文档内容
21.3 实际问题与一元二次方程
【考点归纳】
考点一、传播问题
考点二、增长率问题
考点三、与图形有关的问题
考点四、数字问题
考点五、营销问题
考点六、工程问题
考点七、行程问题
考点八、图表信息问题
考点九、单/双循环问题
考点十：动态几何问题
【知识梳理】
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤
（1）审：读懂题目，弄清题意，明确已知量、未知量，以及它们之间的关系．
（2）设：设出未知数．
（3）列：找出相等关系，列出方程．
（4）解：解方程，求出未知数的值．
（5）验：检验方程的解是否符合实际意义．
（6）答：写出答案．
知识点二 常见实际问题
（1）传播问题
传染源 第一轮被传染的 第二轮被传染的 第二轮传染后的总数．
（2）平均增长（降低）率问题
①设基数为 ，平均增长率为 ，则第一次增长后的值为 ，两次增长后的值为 ，依次类推，
次增长后的值为 ．
②设基数为 ，平均降低率为 ，则第一次降低后的值为 ，两次降低后的值为 ，依次类推，
次降低后的值为 ．（3）几何图形面积问题：
几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积公
式或体积公式列出方程．
（4）数字问题：
若一个两位数十位、个位上的数字分别为 、 ，则这个两位数表示为 ；
若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为 、 、 ，则这个三位数表示为 ．
（5）单、双循环问题：
设参加队伍有 个队，则单循环问题中总的比赛场数为 场；
双循环问题中总的比赛场数为 场．
（6）销售利润问题：
；
；
；
．
（7）存款利息问题：
； ．
【题型探究】
题型一、传播问题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有 台电脑被感
染．设每轮感染中平均一台电脑可感染 台，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）某校有一位同学感染了流感，经过两次感染后，全校共有144人染上了流感．
设每一次感染中，平均一个人传染给了x人，列方程为（ ）
A． B．C． D．
3．（2024九年级上·江苏）进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染
后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（ ）
A． B．
C． D．
题型二、增长率问题
4．（2024九年级上·全国·专题练习）随着经济的发展和人们生活水平的提高，春节旅游逐渐成为了人们追求幸福
的新方式，越来越多的人选择在春节期间出游，体验不一样的年味．据统计.2022年春节假期国内旅游出游人数约
亿人次，2024年达到 亿人次．设2022年到2024年春节假期国内旅游出游人数的年平均增长率为x，则根
据题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·云南·模拟预测）曲靖市为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入2000万元，预计
2024年投入4000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）某市商品房的均价原为18150元 ，经过连续两次降价后均价为15000元
．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三、与图形有关的问题
7．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在长为 米，宽为 米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化．设修建的道路宽为 米，如果绿化面积为 平方米，那么 与 之间的函数关系式为(
)
A． B．
C． D．
8．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，某学校有一块长35米、宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现
要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为592平方米．设小道的宽为x米，根据题意可列方程为（
）
A． B．
C． D．
9．（2024·山西吕梁·模拟预测）某地政府准备在如图所示的宽为25米的矩形地块 上建一所学校，设计要求
将该矩形地块分成甲、乙、丙三部分，甲、乙地块恰好均为正方形，丙地块为矩形，甲地块为教学区，丙地块为
行政办公场区，乙地块为学生活动区．若丙地块的面积为30平方米，则矩形地块 的长为多少米，设矩形地
块 长为x米．根据题意列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型四、数字问题
10．（23-24九年级上·四川泸州·期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编
了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．（22-23九年级上·河南商丘·期末）如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出 个位置相
邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根
据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24九年级上·青海海东·期中）两个相邻奇数的积是 ，求这两个奇数，设较小的奇数为 ，则可列方程
（ ）
A． B．
C． D．
题型五、营销问题
13．（2024·山西晋中·三模）上党腊驴肉是山西长治的传统名吃，其肉质肥而不腻、瘦而不柴，香味四溢、回味无
穷．某特产专卖店购进一批袋装上党腊驴肉，进价为40元 袋，经市场调查发现，当销售单价为 元时，每天可
售出 袋；销售单价每降低 元，每天可多售出 袋．若销售单价降低 元，该专卖店每天销售这种腊驴肉可获
得利润 元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2024·浙江温州·三模）某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就
增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，
可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
15．（2024·山西晋中·二模）某旅游景点的商场销售一款山西文创产品，平均每天可售出 件，每件获利 元．
为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这款文创产品的售价每降低 元，那么平均每
天可多售出 件．商场要想平均每天获利 元，这款文创产品每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价
元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型六、工程问题
16．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速 银百
高速公路（银川至百色）的一段，线路全长 公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总
长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1
米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元．
(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米？
(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工
成本增加m万元时，则每天可多挖 米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖 米，若最终每天实际总
成本比计划多 万元，求 的值．
17．（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型
设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了 小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间
增加了m小时，求m的值．
18．（22-23九年级上·重庆合川·期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．
小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵
1000元，经测算，购买两种树共需38800元．
(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？
(2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降 元（ ），且两种树的售
价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用
比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？
题型七、行程问题
19．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，
甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，
乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少
步？”请问乙走的步数是（ ）
A．36 B．26 C．24 D．10
20．（2021九年级·陕西·专题练习）甲，乙两人分别骑车从 两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经
过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20
分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙
两人骑车的速度分别为（ ）千米/时．
A． B． C． D．
21．（2024九年级·全国·竞赛）望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方
向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的
速度之比为 ．
题型八、图表信息问题
22．（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞
中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的
部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
23．（21-22九年级上·广东广州·期末）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每
月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．
（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：
月
用水量（吨） 交水费总金额（元）
份
4 18 62
5 24 86
根据上表数据，求规定用水量a的值
24．（2021九年级·全国·专题练习）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市
环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交
纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）．
（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；
（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；
月
用水量（吨） 交水费总金额（元）
份4 7 70
5 5 40
根据上表数据，求规定用水量a的值．
题型九、单/双循环问题
25．（2024·广西南宁·二模）2024年汤姆斯杯羽毛球赛于4月27日至5月5日在成都举行，根据赛制规定，所有
参赛队伍先通过抽签分成若干小组进行小组赛，小组赛阶段每队都要与小组内其他队进行一场比赛，已知中国队
所在的小组有n支队伍，共安排了6场小组赛．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
26．（2024·广西梧州·二模）2024年元旦开始，梧州市体育训练基地吹响冬季足球训练“集结号”，该基地组织了
一次单循环的足球比赛（每两支队伍之间比赛一场），共进行了36场比赛，设有x支队伍参加了比赛，依题意可
列方程为（ ）
A． B． C． D．
27．（2024·广东中山·二模） 年 月 日，全国和美乡村篮球大赛——“村 ”总决赛在贵州省台江县台
盘村落下帷幕，广东中山沙溪队取得首届全国“村 ”大赛总冠军．某县“村 ”赛区预选赛规定每两个球队
之间都要进行一场比赛，共要比赛 场．设参加比赛的球队有 支，根据题意，下面列出的方程正确的是
（ ）
A． B． C． D．
题型十：动态几何问题
28．（23-24九年级下·甘肃定西·阶段练习）如图①，在矩形 中， ，对角线 相交于点O，
动点P由点A出发，沿 向点D运动．设点P的运动路程为x， 的面积为y，y与x的函数关
系图象如图②所示，则 边的长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
29．（23-24九年级上·四川眉山·期末）如图，在 中， ， ， ，P、Q分别是
上的动点，若点P、Q同时从M、N两点出发分别沿 方向向点C匀速运动，它们的速度都是
，要使 的面积为 面积的一半，则需经过的时间为（ ）
A．2或 B． C． D．
30．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点， ， ，动点P，Q
分别从点A，C同时出发，点P以 的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以 的速度向D点移
动，当点P到达B点时点Q随之停止运动．
(1) ， ， ， （用含t的代数式表示）；
(2)t为多少时，四边形 的面积为 ；
(3)t为多少时，点P和点Q的距离为 ．【高分演练】
一、单选题
31．（2024·浙江杭州·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，
简译为：今有一扇门，不知门的高和宽，另有一竹竿，也不知竹竿的长短，竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿
竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长、若设门的对角线长为x尺，则
可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
32．（2024·云南文山·模拟预测）某市2021年年底自然保护区覆盖率为 ，经过两年努力，该市2023年年底自
然保护区覆盖率达到 ，求该市这两年自然保护区面积的年均增长率．设该市这两年自然保护区面积的年均
增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
33．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 ）的
矩形鸭舍，其面积为 ，在鸭舍侧面中间位置留一个 宽的门（由其它材料制成），则 长为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
34．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲
种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为 ，根据题意，下列方程正确的是（ ）A． B．
C． D．
35．（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各
国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形 是黄金矩形． ，
点 是边 上一点，则满足 的点 的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题
36．（2024·河北邯郸·三模）某中学计划在一块长 ，宽 的矩形空地上修建三块全等的矩形草坪，如图所示，
余下空地修建成同样宽为a的小路．
（1）若 ，则草坪总面积为 平方米．
（2）若草坪总面积恰好等于小路总面积，那么，此时的路宽a是 米．
37．（2024·山东潍坊·三模）在过去的 年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局
电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为 元的小商品进行直播销售，
如果按每件 元销售，每天可卖出 件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低 元，日销售量增加 件．
若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元．
38．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出
200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场
调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余
旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，则第二周每个旅游纪念
品的销售价格为 元．
39．（2024·山西朔州·一模）为了喜迎元旦，某区筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块正方形的广场空地上搭建
舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为6米，中间空白的面积为216平方米，
若设正方形空地的边长为x米，则可列方程 ．40．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，在 中， ， ， ，
（1） ．
（2）现有动点 从点 出发，沿 向点 方向运动，动点 从点 出发，沿线段 向点 方向运动，如果点
的速度是 ，点 的速度是 ． 、 两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．
设运动时间为 秒．当 时， 平分 的面积．
三、解答题
41．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形空地 上，修建2条平行于 边、1条平行于 边的小路，
3条路等宽，其余部分铺草坪．已知 长为 ， 长为 ，铺草坪的单价是100元/ ，铺草坪的总价为
432000元．求每条小路的宽度．
42．（23-24九年级上·广东清远·期末）某商场销售一批名牌衬衫，其进价为每件160元，每件以200元售出，平
均每天可售出20件，经过市场调查发现，这种衬衫的单价每降价一元，商场平均每天可多售出2件．若商场销售
这种名牌衬衫要想平均每天赢利1200元，请回答：
(1)每件衬衫应降价多少元？
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该名牌衬衫应按原售价的几折出售？
43．（2024·山东东营·模拟预测）某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售，其销售
单价不低于成本．按照物价部门规定，销售利润率不高于 ，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示．
(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
44．（2024·广东东莞·三模）作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我
市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划
安排30场比赛．
(1)应邀请多少支球队参加比赛？
(2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？
45．（2024·辽宁大连·三模）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一
个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆
能否接纳．
