数学试卷答案-福建省宁德市2025-2026学年度第一学期期末高二质量检测(2.2-2.4)_2026年02月高二试卷_260211福建省宁德市2025-2026学年度第一学期期末高二质量检测(2.2-2.4)（全）

宁德市2025-2026学年度第一学期期末高二质量检测 数学参考答案及评分标准 说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果 考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度 决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答 有较严重的错误，就不再给分. 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、本题共8小题，每小题5分，共40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C C D A C B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9 10 11 ABD ACD ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 20 13. 参考答案 第1页 3 14. 1 1 四、解答题:本大题共5小题，共77分. 15.解：（1）当 n = 7 时， (1 + x ) 7 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a 7 x 7 ，…………………………….1分 令x=1，则 (1 + 1 ) 7 = a 0 + a 1 + a 2 + ... + a 7 = 2 7 = 1 2 8 ，…………………………………….2分 令x=0，则 (1 + 0 ) 7 = a 0 = 1 ……………………………………………..…………………….3分 所以 a 1 + a 2 + ... + a 7 = 1 2 8 − 1 = 1 2 7 ……………………………………..……………………..5分 （2） (1 + x ) n 的展开式的通项为T =Crxr，系数 r+1 n a r = C rn …………..……………………..6分 （给出通项公式或写出系数都得分） 由a,a ,a 依次成等差数列，得2a =a +a ，即 1 2 3 2 1 3 2 C 2n = C 1n + C 3n ……..…………………….7分 代入组合数公式化简，得 2  n ( n 2 − 1 ) = n + n ( n − 1 ) 6 ( n − 2 ) ……..…………………………..8分 （未列式不扣分） 整理得n2 −9n+14=0……..…………………………………………………...…………..10分 n = 2 或 n = 7 ……..…………………………………………………………...………..……..11分 又 n  4 , n  N * 所以n=7……..……………………………………….…………………………......………..12分 a 3 = C 37 = 3 5 ……………………………..…………….…………………………….....……..13分 y=x+1 16. 解法一；将l:y=x+1与圆C的方程联立， x2 + y2 −mx−my+1=0 化简得：2x2 +(2−2m)x+(2−m)=0………………………………………………………..2分参考答案 第2页  = ( 2 − 2 m ) 2 − 8 ( 2 − m ) = 4 ( m 2 − 3 ) 由   0 解得 m  3 或 m  − 3 .……………………………………………………………3分 设直线与圆两交点分别为 M ( x 1 , y 1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ， 由韦达定理得， x 1 + x 2 = m − 1 , x 1 x 2 = 2 − 2 m ，………..……………………………….……5分 M N = 1 + k 2 x 1 − x 2 = 1 + k 2 ( x 1 + x 2 ) 2 − 4 x 1 x 2 = 2 ( m − 1 ) 2 − 2 ( 2 − m ) = 2 m 2 − 3 = 2 ………..…………………………………………....……7分 解得 m = 2 或 m = − 2 .………….....……………………………………………………………8分 （2）OM ON =xx + y y ，…………………………………………………………………9分 1 2 1 2 其中 y 1 y 2 = ( x 1 + 1 ) ( x 2 + 1 ) = x 1 x 2 + x 1 + x 2 + 1 ， 即OM ON =2xx +x +x +1…………………………………………………..…………12分 1 2 1 2 代入韦达定理结果： O M O N = 2 2 − 2 m + m − 1 + 1 = 2 . 所以 O M O N 的值2. ……………………………………………………………….…...……15分 解法二： （1）圆 x 2 + y 2 − m x − m y + 1 = 0 的标准方程为 ( x − m 2 ) 2 + ( y − m 2 ) 2 = m 2 2 − 1 ， 则圆心为 C ( m 2 , m 2 ) ，半径 r = m 2 2 − 1 且 m 2  2 .……………………………..………….…3分 （ m 2  2 未写不扣分） 直线 l : y = x + 1 即 x − y + 1 = 0 ， m m − +1 则圆心C到直线l的距离 2 2 2………………………………………..……5分 d = = 12 +(−1)2 2 根据垂径定理可得： M N = 2 r 2 − d 2 = 2 2 m2  2 即 2 =2 −1−  …………………………………………………………..…………7分   2 2   所以 m = 2 或 m = − 2 ……………………………………………………………………………8分 （2）设点 P 为MN 的中点，由向量的坐标运算可得 ( ) ( )  1  1  2 1 2 OM ON = PM −PO PN −PO =− MN −PO  MN −PO=PO − MN ，  2  2  4 ……………………………………………………………………………………………….…9分 M N = 2 r 2 − d 2 MN 2 =4   m2 −1−   2  2 =2 ( m2 −3 ) ，…………………………………………………11分  2  2       2 2 2 2  2 m2 m2 +1 OP = CP + CO =  + = ，……………………………………………13分   2 2 2  所以 参考答案 第3页 O M O N = m 2 2 + 1 − 1 4  2 ( m 2 − 3 ) = 2 .……………………………………......…………15分 17.解：（1）设一轮比赛中，A=“甲投中”，B=“乙投中”，C=“‘闪电队’至少投中1 次”．由于两人投篮的结果互不影响，所以A与B相互独立．由已知可得， P ( A ) = 2 3 ， P ( B ) = 1 2 ．………………………………………………………………………2分 （设事件1分，事件关系1分） 因为 A B , A B , A B 两两互斥 P(C)=P(ABABAB)=P(AB)+P(AB)+P(AB) = 2 3  1 2 + (1 − 2 3 )  1 2 + 2 3  (1 − 1 2 ) = 5 6 ．…………………………………………………6分 （公式2分，带入计算2分） 5 因此，“闪电队”在一轮比赛中投中篮球的至少有1次的概率是 ． 6 （2）设 A 1 , A 2 分别表示甲两轮投篮投中 1次，2 次的事件，B,B 分别表示乙两轮投篮投 1 2 中 1次，2 次的事件，根据事件独立性，得………………………………………………7分 P ( A 1 ) = 2 3  1 3 + 1 3  2 3 = 4 9 , P ( A 2 ) =  2 3  2 = 4 9 , …………………………………………………9分 P ( B 1 ) = 1 2  1 2 + 1 2  1 2 = 1 2 , P ( B 2 ) =  1 2  2 = 1 4 , ………………………………………………11分 设D表示“闪电队”在两轮活动中投中篮球的总数不少于3次，A= AB A B A B ， 1 2 2 1 2 2 D = A 1 B 2  A 2 B 1  A 2 B 2 且 A 1 B 2 , A 2 B 1 , A 2 B 2 两两互斥，A 与 1 B 2 ， A 2 与B ， 1 A 2 与 B 2 分别相互 独立. P(D)=P(AB )+P(A B )+P(A B )=P(A)P(B )+P(A )P(B )+P(A )P(B ) 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 = 4 9  1 4 + 4 9  1 2 + 4 9  1 4 = 4 9 因此，“闪电队”获得决赛资格的概率是 4 9 ………………………………………………15分 （事件关系2分，公式与计算2分） 解法二：（1）设一轮比赛中， A = “甲投中”， B = “乙投中”， C = “‘闪电队’投中篮 球至少有1次”．由于两人投篮的结果互不影响，所以 A , B 相互独立．由已知可得， P ( A ) = 2 3 ， P ( B ) = 1 2 ．………………………………………………………………………2分 “至少投中1次” 的对立事件是 “甲、乙都没投中”．…………………………3分 2 1 5 P(C)=1−P(AB)=1−P(A)P(B)=1−(1− )(1− )= ．………………………………6分 3 2 6 5 因此，“闪电队”在一轮比赛中至少投中1次的概率是 ． 6 （2）“投中总数不少于 3 次” 包含投中3次和投中4次两种情况：投中3次包含第一轮 投中1次且第二轮投中2次，或第一轮投中2次且第二轮投中1次；投中4次意味着两轮 都投中2次．…………………………………………………………………………………8分设 参考答案 第4页 D 1 = ”一轮投中1次”， D 2 = ”一轮投中2次”，则 D 1 = A B  A B ， D 2 = A B ． A B 与 A B 互斥 P ( D 1 ) = P ( A B  A B ) = P ( A B ) + P ( A B ) = (1 − 2 3 )  1 2 + 2 3  (1 − 1 2 ) = 1 2 , P ( D 2 ) = P ( A B ) = 2 3  1 2 = 1 3 ，………………………………………………………11分 设 E = “投中总数不少于 3 次”,则E=DD D D D D ,且DD ,D D,D D 两两互 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 斥，第一轮与第二轮投篮结果互不影响． P(E)=P(DD )+P(D D )+P(D D ) 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 4 =  +  +  = 2 3 3 2 3 3 9 4 因此，“闪电队”获得决赛资格的概率是 ……………………………………………15分 9 18. 解：（1）由 a n = 2 a n − 1 + 2 n ( n  2 ) a a 得 n = n−1 +1…………………………………………………………………………………1分 2n 2n−1 即b =b +1……………………………………………………………………………………2 n n−1 分 又 b 1 = a 12 = 2 ……………………………………………………………………………………3分 所以  b n  是以 2 为首项， 1 为公差的等差数列………………………………………………4分 （2）由（1）得， b n = b 1 + ( n − 1 )  1 = n + 1 且 b n = a 2 nn ， 所以 b a 2n n = b 2 nn = n 2 + n 1 ……………………………………………………………………………5分 2 3 4 n+1 则S = + + +...+ ①………………………………………………………………6分 n 21 22 23 2n 1 2 3 4 n n+1 S = + + +...+ + ②…………………………………………………………7分 2 n 22 23 24 2n 2n+1 ①−②得 1 2 S n = 1 + ( 1 2 2 + 1 2 3 + ... + 1 2 n ) − n 2 + n + 1 1 …………………………………………………8分 1 1 n+1 =1+ − − 2 2n 2n+1 3 n+3 = − ………………………………………………………………………9分 2 2n+1 n+3 所以S =3− ……………………………………………………………………………10分 n 2n 4 4 4 （3）(1+ )(1+ )++(1+ ) 2bn+1 ， 2b1 2b2 2bn 1 1 1 即(1+ )(1+ )(1+ ) 2n+2 20 2 2n−1参考答案 第5页 (1 1 2 0 ) (1 1 2 2 ) n 2 (1 2 1 n 1 )    + +  +   + − 对任意正整数 n 都成立，………………………………11分 1 1 1 (1+ )(1+ )(1+ ) 令 20 2 2n−1 ，……………………………………………………12分 f(n)= 2n+2 f ( n + 1 ) = (1 + 1 2 0 ) (1 + 2 1 2n ) +  3   (1 + 1 2 n ) ， 1 1 1+ 1+ 则 f(n+1) = 2n  2n+2 = 2n +1 = 2n …………………………………………13分 f(n) 2n+3 2n 2 2 y = f ( n f ( + n 1 ) ) 单调递减 当n=1时， f f ( 2 (1 ) ) = 2 3 2  1 ，所以 f ( 2 )  f (1 ) 当n2时， f ( n f ( + n 1 ) )  f f ( ( 3 2 ) ) = 5 8 2  1 当n2时， f(x)单调递减…………………………………………………………………15分 所以 f ( n )  f ( 2 ) = 3 4 …………………………………………………………………………16分 3 即 4 所以实数的最小值为 3 4 ……………………………………………………………………17分 c 1 1 19.解：（1）由离心率得e= = ，即c= a①….…….………………………….…...…1分 a 2 2 3 b2 =a2 −c2 = a2….………….………..…………………………………..……….…2分 4 椭圆经过点 Q ( 3 , 2 3 ) ，所以 3 a 2 + 4 3 b 2 = 1 ②……………….……………..………...….……3分 联立①②解得 a 2 = 4 , b 2 = 3 ………………..……………………….…………………….……4分 所以椭圆 C x2 y2 的方程为 + =1………………………………………………….…………5分 4 3 （2）（i）直线 ln 过点P(1,0)且斜率k =n， n 则直线 ln 的方程为 y = n x − n …………………………………………..………..…...………6分 设M (x,y ),N (x ,y ), n 1 1 n 2 2  y=nx−n  联立 x2 y2  + =1  4 3 整理得(3+4n2)x2 −8n2x+4n2 −12=0,0所以 参考答案 第6页 x 1 + x 2 = 3 8 + n 4 2 n 2 ， x 1 x 2 = 4 n 3 2 + − 4 n 1 2 2 ……………………………….………..…….………7分 直线 A M n y 的方程为y= 1 (x+2) x +2 1 令x=4，解得 y S n = x 6 1 y + 1 2 ， 6y 即S (4, 1 ) n x +2 1 同理， T n ( 4 , x 6 2 y + 2 2 ) ……………………………..……………..………………....……...……8分 线段 S n T n 的中点 R n 的坐标为 ( 4 , x 3 1 y + 1 2 + x 3 2 y + 2 2 ) M n , N n 在直线 y = n x − n 上 所以 y 1 = n x 1 − n , y 2 = n x 2 − n y R n = 3 n ( x 1 − 1 ) ( x ( 2x + 1 + 2 ) 2 + ) ( 3 x n 2 ( + x 22 − ) 1 ) ( x 1 + 2 ) ………..………………….………..……9分 = 3 n x 2 1 x x 1 2 x 2+ + 2 ( x x 1 1 + + x x 2 2 − ) + 4 4 = 3 n 2 4 ( n 3 2 4 n 3 + 2 − + 4 n − 4 n 1 2 2 1 2 2 + ) 2 + ( 3 38 + 8 +n 4 n 42 n 2 n 2 2 ) − + 4 4 = − 3 n 所以 R n ( 4 , − 3 n ) 则 R n + 1 ( 4 , − n 3 + 1 ) …………………….……..……………………….…………..….………10分 k O R n = − 3 4 n , k O R n+1 = − 4 ( n 3 + 1 ) ………………………………………….…….........……11分 1 1 4n 4(n+1) 4 所以 − =− + = ……………………..……….…………..….………12分 k k 3 3 3 ORn ORn+1 （ii）线段 O R n 的中点坐标为 ( 2 , − 3 2 n ) 3 ,又k =− ORn 4n 线段 O R n 的中垂线方程为 y + 3 2 n = 4 n 3 ( x − 2 ) −6n−3 线段R R 的中垂线方程为y= ……………………..…………….………….…13分 n n+1 2n(n+1)  3 4n y+ = (x−2)   2n 3 联立 −6n−3  y=  2n(n+1)9 解得x =2− ……….…………………………….……………………..….…14分 0 8n(n+1) 参考答案 第7页 f ( n ) = 2 − 8 n ( 9 n + 1 ) 在 ( 0 , +  ) 上单调递增………………………..……..………..….…15分 又 n  N * 23 当n=1时， f(1)= ………………………………………………………………….…16分 16 所以 x 0 的取值范围是 [ 2 1 3 6 , 2 ) ………………………………..……………….……..….…17分 解法二（1）同解法一 （2）（i）设M (x,y )，N (x ,y )，S (4,s)，T (4,t)， n 1 1 n 2 2 n n A ( − 2 , 0 ) , 由A、M 、S 三点共线， n n 4 − s ( − 2 ) = x 1 − y 1( − 2 ) 即 s = x 6 1 y + 1 2 ，同理可得 t = x 6 2 y + 2 2 所以 R n ( 4 , x 3 1 y + 1 2 + x 3 2 y + 2 2 ) ..………………………………………………………………….…6分 设直线 ln : m ( x + 2 ) + r y = 1 ， 将点 (1 , 0 ) 代入 ln 方程可得 m = 1 3 ，由 ln 的斜率为 n 可得 − m r = n 即 r = − 1 3 n . 则直线 ln : 1 3 ( x + 2 ) − 1 3 n y = 1 .……………………..…………………………….……..….…7分 椭圆C方程： ( x + 2 4 − 2 ) 2 + y 3 2 = 1 ，化简得 3 ( x + 2 ) 2 − 1 2 ( x + 2 ) + 4 y 2 = 0 .…..…. . . . .…8分 1 1  则3(x+2)2 −12(x+2) (x+2)− y +4y2 =0即   3 3n  − ( x + 2 ) 2 + 4 n ( x + 2 ) y + 4 y 2 = 0 . 4 y  y  2 则−1+ +4  =0，则 n x+2 x+2 x 1 y 1+ 2 + x 2 y 2+ 2 = − 1 n ，……………………..….………9分 所以 R n ( 4 , − 3 n ) . 则R n+1 ( 4 , − n 3 + 1 ) …………………….……..……………………….…………..….………10分 下同解法一