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21.3 实际问题与一元二次方程
【知识梳理】
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤
（1）审：读懂题目，弄清题意，明确已知量、未知量，以及它们之间的关系．
（2）设：设出未知数．
（3）列：找出相等关系，列出方程．
（4）解：解方程，求出未知数的值．
（5）验：检验方程的解是否符合实际意义．
（6）答：写出答案．
知识点二 常见实际问题
（1）传播问题
传染源 第一轮被传染的 第二轮被传染的 第二轮传染后的总数．
（2）平均增长（降低）率问题
①设基数为 ，平均增长率为 ，则第一次增长后的值为 ，两次增长后的值为 ，依次类推，
次增长后的值为 ．②设基数为 ，平均降低率为 ，则第一次降低后的值为 ，两次降低后的值为 ，依次类推，
次降低后的值为 ．
（3）几何图形面积问题：
几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积公
式或体积公式列出方程．
（4）数字问题：
若一个两位数十位、个位上的数字分别为 、 ，则这个两位数表示为 ；
若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为 、 、 ，则这个三位数表示为 ．
（5）单、双循环问题：
设参加队伍有 个队，则单循环问题中总的比赛场数为 场；
双循环问题中总的比赛场数为 场．
（6）销售利润问题：
； ； ；
．
（7）存款利息问题：
； ．
【题型探究】
题型一、传播问题
1．（24-25九年级上·河北唐山）有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，设每轮传染中平均一个
人传染的人数相同，则三轮传染后有（ ）人得了流感.
A．1372 B．343 C．1512 D．2744
【答案】A
【分析】本题考查了运用一元二次方程解决实际问题．设每轮传染中平均每人传染x人，根据初始4人经过两轮传
染后总人数为196，建立方程求解x，再计算三轮后的总人数．正确的列出方程是解题的关键．
【详解】解：设每轮传染中平均每人传染x人，则每轮传染后患病总人数是上一轮的 倍，根据题意得，
，，
，
， （舍去），
∴每轮传染中平均每人传染6人，
则三轮传染后得流感的人数为 （人）．
故选：A．
2．（24-25九年级上·全国·随堂练习）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144个人患了流感，每轮传染中
平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（ ）
A．1轮后有 个人患了流感
B．第2轮又增加 个人患流感
C．依题意可得方程
D．不考虑其他因素经过三轮传染，一共会有1584人患流感
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据每轮传染中平均每人传染了x个人，可得出第1轮传染中有x人被
传染，第2轮传染中有 人被传染，进而可得出1轮后有 个人患了流感，结合“有一人患了流感，经
过两轮传染后，共有144人患了流感”，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值代入
中，可求出经过三轮传染后患病人数．
【详解】解：∵有一人患了流感，且每轮传染中平均每人传染了x个人，
∴1轮后有 个人患了流感，结论A不符合题意；
∴第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有 人被传染，结论B不符合题意；
根据题意得： ，即 ，结论C不符合题意；
解得： （不符合题意），
∴不考虑其他因素经过三轮一共会有 人感染，结论D符合题意．
故选：D．3．（2024·辽宁抚顺·二模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支
干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（
）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干 支干 小分支 ，
进而得出答案．
【详解】解：依题意得支干的数量为x个，
小分支的数量为 个，
那么根据题意可列出方程为： ．
故选：A．
题型二、增长率问题
4．（25-26九年级上·陕西榆林）在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一．随着“博物馆热”持续升温，越来
越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力．某城市博物馆今年6月份接待游客10万人，8月份接待游
客增加到 万人．设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为x，则根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程．
设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为x，今年6月份接待游客10万人，则今年7月份接待游客
万人，今年8月份接待游客 万人，根据8月份接待游客增加到 万人列一元二次方程即可．
【详解】设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为x，
今年6月份接待游客10万人，则今年7月份接待游客 万人，今年8月份接待游客 万人，
∴ ，
故选：D．
5．（25-26九年级上·陕西安康·阶段练习）在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一,随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力．某城市博物馆今年6月份接待游客10万人，8月份接
待游客增加到14.4万人．设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为 ，则根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为x，根据6月份接待游客10万人，8月份接待游客增加到14.4万人，
可列出关于x的一元二次方程，即可得出结论．
【详解】解：设博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为 ，
根据题意得： ．
故选：D．
6．（25-26九年级上·河南周口·阶段练习）近年来，河南省坚持以“粮头食尾”“农头工尾”为抓手，打造了小麦、
玉米等多条农业产业链．某市7月有80条农业产业链，计划到9月增长至125条，设该市7~9月的农业产业链的
月平均增长率为 ，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系．设出未知数，找出等量关
系，列出方程即可．
【详解】解：设该市7~9月的农业产业链的月平均增长率为 ，可列方程为 ，
故选：D．
题型三、与图形有关的问题
7．（24-25九年级上·四川泸州·期末）学校的劳动实践基地是一块长 、宽 的矩形土地．为便于学生参与劳
动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到 ，若设小道的宽为 ，则根
据题意，那么x满足的方程是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根
据矩形场地的长、宽及小路的宽度，可得出除小路的其余部分可合成长为 ，宽为 的矩形，再结合
种植面积为 ，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解： 学校的劳动实践基地是一块长 、宽 的矩形土地，且小道的宽为 ，
除小路的其余部分可合成长为 ，宽为 的矩形．
根据题意得： ，
故选：D．
8．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）如图，在一块长 ，宽 的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，
把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为 ．设道路的宽为 ，可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设道路的宽度为 ，则六块菜地可合成长为 ，
宽为 的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为 ，即可得出关于x的一元二次方程，此
题得解．
【详解】解：设道路的宽度为 ，则六块菜地可合成长为 ，宽为 的矩形，根据题意得： ．
故选：C．
9．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长 米、宽 米的矩形．
为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为 平方米，则小道的宽为多少米？若设
小道的宽为 米，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系列出方程．
将阴影部分移到一起，拼成一个新矩形，用 表示出新矩形的长与宽，再根据“种植面积为 平方米”列出方程
即可．
【详解】解：设小道的宽为 米，
则将阴影部分移到一起，拼成一个新矩形的长为 米，宽为 米，
可列方程为 ，
故选：C．
题型四、数字问题
10．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所
示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（ ）
A．6 B．7 C．14 D．16【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．设这个最
大的数为 ，则最小的数为 ，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为112列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：设这个最大的数为 ，则最小的数为 ，
依题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：这个最大的数为16．
故选：D．
11．（24-25九年级上·山西·阶段练习）为免费领取第十四届全国冬季运动会吉祥物“安达”和“赛努”，小康和
小明参与了转发集赞活动．已知两人集赞的数量为相邻的偶数，且两数之积为960，则小康和小明两人所集赞数量
中的较小偶数是（ ）
A．24 B．26 C．28 D．30
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设小康和小明两人所集赞数量为 ，根据两数之积为960，
进而建立方程求解即可．
【详解】解：设小康和小明两人所集赞数量为 ，根据题意：
整理得：
解得： （舍去，不符合题意），
则 （个）
小康和小明两人所集赞数量中的较小偶数是 ，
故选：D．
12．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）若一个两位数比它的十位数字与个位数字和的平方少2，且个位数字
比十位数字大1，则这个两位数是（ ）
A．23 B．34 C．23或34 D． 或
【答案】A【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，设十位数字为 ，个位数字为 ，根据这两个数字之积等于它们
数字和的2倍列方程求出其解即可，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
【详解】解：设十位数字为 ，则个位数字为 ，依题意得：
，
整理得： ，
∴
解得： （舍去）， ，
∴ ，
∴ ，
∴这个两位数是 ，
故选：A．
题型五、营销问题
13．（25-26九年级上·重庆长寿·阶段练习） 年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据
统计“蜀宝”公仔在某电商平台 月份的销售量是 万件， 月份的销售量是 万件．
(1)若该平台 月份到 月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
(2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件 元，若售价为每件 元，每天能销售 件，售价每降价
元，每天可多售出 件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利
元，则售价应降低多少元？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
（ ）设月平均增长率为 ，已知 月份销售量是 万件，根据增长率公式， 月份销售量为 万件，3月份销
售量为 万件，列方程，即可解答；
（ ）设售价应降低 元，已知进价为每件60元，原售价为每件 元，原每天销售 件，售价每降价1元，每
天可售出 件； 则降价后售价为 元，每天销售量为 件， 根据每天获利 元，根据利润 单
件利润 销售量的关系列出方程即可解答；
【详解】（1）解：设月平均增长率为 ，可得方程 ，
因为增长率 ，
所以 舍去，
解得 ，
即 ，
答：月平均增长率是 ；
（2）设降价 元，则每件的销售利润为 元，每天的销售量为 件，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
又∵要尽量减少库存，
∴ ，
答：售价应降低 元．
14．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底
以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，
在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋．
(1)求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率；
(2)该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，
若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可
获利4250元？
【答案】(1)这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为
(2)当农产品每袋降价 元时，这种农产品在十月份可获利4250元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确得出等量关系并列出方程是解题关键．
（1）设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为 ，利用七月销量 九月的销量建立方
程，进而求出答案即可；
（2）首先设当农产品每袋降价m元时，这种农产品在十月份可获利4250元，再利用每袋的利润 销量 总利润列
出方程，最后求解即可．
【详解】（1）解：设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为 ，根据题意可得： ，
解得 ， （不合题意，舍去），
答：这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为 ；
（2）解：设当农产品每袋降价 元时，这种农产品在十月份可获利4250元，
根据题意得： ，
解得 或 （不合题意，舍去），
答：当农产品每袋降价 元时，这种农产品在十月份可获利4250元．
15．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）江苏宿迁：文明交通从“头”做起，幸“盔”有你．某商店统计了某
品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份每月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售的月增长率；
(2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销
售量就将减少25个，现在既要月销售利润达到5600元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价
多少元？
【答案】(1)头盔销售量的月增长率为 ；
(2)该品牌的头盔每个应涨价4元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方
程，解之取其正值即可；
（2）设头盔每个涨价 元，根据“月销售利润达到5600元”，得出关于 的一元二次方程求解，根据“尽可能
让顾客得到实惠”取舍即可．
【详解】（1）解：设头盔销售量的月增长率为 ，根据题意得：
，
解得 ， （舍去），
头盔销售量的月增长率为 ；
（2）解：设头盔每个涨价 元，根据题意得：
，
整理得 ，
解得 ， （舍去），答：该品牌的头盔每个应涨价4元．
题型六、工程问题
16．（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型
设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情
况下，时间比原计划增加了 小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间
增加了m小时，求m的值．
【答案】(1) 型设备每小时铺设的路面长度为90米
(2) 的值为10
【分析】（1）设 型设备每小时铺设路面 米，则 型设备每小时铺设路面 米，根据题意列出方程求解
即可；
（2）根据“ 型设备铺设的路面长度 型设备铺设的路面长度 ”列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设 型设备每小时铺设路面 米，则 型设备每小时铺设路面 米，
根据题意得，
，
解得： ，
则 ，
答： 型设备每小时铺设的路面长度为90米；
（2）根据题意得，
，
整理得， ，
解得： ， （舍去），
∴ 的值为10．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．
17．（22-23九年级上·重庆渝中·期末）某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．
原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情
况下，时间比原计划增加了 小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了 米，而使用时间
增加了 小时，求 的值．
【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米
(2)18
【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得： ，解方程即可解得答案；
（2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案．
【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面 米，由题意得
，
解得 ，
米，
所以A型设备每小时铺设的路面110米；
（2）根据题意得： ，
解得 ， （舍去），
答：m的值是18．
【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
18．（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有 ， 两条
不同的粽子生产线， 生产线每小时加工粽子 个， 生产线每小时加工粽子 个．
(1)若生产线 ， 一共加工 小时，且生产粽子总数量不少于 个，则B生产线至少加工多少小时？
(2)原计划 ， 生产线每天均工作 小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中， 生产线每小时比原计划多
生产 个（ ）， 生产线每小时比原计划多生产 个．若 生产线每天比原计划少工作 小时， 生产
线每天比原计划少工作 小时，这样一天恰好生产粽子 个，求 的值．
【答案】(1)B生产线至少加工6小时
(2)a的值为2
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数
量关系列出不等式和方程求解．
设 生产线加工 小时，则 生产线加工 小时，根据生产线 ， 一共加工 小时，且生产粽子总数量
不少于 个，列不等式求解即可；根据一天恰好生产了 个粽子，可列关于 的一元二次方程，解方程即可求出 的值．
【详解】（1）解：设 生产线加工 小时，则 生产线加工 小时，
根据题意可得： ，
解得：
答： 生产线至少加工 小时；
（2）解：由题意可得： ，
整理得： ，
解得 ， （不符合题意，舍去），
答： 的值为 ．
题型七、行程问题
19．（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出
发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B
地．
(1)求小美每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量
15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗
1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟．
【答案】(1)小美每分钟跑360米
(2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟
【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键．
（1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑 米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解
即可；
（2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的
一元二次方程，求解取其符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑 米，
根据题意，得 ，
解得： ，
经检验， 既是所列分式方程的解，也符合题意，
则 ，
答：小美每分钟跑360米．（2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，
根据题意，得 ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟．
20．（22-23九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻
炼的日常，中老年人尤为喜爱．
(1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的 倍，张大伯走 分钟，李大伯走 分钟，共走 米，求张大伯和李
大伯每分钟各走多少米？
(2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速
度每分钟提高了 米，时间都各自多走了 分钟，结果两人又共走了 米，求 的值．
【答案】(1)张大伯每分钟走 米，李大伯每分钟走 米
(2) 的值为
【分析】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟 米，则张大伯每分钟走 米，根据两人共走了 米列方程，
解得 的值代入 中计算即可；
（2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走 米，由已知条件可得张大伯走了 分钟，
李大伯走了 分钟，根据两人又共走了 米列方程，解方程并根据实际意义确定 值即可．
【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟 米，得
解得
∴ （米）
所以，张大伯每分钟走 米，李大伯每分钟走 米；
（2）解：依题意，得
整理得
解得 （舍），
答： 的值为 ．
【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系是解决问题的关键．
21．（2023·四川成都·一模）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，
阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从 地出发，匀速跑向距离 处的
地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达 地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明每分钟跑多少米？
(2)若从 地到达 地后，小明以跑步形式继续前进到 地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分
钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，
在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从 地到 地锻炼共用多少分钟．
【答案】(1)480米
(2)70分钟
【分析】（1）设小齐每分钟跑 米，则小明每分钟跑 米，根据题意建立分式方程，解方程即可得；
（2）设小明从 地到 地锻炼共用 分钟，再根据热量的消耗规律建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：设小齐每分钟跑 米，则小明每分钟跑 米，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 既是所列分式方程的解也符合题意，
则 ，
答：小明每分钟跑480米．
（2）解：设小明从 地到 地锻炼共用 分钟，
由题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
答：小明从 地到 地锻炼共用70分钟．
【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
题型八、图表信息问题
22．（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞
中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的
部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
【答案】(1)10%
(2)2500000张
【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是 ，利用第3次累计票房=第1次累计票房 （1+平均每次累计
票房增长的百分率） ，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用数量=总结 单价，即可求出结论；
【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是 ，
依题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去）．
答：平均每次累计票房增长的百分率是10%．
（2）解：
（张）．
答：10月11日卖出2500000张电影票．
（或 （张）．）
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（21-22九年级上·湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 度，那
么这个月这户居民只交10元电费；如果超过 度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度 元交费．
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了 度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含 的代数式表示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的 度是多少．
月份 用电量/度 交电费总数/元
2月 80 25
3月 45 10
【答案】(1) x（90－x）元
(2)50度【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度 元交电费，即可求
解；
（2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求
解．
【详解】（1）解：∵规定用电x度，
∴用电90度超过了规定度数（90－x）度，
∵超过部分按每度 元交电费，
∴超过部分应交的电费为 x（90－x）元．
（2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得
x（80－x）＝25－10．
整理得x2－80x＋1500＝0．
解这个方程得x＝30，x＝50．
1 2
根据题意得：3月份用电45度只交电费10元，
∴电厂规定的x≥45，
∴x＝30不合题意，舍去．
1
∴x＝50．
答：电厂规定的x度为50度．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
24．（21-22九年级上·广东广州·期末）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每
月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．
（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？
（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：
月
用水量（吨） 交水费总金额（元）
份
4 18 62
5 24 86
根据上表数据，求规定用水量a的值
【答案】（1） ；（2）10
【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元
缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解；（2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水
费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，
元；
（2）若 ，有
，解得： ，即 ，不合题意，舍去，
∴ ，
根据题意得： ，
解得： （舍去），
答：规定用水量a的值为10吨．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
题型九、单/双循环问题
25．（2025九年级上·全国·专题练习）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），
共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了列一元二次方程，设共有x个队参加比赛，根据“赛制为双循环形式（每两队之间都进行两
场比赛），共要比赛90场”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题
的关键．
【详解】解：设共有x个队参加比赛，则 ，
故选：D．
26．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动
的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环
赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设共有x个队参赛，根据首轮需要安排28场比赛列方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键．
【详解】解：设共有x个队参赛，
根据题意，得 ．
故选：D．
27．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）某职业学校，“礼仪小姐”培训班结业时，每个同学都要和培训班的
其他同学照一张合影，摄影师共照了132次，如果设培训班共有x名同学，依题意，可列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．
设培训班共有x名同学，则每个人和 人进行了合影，共 次，因为甲与乙合影和乙与甲合影是同一张
照片，所以每张照片被重复计算了一次，故总的合影次数为 ，据此列出方程即可．
【详解】解：设培训班共有x名同学，
依题意，可列出的方程 ，
故选：D．
题型十：动态几何问题
28．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发沿
以 的速度向点 移动，一直到达点 为止；同时，点 从点 出发沿以 的速度向点 移动．(1)设运动时间为 秒，则 ______ ， ______ ；
(2)经过多长时间 ， 两点之间的距离是 ？
【答案】(1) ， ；
(2) 或 ．
【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用．解决本题的关键是作辅助线构造直角三
角形．
根据点 运动的方向和速度，可知 ，根据点 运动的方向和距离可知 ，根据矩形的性质可
知 ；
过点 作 于 ，根据矩形的性质可知 ， ，利用勾股定理可得关于 的一元
二次方程 ，解方程求出 的值即可．
【详解】（1）解： 点 从点 出发沿 以 的速度向点 移动，
，
点 从点 出发沿以 的速度向点 移动，
，
四边形 是矩形，
，
，
故答案为： ， ；
（2）解：如下图所示，过点 作 于 ，则 ，
设 秒后， ，
四边形 是矩形，， ， ，
四边形 是矩形，
， ，
，
在 中， ，
，
解得： ， ，
经过 或 时， 、 两点之间的距离是 ．
29．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，点 从点 开始沿边
向终点 以 的速度移动，与此同时，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动．如果 ，
分别从 ， 同时出发，当点 运动到点 时，两点停止运动．设运动时间为 秒． ．
(1)当 为何值时， 的长度等于 ？
(2)连接 ，是否存在 的值，使得 的面积等于 ？若存在，请求出此时 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程解决
问题．
（1）先求出 ， ，再利用勾股定理建立方程解方程即可得到答案；
（2）先求出 ，再根据三角形面积计算公式得到方程 ，解方程即可得
到答案．
【详解】（1）解：在矩形 中， ， ，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动，
与此同时，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动，设运动时间为 秒 ，， ，
，
四边形 是矩形，
，
在 中，由勾股定理得 ，
，
解得 （舍去）， ，
当 时， 的长度等于 ；
（2）由题意得： ，
的面积等于 ，
，
，
，
或 （舍去），
当 时，使得 的面积等于 ．
30．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在 中， ， ， ．点 从点 出发沿
边向点 以 的速度移动，点 从点 出发沿 边向点 以 的速度移动，如果点 ， 分别从点
， 同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动，设运动的时间为 ．(1)当t为何值时， 的面积是 面积的 ？
(2)当 为何值时， 的长为 ？
【答案】(1)当 为1时， 的面积是 面积的
(2) 为 或2时， 的长度等于
【分析】本题是与三角形有关的动点问题，考查了勾股定理，一元二次方程，由题意得一元二次方程是关键．
（1）由题意可求得 、 的长，从而可得关于t的一元二次方程，解方程即可；
（2）根据勾股定理即可得到关于t的一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意知 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ 的面积是 面积的 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， （舍去）．
∴当 为1时， 的面积是 面积的 ；
（2）解：设 秒后， 的长度等于 ，
根据勾股定理，得 ，即 ，
整理得， ，
解得 ， ．∴当 为 或2时， 的长度等于 ．
【高分演练】
一、单选题
1．（24-25九年级上·新疆·期末）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，
全班学生共写了 份留言．如果全班有 名学生，根据题意，列出方程为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系．
假设全班有 名学生，根据留言的数量，列出方程即可．
【详解】解：假设全班有 名学生，根据题意得，
故选：C．
2．（21-22九年级上·山东济南·期末）现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了
流感，请问各位同学，每轮传染中平均一个人传染 （ ）人
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．
设每轮传染中平均一个人传染 人，经过一轮传染有 人患病，经过两轮传染有 人患病，根据
题意列方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染 人，
根据题意可得 ，
整理得 ，
∴ ，
∴ 或 （不合题意，舍去）
∴每轮传染中平均一个人传染 人．故选：B．
3．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下
滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车
这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．由题意知，4月份的售价为 万元，5月份的售价为
万元，进而可列方程．
【详解】解：依题意得， ，
故选：B．
4．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，
遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．
如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株
椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查列一元二次方程．
设这批椽的数量为 株，可得一株椽的价钱为 文，根据题意列方程即可．
【详解】解：∵这批椽的数量为 株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价
钱，
∴一株椽的价钱为 文，
依题意得 ，
故选：A．5．（2024·山西·模拟预测）某校为了丰富学生的课余生活，增强学生的实践能力，计划在如图所示的长 、宽
的矩形空地上开展跳蚤市场活动，其中两块完全相同的阴影部分规划为学生摊位区域，四周空白部分为等宽
的人行通道．已知学生摊位区域的总面积为 ，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为 ，则根据题意
可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设人行通道的宽度为 ，根据题意列方程 即可，
读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设人行通道的宽度为 ，
根据题意得， ，
故选： ．
6．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文：今有门，不知其高宽；
有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等，问：
门高和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查一元二次方程的应用和勾股定理的应用．设门对角线长为x尺，则门高为 尺，门宽
为 尺，根据勾股定理列出方程即可求解．
【详解】解：设门对角线长为x尺，则门高为 尺，门宽为 尺，由题意可知竿的长度为x尺．根据勾股定理得 ，
故选：D．
7．（25-26九年级上·吉林长春）某文具店将进价为12元的口风琴按照每个20元出售时，平均每天能够售出8个．
若这种商品每件降低 元能多售出4个．若该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，那么每个口风琴
的售价应该是多少元，设售价定为每件 元，下列列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．设售价为x
元，则利用每一件的销售利润×每天售出的数量=每天利润，列方程即可．
【详解】解：设售价定为每件 元，则由题意得 ，
故选：B．
8．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）在一幅长为 ，宽为 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸
边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 ，设金色纸边的宽为 ，那么x满足的
方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，正确列出方程是解题的关键．根据整个挂
图的面积是 为等量关系列方程即可得解．【详解】解：设金色纸边的宽为 ，
依题意得： ，
，
，
，
故选：B．
9．（25-26九年级上·全国）为贯彻落实党的二十大精神和中国工会十八大精神，凝聚职工队伍高质量建设海南自
贸港力量，陵水县总工会决定举办2024年“工会杯”羽毛球比赛．在单打比赛中，规定参赛的选手每两人之间比
赛一场，工会共安排了50场比赛，设参赛选手有 人，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛人数之间的关系列出一元二次方程是解题的
关键．
设参赛选手有 人，每个参赛选手都要赛 场，但两人之间只有一场比赛，据此列出一元二次方程即可．
【详解】解：设参赛选手有 人，每个参赛选手都要赛 场，但两人之间只有一场比赛，
则有： ．
故选：C．
10．（2025·云南昆明·二模）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道
的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（
）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得停车位可合成长为 米，宽为 米的长方形，
即可列出关于 的一元二次方程，理解题意是解此题的关键．
【详解】解：∵停车场的长为40米，宽为19米，且停车场内车道的宽度为x米，
∴停车位可合成长为 米，宽为 米的长方形，
∴由题意可得： ，
故选：A．
二、填空题
11．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的
变化．假设在2023年初，有一块质量为500克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到
2025年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至405克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为 ，
根据题意，可列出一元二次方程为： ．（只列方程，不需求解）
【答案】
【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据平均变化率的等量关系 ，列出方程即可．
【详解】解：设这种放射性同位素质量的年平均减少率为 ，由题意，可列出一元二次方程为 ；
故答案为： ．
12．（25-26九年级上·吉林四平·阶段练习）如图是一个长为 、宽为 的矩形空地，现计划要在中间修建3
条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为 ，若设小道的宽为 ，则根据题意，可列方程为
．
【答案】
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设小道的宽为 ，则6个小矩形可合成长为、宽为 的矩形，然后利用矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：设小道的宽为 ，
则根据题意，可列方程为 ，
故答案为： ．
13．（2025九年级上·全国·专题练习）某校九年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一
场），共进行了55场比赛．若设该校九年级有x个班级篮球队参加比赛，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该校九年级有x个班级篮球队参加比赛，根据“赛制为单循环形式
（即每两班之间都比赛一场），共进行了55场比赛”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题
的关键．
【详解】解：设该校九年级有x个班级篮球队参加比赛，
根据题意得： ．
答案： ．
14．（25-26九年级上·全国·阶段练习）“水是生命之源，树是水的卫士．”为了更好地让大家珍惜树木，小红将
宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红一共有157人收到
了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了 人．
【答案】12
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据实际问题列一元二次方程并求解是解题的关键．设
小红转发给 人，根据传播过程中收到宣传语的总人数关系列方程求解．
【详解】解：设小红将这条宣传语转发给了 人．依题意得
，
，
，
∴ 或
解得 或 （舍去）
故答案为： ．
15．（2025·贵州黔东南·二模）2025年蛇年，中国将迎来首个非遗版春节．春节-中国人传统新年的社会实践被正
式列入人类非物质文化遗产代表作名录（名册）．至此，我国共有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数居世界第一，在2005年，中国共只有4个项目，列入联合国教科文组织非物质文化遗产名
录（名册）．假设从2005年到2015年与2015年到2025年这两个时间段内名录（名册）数量的增长率相同，均为
x，请你结合题意列出方程 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利
用2025年的名录（名册）数量 2005年的名录（名册）数量 （1 每10年的增长率） ，即可得出关于x的一元
二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得： ．
故答案为： ．
16．（20-21九年级上·福建泉州·期中）《代数学》中记载，形如 的方程，求正数解的几何方法是：
“如图1，先构造一个面积为 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 的矩形，得到大正方
形的面积为 ，则该方程的正数解为 ．”小聪按此方法解关于x的方程 时，构造出
如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数的解为
【答案】 /
【分析】本题考查了利用图形求一元二次方程的解，先把方程化为指定的形式，根据题意，得 ，确定
，继而得到大正方形的面积为 ，从而得到方程的正数解为 计算即可．
【详解】解：由 得 ，
∵阴影部分的面积为 ，
∴ ，根据题意，得 ，
∴ ，
∴大正方形的面积为 ，
∴方程的正数解为 ，
故答案为： ．
17．（21-22九年级下·湖南株洲·自主招生）如图，在矩形 中， ， ， ， 、 分别从 ， ，
， 出发沿 ， ， ， 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，
运动即停止．已知在相同时间内，若 ，则 ， ， ．当
时，以P，Q、M，N为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】2或4．
【分析】本题考查了平行四边形的判定，有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，正确进行讨论是关键．
首先利用 表示出 和 的长，然后根据 即可列方程求得 的值．
【详解】解：由题意知，点 只能在点 的左侧，
①当点 在点 的左侧时，由 ，
整理得 ，
解这个方程，得 （舍去）， ．
所以，当 时，四边形 是平行四边形．
②当点 在点 的右侧时，由 ，
整理得 ，
解这个方程，得 （舍去）， ．所以，当 时，四边形 是平行四边形．
所以当 或 时，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：2或4．
三、解答题
18．（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）某商场经销一种高档水果，原售价每千克40元，连续两次降价后每千
克售价 元；每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率；
(2)已知这种水果每千克进价30元，每天可售出48千克，经市场调查发现，若每千克降价 元，日销售量将增加
4千克，那么每天要想获利510元且尽快减少库存，那么每千克应降价多少元？
【答案】(1)
(2)2.5元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设每次下降的百分率为x，则连续两次降价后售价可表示为 ，由此得到方程 ，解方
程即得答案；
（2）设每千克应降价y元，则每千克盈利 元，日销售量为 千克，由此可得方程
，解方程即得答案．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x，
由题意得： ，
解得 ， （舍），
答：每次下降的百分率为 ．
（2）解：设每千克应降价y元，
由题意得： ，
整理得： ，
解得 ， ，
要尽快减少库存，每千克应降价2.5元．
19．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）水果店老板李叔叔准备到水果批发市场购进一种水果，经过还价，实
际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果 的钱现在可以买 ．
(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？
(2)李叔叔在销售这些水果时，发现水果的销售量 （ ）与销售价 （元/千克）满足如图所示的一次函数关系式，
请你帮李叔叔拿个主意，将这些水果的销售售价定为多少元时，能获取1100元的利润？
【答案】(1)每千克20元
(2)销售售价定为 元时，能获取1100元的利润
【分析】本题考查了一次函数、一元二次方程和一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．
（1）设现在实际购进这种水果每千克 元，则原来购进这种水果每千克 元，根据“买这种水果 的钱现
在可以买 ”建立一元一次方程求解；
（2）先求出销售量 （ ）与销售价 （元/千克）的一次函数关系式，再根据利润=（销售价-进价） 销售量建
立一元二次方程求解．
【详解】（1）解：设现在实际购进这种水果每千克 元，则原来购进这种水果每千克 元，由题意得：
，
解得： ．
故现在实际购进这种水果每千克20元；
（2）解：设 与 之间的函数关系式为 ，
将 、 代入，得 ，解得 ，
∴ 与 之间的函数关系式为 ，
∴由题意得：
整理得： ，
解得： ，
答：销售售价定为 元时，能获取1100元的利润．
20．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）小明开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案 恤衫．已知每件
恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元
时，每天就能多售出2件，
(1)若降价8元，则每天销售 恤衫的利润为多少元？
(2)为了保证每件 恤衫的利润率不低于 ，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说
明理由．（利润率 ）
【答案】(1)1152元
(2)不能；理由见解析
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练应用一元二次方程解决问题是解题的关键．
（1）根据题意，可表示出降价后的售价和每天的销售量，继而求得每天的利润；
（2）根据题意，可设出降低的价格，根据等量关系“利润 销售价 每天的销量”列出方程，继而利用利润率对
求得的解进行检验，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，若降价8元，每天能多售出 （件），
所以此时的销售价为 元，销售量为 （件），
所以每天销售T恤衫的利润为 （元）．
即若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元．
（2）解：设每件T恤衫降价 元时，每天能获得1200元的利润．
由题意可得 ，
去括号整理得 ，
因式分解得 ，所以 ，
当 时，每件利润为 元，
利润率 ，不符合题意，
当 时，每件利润为 元，
利润率 ，不符合题意，
综上所述，为了保证每件 恤衫的利润率不低于 ，小明每天不能获得1200元的利润．
21．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）某市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400
元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，售价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千
克．
(1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
①每千克茶叶应降价多少元？
②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
(2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．
【答案】(1)①每千克茶叶应降价30元或80元，②该店应按原售价的八折出售
(2)该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元．
【分析】（1）①通过设每千克茶叶降价 元，利用“每千克利润×销售量 = 总利润”的关系列出方程求解；②在
①的基础上，根据让利于顾客的要求确定降价金额，进而求出折扣；
（2）设降价 元，依据上述利润关系列方程，通过判别式判断方程是否有实数根，从而确定获利能否达到．
本题主要考查了一元二次方程在销售利润问题中的应用，熟练掌握“每千克利润×销售量 = 总利润”的等量关系
以及一元二次方程的解法、判别式的运用是解题的关键．
【详解】（1）解：①设每千克茶叶应降价 元，
根据题意，得 ，
整理得 ，解得 ．
答：每千克茶叶应降价30元或80元；
②由①可知每千克茶叶可降价30元或80元，
要尽可能让利于顾客，
每千克茶叶应降价80元，
此时的售价为： （元）， ．
答：该店应按原售价的八折出售；（2）解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下：
设每千克茶叶应降价 元，
根据题意，得 ，
整理得 ，
，
原方程没有实数根，
该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元．
22．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50
米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米．
(1)求通道的宽是多少米．
(2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的
月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放
的月租金收入为14400元？
【答案】(1)3米
(2)上涨40元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设通道的宽是x米，根据题意列出方程，解出x的值即可解答；
（2）设每个车位的月租金上涨y元，根据题意列出方程，解出y的值，结合优惠大众选择较小的y的值即可解答．
【详解】（1）解：设通道的宽是 米，则每一层的停车位可合成长为 米，宽为 米的长方形，
依题意，得 ，
解得 （不合题意，舍去）．
答：通道的宽是3米．
（2）解：设每个车位的月租金上涨 元，则每个车位的月租金为 元，可租出 个车位，依题意，得 ，
解得 ，
又 要优惠大众，
．
答：每个车位的月租金应上涨40元．
23．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在长方形 中， ，点 从点A开始
沿边 向点 以 的速度移动，与此同时，点 从点 开始沿边 向点 以 的速度移动．当点 运
动到点 时，两点停止运动．设运动时间为 ．
(1) ______ ______ ．（用含 的代数式表示）
(2)是否存在 的值，使得五边形 的面积等于 ？若存在，请求出此时 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2) ，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用等知识点，准确表示出 ， 是解决此题的关键．
（1）利用路程=速度×时间即可并结合几何关系即可得到答案；
（2）求出五边形 的面积等于 时 的面积，根据 的面积公式即可列出方程进行求解．
【详解】（1）解：∵ 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动，
，
∵点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动，
；
故答案为： ， ；（2）解：存在， 时，能够使得五边形 的面积等于 ，理由如下：
长方形 的面积是： ，
当五边形 的面积等于 时， 的面积为 ，
∴ ，
解得 ．
∴ 不符合题意，舍去．
即当 秒时，使得五边形 的面积等于 ．
