黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题Word版含解析_2025年11月高一试卷_251113黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2025-2026学年高一上学期11月期中考试

黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校 2025-2026 学年高一上学期期中考试 数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2．答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区 域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教 A 版必修第一册第一章～第三章第 2 节. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的定义可得出集合 . 【详解】因为 ， ，则 . 故选：D. 2. 已知 ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用配凑法求函数解析式，再代入求解即可. 【详解】由题意，得 ，则 ，故 . 故选：B. 3. 函数 的定义域是（ ） 第 1页/共 14页A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用具体函数定义域的求法即可得解. 【详解】对于 ， 有 ，解得 且 ， 则 的定义域为 . 故选：C. 4. 若 ， ， ， ，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知条件结合不等式的性质，判断各选项结论是否正确. 【详解】若 ， ， ， ， 由 ，则 ，得 ，A 选项错误； 由 ，有 ，则 ，B 选项错误； 由 ， ，有 ，C 选项正确； 由 ，有 ，D 选项错误 故选：C. 5. 已知函数 是 上的偶函数，当 时， ，则当 时， （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 第 2页/共 14页【分析】利用函数的奇偶性求解析式即可. 【详解】因为函数 为偶函数，所以 . 当 时， ， 所以当 时， . 故选：A. 6. 下列各组中的函数 和 是表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据相同函数的定义，分别判断各个选项函数的定义域和对应关系是否都相同即可得解. 【详解】对于 A， ， ，所以两函数不是同一个函数，故 A 错误； 对于 B， 的定义域为 ， 的定义域为 ， 所以两函数不是同一个函数，故 B 错误； 对于 C， 的定义域为 ， 的定义域为 ， 所以两函数不 同一个函数，故 C 错误； 对于 D，可知两个函数的定义域均为 ，且 ， 所以两函数是同一个函数，故 D 正确. 故选：D. 7. 单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸 多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数 满足关系 ，其中 为安全距 离， 为车速.当安全距离 取 40m 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ） A. 110 B. 116 C. 119 D. 122 第 3页/共 14页【答案】B 【解析】 【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 详解】由题知 当且仅当 ，即 时取“=”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为 116. 故选：B. 8. 已知函数 是定义域为 的偶函数，且在 上单调递减，则不等式 的解集 为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数性质及区间单调性可得 ，两边平方求解集. 【详解】依题意，得 在 上为增函数，且 为偶函数， 所以 ，即 ， 所以 ，两边平方得 ，解得 ． 故选：D 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列选项中， 是 的必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 第 4页/共 14页【分析】根据各项条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】A，因为 能推出 ，而 不能推出 ，所以 是 的必要不充分条件，正确； B，因为 不能推出 ，如 ；同时 不能推出 ，如 ，即充分性与必要性 都不成立，所以 是 的既不充分也不必要条件，错误； C，因为 不能推出 ，如 ，即充分性不成立； 可以推出 ，即必要性成立， 正确； D，因为 等价于 ，所以 是 的充要条件，错误． 故选：AC 10. 已知函数 ，则下列关于函数 的结论正确的是（ ） A. B. 若 ，则 的值是 或 C. 的值域为 D. 的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】对 A：由分段函数的性质代入计算即可得；对 B：分 及 进行计算即可得；对 C： 分别求出当 时， 时， 的取值范围即可得；对 D：分 及 解不等式即可 得. 【详解】对 A：因为 ，则 ，故 A 正确； 对 B：当 时， ，解得 （舍去）， 当 时， ，解得 或 （舍去），故 B 错误； 对 C：当 时， 的取值范围是 ， 当 时， 的取值范围是 ， 因此 的值域为 ，故 C 正确； 对 D：当 时， ，解得 ， 当 时， ，解得 ， 所以 的解集为 ；故 D 错误 第 5页/共 14页故选：AC. 11. 已知有限数集 中的元素均为实数，且对任意 ，都有 ，则下列结论正确的是（ ） A. 中最大的元素不超过 1 B. 中最小的元素可以小于 C. 若集合 中只有一个元素，则 或 D. 若集合 中有两个元素，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于 A，设 为数集 中最大的元素，可知 也是数集 的元素，由 ,解不等式即可判断； 对于 B,设 为数集 中最小的元素，可知 和 都是数集 的元素，则 ,解不等式即可判断； 对于 C,设 为数集 中唯一的元素，可知 也是数集 的元素，则 ,解方程即可求解； 对于 D,举出 也满足条件即可判断. 【详解】对于 A，设 为数集 中最大的元素，根据数集 的定义可知 也是数集 的元素， 则 ,解得： ,所以数集 中最大的元素不超过 1，故 A 正确； 对于 B,设 为数集 中最小的元素，根据数集 的定义可知 和 都是数集 的元素， 则 ,即 ,解得 或 ， 所以数集 中最小的元素不小于 ，故 B 不正确； 对于 C,设 为数集 中唯一的元素，根据数集 的定义可知 也是数集 的元素 ，则 ,解得： 或 ,则 或 ，故 C 正确； 对于 D,设集合 中有两个元素分别为 , ， 当 时， ， ，由于 ，所以 ，解得 或 (舍去)，此时 ； 当 ， 时， ， ， ，所以集合 中有两个元素，则 也满足条件, 故 D 不正确； 第 6页/共 14页故选：AC 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 命题 ：“ ， ”的否定是________. 【答案】 ， 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题直接得结果. 【详解】“ ， ”的否定是“ ， ”. 故答案为： ， 13. 不等式 的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】当 ，即 时，不等式 成立； 当 时，由 . 综上所述，不等式 的解集为 . 故答案为： . 14. 已知 是 上的单调增函数，则实数 的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数 的不等式组，由此可解得实数 的取值范围. 第 7页/共 14页【详解】因为函数 是 上的单调增函数， 函数 在 上为增函数，则 ，可得 ， 函数 在 上为增函数，则 ，可得 ， 根据分段函数的单调性可得 ，解得 ， 综上所述，实数 的取值范围是 . 故答案为： . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若集合 ， . （1）若 ，求 ； （2）当 时，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得 ，根据并集运算定义求解； （2）由条件可得 ，结合集合包含关系列不等式求结论. 【小问 1 详解】 因为 ， ∴ ，又 ∴ . 【小问 2 详解】 ∵ ，∴ ， 第 8页/共 14页∴ ， ∴ ， ∴实数 的取值范围为 . 16. 已知函数 . （1）判断 的奇偶性并用定义进行证明； （2）用定义证明 在区间 上单调递减. 【答案】（1） 是奇函数，证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性的定义证明即可； （2）令 ， ，且 ，做差判断 的正负来确定函数单调性. 【小问 1 详解】 是奇函数，证明如下： 由 ，得 的定义域为 . 对于 ，都有 ， 且 ， 所以 是奇函数. 【小问 2 详解】 证明：任取 ， ，且 ， 则 ， 第 9页/共 14页因为 ，所以 ， ， ， ， 因此 ，即 ， 所以函数 在区间 上单调递减. 17. 已知函数 ． （1）若对 ， 恒成立，求实数 的取值范围； （2）解关于 的不等式： ． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）分析可知 ， 恒成立，由 可得出关于 的不等式，解之 即可； （2）将所求不等式变形为 ，对 、 的大小关系进行分类讨论，结 合二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【小问 1 详解】 对 ， 恒成立，即 恒成立， 所以 ， 整理得 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 . 【小问 2 详解】 ，即 ，即 ， 即 ，即 ， 当 ，即 时，原不等式即为 ，解得 ； 当 ，即 时，解原不等式得 或 ； 当 ，即 时，解原不等式得 或 ． 综上，当 时，原不等式的解集为 ； 第 10页/共 14页当 时，原不等式的解集为 ； 当 时，原不等式的解集为 ． 18. 已知函数 与 x 轴的两个交点为 ， . （1）求 b，c 的值； （2）在 上，函数 的图象总在一次函数 的图象的上方，求实数 m 的取值范围； （3）设当 （ ）时，函数 的最小值为 ，求 的解析式. 【答案】（1） ， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）2，3 为方程 的两根，由韦达定理求 b，c 的值； （2）问题等价于 在 上恒成立，转化为函数 在 上的最小值； （3）讨论区间与对称轴的关系，结合二次函数的单调性，即可求得二次函数在闭区间上的最小值. 【小问 1 详解】 2，3 为方程 的两根， 由根与系数的关系可得 ， ， 所以 ， . 【小问 2 详解】 由（1）可知， 且满足 ， 恒成立， 等价于 ， ， 函数 的对称轴为 ，开口向上，所以在 上单调递减. 所以 时， 有最小值 0， 第 11页/共 14页所以 ，实数 m 的取值范围为 . 【小问 3 详解】 ，函数的对称轴为 ，开口向上， 若 ，即 ，则 在 上单调递减， ； 若 ，则 在 上单调递增， ； 若 ，即 ， 则 在 上先减后增， ， 所以， 19. 问题：已知 、 、 均为正实数，且 ，求证： . 证明： ，当且仅 当 时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知 、 、 均为正实数，且 ，求 的最小值； （2）已知 、 、 、 均为正实数，且 ，求证： ； （3）求 的最小值，并求出使得 取得最小值时 的值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）当 时， 取最小值 第 12页/共 14页【解析】 【分析】（1）将代数式 与 相乘，展开后利用基本不等式可求得 的最小值； （2）将代数式 与 相乘，展开后利用基本不等式可证得所证不等式成立； （3）分析可得 ，利用（2）中的结论可得出 ，可求得 的最小值，结合 （2）中的结论可求得对应的 的值. 【小问 1 详解】 解：因为 、 、 均为正实数，且 ， 则 ， 当且仅当 时，即当 时，等号成立， 所以， 的最小值为 . 【小问 2 详解】 证明：因为 、 、 、 均为正实数，且 ， 则 ， 第 13页/共 14页当且仅当 时，即当 时，等号成立，故 . 【小问 3 详解】 解：对于代数式 ，有 ，可得 ， 此时， ，则 ， 所以， ， 由（2）中的结论可得 ，可得 ， 当且仅当 时，即当 时， 取最小值 . 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构 成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是 所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.