2024年广东省广州市增城区中考数学一模试卷-解析版_初中近3年全区全科一模真题_2024年广州初三一模各区全科真题卷（70份）_数学2024年广州中考一模

2024 年广东省广州市增城区中考一模数学试题 一、单选题 1．在实数 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 1 − 1 ， 3 1 ， ， 2 3 .1 4 中，无理数是（ ） A． − 1 B． 3 C． 1 2 D．3.14 2．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）． A． B． C． D． 3．已知水星的半径约为24400000米，用科学记数法表示为（ ） A． 0 .2 4 4  1 0 8 米 B． 2 .4 4  1 0 6 米 C． 2 .4 4  1 0 7 米 D．24.4106米 4．某校即将举行田径运动会，小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择一项参赛，则 他选择“100米”项目的概率是（ ）． A． 1 2 B． 1 4 C． 1 6 1 D． 12 5．下列运算正确的是（ ）． A． x 2  x 4 = x 6 B． x 3 + x 5 = x 8 C． ( x 2 ) 3 = x 5 D．3 5− 5=3 6．如图，在 A B C D 中， E 为 A D 的中点，连接BE，交 A C 于点 F ，则 A F : C F 等于（ ） A．1︰3 B．2︰3 C．2︰5 D．1︰2 7．已知关于x的方程 x 2 − ( 2 m − 1 ) x + m 2 = 0 有实数根，则 m 的取值范围是（ ）． 1 A．m B． 4 m  1 4 C． m  − 1 4 1 D．m− 4 8．如图，在 ABC中，  C A B = 7 0  ．在同一平面内，将 A B C 绕点A旋转到△ABC的位置，使得 C C  ∥ A B ， 则BAB等于（ ）A．30 B．35° C．40° D．50° 9．如图，AB是 O的直径， 2 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 C D 是 O的弦， A B ⊥ C D ，垂足为 E ，连接 B D 并延长，与过点 A 的切线 A M 相交于点 P ，连接AC．若 O的半径为5， A C = 8 ，则 A P 的长是（ ）． A． 3 2 3 B．13 C． 4 0 3 D．14 10．已知二次函数y=a(x−1)2−a(a0)，当 − 1  x  4 时， y 的最小值为 − 4 ，则 a 的值为（ ）． A． 1 2 或4 B． − 1 2 4 或− C． 3 − 4 3 或4 D． − 1 2 或4 二、填空题 11．分解因式： a 2 − 2 a = ． 12．已知点 A ( x ，1 y 1 ) ，B(x，y )在直线 2 2 y = − 3 x + 5 上，且 x 1  x 2 ，则 y 1 y ·（填“ 2  ”“  ”或“ = ”） 13．某公司在2024年1月份的营业额为25万，3月份的营业额为36万，设该公司营业额的月平均增长率 为 x ，则可列方程为 ． 14．抛物线 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为 (−3,0) ，对称轴为 x = 1 − ， 则抛物线与x轴的另一个交点坐标为是 ．15．如图，数轴上点 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 3 A 、 B 表示的数分别为 m 、 n ，化简： m − n − m 2 = ． 16．如图，在平行四边形 A B C D 中，AB=4cm，AD=8cm，  A B C = 6 0  ，点 P 为线段 A D 的中点．动点 E 从点 A 开始沿边 A D 以 1 c m /s 的速度运动至点 P ，动点 F 从点C开始沿边 C B 以2cm/s的速度运动至点 B ．点 E 、 F 同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．作点C关于直线 E F 的 对称点C，在点 E 从点 A 运动到点 P 的过程中，点C的运动路径长为 c m ． 三、解答题 17．解方程组：  2 x x + − y y = = 5 4 ． 18．如图，已知  B =  C ， A D 平分 B A C  ， 求证： △ A B D ≌ △ A C D ． 19．春节放假期间，兴趣小组到某景点随机调查了10位游客一天使用共享电动车的次数，统计得到该10 位游客一天使用共享电动车的次数如下： 使用次数 0 2 3 4 6 人数 2 4 1 2 1 (1)在这次调查中，该10位游客一天使用共享电动车次数的中位数为 ，众数为 ，平均数为 ． (2)若春节放假期间，每天约有1200位游客到此景点，试估计这些游客在春节放假期间每天使用共享电动 车的总次数．20．已知 4 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 T = ( a − b ) 2 − a ( a + b ) − b 2 ． (1)化简 T ； (2)若 a ， b 是方程 x 2 + x − 6 = 0 的两个根，求 T 的值． 21．在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同 学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与 用300元购买吊兰的盆数相同． (1)求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？ (2)若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？ 22．如图，四边形ABCD为正方形，点 A 在 y 轴上，点 B 在 x 轴上，且 O A = 4 ，OB=2，反比例函数 k y= (k 0) ，在第一象限的图象经过正方形的顶点 x C ． (1)求点 C 的坐标和反比例函数的解析式： (2)若点 N 为直线 O D 上的一动点（不与点 O 重合），在 y 轴上是否存在点M ，使以点A、 M 、 C 、 N 为 顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，在 A B C 中， C  是钝角． (1)尺规作图：在 A B 上取一点 O ，以 O 为圆心，作出 O，使其过 A 、C两点，交 A B 于点 D ，连接CD； （不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，若BCD=A， ta n A = 1 3 ，BC=9． ①求证：BC是 O的切线； ②求弦AC的长．24．在平面直角坐标系中，已知抛物线 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 5 y = x 2 + 2 m x − 2 m + 1 （ m 是常数），顶点为 M ． (1)用含 m 的式子表示抛物线的对称轴； (2)已知点 A ( − 2 m − 2 ， 2 ) ，当点A不在 y 轴上时，点A关于 x 轴的对称点为点 B ，分别过点A、 B 作 y 轴的 垂线，垂足分别为D、 C ，连接 A B ，得到矩形 A B C D ． ①当 m  − 1 时，点M 到边 A B 所在直线的距离等于点M 到x轴的距离，求 m 的值； ②当 m  − 1 时，抛物线的一部分经过矩形 A B C D 的内部，这部分抛物线上的点的纵坐标 y 随着x的增大而 减小，求 m 的取值范围． 25．如图，在等腰直角三角形 A B C 中， A C = 6 ，点 D 在边BC的延长线上，将线段 C D 绕点 D 逆时针旋转 90得到线段 D E ，连接 B E ，P为 B E 的中点． (1)求 B C 的长； (2)连接 A P ， P D ，请猜想 A P 与 P D 的数量和位置关系，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，若点M 为AC中点，连接 M P ， P C ，求 M P + P C 的最小值．2024 年广东省广州市增城区中考一模数学试题 参考答案与试题解析 1．B 【分析】根据无理数的特征，即可解答． 【详解】解：在实数 6 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 − 1 ， 3 ， 1 2 ，3.14中，无理数是 3 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的特征，即为无限不循环小数，熟知该概念是解题的关键． 2．D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重 合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解： A，B，C选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 互相重合，所以是轴对称图形． D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴 对称图形； 故选：D． 3．C 【分析】科学记数法的表示形式为 a  1 0 n 的形式，其中1  a  10，n为整数．确定n的值时，要看把原 数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数24400000米用科学记数法表示是 2 .4 4  1 0 7 米． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据题意直接根据概率公式，即可求解． 【详解】解：四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是 1 4 , 故选：B． 5．A【分析】本题考查了合并同类项法则，同底数幂乘法法则，积的乘方法则，二次根式的加减运算，根据以 上运算法则进行运算即可求解． 【详解】解：A. 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 7 x 2  x 4 = x 6 ，故该选项正确，符合题意； B. x 3 + x 5  x 8 ，故该选项不正确，不符合题意； C. ( x 2 ) 3 = x 6 ，故该选项不正确，不符合题意； D. 3 5 − 5 = 2 5 ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 6．D 【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，证出△AEF∽△CBF，然后利用其对应边成比例即可求得答案． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴AF：CF=AE：BC， ∵点E为AD的中点， ∴AE= 1 2 AD= 1 2 BC， ∴AF：CF=1：2； 故选D． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明 三角形相似是解决问题的关键． 7．B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据题意可得=(2m−1)2−4m2 0，解不等式，即可求 解． 【详解】解：依题意得，  = ( 2 m − 1 ) 2 − 4 m 2  0 即−4m+10 1 解得m 4 故选：B．8．C 【分析】旋转中心为点A，B与 8 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 B  ，C与 C  分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角  B A B  =  C A C  ， AC=AC，再利用平行线的性质得  C C A =  C A B = 7 0  ，把问题转化到等腰 △ A C C  中，根据内角和定理 求  C A C  ． 【详解】解：∵ C C  ∥ A B ，  C A B = 7 0  ， ∴  C C A =  C A B = 7 0  ， 又∵C、 C  为对应点，点A为旋转中心， ∴ A C = A C  ，即 △ A C C  为等腰三角形， ∴  B A B  =  C A C  = 1 8 0  − 2  C C A = 4 0  ． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为 旋转角．同时考查了等边对等角，平行线的性质． 9．C 【分析】本题考查了切线的性质，正切的定义，直径所对的圆周角是直角；连接 B C ，勾股定理求得 B C ， 3 进而求得tanCAB= ，根据切线的性质得出 4  B A P = 9 0  ，根据同弧所对的圆周角相等，进而得出  A P B =  C A B ，根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图，连接 B C ， ∵ A B 是 O的直径， ∴ACB=90 ∵ O 的半径为5，AC=8，则 A B = 1 0 ∴BC= AB2−AC2 = 102−82 =6 BC 3 ∴tanCAB= = AC 4∵ 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 9 A P 是过点 A 的切线，则 A B ⊥ A P ∵ A D = A D ∴ A C D A B P ∴  A P B =  C A B ∴ ta n  A P B = ta n  C A B ，即 A A B P = 3 4 ∴ A P = 4  3 1 0 = 4 0 3 故选：C． 10．D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：二次函数y=a(x−1)2−a(a0)的对称轴为：直线 x = 1 ， （1）当 a  0 时，当 − 1  x  1 时， y 随 x 的增大而减小，当 1  x  4 ， y 随 x 的增大而增大，  当 x = 1 时， y 取得最小值，  y = a ( 1 − 1 ) 2 − a = − 4 ，  a = 4 ； （2）当 a  0 时，当 − 1  x  1 时， y 随 x 的增大而增大，当 1  x  4 ， y 随 x 的增大而减小，  当 x = 4 时， y 取得最小值，  y = a ( 4 − 1 ) 2 − a = − 4 ， 1 a=− ． 2 故选：D． 11．a(a−2) 【分析】本题考查了因式分解，直接提公因式 a 即可求解． 【详解】解：a2−2a= a(a−2) ， 故答案为：a(a−2) ． 12． 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据当k0时，y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵−30，∴y随x的增大而减小， ∵ 10 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 x 1  x 2 ， ∴ y 1  y 2 ． 故答案为：  ． 13． 2 5 ( 1 + x ) 2 = 3 6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该公司营业额的月平均增长率为 x ，根据题意列出一元二次 方程，即可求解． 【详解】解：设该公司营业额的月平均增长率为 x ，根据题意得，25(1+x)2 =36， 故答案为： 2 5 ( 1 + x ) 2 = 3 6 ． 14． ( 1 , 0 ) 【分析】利用抛物线的对称性求解即可得到答案． 【详解】解：抛物线 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 其与x轴的一个交点坐标为 ( − 3 , 0 ) ，对称轴为 x = 1 − ， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 (1,0) ， 故答案为： (1,0) ． 【点睛】本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握抛物线与x轴的两个交点关于抛 物线对称轴对称． 15． n 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值；根据数轴可得 m  0  n ，进而根据绝对 值的意义，二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得 m  0  n ， ∴ m−n − m2 = n−m−(−m)=n−m+m=n， 故答案为：n． 16． 3 2 9 3 π 【分析】连接AC,BP，延长BA,CP交于点T ，设AC,EF交于点O，证明 A E O ∽ C F O 得出 2 2 8 3 CO= AC= 4 3= ，进而得出当点E点运动到点P时，点F 运动到点B，此时EF与BP重合，则 3 3 3初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 11 C  与点 T 重合，则 C  的运动轨迹为 C B T ，根据弧长公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接 A C , B P ，延长 B A , C P 交于点 T ，设 A C , E F 交于点 O ∵在平行四边形 A B C D 中，AB=4cm，AD=8cm，  A B C = 6 0  ，点 P 为线段 A D 的中点． ∴ A B = A P = 4 ， D P = D C = 4 ，  D =  A B C = 6 0  ∴ P C = P A = P D = 4 ∴ A C D = 9 0   ， ∵ A B ∥ C D ， ∴ A C ⊥ A B ， 3 ∴AC=BCsin60=8 =4 3， 2 ∵  P C D = 6 0  ∴  P C B = 6 0  =  A B C ∴ T B C 是等边三角形， ∵动点 E 从点 A 开始沿边 A D 以 1 c m /s 的速度运动至点P，动点 F 从点C开始沿边CB以 2 c m /s 的速度运动 至点 B ∴ A C E F = 1 2 ∵AE∥CF ∴ AEO∽ CFO AO AE 1 ∴ = = CO CF 2 ∴ C O = 2 3 A C = 2 3  4 3 = 8 3 3 ∵AB= AP，BAD=120 ∴ABP=30∴ 12 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季  T B P =  C B P = 3 0  ∴ B P ⊥ T C ， B P 过点O， ∴点 O 是 T B C 的外心， ∴  T O C = 2  T B C = 1 2 0  ， ∵点 C 关于直线 E F 的对称点 C  ， ∴ O C  = O C = 8 3 3 ， ∴当点 E 点运动到点 P 时，点 F 运动到点 B ，此时 E F 与 B P 重合，则 C  与点 T 重合，则 C  的运动轨迹为 CBT ∴点 C  的运动路径长为 2 1 4 8 0 0 π  8 3 3 = 3 2 9 3 π 故答案为： 3 2 9 3 π ． 17．  x y = = 3 2 ． 【分析】利用加减消元将方程组化简成一元一次方程，即可得解其一，再将其代入任意一个方程即可得解． 【详解】解：  2 x x + − y y = = 5 4 上下两方程相加，得 3 x = 9 ，解得 x = 3 ． 把x=3代入 x + y = 5 中，得 y = 2 ． x=3  ． y=2 【点睛】本题考查了解二元一次方程组；关键在于能利用加减消元或者代入消元的方法将其转化成一元一 次方程的形式． 18．见解析 【分析】本题主要考查对全等三角形的判定，三角形的角平分线定义；根据角平分线的定义得出 BAD=CAD，根据 A A S 即可证出答案． 【详解】证明： AD平分BAC， BAD=CAD， 在△ABD和 ACD中B=C  BAD=CAD，  AD= AD  ABD≌ ACD(AAS) ． 19．(1) 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 13 2 ， 2 ，2.5 (2)3000 【分析】本题考查了中位数、众数、平均数的概念以及利用样本平均数估计总体． （1）根据中位数、众数和平均数的定义求解即可； （2）用总人数乘以游客1天内使用共享电动车的次数的平均数，即可． 【详解】（1）解：这10位游客1天内使用共享电动车的次数的中位数是 2 + 2 2 = 2 ，众数是2，平均数是 1 (02+24+31+42+61)=2.5 10 故答案为： 2 ， 2 ， 2 .5 ． （2）估计这些游客在春节期间每天使用共享电动车的总次数为 1 2 0 0  2 .5 = 3 0 0 0 （次） 20．(1) − 3 a b (2) 1 8 【分析】此题考查了整式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系； （1）原式根据完全平方公式，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项，即可得到结果； （2）利用根与系数的关系求出 a b 的值，代入计算即可求出值． 【详解】（1）解： T = ( a − b ) 2 − a ( a + b ) − b 2 = a 2 − 2 a b + b 2 − a 2 − a b − b 2 = − 3 a b ； （2）解：∵ a ， b 是方程x2+x−6=0的两个根， ∴ a b = − 6 ∴T =−3(−6)=18 21．(1)购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为15元 (2)购买吊兰的数量最多为17盆【分析】（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为 14 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 ( x + 5 ) 元，然后可得方程为 2 0 x 0 = 3 x 0 + 0 5 ，进 而求解即可； （2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为 2 m 盆，然后可列不等式进行求解． 【详解】（1）解：设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为 ( x + 5 ) 元，由题意得： 2 0 x 0 = 3 x 0 + 0 5 ， 解得： x = 1 0 ， 经检验：当 x = 1 0 时，则 x ( x + 5 )  0 ， ∴ x = 1 0 是原方程的解， ∴ x + 5 = 1 5 ， 答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为 1 5 元； （2）解：设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为 2 m 盆，由（1）及题意得： 1 0  2 m + 1 5 m  6 0 0 ， 解得： m  1 2 7 0 ， ∵m是整数， ∴m取最大值为17； 答：购买吊兰的数量最多为17盆． 【点睛】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程及一元一次不等式的应用是 解题的关键． 22．(1)点 C 的坐标为 ( 6 , 2 ) 12 ；y= x (2)存在，M(0,−3) 或 M ( 0 , − 1 1 ) 或M(0,11) 【分析】（1）过点C作CE⊥x轴于点 E ，证明 AOB≌ BEC，根据全等三角形的性质分别求出 B E 、 C E ， 求出点C的坐标，进而求出反比例函数解析式；  3  （2）过点D作DF ⊥ y轴于点F ，同（1）得出点D的坐标，进而求得OD的解析式，设Nn, n，M(0,m) ，  2  又A(0,4) ，C(6,2) ，根据AC,AM,AN分别为对角线，根据中点坐标公式即可求解．【详解】（1）解：如图所示，过点 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 15 C 作 C E ⊥ x 轴于点 E ， 则  B E C = 9 0  ， 四边形ABCD为正方形，  A B = B C ，  A B C = 9 0  ，   O B A +  E B C = 9 0  ，  O B A +  O A B = 9 0  ，   O A B =  E B C ， 在 A O B 和 B E C 中，  O A B =  E B C ，  A O B =  B E C ， A B = B C ，  AOB≌ BEC(AAS) ，  B E = O A = 4 ， C E = O B = 2 ，  O E = O B + B E = 6 ， 点C的坐标为 ( 6 , 2 ) ， 将点 C 的坐标为 (6,2) 代入 y = k x ， 得k=12， ∴反比例函数的关系式为 y = 1 2 x ； （2）解：如图所示，过点 D 作DF ⊥ y轴于点 F ，同（1）可得 16 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 A D F ≌ B A O ， ∴ D F = O A = 4 , A F = O B = 2 ∴ D ( 4 , 6 ) 设直线 O D 的解析式为 y = k x ，则 6 = 4 k 3 解得：k ， 2 ∵点 N 为直线 O D 上的一动点（不与点O重合），点 M 在 y 轴 设 N  n , 3 2 n  ， M ( 0 , m ) ，又 A ( 0 , 4 ) ， C ( 6 , 2 ) ①当 A C 为对角线时，  0 4 + 2 + 2 6 2 = = n 3 2 + 2 n 0 + 2 m 解得： m = − 3 ， 则 M ( 0 , − 3 ) 当AM 为对角线时，  0 4 = + 2 n m + 2 = 6 3 2 n 2 + 2 解得： m = − 1 1 ， 则 M ( 0 , − 1 1 ) 当 A N 为对角线时，  0 m + 2 + 2 6 2 = = n 3 2 + 2 n 0 2 + 4 解得： m = 1 1 ，则 M ( 0 ,1 1 ) 综上所述：以点 A 、 M 、C、 N 为顶点的四边形是平行四边形时，M(0,−3) 或 M ( 0 , − 1 1 ) 或 M ( 0 ,1 1 ) ． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定 和性质、平行四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 23．(1)见解析 36 10 (2)①见解析；② 5 【分析】（1）作出线段AC的垂直平分线确定圆心，再作出圆即可求解；（2）①连接 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 17 O C ，得出  O A C =  O C A ，根据ACO+OCD=90，结合已知条件得出  B C D +  O C D = 9 0  ， 即可得证； ②先证明△BCD∽△BAC，得到 B B C A = B B D C = C A D C = 1 3 ，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：点D如图所示： （2）①证明：如图所示，连接 O C ， ∵ A D 是直径， ∴  A C D = 9 0  ， ∴  A C O +  O C D = 9 0  ， ∵ O A = O C ， ∴  O A C =  O C A ， ∵BCD=A， ∴  B C D =  A C O ， ∴BCD+OCD=90， 即  O C B = 9 0  ， 又 O C 是半径， ∴BC是 O的切线； ②如图，∵ 18 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季  B C D =  A ，  B =  B ， ∴ △ B C D ∽ △ B A C ， ∴ B B C A = B B D C = C A D C ， ∵ A D 是直径， ∴  A C D = 9 0  ∵ ta n  A = C A D C = 1 3 ， ∴ B B C A = B B D C = C A D C = 1 3 ∵ B C = 9 ， ∴ B A = 2 7 ， B D = 3 ， ∴ A D = A B − B D = 2 4 ， ∵  A C D = 9 0  1  2 ∴AC2+ AC =242， 3  ∴ A C = 3 6 5 1 0 ． 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，相似三角形的判定与性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定 理等知识，解题关键是正确作图并得出相似． 24．(1) x = − m (2)① m = − 3 + 2 5 −1+ 13 或；m= ；② 2 m  − 7 2 3 或−2m− 2 【分析】此题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与矩形的综合应用； （1）化为顶点式，求解即可；（2）①分两种情况，顶点 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 19 M 在 x 上方或下方时，根据题意，列出关于m的方程，求解即可； ②分为两种情况，当点A分别在对称轴的左右两侧时，根据题意，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：y=x2+2mx−2m+1 = ( x + m ) 2 − m 2 − 2 m + 1 ∴抛物线的对称轴为直线 x = − m ， （2）解：① y = x 2 + 2 m x − 2 m + 1 = ( x + m ) 2 − m 2 − 2 m + 1 ∴ M ( − m , − m 2 − 2 m + 1 ) M 到 x 轴的距离为 − m 2 − 2 m + 1 点 M 到边AB所在直线的距离 d = − m − ( − 2 m − 2 ) = m + 2 ∵ m  − 1 ∴ m + 2  0 ，即 d = m + 2 当 − m 2 − 2 m + 1  0 时，−m2−2m+1=m+2 解得 m = − 3 + 2 5 或 m = − 3 − 2 5 （舍去） 当 − m 2 − 2 m + 1  0 时， m 2 + 2 m − 1 = m + 2 −1+ 13 −1− 13 解得m= 或m= （舍去） 2 2 则 m = − 3 + 2 5 −1+ 13 或；m= ； 2 ②由题意可得：B(−2m−2,−2) 当 x = − 2 m − 2 时， y = ( − 2 m − 2 ) 2 + 2 m ( − 2 m − 2 ) − 2 m + 1 = 2 m + 5 当点 A 分别在对称轴的左侧时，如下图：此时需要满足的条件为： 20 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季  − 2 m m  + ( 5 −  2 m 2 − 2 ) ，解得 − 2  m  − 3 2 当点 A 分别在对称轴的右侧时，如下图： −m(−2m−2) 此时需要满足的条件为： ，解得 2m+5−2 m  − 7 2 综上： m  − 7 2 3 或−2m− 2 25．(1) B C = 6 2 (2) A P = P D ， A P ⊥ P D ，证明见解析 (3) 3 5 【分析】（1）根据勾股定理，即可求解； （2）连接 C E ， A P , P D ，先证明 A , C , E 三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 AP=PD，进而证明 A , B , E , D 四点共圆，根据圆周角定理，即可得出AP⊥PD； （3）过点 A 作 A T ⊥ B C 于点T ，先证明A,T,P,D四点共圆，进而得出P点的轨迹，得出 T P ∥ A C ，作点M 关于TP的对称点M，连接 C M  ，当P点在 C M  上时，PM+PC=PM+PC=MC，此时取的最小值，进 而勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵在等腰直角三角形 A B C 中， A C = 6 ， ∴ B C = 2 A C = 6 2 ， （2）结论： A P = P D ，AP⊥PD 证明：如图所示，连接CE，AP,PD，∵将线段CD绕点 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 21 D 逆时针旋转 9 0  得到线段 D E ， ∴ C D = D E ,  C D E = 9 0  ， ∴ C D E 是等腰直角三角形， ∴  D C E = 4 5  又∵ACB=45 ∴ A , C , E 三点共线， ∵ P 为BE的中点．  B A E = B D E = 9 0  ∴ P A = 1 2 B E ， P D = 1 2 P E ∴ P A = P D ∵  B A E = B D E = 9 0  ∴ A , B , E , D 四点共圆， ∵ A D = A D ， ∴APD=2ABC=90， （3）如图所示，过点 A 作AT ⊥BC于点 T ∴ATD=APD=90 ∴A,T,P,D四点共圆， ∴ P D = P D ∴DTP=DAP=45， ∴点P在射线TP上运动，∵ 22 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季  D T P =  A C B = 4 5  ∴ T P ∥ A C 作点 M 关于TP的对称点 M  ，连接 C M  ，当 P 点在 C M  上时， P M + P C = P M  + P C = M C ，此时取的最小 值， ∵ A T C 是等腰直角三角形， M 是 A C 的中点，AC=6 ∴ T M ⊥ A C 1 1 ，TM = AC=3，MC = AC =3 2 2 ∴ M M  = 6 在Rt MMC中，MC= MM2+MC2 = 62+32 =3 5 即 M P + P C 的最小值为 3 5 ． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，直角所对的弦是直径，轴对称的性 质求线段和的最值问题，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键．