文档内容
函数的性质
学习目标
1. 结合具体函数，了解单调性的概念和几何意义，借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最
大值、最小值，理解它们的作用和实际意义.
2. 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。能运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
4. 通过梳理函数的单调性、周期性、奇偶性(对称性)、最大(小)值等，认识函数的整体性质；经历运用
函数解决实际问题的全过程。会综合应用函数的单调性、奇偶性、周期性去解决一些实际问题.
考试数据
知识模块 考点 新高考卷 模考频次（频率）
奇偶性 20（57.1%）
单调性 16（45.7%）
函数的性质 山东&海南2020-8
周期性 8（22.9%）
对称性 8（22.9%）
注：模考数据来自于2021年搜集自济南、南京、苏州、广州、深圳、重庆、武汉七所分校的35套优质试
卷.
高频考点
1.函数性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）综合考察题型
2.函数性质与分段函数、三角函数、复合函数的综合考察
难点
1.函数隐含奇偶性、单调性的挖掘与利用
2.函数性质与三角函数、分段函数、复合函数的综合题型
易错点
1.函数单调性、偶函数性质的定义域前提限制易遗漏
2.函数自对称与两个函数互对称的区分
1一、 单调性
1. 定义
设函数 的定义域为 ，区间 ，如果取区间 中任意两个值 ，改变量 ，
则当：
时，就称函数 在区间 上是增函数；
时，就称函数 在区间 上是减函数．
【注意事项】
讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区
间是其定义域的子区间．
例如，我们熟悉的反比例函数 ，它的定义域是 ，但它的单调区间需要说是
和 ．
经典例题
1. 函数 是定义在 上的减函数，且 ，则实数 的取值范围是 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察函数单调性的定义及应用．
（2）本题关键的解题步骤：利用单调性的到参数不等式，另外需要在定义域内，三个不等
式最后求解结果．
（3）本题的易错点：函数单调性的定义域限制条件容易遗漏．
（4）本题需要注意的地方以及难点：考虑全面，尤其是函数的定义域在整个函数导数章
节，都需要时时刻刻考虑到．
【答案】
【解析】
由条件知 ，解得 ．
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式
巩固练习
2. 设函数 是定义在 上的减函数，若 ，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
2【解析】∵ 是定义在 上的减函数，
而 ，
∴有 ，
解得 ，
∴ 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式
2. 判断函数单调性的方法
（1）定义法；
①直接利用定义；
②在区间内任取 ，
若 或 ，则函数在该区间上单调递增；
若 或 ，则函数在该区间上单调递减
（2）利用已知函数的单调性：
函数 一次函数
参数
图像
单调性 ，函数在 上单调递增 ，函数在 上单调递减
3函数 二次函数
参数
图像
单调递减 单调递增
单调性
单调递增 单调递减
函数 反函数
参数
图像
单调性 和 单调递减 和 单调递增
4对勾函数：对于 双氘函数：对于
函数
图像
和 单调递
单调性 增 和 单调递增
和 单调递减．
函数 指数函数
参数
图像
单调性 在 单调递减 在 单调递增
函数 对数函数
参数
图像
单调性 在 单调递减 在 单调递增
5函数 幂函数（第一象限）：
参数
图像
单调性 函数在第一象限单调递增 函数在第一象限单调递减
（3）利用函数的导数判断函数的单调性；
（4）复合函数的单调性结论：“同增异减”；
特别的，如下两个对常见函数的变形：
① 当 时候与 的单调性相同；
当 时候与 的单调性相反．
②如果 是单调函数且 ，则 和 的单调性是相反的；
如果 是单调函数且 ，则 和 的单调性是相反的．
（5）分段函数 若在全区间上单调递增，则需要① 在 单调递增；②
在 单调递增；③ ．
若在全区间上单调递减，则需要① 在 单调递减；② 在 单调递减；③
．
（6）奇函数在其对称的单调区间内具有相同的单调性；
偶函数在其对称的单调区间内具有相反的单调性．
（7）在公共定义域内，增函数 增函数 是增函数；
减函数 减函数 是减函数；
增函数 减函数 是增函数；
减函数 增函数 是减函数．
（8）最后，如果有函数的图象，图象向右上的区间内，函数单调递增；图象向右下的区间内，函数单
调递减．
经典例题
3. 已知函数 ．
6（ 1 ）求函数 的定义域．
（ 2 ）判断函数 的单调性并用定义法证明.
（ 3 ） ，其中 ，若对任意 ，总存在 ，使
得 成立．求实数 的取值范围．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察单调性的定义法证明规范步骤，以及与对数运算相
结合的综合题目．
（2）本题关键的解题步骤：首先声明定义域，在定义域内任取两个自变量，并且规定大小
关系，将两个自变量代入，函数值作差或作商，转化为因式相乘的形式，从而进行判断．
（3）本题的易错点：单调性定义证明不规范．
（4）本题需要注意的地方以及难点：某些单调性证明题目涉及到指数、对数运算，或者因
式分解的技巧，难度加大．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 在 上是减函数．证明见解析．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）由 ，
故函数 的定义域为 ．
（ 2 ）∵ ，
∴ 在 上是减函数
设任意 ，
，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 在 上是减函数，
另证，设任意 ，
，
∵ ，
∴ ， ， ，
7∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 在 上是减函数．
（ 3 ）方法一：∵ 在 上为减函数，
∴ 在 止的值域为 ，
∴ 在 上的最大值为 ，
令 ， ， ， ，
由题意 ，在 上有解，
当 在 上恒成立时，
，
由 在 上恒成立得 ，
由 在 上恒成立得 或
，
所以 在 上恒成立时 ，
综上实数 的取值范围为 ．
方法二：∵ 在 上是减函数，
∴ 在 上的值域为 ，
∴ 在 的最大值为 ，
，
令 ， ，
即 在 上有解，
， ， ，
①当 时， ， ，
由题意 ， ，
此时 满足题意，
②当 时， ，
，
由题意 ，或 ，
此时 满足题意，
8③当 时， ， ，
由题意 ， ，
此时 满足题意．
综上实数 的取值范围为 ．
方法三： 在 上恒成立
，
当 或 时成立，
或
故 且 ．
【标注】【知识点】求具体函数（包括复合函数）的定义域；用定义法证明函数的单调性；不等
式中的恒成立与能成立问题
巩固练习
4. 已函数 ．
（ 1 ）判断函数 在定义域上的单调性，并利用定义加以证明．
（ 2 ）若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ） 是 上的增函数，证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
其定义域为 ，
∴ 是 上的增函数．
任取 ， 且 ，
则 ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
故 是 上的增函数．
9（ 2 ）由题不等式 恒成立 对任意 恒成立
，
而 的最小值为 （ 时取得）
故 ．
（注：也可以 对任意 恒成立 对任意 恒成立，
∴ ，故 ．）
【标注】【知识点】用定义法证明函数的单调性；利用函数单调性解不等式；二次函数相关的恒
成立问题
经典例题
5. 函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：复合函数的单调区间求解【对数函数+一次函数】．
（2）本题关键的解题步骤：利用复合函数同增异减的结论进行求解．
（3）本题的易错点：除了要考虑复合函数外，需要考虑定义域的限制条件．
（4）本题需要注意的地方以及难点：含参复合函数的单调性考虑同增异减的限制条件，林
另外，也要考虑定义域问题，综合问题，考虑全面.
【答案】
【解析】 在 上递减，
须满足以下条件 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】指数a对幂函数图象的影响；已知单调性求参数的取值范围；单调性
6. 已知定义在 上的函数 ， 的值域为 ，若 ，则
的值为 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察单调性综合题目．
（2）本题关键的解题步骤：含参函数的单调性，需要分类讨论，根据题干的条件进行判
断．
（3）本题的易错点：对勾函数的模型是否足够熟悉．
（4）本题需要注意的地方以及难点：常见函数的单调性判断.
【答案】
10【解析】
，
令 ， ，
，
∵ ，
，
∴ ，
为对勾函数且 ，
∴ 在 上单调递减，
在 上单调递增，
①，
又 ， ，
，
∴ ②，
由①②得 ， 或 ， ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】已知函数值域求参数
巩固练习
7. 已是函数 在 上的最大值是 ，则实数 ．
【答案】 或
【解析】 时， ，
在 上不能取得 ，
∴ ，
时， 对称轴为 ，
（ ）令 ，解得 ，
此时对称轴处取最大值，
∴ 不合题意；
（ ）令 解得 ，此时 最大，合适．
11（ ）令 ，解得 ，
验证得 ，
综上， 或 ．
故答案为 或 ．
【标注】【知识点】二次函数的图象及性质；利用单调性求函数最值
3. 单调性的应用
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小
(2)求最值
(3)解不等式.利用函数的单调性，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域
(4)利用单调性求参数
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较
②需注意若函数在区间[ ， ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值
经典例题
8. 当 时， ，则下列大小关系正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察单调性的应用．
（2）本题关键的解题步骤：对于复杂函数，可以用导数判断函数的单调性．
（3）本题的易错点：忽略自变量的取值范围．
（4）本题需要注意的地方以及难点：除了常规解题方法外，选择题可利用特殊值法辅助做
题.
【答案】D
【解析】∵ ，
∴ ，
，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 在 上单调递增，
12∴ 且 ，
∴ ，
选取 ，则 ，
，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】用单调性比较大小
9. 若函数 在区间 上的最大值是 ，最小值是 ，则 ( )
A. 与 有关，且与 有关 B. 与 有关，但与 无关
C. 与 无关，且与 无关 D. 与 无关，但与 有关
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察单调性的应用．
（2）本题关键的解题步骤：含参函数的单调性，需要分类讨论，根据题干的条件进行判
断．本题为二次函数的最值问题，为区定轴动，并且开口方向确定的题目。
（3）本题的易错点：二次函数的最值问题．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申二次函数的最值问题可进行总结.
【答案】B
【解析】解：函数 的图象是开口向上且以直线 为对称轴的抛物线．
①当 或 ，即 或 时，
函数 在区间 上单调，
此时 ，
故 的值与 有关，与 无关．
②当 ，即 时，
函数 在区间 上递减，在 上递增，
且 ，
此时 ，
故 的值与 有关，与 无关．
③当 ，即 时，
函数 在区间 上递减，在 上递增，
且 ，
此时 ，
13故 的值与 有关，与 无关．
综上可得： 的值与 有关，但与 无关．
故选：B．
【标注】【知识点】利用单调性求函数最值
巩固练习
10. 若 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 在 上单调递增，
由 ，
所以 ，即 ，
由 ，
所以 在 上单调递减，
由 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
故选： ．
【标注】【知识点】用单调性比较大小
11. 设函数 在区间 上的最小值为 ，求 的表达式．
或
【答案】
．
【解析】 ， ，零点是 ， ，
①当 时， ， ；
②当 时，对称轴 ， 在 单调递减， ；
14③当 时，对称轴 ，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
或
综上， ．
【标注】【知识点】动轴定区间求值域
12. 已知函数 ， ，其中 ， ，记 为 的最小值，则当 时，
的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】①当 时， 在 上单调递增，所以 ，
∵ ，∴ ，
因此 满足题意；
②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
15因此（ ）当 时， 在 上单调递增，所以 ，
∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ．
∵ 或
或 ，
∴ ；
（ ）当 时， 在 单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
∵ ，∴ ，∴ ；
综上， 的取值范围为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用单调性求函数最值；解不等式中的分类讨论
经典例题——分段函数
13. 已知 是 上的单调递增函数，则实数 的取值范围
为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察分段函数的单调性．
（2）本题关键的解题步骤：分段函数的单调性需要满足三条，在两个区间满足单调性，在
间段点的位置满足单调性．
（3）本题的易错点：三条限制遗漏．本题还需要注意指数函数的底数限定条件.
（4）本题需要注意的地方以及难点：此题为基础题，但出错率较高，尤其是三条限制条件
容易遗漏或者弄错间断点处限制条件.
【答案】B
【解析】
由题意可得 ，
解得 ，即 的取值范围是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式
1614. 已知函数 ，若 ，则 的取值范围是 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察分段函数的单调性的应用——解不等式．
（2）本题关键的解题步骤：分段函数的不等式问题，常规思路，分类讨论进行求解．然而
本题，分段函数的单调性单一，可以直接解不等式.
（3）本题的易错点：未识别出分段函数的单调性.
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申一般分段函数的不等式问题.
【答案】
【解析】∵函数 在 上是单调递增函数，
函数 在 上是单调递增函数，
且当 时， ， ，
∴函数 在定义域 上是单调递增函数，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴实数 的取值范围是 ，
综上所述，答案： ．
【标注】【知识点】对数函数的图象及性质；利用函数单调性解不等式
巩固练习——分段函数
15. 已知函数 ，若当 时，不等式 恒成立，则实数
的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
17由题， ，
在 上单调递减， ，
即 在 上恒成立，
则 ， ，
则实数 的取值范围是： ．
故选 ．
【标注】【知识点】分段函数；利用函数单调性解不等式；不等式中的恒成立与能成立问题
4. 知识总结
1.单调性定义
设函数 的定义域为 ，区间 ，如果取区间 中任意两个值 ，改变量 ，
则当：
时，就称函数 在区间 上是增函数；
时，就称函数 在区间 上是减函数．
2.判断函数单调性的方法
（1）定义法
（2）利用已知函数的单调性
（3）利用函数的导数判断函数的单调性
（4）复合函数的单调性结论：“同增异减”
（5）分段函数 若在全区间上单调递增，则需要① 在 单调递增；②
在 单调递增；③ ．
（6）奇函数在其对称的单调区间内具有相同的单调性；偶函数在其对称的单调区间内具有相反的单调
性．
（7）在公共定义域内，增函数 增函数 是增函数；减函数 减函数 是减函数；增函数
减函数 是增函数；减函数 增函数 是减函数．
（8）最后，如果有函数的图象，图象向右上的区间内，函数单调递增；图象向右下的区间内，函数单
调递减．
3.单调性的应用
二、 奇偶性
181. 定义
（1）奇函数：设函数 的定义域为 ，如果对 内的任意一个 都有 ，则这个函数叫
做奇函数．
（2）设函数 的定义域为 ，如果对 内的任意一个 都有 ，则这个函数叫做偶函
数．
经典例题
16. 若函数 为偶函数，则 （ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：函数的奇偶性定义的考察——已知奇偶性求参数．
（2）本题关键的解题步骤：利用偶函数的定义， ，对参数进行求解．与对数
运算进行综合考察.
（3）本题的易错点：对数运算以及根号运算等．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申特殊题目，可以利用特殊值求解参数，但是前
提，特殊值需要在定义域内.
【答案】A
【解析】 为偶函数， ，
，
．
【标注】【知识点】利用函数奇偶性求函数解析式
17. 已知 是定义域为 的奇函数，若 为偶函数， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：函数的奇偶性定义的考察——已知奇偶性求函数值．
（2）本题关键的解题步骤：利用偶函数的定义， ，奇函数的定义，
进行求解，暗含函数的周期性，对于最后求函数值加大难度.
（3）本题的易错点： 为偶函数的理解偏差．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申函数的奇偶性的应用，可引申出其他性质，例如
对称性、周期性等.
【答案】B
19【解析】∵函数 为定义在 上的奇函数，
∴ ，
∵ 为偶函数，
∴ ，
，
∴ ，
则函数 的周期为 ，
∵ ，
∴ ，
．
故选 ．
【标注】【知识点】奇偶性；函数周期性与奇偶性综合问题
巩固练习
18. 若函数 为偶函数，则实数 ．
【答案】
【解析】方法一：∵函数 为偶函数，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，解得 ．
方法二：由题意知函数 的定义域为 ，
由 为偶函数得 ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
答案： ．
【标注】【知识点】利用函数奇偶性求函数解析式
19.
20若函数 为奇函数，则实数 的值为 ；且当 时， 的最大值
为 ．
【答案】 ;
【解析】（ ）方法一：由奇函数定义， ，得 ，
解得 ．（也可以用特殊值，如 ）
方法二：根据奇偶函数的定义域的对称性可知， 的定义域为 且 ，所以 ．
（ ） ，则 在 单调递减，
所以 ，即 的最大值为 ．
故答案为： ； ．
【标注】【知识点】利用单调性求函数最值；函数奇偶性的运算；函数单调性与奇偶性综合问题
2. 判断函数奇偶性的方法
（1）定义法：
先求函数的定义域，若函数的定义域不关于原点对称，则此函数不具有奇偶性；若函数定义域关于原点
对称，再判断 与 关系：
若 ，则 是偶函数；若 ，则 是奇函数；
（2）利用已知函数的奇偶性判断；
（3）图象法：
函数图像关于 轴对称 函数是偶函数；函数图像关于原点对称 函数是奇函数；
（4）重要结论：
设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域 上：
奇 奇 奇，偶 偶 偶，奇 奇 偶（例如 是偶函数），
偶 偶 偶，奇 偶 奇（例如 是奇函数）．
经典例题
20. 判断下列函数的奇偶性：
．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：复杂函数奇偶性的判断.
（2）本题关键的解题步骤：先检验定义域是否关于原点对称，然后利用奇函数偶函数的定
义，判断 与 的关系．
21（3）本题的易错点：忽略定义域的检验．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，方程等化简时，需要注意，不能直接进行简单
消去，例如 ，不能直接化简为 .
【答案】非奇非偶函数．
【标注】【知识点】利用定义判断函数奇偶性
21. 判断下列函数的奇偶性．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：复合函数奇偶性的判断.
（2）本题关键的解题步骤：(1)考察诱导公式等，三角函数运算，(2)考察对数以及根号运
算．
（3）本题的易错点：函数化简容易出问题．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，奇偶性的定义域要求、三角恒等变换、指数对
数运算.
【答案】（ 1 ）函数 是偶函数．
（ 2 ）函数 是偶函数．
【解析】（ 1 ）函数的定义域为 ，且 ，有
恒成立，
∴函数 是偶函数．
（ 2 ）函数的定义域为 ，
且
，
所以函数 是偶函数．
【标注】【知识点】利用定义判断函数奇偶性；利用诱导公式化简；诱导公式
22. 已知函数 ．
（ 1 ）判断函数 的奇偶性并证明．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察奇偶性的定义法证明规范步骤，以及与对数运算相
结合的综合题目．
（2）本题关键的解题步骤：首先声明定义域，检验定义域对称性，另外利用奇偶性的定
22义，判断 与 的关系，从而进行证明．
（3）本题的易错点：奇偶性定义证明不规范．
（4）本题需要注意的地方以及难点：某些奇偶性证明题目涉及到指数、对数运算、三角恒
等变换，难度加大．
【答案】（ 1 ） 是奇函数，证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
（ 3 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）要使函数 有意义，必须满足 ，
解得： ，
∴函数定义域是 ，其关于原点对称，
∵ ，
∴ 是奇函数．
综上所述，结论是： 是奇函数．
（ 2 ）由 ，可得 ， ，
∴
，
，
∴ ．
综上所述，结论是： ．
（ 3 ）∵ ，
∴
，
∴
23，
∵ ，
∴ ．
【标注】【知识点】放缩法；对数的运算
巩固练习
23. 函数 的奇偶性为（ ）．
A. 既奇又偶函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 奇函数
【答案】C
【解析】由 ，得 ，即 ，
则函数的定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数非偶函数，
非偶函数，所以 选项是正确的．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】利用定义判断函数奇偶性
【知识点】正切函数的图象和性质
24. 函数 是（ ）．
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数
【答案】A
【解析】∵ ，
∴ ．
∵函数 的定义域为 关于原点对称， ，
∴函数 为奇函数．
【标注】【知识点】利用定义判断函数奇偶性
25. 已知 是偶函数，且其定义域为 ，则 ．
【答案】
24【解析】∵函数 是定义域为 的偶函数，
∴其定义域关于原点对称，故 ，
又其奇次项系数必为 ，故 ，
解得 ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用函数奇偶性求函数解析式
3. 奇函数和偶函数的性质
（1）函数具有奇偶性 其定义域关于原点对称；
（2）①函数 是偶函数 的图象关于 轴对称；
②函数 是奇函数 的图象关于原点对称．
（3）若奇函数 的定义域包含 ，则 ．
经典例题——利用奇偶性求解析式
26. 已知 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察奇偶性的应用．
（2）本题关键的解题步骤：利用奇偶性的定义，赋值 ，根据函数奇偶性的定义，得到
关于 与 的方程组，从而进行求解．
（3）本题的易错点：赋值操作，利用奇偶性定义进行转化．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，本题也可代入 和 进行求解．
【答案】C
【解析】 ①，
，
∵ ， 分别是 上的偶函数和奇函数，
∴ ②，
① ②可得： ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用奇偶性求值
25巩固练习——利用奇偶性求解析式
27. 定义在 上的函数 是奇函数，且当 时， ．
（ 1 ）求 在 上的解析式．
【答案】（ 1 ）
．
，
（ 2 ） 在 上单调递减，证明见解析．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ 时， ，
∴当 时， ，
又∵ 为奇函数，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（ 2 ）设 ，
则 ，
，
， ，
，即 ，
故 在 上单调递减．
（ 3 ）由（ ）得，函数 在区间 上的取值范围是 ，
∴当实数 时，
关于 的方程 在 上有解.
【标注】【知识点】零点、交点、根的等价转化；函数零点的概念；利用函数奇偶性求函数解析
式；用定义法证明函数的单调性
28. 已知函数 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ，则
．
26【答案】
【解析】由 ，得 ，即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为 ．
【标注】【知识点】对数的运算
经典例题——利用奇偶性求最值
29. 设函数 的最大值为 ，最小值为 ，下述四个结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
其中所有正确结论的序号是（ ）．
A. ①④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察奇偶性性质的应用．
（2）本题关键的解题步骤：利用奇偶性的性质，奇函数的最大值最小值为相反数，将函数
进行转化为奇函数+偶函数的形式，研究最值的性质．
（3）本题的易错点：函数的形式转化为奇函数与常数相加的形式．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，利用函数性质求解最值的结论，常见化简的操
作，常见奇偶函数．
【答案】C
【解析】 ， ，
令 ， ，其定义域关于原点对称，
又 ，
∴ 为奇函数，
∵ 的最大值为 ，最小值为 ，
∴ 的最大值为 ，最小值为 ，
∴ ，
∴ ，
∴②不正确；
27当 时， ，
∴ ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
由奇函数的对称性，画出 的图象如图所示，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴①正确；
，
∴③正确；
，
∴④正确．
故选 ．
【标注】【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题
巩固练习——利用奇偶性求最值
30. 的最大值为 ，最小值为 ，则 ．
【答案】
【解析】 ，
令 ，则 ， 为奇函数，
设 时， 取得最小值，此时 也取得最小值，
28，由奇函数关于原点对称，
则 时， 取最大值，此时 也为最大值，
，则 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用奇偶性求值；利用定义判断函数奇偶性
31. 已知函数 ，当 时，则函数 的最大值与最小值之和
是 ．
【答案】
【解析】设 ， ，
，
∴ 是奇函数，
不妨设 在 处取得最大值，
则 在 处取得最小值，
∴
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】奇偶性的概念；利用定义判断函数奇偶性
4. 单调性与奇偶性综合
经典例题
32. 已知 ，且实数 ， 满足 成立，则以下正确的是（ ）．
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
29【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察奇偶性性质的应用．
（2）本题关键的解题步骤：奇函数+奇函数=奇函数，以及在区间内增函数+增函数=增函
数的应用，函数的奇偶性以及单调性的结合问题．
（3）本题的易错点：奇函数的常见形式转化．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，与基本不等式的综合运用．
【答案】ABD
【解析】由题意得 为奇函数， ，
又 ，
则 在 上单调递增， 在 上单调递增，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，
∵ 的定义域为 ，则 ， ，
易得当 时， 的最大值为 ，故 正确；
，故 正确；
当 ， 时， 的最小值为 ，故 正确；
当 ， 时， ，故 错误；
综上所述，故选 ．
【标注】【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题
33. 已知函数 为定义在 上的偶函数，不等式 的解集
为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察奇偶性性质的应用．
（2）本题关键的解题步骤：奇偶性的区间关于原点对称，得到参数 的值，然后偶函数与
单调性的结合，比较绝对值.
（3）本题的易错点：函数隐含的单调性，区间关于原点对称的计算．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，函数隐含的单调性以及单调性．
【答案】D
【解析】定义域为 ，
则 ，
即定义域为 ，
又∵
30，
∴ ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
又∵ ，
∴ ．
∴选 ．
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式；利用导数求函数的单调性、单调区间
巩固练习
34. 设函数 ，则使得 成立的 的取值范围 ．
【答案】
【解析】函数 为偶函数，
且在 时，
导数为 ，
即有函数 在 单调递增，
∴ 等价为 ，
即 ，平方得 ，
解得 ，
所以 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式
35. 已知函数 ，其中 是自然对数的底数．则关于 的不等式 的解
集为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
31【解析】∵函数 满足 ，
故 为奇函数 且是单调递增函数，
关于 的不等式 ，
即关于 的不等式为 ，
∴ ，求得 ，
故选 ．
【标注】【知识点】利用函数单调性解不等式
36. 设 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，若对于任意的 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当 时， ，
∵ 是定义在 上的奇函数，
∴当 ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 由函数的解析式可知函数在 上为增函数，对于任意的
，不等式 恒成立，
由增函数性质得出 ，
即 对于任意 恒成立，
∴ ，
则实数 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】不等式中的恒成立与能成立问题；利用函数单调性解不等式
经典例题——比较大小
37. 已知函数 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关
系（ ）．
A. B. C. D.
32【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：考察奇偶性性质的综合应用——比较大小．
（2）本题关键的解题步骤：函数为隐含的偶函数，然后偶函数与单调性（可通过求导得
到）的结合，数形结合，比较绝对值即可.
（3）本题的易错点：函数隐含奇偶性．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，函数隐含的单调性以及单调性．
【答案】C
【解析】∵ ，
∴ ，
故 是偶函数，
当 时， ，
，
∵ ， ，
∴ ，故 在 上单调递增，
又 ，
即 ， ，
， ，
故 ，
，
又 ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】用单调性比较大小；指对幂比较大小；对数函数的图象及性质；指数函数的
图象及性质
巩固练习——比较大小
38.
已知函数 ，设 ， ， ，则 ， ， 的大
小关系为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ，
33∴ 为偶函数，
当 ，则 单增， 单增， 单增， 单调递增，
∴ 为单调增函数．
如图：
即若 增大， 也增大，
，①
，②
，因为 为偶函数，
，
∴ ，
由①可知，当 时， ，
所以当 时， ，
综上，∵ ； ； ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】用单调性比较大小
39. 定义在 上的偶函数 ，记 ， ， ，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ 是偶函数，
∴ ，
∵ ， ，
34∵ ，
∴ ，
∴ 或 （舍）
即 ，
∴ ，
显然 在 单调递增，
在 单调递减，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
故选 ．
【标注】【知识点】利用函数奇偶性求函数解析式；用单调性比较大小；指对幂比较大小
5. 知识总结
1.奇偶性定义
（1）奇函数：设函数 的定义域为 ，如果对 内的任意一个 都有 ，则这个函数叫
做奇函数．
（2）设函数 的定义域为 ，如果对 内的任意一个 都有 ，则这个函数叫做偶函
数．
2.判断函数奇偶性的方法
（1）定义法
（2）利用已知函数的奇偶性判断
（3）图象法
（4）重要结论：
奇 奇 奇，偶 偶 偶，奇 奇 偶
偶 偶 偶，奇 偶 奇
353.奇函数和偶函数的性质
（1）函数具有奇偶性 其定义域关于原点对称；
（2）①函数 是偶函数 的图象关于 轴对称；
②函数 是奇函数 的图象关于原点对称．
（3）若奇函数 的定义域包含 ，则 ．
4.单调性与奇偶性综合
三、 周期性
1. 函数周期性的判断
需要抓住以下两点：一是对定义域中任意的 恒有 ；二是能找到适合这一等式的非零常数
．一般来说，周期函数的定义域均为无限集．
2. 具有周期的抽象函数
若函数 满足如下关系，则 的周期为
①
②
③
④
可以利用迭代法推导．
经典例题
40. 设函数 的定义域为 ，且 ，当 时， ，则
．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：函数周期性的性质运用.
（2）本题关键的解题步骤：对于题干中的条件进行转化，得到函数周期性，将所要求的函
数值，转化为已知解析式的区间内进行求解．
（3）本题的易错点：条件转化为周期条件时出错．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，其他奇偶性及对称性也可得到周期条件，后续
模块进行讲解.
【答案】
【解析】由函数 的定义域为 ，且 ，
36则 ，
故 ，
又 ，
，
故 ，
故本题答案为 ．
【标注】【知识点】利用函数周期性求函数值
41. 已知 是定义在 上的函数，且 ，若 ，则 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：函数周期性的性质运用.
（2）本题关键的解题步骤：对于题干中的条件进行转化，进行迭代，得到函数周期性，将
所要求的函数值，转化为已知自变量的函数值进行求解．
（3）本题的易错点：条件转化为周期条件时出错．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，常见周期的形式.
【答案】
【解析】 ，
，
，
，
∴ ，
∴ 周期为 ，
∴ ．
【标注】【知识点】利用函数周期性求函数值
巩固练习
42. 若函数 ，则 ．
【答案】
【解析】当 时，由 ，
可得 ，
37两式相加得 ，则 ，
∴当 时， ，
即 时， 是周期为 的周期函数，
又 ，
∴ ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用函数周期性求函数值
43. 已知函数 对于任意实数 满足条件 ，若 ，则 ．
【答案】
【解析】∵ ，
∴
，
∴ 的最小正周期 ，
∴
，
∵ ，
∴ ．
【标注】【知识点】抽象函数
3. 知识总结
1.函数周期性的判断
需要抓住以下两点：一是对定义域中任意的 恒有 ；二是能找到适合这一等式的非零常数
．一般来说，周期函数的定义域均为无限集．
2.具有周期性的抽象函数
若函数 满足如下关系，则 的周期为
①
②
38③
④
可以利用迭代法推导．
四、 对称性
1. 一个函数的自对称问题
（1）关于 轴对称 ；
（2）关于原点对称 ；
（3）关于直线 对称 或 ；
（4）关于点 对称 或 ．
经典例题
44. 已知函数 （其中 ）的最小值为 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：函数对称性的性质运用.
（2）本题关键的解题步骤：函数图像隐含对称性，将原函数进行整理，得到函数关于轴对
称的结论.
（3）本题的易错点：未掌握轴对称的表达式．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，轴对称条件与函数解析式的相互转化.
【答案】A
【解析】由条件， ，得：
∴ ，即 为 的对称轴，
由题意， 的最小值为 ，
∴ 的最小值只能为 ，即 ，
解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】一个函数的自对称问题
39巩固练习
45. 已知函数 的图像关于原点对称，则实数 的值为 ．
【答案】
【解析】依题意有 ， ，
，
故 ， ．
检验，当 时， 恒成立．
【标注】【知识点】利用函数奇偶性求函数解析式
2. 两个函数的互对称
：
（1）与 关于 轴对称．
（2）与 关于 轴对称．
（3）与 关于原点对称．
（4）与 关于直线 对称．
（5）与 关于直线 对称．
（6）与 关于 对称．
经典例题
46. 下列函数中，其图象与函数 的图象关于点 对称的是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：两个函数的互对称性性质运用.
（2）本题关键的解题步骤：两个函数关于点对称，两个函数的解析式的关系.
（3）本题的易错点：未掌握两个函数的互对称．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，与函数自对称进行区分.
【答案】D
【解析】设所求函数图象上任意一点 ，
则 关于 对称的点 在 上，
即 ，
所以 ．
40故选 ．
【标注】【知识点】两个函数的互对称问题
巩固练习
47. 已知函数 与函数 的图象关于点 对称，则 ．
【答案】
【解析】 与 的图象关于点 对称，
设函数 上的点为 ，
关于点 对称的点为 ，
点 在函数 图象上，
∴
，
∴ ．
【标注】【知识点】两个函数的互对称问题
48. 已知函数 满足 ，若曲线 与曲线 的关于直线 对称，则实
数 的值为 ．
【答案】
【解析】因为曲线 与曲线 的关于直线 对称，
由 可得 ，即 ，
则可得 ，
所以 ， ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，
∴实数 的值为 ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】两个函数的互对称问题；解析法
413. 周期性与对称性综合
函数 满足对定义域内任一实数 （其中 为常数）：
（1）函数 的图象关于直线 和 都对称，则函数 是以 为周期的周
期函数．
（2）函数 的图象关于两点 ， 都对称，则函数 是以 为周期
的周期函数．
（3）函数 的图象关于 和直线 都对称，则函数 是以 为周期的
周期函数．
（4）关于函数的周期性有如下推广结论：
若函数 满足如下关系，则 的周期为
①
②
③
④
⑤
可以利用迭代法推导．
经典例题
49. 已知 的图象关于坐标原点对称，且对任意的 ， 恒成立，当
时， ，则 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：函数对称性综合性质运用.
（2）本题关键的解题步骤：奇偶性（关于原点对称）与对称性综合为周期性.
（3）本题的易错点：对奇偶性及对称性的周期性结论未掌握．
（4）本题需要注意的地方以及难点：引申，可以数形结合法进行辅助解题.
【答案】
【解析】根据题意， 的图象关于坐标原点对称，
即 是奇函数，则有 ，
又由对任意的 ， ） 恒成立，即 恒成立，
则有 对任意的 都成立，
故 是周期为 的周期函数，则 ，
当 时， ，则 ，
42则 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用函数周期性求函数值
巩固练习
50. 已知 的定义域是 ， ，且 ．当 时，
，则函数 在区间 上的所有零点之和为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得， ，
所以 ，即函数 的周期为 ，
因为 ，所以 的图象关于 对称，
y
3
2
1
–3 –2 –1O 1 2 3 4 5 6x
–1
–2
–3
作出 图象如图所示，
函数 的零点，
即为 图象与 图象的交点的横坐标，
四个交点分别关于点 对称，
则 ， ，即零点之和为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】函数对称性与周期性综合问题；求零点和或积的范围
4. 知识总结
1.函数自对称问题
43（1）关于 轴对称 ；
（2）关于原点对称 ；
（3）关于直线 对称 或 ；
（4）关于点 对称 或 ．
2.两个函数的互对称
：
（1）与 关于 轴对称．
（2）与 关于 轴对称．
（3）与 关于原点对称．
（4）与 关于直线 对称．
（5）与 关于直线 对称．
（6）与 关于 对称．
3.周期性与对称性综合
函数 满足对定义域内任一实数 （其中 为常数）：
（1）函数 的图象关于直线 和 都对称，则函数 是以 为周期的周
期函数．
（2）函数 的图象关于两点 ， 都对称，则函数 是以 为周期
的周期函数．
（3）函数 的图象关于 和直线 都对称，则函数 是以 为周期的
周期函数．
（4）关于函数的周期性有如下推广结论：
若函数 满足如下关系，则 的周期为
①
②
③
④
⑤
可以利用迭代法推导．
导图总结
你学会了吗？画出导图总结本节课所学吧！
【备注】
44出门测
（1）出门测目的是检测学生本讲学习效果；
（2）时间控制在15分钟以内．
51. 函数 ，关于 下列说法正确的是（ ）．
A. 定义域为 B. 值域为
C. 为减函数 D. 为非奇非偶函数
【答案】ABCD
【解析】A 选项：定义域由 ，得 ，故 正确；
B 选项： ，
由 ，得 ，
所以 ，故 正确；
C 选项： 在定义域内单调递减，
在定义域内单调递减，故 正确；
D 选项：定义域为 ，非奇非偶函数，故 正确．
45故选 A B C D .
【标注】【知识点】判断抽象函数奇偶性；求具体函数（包括复合函数）的定义域
52. 已知定义在 上的函数 ，当 时， ，则当 时，
（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据 得， ．
当 时， ， ，
所以 ．
故选： ．
【标注】【知识点】解析法；用换元法求解析式
53. 已知函数 和 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ， ，则
的解析式可以是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意， 且函数 是定义在 上的偶函数，
则函数 关于直线 对称，
又由 是定义在 上的奇函数，
据此分析选项：
对于 选项： ，是奇函数，
当 时， ，关于直线 对称，符合题意，故 正确；
对于 选项： ，是奇函数，
当 时， ，不关于直线 对称，不符合题意，故 错误；
对于 选项： ，是偶函数，不符合题意，故 错误；
对于 选项： ，是偶函数，不符合题意，故 错误，
故选 ．
【标注】【知识点】函数对称性与奇偶性综合问题
4654. 已知函数 满足：①对任意 ， 且 ，都有 ；②对定义域内任意
，都有 ，则符合上述条件的函数是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由题意得： 是偶函数，在 递增，
对于A， ，是偶函数，且 时， ， ，
故 在 递增，符合题意；
对于B，函数 是奇函数，不合题意；
对于C，由 ，解得： ，定义域不关于原点对称，
故函数 不是偶函数，不合题意；
对于D，函数 在 无单调性，不合题意；
故选：A．
【标注】【知识点】利用定义判断函数奇偶性
【知识点】用定义法证明函数的单调性
【知识点】利用四则运算判断函数单调性
55. 已知 是定义在 上的奇函数， ，当 时， ，则（ ）．
A. B. 是 的一个周期
C. 当 时， D. 的解集为
【答案】D
【解析】根据题意， 是定义在 上的奇函数，
则 ，
又由 ，则 ，
变形可得 ，
则有 ，
即 是周期为 的周期函数， 错误，
又由 时， ，
则 ， 错误，
当 时， ，
则有 ，
47又由 为奇函数，则 ，
则在区间 上， ，
当 时， ，
则 ，
又由 ，
则 ， 错误．
综合可得： ，
在区间 上，若 ，必有 ，
又由 是周期为 的周期函数，
则 的解集为 ， ，
∴ 正确．
∴ 、 、 选项不符合题意．
故选 ．
【标注】【知识点】函数周期性与奇偶性综合问题
56. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ，当 时， ，则
（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意， 满足 ，
则 ，
则函数 是周期为 的周期函数，
则 ．
又由 为奇函数，
则 ，
而 ，
则 ．
又由当 时， ，
则 ，
则有 ，
故选 ．
48【标注】【知识点】函数周期性与奇偶性综合问题；函数求值问题
57. 若函数 在 内有且只有一个零点，则 在 上的最大值与最小
值的和为 ．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ．
若 ，则 时， ，
∴ 在 上为增函数，
又 ，
∴ 在 上没有零点，
∴ ．
当 时， ， 为减函数；当 时， ， 为增函数，
∴ 时， 有极小值，为 ．
∵ 在 内有且只有一个零点，
∴ ，
∴ ．
此时 ，则 ．
令 ，得： 或 ．
增 减
∴ 在 上的最大值为 ，最小值为 ，
∴最大值和最小值的和为 ．
【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）
58. 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵ ，
令 ，
49则 ，故 为奇函数，
∵ 在 上单调递增，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
解可得， ．
则实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】函数单调性与奇偶性综合问题
50
