 分
n+ 1 n+ 2 n+ 1 4 n+ 1 3 n n+ 1 3( n+ 1 n) 3 n ……2
又b = a - a = . 分
1 2 1 1 ……3
所以 b 是首项为 公比为 的等比数列. 分
{ n} 1, 3 ……4
n + n +
(2) 由 (1) 可得b n = 3 n- 1 , 则c n = 2 b 1 = 2 n- 1 , ……5 分
n 3 1
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2 ( 4 ) (2026.2)n - n +
S = 3 + 5 + 7 + 9 + + 2 1 + 2 1 分
n … n- n- , ……6
0 1 2 3 2 1
3 3 3 3 3 3
n - n +
1 S = 3 + 5 + 7 + + 2 1 + 2 1 分
n … n- n , ……7
1 2 3 1
3 3 3 3 3 3
n +
两式相减得 2 S = 3 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 - 2 1 分
: n … n- n- n , ……8
0 1 2 3 2 1
3 3 3 3 3 3 3 3
2 × - 1
(1 n- 1 ) n + n +
即2 S = + 3 3 - 2 1 = - 2 4. 分
n 3 n 4 n ……9
3 - 1 3 3
1
3
n +
则S = - 2. 分
n 6 n- ……10
1
3
(3)∵
b
n
= a
n+ 1
- a
n
=
3
n- 1.
……11
分
∴ a n - a n- 1 = 3 n- 2 , ……12 分
a n- 1 - a n- 2 = 3 n- 3 ,
……
a - a = 1
3 2 3 ,
a - a = 0
2 1 3 ,
将以上 n - 个式子左 右分别相加
( 1) 、 ,
得a n - a 1 = 3 0 + 3 1 + 3 2 + … + 3 n- 2 = 1 - - 3 n- 1 . ……15 分
1 3
- n- 1 + n- 1
所以a = + 1 3 = 1 3 n . 分
n 1 - ( ≥2) ……16
1 3 2
又a = 也满足上式
1 1 ,
+ n- 1
所以数列 a 的通项公式为a = 1 3 . 分
{ n} n ……17
2
. 点A与B 关于直线y = x对称 A 分
19 (1)∵ (2,1) , ∴ (1,2), ……1
又点A在抛物线C上 2 = p × 解得p = 分
, ∴ 2 2 1, 2, ……2
所以C的方程为y2 = x. 分
4 ……3
如图 过点P作PQ垂直于抛物线的准线x =- 垂足为
(2) , 1,
Q 则| PF| =| PQ| 分
, , ……5
| PF| +| PB| =| PQ| +| PB| | BB′| =
∴ ≥ 3,
即| PF| +| PB| 的最小值为 . 分
3 ……7
设直线MN的方程为x=ty +m 设M x y N x y .
(3) , ( 1, 1), ( 2, 2)
{x = ty + m
由 , y2 - ty - m = 分
y2 = x. ∴ 4 4 0, ……9
4
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3 ( 4 ) (2026.2){y + y = t
Δ = t2 + m > t2 + m > 1 2 4 , 分
∴ 16 16 0, ∴ 0, y y =- m. ……10
1 2 4
A→M A→N = x - y - x - y -
∴ · ( 1 1, 1 2)·( 2 1, 2 2)
y 2 - y 2 -
= ( 1 4)( 2 4) + y - y -
( 1 2)( 2 2)
16
y + y +
= y - y - + ( 1 2)( 2 2) = . 分
( 1 2)( 2 2)[1 ] 0 ……11
16
y + y +
y - y - + ( 1 2)( 2 2) =
∵ ( 1 2)( 2 2) ≠0, ∴ 1 0,
16
分
……12
y y + y + y + =
∴ 1 2 2( 1 2) 20 0,
- m + t + = m = + t 分
∴ 4 8 20 0, ∴ 5 2 , ……13
直线 MN 的方程为x = ty + m = ty + + t = y + t + 即直线MN过定点
∴ 5 2 ( 2) 5,
D - . 分
(5, 2) ……15
AH MN 点G为AD中点时 | GH| 为定值 此时G 分
∵ ⊥ , ∴ , , (3,0), ……16
| AD|
且| GH| = = . 分
2 2 ……17
2
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4 ( 4 ) (2026.2)
