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第二十一章 一元二次方程
21.1一元二次方程
——一元二次方程的相关概念
一、新课导入
1.导入课题：
情景：要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于
下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米高?
问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？（导出审题的关键是寻找等量关系）
问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？（用线段AB表示雕像的
高度，雕像上部的高度表示为AC,下部的高度表示为BC,在黑板上画出
示意图，把这个问题转化为数学问题）
问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？（根据题意导出关系
式BC2=2AC）
问题4：设雕像下部高BC=xm,请说出你所列的方程，并化简.这个方程是一元一次方程
吗？它有什么特点？
这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程.（板书课题）
2.学习目标：
（1）会设未知数，列一元二次方程.
(2)了解一元二次方程及其根的概念.
（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数.
3.学习重、难点：
重点：一元二次方程的一般形式及相关概念.
难点：寻找等量关系.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第1页到第2页的问题1、问题2.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系列出方程.
（4）自学参考提纲：①问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形
边长为x cm，则盒底的宽为 (50-2 x ) cm，盒底的长为 (100-2 x ) cm，根据矩形的面积公式及方盒
的底面积3600 cm2可列方程为 (100-2 x )(50-2 x )=3600 ，你能把它整理为课本上的方程②吗？
试说明具体经过哪几步变形得到.
先去括号5000-100x-200x+4x2=3600
移项合并同类项4x2-300x+1400=0
系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0
②问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为28场.
设邀请x支队参赛，则每支队与其余 ( x -1) 支队都要赛一场.
整个比赛中总比赛场数是多少？你是怎样算出来的？
本题的等量关系是什么？你列出的方程是 x(x-1)=28.
你能把它整理为课本上的方程③吗？试说明具体经过哪几步变形得到.
去括号 x2-12x=28
系数化为1(两边同乘以2) x2-x=56
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：观察了解学生是否会寻找等量关系，是否会化简方程.
②差异指导：简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别，对不会寻找等量关系
的学生给予辅导，说明化简方程的基本要求.
（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.
4.强化：
（1）总结寻找等量关系的策略，简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依据.
（2）练习：根据下列问题列方程
①一个圆的面积是2πｍ2，求半径.πr2=2π
② 一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm2，求较长的直角边的长.x(x-3)=9
③4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长x. 4x2=25
④一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x. x(x-2)=100
⑤把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求
较短一段的长x.
x=(1-x)2
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第3页的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：观察方程①②③，从方程所含的未知数的个数及其次数等方面找出它们
共同的特点.
（4）自学参考提纲：
①结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义：等号两边都是整式，只含有
一个未知数 ( 一元 ) ，并且未知数的最高次数是 2 ( 二次 ) 的方程，叫做一元二次方程 .
②一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，为什么要规定a≠0？
因为a=0时，未知数的最高次数小于2.
③同桌之间相互说说方程①②③的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项各
是什么.
方程①x2+2x-4=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：2x 一次项系数：2
常数项：-4
方程②x2-75x+350=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-75x 一次项系数：-75 常数
项：350
方程③x2-x=56 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-x 一次项系数：-1
常数项：-56
④举例说明什么是一元二次方程的根.
⑤自学例题，说说把一元二次方程化为一般形式，要经过哪些变形？
去括号，移项，合并同类项.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：①明了学情：观察学生在回答一元二次方程各项及各项系数时，是否注意了符号.
②差异指导：提醒学生一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号.
（2）生助生：生生互动交流、订正错误.
4.强化:
(1)交流总结：确定一元二次方程各项的系数时，若方程不是一般形式，要先经过去括号、
移项、合并同类项等步骤把它化成一般形式，通常习惯把二次项系数化为正数，且各项系数
均为整数且互质，在指出各项系数时，一定要带上各项前面的符号.
(2)练习：
①将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系 数
及常数项：
5x2-1=4x；4x2=81；
解：原式化为5x2-4x-1=0解：原式化为4x2-81=0
二次项系数：5一次项系数：-4常数项：-1二次项系数：4一次项系数：0常数项：-81
4x（x+2）=25；(3x-2)(x+1)=8x-3.
解：原式化为4x2+8x-25=0解：原式化为3x2-7x+1=0
二次项系数：4一次项系数：8常数项：-25二次项系数：3一次项系数：-7常数项：1
②若方程（m-1）x2+ x=1是关于 x 的一元二次方程，则m的取值范围是m≥0且m≠1.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有什么困惑？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生参与学习的情况，回答问题，小组互动情况以及存在的问题等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:
(1)注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，
降低学生理解的难度.
(2)教师创设情境，给出实例，学生积极主动探究，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，
师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.
(3)增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.
(4)对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的
过程，让学生在交流中体会成功.（时间：12分钟满分：100分）
一、基础巩固（70分）
1.（10分）一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（C）
A. 3，5 B. 3，0 C. 3，-5 D. 5，0
2.（10分）下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？
－4， －3， －2， －1， 0， 1， 2， 3， 4.
解：－4，3
3（. 20分）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项
系数和常数项.
（1）3x2+1=6x； （2）4x2=81－5x；
解：原式化为3x2-6x+1=0 解：原式化为4x2+5x-81=0
二次项系数：3 二次项系数：4
一次项系数：-6 一次项系数：5
常数项：1 常数项：-81
（3）x(x+5)=5x－10; （4）(3x－2)(x+1)=x(2x－1).
解：原式化为x2+10=0 解：原式化为x2+2x-2=0
二次项系数：1 二次项系数：1
一次项系数：0 一次项系数：2
常数项：10 常数项：-2
4.（30分）根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
（1）一个长方形的长比宽多1cm,面积是132cm2,长方形的长和宽各是多少？
解：设长方形的长为xcm，则宽为(x-1)cm，
根据题意，得x(x-1)=132，
整理，得x2-x-132=0.
（2）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的平方的长方形?
解：设长方形的长为xm，则宽为(0.5-x)m.
根据题意，得x(0.5-x)=0.06,
整理，得50x2-25x+3=0.
（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？解：设有x人参加了这次聚会,
根据题意，得 x(x-1)=10
整理，得x2-x-20=0
二、综合应用（20分）
5（. 20分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形
挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则x满足的方程是（B）
A. x2+130x-1400=0B. x2+65x-350=0
C. x2-130x-1400=0 D. x2-65x-350=0
三、拓展延伸（10分）
6.（10分）如果2是方程x2-c=0的一个根，求常数c及方程的另一个根.
解：将2代入原方程中,得22-c=0，得c=4.
将c=4代入原方程，得x2-4=0.解得x=±2.
即方程的另一个根为-2.
