文档内容
函数的性质
一、 单调性
1. 定义
设函数 的定义域为 ，区间 ，如果取区间 中 两个值 ，改变量 ，
则当：
时，就称函数 在区间 上是增函数；
时，就称函数 在区间 上是减函数．
【注意事项】
讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区
间是其定义域的子区间．
例如，我们熟悉的反比例函数 ，它的定义域是 ，但它的单调区间需要说是
和 ．
经典例题
1. 函数 是定义在 上的减函数，且 ，则实数 的取值范围是 ．
巩固练习
2. 设函数 是定义在 上的减函数，若 ，则实数 的取值范围是 ．
2. 判断函数单调性的方法
（1）定义法；
①直接利用定义；
②在区间内任取 ，
若 或 ，则函数在该区间上单调递增；
若 或 ，则函数在该区间上单调递减
（2）利用已知函数的单调性：
1函数 一次函数
参数
图像
单调性 ，函数在 上单调递增 ，函数在 上单调递减
函数 二次函数
参数
图像
单调递减 单调递增
单调性
单调递增 单调递减
函数 反函数
参数
图像
单调性 和 单调递减 和 单调递增
2对勾函数：对于 双氘函数：对于
函数
图像
和 单调递
单调性 增 和 单调递增
和 单调递减．
函数 指数函数
参数
图像
单调性 在 单调递减 在 单调递增
函数 对数函数
参数
图像
单调性 在 单调递减 在 单调递增
3函数 幂函数（第一象限）：
参数
图像
单调性 函数在第一象限单调递增 函数在第一象限单调递减
（3）利用函数的导数判断函数的单调性；
（4）复合函数的单调性结论： ；
特别的，如下两个对常见函数的变形：
① 当 时候与 的单调性相同；
当 时候与 的单调性相反．
②如果 是单调函数且 ，则 和 的单调性是相反的；
如果 是单调函数且 ，则 和 的单调性是相反的．
（5）分段函数 若在全区间上单调递增，则需要① 在 单调递增；②
在 单调递增；③ ．
若在全区间上单调递减，则需要① 在 单调递减；② 在 单调递减；③
．
（6）奇函数在其对称的单调区间内具有相同的单调性；
偶函数在其对称的单调区间内具有相反的单调性．
（7）在公共定义域内，增函数 增函数 是增函数；
减函数 减函数 是减函数；
增函数 减函数 是增函数；
减函数 增函数 是减函数．
（8）最后，如果有函数的图象，图象向右上的区间内，函数单调递增；图象向右下的区间内，函数单
调递减．
经典例题
3. 已知函数 ．
4（ 1 ）求函数 的定义域．
（ 2 ）判断函数 的单调性并用定义法证明.
（ 3 ） ，其中 ，若对任意 ，总存在 ，使
得 成立．求实数 的取值范围．
巩固练习
4. 已函数 ．
（ 1 ）判断函数 在定义域上的单调性，并利用定义加以证明．
（ 2 ）若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
经典例题
5. 函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是 ．
6. 已知定义在 上的函数 ， 的值域为 ，若 ，则
的值为 ．
巩固练习
7. 已是函数 在 上的最大值是 ，则实数 ．
3. 单调性的应用
经典例题
8. 当 时， ，则下列大小关系正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
9. 若函数 在区间 上的最大值是 ，最小值是 ，则 ( )
A. 与 有关，且与 有关 B. 与 有关，但与 无关
C. 与 无关，且与 无关 D. 与 无关，但与 有关
巩固练习
10. 若 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）．
A. B. C. D.
11. 设函数 在区间 上的最小值为 ，求 的表达式．
12.
5已知函数 ， ，其中 ， ，记 为 的最小值，则当 时，
的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
经典例题——分段函数
13. 已知 是 上的单调递增函数，则实数 的取值范围
为（ ）．
A. B. C. D.
14. 已知函数 ，若 ，则 的取值范围是 ．
巩固练习——分段函数
15. 已知函数 ，若当 时，不等式 恒成立，则实数
的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
4. 知识总结
1.单调性定义
设函数 的定义域为 ，区间 ，如果取区间 中任意两个值 ，改变量 ，
则当：
时，就称函数 在区间 上是增函数；
时，就称函数 在区间 上是减函数．
2.判断函数单调性的方法
（1）定义法
（2）利用已知函数的单调性
（3）利用函数的导数判断函数的单调性
（4）复合函数的单调性结论：“同增异减”
（5）分段函数 若在全区间上单调递增，则需要① 在 单调递增；②
在 单调递增；③ ．
（6）奇函数在其对称的单调区间内具有相同的单调性；偶函数在其对称的单调区间内具有相反的单调
性．
（7）在公共定义域内，增函数 增函数 是增函数；减函数 减函数 是减函数；增函数
减函数 是增函数；减函数 增函数 是减函数．
6（8）最后，如果有函数的图象，图象向右上的区间内，函数单调递增；图象向右下的区间内，函数单
调递减．
3.单调性的应用
二、 奇偶性
1. 定义
（1）奇函数：设函数 的定义域为 ，如果对 内的任意一个 都有 ，则这个函数叫
做奇函数．
（2）设函数 的定义域为 ，如果对 内的任意一个 都有 ，则这个函数叫做偶函
数．
经典例题
16. 若函数 为偶函数，则 （ ）．
A. B. C. D.
17. 已知 是定义域为 的奇函数，若 为偶函数， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
18. 若函数 为偶函数，则实数 ．
19. 若函数 为奇函数，则实数 的值为 ；且当 时， 的最大值
为 ．
2. 判断函数奇偶性的方法
（1）定义法：
先求函数的定义域，若函数的定义域不关于原点对称，则此函数不具有奇偶性；若函数定义域关于原点
对称，再判断 与 关系：
若 ，则 是偶函数；若 ，则 是奇函数；
（2）利用已知函数的奇偶性判断；
（3）图象法：
函数图像关于 轴对称 函数是偶函数；函数图像关于原点对称 函数是奇函数；
（4）重要结论：
7设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域 上：
奇 奇 奇，偶 偶 偶，奇 奇 偶（例如 是偶函数），
偶 偶 偶，奇 偶 奇（例如 是奇函数）．
经典例题
20. 判断下列函数的奇偶性：
．
21. 判断下列函数的奇偶性．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
22. 已知函数 ．
（ 1 ）判断函数 的奇偶性并证明．
巩固练习
23. 函数 的奇偶性为（ ）．
A. 既奇又偶函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 奇函数
24. 函数 是（ ）．
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数
25. 已知 是偶函数，且其定义域为 ，则 ．
3. 奇函数和偶函数的性质
（1）函数具有奇偶性 其定义域关于原点对称；
（2）①函数 是偶函数 的图象关于 轴对称；
②函数 是奇函数 的图象关于原点对称．
（3）若奇函数 的定义域包含 ，则 ．
经典例题——利用奇偶性求解析式
26. 已知 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
巩固练习——利用奇偶性求解析式
27. 定义在 上的函数 是奇函数，且当 时， ．
8（ 1 ）求 在 上的解析式．
28. 已知函数 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ，则
．
经典例题——利用奇偶性求最值
29. 设函数 的最大值为 ，最小值为 ，下述四个结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
其中所有正确结论的序号是（ ）．
A. ①④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③
巩固练习——利用奇偶性求最值
30. 的最大值为 ，最小值为 ，则 ．
31. 已知函数 ，当 时，则函数 的最大值与最小值之和
是 ．
4. 单调性与奇偶性综合
经典例题
32. 已知 ，且实数 ， 满足 成立，则以下正确的是（ ）．
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
33. 已知函数 为定义在 上的偶函数，不等式 的解集
为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
34. 设函数 ，则使得 成立的 的取值范围 ．
35. 已知函数 ，其中 是自然对数的底数．则关于 的不等式 的解
集为（ ）．
9A. B.
C. D.
36. 设 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，若对于任意的 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围是 ．
经典例题——比较大小
37. 已知函数 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关
系（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习——比较大小
38.
已知函数 ，设 ， ， ，则 ， ， 的大
小关系为（ ）．
A. B. C. D.
39. 定义在 上的偶函数 ，记 ， ， ，则（ ）．
A. B. C. D.
5. 知识总结
1.奇偶性定义
（1）奇函数：设函数 的定义域为 ，如果对 内的任意一个 都有 ，则这个函数叫
做奇函数．
（2）设函数 的定义域为 ，如果对 内的任意一个 都有 ，则这个函数叫做偶函
数．
2.判断函数奇偶性的方法
（1）定义法
（2）利用已知函数的奇偶性判断
（3）图象法
（4）重要结论：
奇 奇 奇，偶 偶 偶，奇 奇 偶
偶 偶 偶，奇 偶 奇
3.奇函数和偶函数的性质
（1）函数具有奇偶性 其定义域关于原点对称；
10（2）①函数 是偶函数 的图象关于 轴对称；
②函数 是奇函数 的图象关于原点对称．
（3）若奇函数 的定义域包含 ，则 ．
4.单调性与奇偶性综合
三、 周期性
1. 函数周期性的判断
需要抓住以下两点：一是对定义域中任意的 恒有 ；二是能找到适合这一等式的非零常数
．一般来说，周期函数的定义域均为无限集．
2. 具有周期的抽象函数
若函数 满足如下关系，则 的周期为
①
②
③
④
可以利用迭代法推导．
经典例题
40. 设函数 的定义域为 ，且 ，当 时， ，则
．
41. 已知 是定义在 上的函数，且 ，若 ，则 ．
巩固练习
42. 若函数 ，则 ．
43. 已知函数 对于任意实数 满足条件 ，若 ，则 ．
3. 知识总结
1.函数周期性的判断
11需要抓住以下两点：一是对定义域中任意的 恒有 ；二是能找到适合这一等式的非零常数
．一般来说，周期函数的定义域均为无限集．
2.具有周期性的抽象函数
若函数 满足如下关系，则 的周期为
①
②
③
④
可以利用迭代法推导．
四、 对称性
1. 一个函数的自对称问题
（1）关于 轴对称 ；
（2）关于原点对称 ；
（3）关于直线 对称 或 ；
（4）关于点 对称 或 ．
经典例题
44. 已知函数 （其中 ）的最小值为 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
45. 已知函数 的图像关于原点对称，则实数 的值为 ．
2. 两个函数的互对称
：
（1）与 关于 轴对称．
（2）与 关于 轴对称．
（3）与 关于原点对称．
（4）与 关于直线 对称．
（5）与 关于直线 对称．
12（6）与 关于 对称．
经典例题
46. 下列函数中，其图象与函数 的图象关于点 对称的是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
47. 已知函数 与函数 的图象关于点 对称，则 ．
48. 已知函数 满足 ，若曲线 与曲线 的关于直线 对称，则实
数 的值为 ．
3. 周期性与对称性综合
函数 满足对定义域内任一实数 （其中 为常数）：
（1）函数 的图象关于直线 和 都对称，则函数 是以 为周期的周
期函数．
（2）函数 的图象关于两点 ， 都对称，则函数 是以 为周期
的周期函数．
（3）函数 的图象关于 和直线 都对称，则函数 是以 为周期的
周期函数．
（4）关于函数的周期性有如下推广结论：
若函数 满足如下关系，则 的周期为
①
②
③
④
⑤
可以利用迭代法推导．
经典例题
49. 已知 的图象关于坐标原点对称，且对任意的 ， 恒成立，当
时， ，则 ．
巩固练习
1350. 已知 的定义域是 ， ，且 ．当 时，
，则函数 在区间 上的所有零点之和为（ ）．
A. B. C. D.
4. 知识总结
1.函数自对称问题
（1）关于 轴对称 ；
（2）关于原点对称 ；
（3）关于直线 对称 或 ；
（4）关于点 对称 或 ．
2.两个函数的互对称
：
（1）与 关于 轴对称．
（2）与 关于 轴对称．
（3）与 关于原点对称．
（4）与 关于直线 对称．
（5）与 关于直线 对称．
（6）与 关于 对称．
3.周期性与对称性综合
函数 满足对定义域内任一实数 （其中 为常数）：
（1）函数 的图象关于直线 和 都对称，则函数 是以 为周期的周
期函数．
（2）函数 的图象关于两点 ， 都对称，则函数 是以 为周期
的周期函数．
（3）函数 的图象关于 和直线 都对称，则函数 是以 为周期的
周期函数．
（4）关于函数的周期性有如下推广结论：
若函数 满足如下关系，则 的周期为
①
②
③
④
⑤
14可以利用迭代法推导．
导图总结
你学会了吗？画出导图总结本节课所学吧！
出门测
51. 函数 ，关于 下列说法正确的是（ ）．
A. 定义域为 B. 值域为
C. 为减函数 D. 为非奇非偶函数
52. 已知定义在 上的函数 ，当 时， ，则当 时，
（ ）．
A. B. C. D.
53. 已知函数 和 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ， ，则
的解析式可以是（ ）．
A. B. C. D.
54. 已知函数 满足：①对任意 ， 且 ，都有 ；②对定义域内任意
，都有 ，则符合上述条件的函数是( )
A. B. C. D.
55. 已知 是定义在 上的奇函数， ，当 时， ，则（ ）．
A. B. 是 的一个周期
C. 当 时， D. 的解集为
56. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ，当 时， ，则
（ ）．
A. B. C. D.
57. 若函数 在 内有且只有一个零点，则 在 上的最大值与最小
值的和为 ．
58. 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是 ．
15
