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高二开始学就是不开窍，圆锥曲线怎么这么难啊啊啊啊
啊啊啊？！
2023.10.18 调研君
从高二时开始接触圆锥曲线，总复习时也刷了不少题，
但针对圆锥曲线感觉还是没开窍？
本期，调研君根据试题调研第4辑《解析几何与概率统
计》中的内容，利用圆锥曲线第一、第二、第三定义的
相关性质快速求解！
圆锥曲线定义
圆锥曲线的第一定义相信大家都非常的熟悉，在计算圆
锥曲线中一些有关长度的问题时，利用第一定义能够将
不易求得的长度转化为易求的长度，从而快速求值。
可是圆锥曲线的第二定义和第三定义同学们是不是感觉
比较陌生？
在圆锥曲线中，掌握第一、第二、第三定义有时可以帮
助我们快速破解有关长度、离心率的相关问题，做到小
题小做。
命题角度一：圆锥曲线第一定义的应用
圆锥曲线的第一定义是我们最常用的定义，具体为：
平面内与两个定点 F、F 的距离的和等于常数（大于|F
1 2 1
F |）的点的轨迹为椭圆；
2
平面内与两个定点 F、F 的距离的差的绝对值等于非零
1 2
常数（小于|F F |）的点的轨迹为双曲线；
1 2
平面内一个定点 F 和一条直线 L（L不经过点F）的距离
相等的点的轨迹为抛物线。
在实际应用过程中，要尤其注意限制条件，避免因粗心而
出错。
例①：
例②：
【思路指引】
如何把向量关系转化为长度关系？
注意关键数字“2”，“2”可以联想到中点，结
合“AB的中点P”，不难想到中位线，由此我们连接
PF ，PF ，得到 PF ，PF 分别是△ABC和△ABD的中
1 2 1 2
位线，即可得到|BC|=2|PF |，|BD|=2|PF |，再根据椭
1 2
圆的定义计算即可得解。
例③：
命题角度二：圆锥曲线第二定义的应用
圆锥曲线第二定义：
平面内到定点 F 的距离与到定直线 L 距离的比值为常
数e的点的轨迹为圆锥曲线，其中定点 F 为焦点，定直
线 L 为准线。
若e∈（0，1），则轨迹是椭圆；
若e∈（1，+∞），则轨迹是双曲线；
若e=1，则轨迹是抛物线。
注意定点不在直线上，当轨迹是以原点为中心、焦点
在 x 轴上的椭圆或双曲线时，F（c,0），L:
例④：
例⑤：
命题角度三：圆锥曲线第三定义的应用
椭圆和双曲线的第三定义为：
平面内的动点到两定点A（a,0），A（-a,0）的直线
1 2
斜率乘积等于常数 的点的轨迹，其中e为离心率。
严格来说，这个定义是有瑕疵的，动点的轨迹不包
括 A，A 两点，在实际解题中，我们多使用下述结
1 2
论：
①已知椭圆C： 的左、右定点分别为
A（-a,0），A（a,0），动点 P（x,y）是椭圆上异
1 2
于 A，A 的点，则
1 2
拓展：已知M （m,n），M （-m,-n）是椭圆上关于原
1 2
点对称的两点，P（x,y）是椭圆上异于M ，M 的任意
1 2
一点，若k ，k 存在，则 （或者 ，
pm1 pm2
其中e为椭圆的离心率）。
②已知双曲线C： 的左、右定点分别为
A（-a,0），A（a,0），动点 P（x,y）是双曲线上异
1 2
于 A，A 的点，则
1 2
拓展：已知M （m,n），M （-m,-n）是双曲线上关于
1 2
原点对称的两点，P（x,y）是双曲线上异于 M ，M 的
1 2
任意一点，若 k ，k 存在，则 （或者
pm1 pm2
，其中e为双曲线的离心率）。
例⑥：
【思路指引】
过原点的直线交椭圆于A，B两点，说明A，B关于原点
对称，问题又涉及离心率，应用椭圆第三定义便是解题
的不二之选。当然，也可利用点差法，不过运算量偏
大。
例⑦：
例⑧：
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