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学年上学期⾼⼀年级阶段联考
2025~2026
数学
考⽣注意：
1.本试卷分选择题和⾮选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考⽣务必⽤直径0.5毫⽶⿊⾊墨⽔签字笔将密封线内项⽬填写清楚.
3.考⽣作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每⼩题选出答案后，⽤2B铅笔把答题卡上对应
题⽬的答案标号涂⿊；⾮选择题请⽤直径0.5毫⽶⿊⾊墨⽔签字笔在答题卡上各题的答题区域
内作答，超出答题区域书写的答案⽆效，在试题卷､草稿纸上作答⽆效.
4.本卷命题范围：⼈教A版必修第⼀册第⼀章⼀第⼆章第2节.
⼀､选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是
符合题⽬要求的.
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 命题p： ， 的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 已知集合 ， ，则集合 的⼦集个数为（ ）
A.4 B.8 C.10 D.16
4. 已知实数 ， ， ， 满⾜ ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知集合 或 ， ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 或
第1⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司7. 为了增强公司的凝聚⼒，某公司举⾏⽻⽑球、乒乓球、⽹球三项⽐赛，共有 名员⼯参赛，其中参加⽻
⽑球⽐赛的有 名，参加乒乓球⽐赛的有 名，参加⽹球⽐赛的有 名，同时参加⽻⽑球、乒乓球⽐赛
的有 名，同时参加乒乓球、⽹球⽐赛的有 名，同时参加⽻⽑球、⽹球⽐赛的有 名，则这三项⽐赛
都参加的员⼯⼈数是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知实数 ，则 （ ）
A. 有最⼩值2 B. 有最⼤值2
C. 有最⼩值6 D. ⽆最⼩值
⼆､多选题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 当 时， B. 当 时，
C. 的最⼩值为2 D. 的最⼩值为2
11. 已知有限数集 中的元素均为实数，且对任意 ，都有 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 中最⼤的元素不超过1
B. 中最⼩的元素可以⼩于
C. 若集合 中只有⼀个元素，则 或
D. 若集合 中有两个元素，则
三､填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12. 若 ，则M与N的⼤⼩关系为__________ .
13. 如图，坐标系中矩形 及其内部 点构成的集合可表示为__________.
第2⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司14. 若 ，则 __________.
四､解答题：本题共5⼩题，共77分.解答应写出⽂宇说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 ， .
（1）求 ；
（2）求 .
16. 已知集合 ， ．
（1）若 成⽴ ⼀个必要条件是 ，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
17. 已知 ， ， ； ，使得 .
（1）若 是真命题，求 最⼤值；
（2）若p，q⼀个为真命题，⼀个为假命题，求 取值范围.
18. 为宣传2023年杭州亚运会，某公益⼴告公司拟在⼀张矩形海报纸（记为矩形 ，如图）上设计四
个等⾼的宣传栏（栏⾯分别为两个等腰三⻆形和两个全等的直⻆三⻆形且 ），宣传栏（图中阴
影部分）的⾯积之和为 .为了美观，要求海报上所有⽔平⽅向和竖直⽅向的留空宽度均为10cm（宣
传栏中相邻两个三⻆形板块间在⽔平⽅向上的留空宽度也都是10cm），设 .
（1）当 时，求海报纸（矩形 ）的周⻓；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺⼨，可使⽤纸量最少（即矩形 的⾯积最⼩）？
19. 问题：已知 、 、 均为正实数，且 ，求证： .
第3⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司证明： ，当且仅
当 时，等号成⽴.学习上述解法并解决下列问题：
（1）已知 、 、 均为正实数，且 ，求 最⼩值；
（2）已知 、 、 、 均为正实数，且 ，求证： ；
（3）求 的最⼩值，并求出使得 取得最⼩值时 的值.
第4⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司学年上学期⾼⼀年级阶段联考
2025~2026
数学
考⽣注意：
1.本试卷分选择题和⾮选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考⽣务必⽤直径0.5毫⽶⿊⾊墨⽔签字笔将密封线内项⽬填写清楚.
3.考⽣作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每⼩题选出答案后，⽤2B铅笔把答题卡上对应
题⽬的答案标号涂⿊；⾮选择题请⽤直径0.5毫⽶⿊⾊墨⽔签字笔在答题卡上各题的答题区域
内作答，超出答题区域书写的答案⽆效，在试题卷､草稿纸上作答⽆效.
4.本卷命题范围：⼈教A版必修第⼀册第⼀章⼀第⼆章第2节.
⼀､选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是
符合题⽬要求的.
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】先求出集合A，再根据并集定义计算即可.
【详解】因为 ,所以 .
故选：D.
2. 命题p： ， 的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，可直接得到结果.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题p： ， 的否定为:
第1⻚/共13⻚
学科⽹（北京）股份有限公司， .
故选：D.
3. 已知集合 ， ，则集合 的⼦集个数为（ ）
A.4 B.8 C.10 D.16
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合 ，即可求出⼦集个数.
【详解】由题意， ，故其⼦集的个数为 .
故选：D
4. 已知实数 ， ， ， 满⾜ ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式性质，结合反例法即可判断.
【详解】对A， ，则 ，所以 ，故A正确；
对B，不妨设 ，则 ，故B错误；
对C，不妨设 ，则 ，故C错误；
对D，不妨设 ，则 ，故D错误；
故选：A
5.“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由 ，得 且 ，所以“ ”可以得到“ ”；
由 ，得 ，所以“ ”不能得到“ ”.
第2⻚/共13⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
6. 已知集合 或 ， ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】分 、 、 三种情况讨论，求出集合 ，在 时，直接验证即可；在 、
这两种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数 的不等式，综合可得出实数 的取值范围.
【详解】因为集合 或 ， ，且 ，分以下⼏种情况讨论：
（1）当 时， ，合乎题意；
（2）当 时， ，则 ，
因为 时，解得 ；
（3）当 时， ，则 ，
因为 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：B.
7. 为了增强公司的凝聚⼒，某公司举⾏⽻⽑球、乒乓球、⽹球三项⽐赛，共有 名员⼯参赛，其中参加⽻
⽑球⽐赛的有 名，参加乒乓球⽐赛的有 名，参加⽹球⽐赛的有 名，同时参加⽻⽑球、乒乓球⽐赛
的有 名，同时参加乒乓球、⽹球⽐赛的有 名，同时参加⽻⽑球、⽹球⽐赛的有 名，则这三项⽐赛
都参加的员⼯⼈数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设参加⽻⽑球、乒乓球、⽹球⽐赛的员⼯分别构成集合 、 、 ，设这三项⽐赛都参加的员⼯
第3⻚/共13⻚
学科⽹（北京）股份有限公司⼈数为 ，作出⻙恩图，可得出关于实数 的⽅程，解之即可.
【详解】设参加⽻⽑球、乒乓球、⽹球⽐赛的员⼯分别构成集合 、 、 ，
设这三项⽐赛都参加的员⼯⼈数为 ，根据题意得出如下⻙恩图，
因为该公司共有 名员⼯参加⽐赛，
则有 ，
即 ，解得 ，
因此，这三项⽐赛都参加 员⼯⼈数是 .
故选：B.
8. 已知实数 ，则 （ ）
A. 有最⼩值2 B. 有最⼤值2
C. 有最⼩值6 D. ⽆最⼩值
【答案】B
【解析】
【分析】对分式变形，利⽤均值不等式求导即可得解.
【详解】 ，
因为 ，所以 .
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成⽴，
故 的最⼤值为2.
故选：B.
第4⻚/共13⻚
学科⽹（北京）股份有限公司⼆､多选题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】由元素与集合，集合与集合的关系逐项判断即可.
【详解】 不含有任何元素，所以 ，故A错误；
不含有任何元素， 含有元素 ，所以 ，故B错误；
是集合 的⼀个元素，所以 ，故C正确；
空集是任何集合的⼦集，所以 ，故D正确.
故选：CD
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 当 时， B. 当 时，
C. 的最⼩值为2 D. 的最⼩值为2
【答案】AB
【解析】
【分析】利⽤基本不等式，注意等号成⽴条件判断A、B、D，根据不等式性质判断C.
【详解】当 时， ，
当且仅当 时，即 时等号成⽴，故A正确；
当 时， ，
当且仅当 时，即 时等号成⽴，故B正确；
第5⻚/共13⻚
学科⽹（北京）股份有限公司当 时，显然 不成⽴，故C错误；
因为 ，
当且仅当 时等号成⽴，此时 ⽆解，故取不到等号，故D错误．
故选：AB
11. 已知有限数集 中的元素均为实数，且对任意 ，都有 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 中最⼤的元素不超过1
B. 中最⼩的元素可以⼩于
C. 若集合 中只有⼀个元素，则 或
D. 若集合 中有两个元素，则
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，设 为数集 中最⼤的元素，可知 也是数集 的元素，由 ,解不等式即可判断；
对于B,设 为数集 中最⼩的元素，可知 和 都是数集 的元素，则 ,解不等式即可判断；
对于C,设 为数集 中唯⼀的元素，可知 也是数集 的元素，则 ,解⽅程即可求解；
对于D 举出 也满⾜条件即可判断.
【详解】对于A，设 为数集 中最⼤的元素，根据数集 的定义可知 也是数集 的元素，
则 ,解得： ,所以数集 中最⼤的元素不超过1，故A正确；
对于B,设 为数集 中最⼩的元素，根据数集 的定义可知 和 都是数集 的元素，
则 ,即 ,解得 或 ，
所以数集 中最⼩的元素不⼩于 ，故B不正确；
对于C,设 为数集 中唯⼀的元素，根据数集 的定义可知 也是数集 的元素
，则 ,解得： 或 ,则 或 ，故C正确；
第6⻚/共13⻚
学科⽹（北京）股份有限公司对于D,设集合 中有两个元素分别为 , ，
当 时， ， ，由于 ，所以 ，解得 或 (舍去)，此时 ；
当 ， 时， ， ， ，所以集合 中有两个元素，则 也满⾜条件,
故D不正确；
故选：AC
三､填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12. 若 ，则M与N的⼤⼩关系为__________ .
【答案】
【解析】
【分析】作差法⽐较⼤⼩即可.
【详解】因为 ，
所以 .
故答案为: .
13. 如图，坐标系中矩形 及其内部的点构成的集合可表示为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据阴影部分的点构成的集合求解即可.
【详解】易知阴影部分的点构成的集合为 .
故答案为： .
14. 若 ，则 __________.
【答案】
【解析】
第7⻚/共13⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】依题意可得① 或② ，再求出参数的值，从⽽得解，需代⼊检验是否满⾜集合元素
的互异性.
【详解】因为 ，所以① 或② ，
由①得 或 ，其中 与元素互异性⽭盾，舍去，故 符合题意，此时 ；
由②得 符合题意，此时 ；
综上， 的值为 .
故答案为：
四､解答题：本题共5⼩题，共77分.解答应写出⽂宇说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 ， .
（1）求 ；
（2）求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合并集定义运算即可求；
（2）据集合补集和交集定义运算即可.
【⼩问1详解】
由题可知 ， ，
所以 .
【⼩问2详解】
因为 或 ，
所以 .
16. 已知集合 ， ．
第8⻚/共13⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（1）若 成⽴的⼀个必要条件是 ，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1） 成⽴ ⼀个必要条件是 ，则 ，求解即可；
（2）由 ，则 或 ，求解即可.
【⼩问1详解】
因为集合 ， ．
若 成⽴的⼀个必要条件是 ，所以 ，
则 ，所以 ，
故实数 的取值范围 .
【⼩问2详解】
若 ，则 或 ，
所以 或 ，
故实数 的取值范围 .
17. 已知 ， ， ； ，使得 .
（1）若 是真命题，求 的最⼤值；
（2）若p，q⼀个为真命题，⼀个为假命题，求 的取值范围.
【答案】（1）1 （2） 或 .
【解析】
【分析】（1）由 ，利⽤全称命题为真命题即可求得；
（2）先求出命题q为真时a的取值范围，进⽽分类讨论： 真 假时和 假 真时，分别求出对应a的取
值范围即可求解.
【⼩问1详解】
要使 ， 为真命题，只需 ，即 的最⼤值为1.
第9⻚/共13⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【⼩问2详解】
若使 ，使得 为真命题，则 ，解得 .
① 真 假时，只需 所以 ；
② 假 真时，只需 所以 ，
所以 或 .
综上， 的取值范围为 或 .
18. 为宣传2023年杭州亚运会，某公益⼴告公司拟在⼀张矩形海报纸（记为矩形 ，如图）上设计四
个等⾼的宣传栏（栏⾯分别为两个等腰三⻆形和两个全等的直⻆三⻆形且 ），宣传栏（图中阴
影部分）的⾯积之和为 .为了美观，要求海报上所有⽔平⽅向和竖直⽅向的留空宽度均为10cm（宣
传栏中相邻两个三⻆形板块间在⽔平⽅向上的留空宽度也都是10cm），设 .
（1）当 时，求海报纸（矩形 ）的周⻓；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺⼨，可使⽤纸量最少（即矩形 的⾯积最⼩）？
【答案】（1）900cm
（2）选择⻓、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使⽤纸量最少
【解析】
【分析】（1）根据宣传栏的⾯积以及 可计算出直⻆三⻆形的⾼，再根据留空宽度即可求得矩形
的周⻓；
（2）根据阴影部分⾯积为定值，表示出矩形⾯积的表达式利⽤基本不等式即可求得⾯积的最⼩值，验证等
号成⽴的条件即可得出对应的⻓和宽.
【⼩问1详解】
设阴影部分直⻆三⻆形的⾼为 cm，
所以阴影部分的⾯积 ，所以 ，
第10⻚/共13⻚
学科⽹（北京）股份有限公司⼜ ，故 ，
由图可知 cm， cm.
海报纸的周⻓为 cm.
故海报纸的周⻓为900cm.
【⼩问2详解】
由（1）知 ， ， ，
，
当且仅当 ，即 cm， cm时等号成⽴，
此时， cm， cm.
故选择矩形的⻓、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使⽤纸量最少.
19. 问题：已知 、 、 均为正实数，且 ，求证： .
证明： ，当且仅
当 时，等号成⽴.学习上述解法并解决下列问题：
（1）已知 、 、 均为正实数，且 ，求 的最⼩值；
（2）已知 、 、 、 均为正实数，且 ，求证： ；
（3）求 的最⼩值，并求出使得 取得最⼩值时 的值.
【答案】（1）
（2）证明⻅解析 （3）当 时， 取最⼩值
【解析】
【分析】（1）将代数式 与 相乘，展开后利⽤基本不等式可求得 的最⼩值；
（2）将代数式 与 相乘，展开后利⽤基本不等式可证得所证不等式成⽴；
（3）分析可得 ，利⽤（2）中的结论可得出 ，可求得 的最⼩值，结合
第11⻚/共13⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）中的结论可求得对应的 的值.
【⼩问1详解】
解：因为 、 、 均为正实数，且 ，
则
，
当且仅当 时，即当 时，等号成⽴，
所以， 的最⼩值为 .
【⼩问2详解】
证明：因为 、 、 、 均为正实数，且 ，
则
，
当且仅当 时，即当 时，等号成⽴，故 .
【⼩问3详解】
解：对于代数式 ，有 ，可得 ，
此时， ，则 ，
所以， ，
第12⻚/共13⻚
学科⽹（北京）股份有限公司由（2）中的结论可得 ，可得 ，
当且仅当 时，即当 时， 取最⼩值 .
【点睛】易错点睛：利⽤基本不等式求最值时，要注意其必须满⾜的三个条件：
（1）“ ⼀正” 就是各项必须为正数；
（2）“ ⼆定” 就是要求和的最⼩值，必须把构成和的⼆项之积转化成定值；要求积的最⼤值，则必须把构
成积的因式的和转化成定值；
（3）“ 三相等” 是利⽤基本不等式求最值时，必须验证等号成⽴的条件，若不能取等号则这个定值就不是
所求的最值，这也是最容易发⽣错误的地⽅.
第13⻚/共13⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
