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第五章 多元函数积分学
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1 、 单选题
A ： xy
B ： 2xy
C ： xy＋1/8
D ： xy＋1
正确答案： C
解析：
2 、 单选题
A ： 3π
B ： 2π
C ： π
D ： π/2
正确答案： C
解析：3 、 单选题
正确答案： A
解析：
4 、 单选题
正确答案： A解析：
5 、 单选题
正确答案： B
解析：
6 、 单选题
∑为平面x/2＋y/3＋z/4＝1在第一卦限的部分，则 （ ）。正确答案： C
解析：
积分曲面方程x/2＋y/3＋z/4＝1，两边同乘4得2x＋4y/3＋z＝4，因z＝4－2x－4y/3，则
7 、 单选题
交换累次积分次序（ ）。
正确答案： B
解析：
作出积分区域，如图所示，则交换积分次序得8 、 单选题
设 ，其中∑是平面x＋y＋z＝1在第一卦限部
分的上侧，则I＝（ ）。
A ： 1/2
B ： 1/4
C ： 1/6
D ： 1/8
正确答案： D
解析：
补三个曲面∑1：x＝0（后侧），∑2：y＝0（左侧），∑3：z＝0（下侧），则
9 、 单选题
设D是以点O（0，0），A（1，2），B（2，1）为顶点的三角形区域，则
（ ）。
A ： 2/5B ： 3/2
C ： 2/3
D ： 5/2
正确答案： B
解析：
积分区域如图所示，其中直线OA的方程为y＝2x，AB的方程为y＝－x＋3，直线OB的方
程为y＝x/2。积分区域为D＝{（x，y）|0≤x≤1，x/2≤y≤2x}∪{（x，y）|1≤x≤2，x/2≤y≤
－x＋3}，于是
10 、 单选题
设L为摆线 从点O（0，0）到点A（2πR，0）的一拱，则曲线积
分∫L（2R－y）dx＋xdy＝（ ）。
A ： 4πR^2
B ： 2πR^2
C ： 4πR^2
D ： 2πR^2
正确答案： B
解析：
由O（0，0）到A（2πR，0）对应的t值是从0到2π。则11 、 单选题
设D：|x|＋|y|≤1，则 （ ）。
A ： 0
B ： 1/3
C ： 2/3
D ： 1
正确答案： C
解析：
12 、 单选题
A ： I1
B ： I2
C ： I3
D ： I4正确答案： A
解析：
由积分区域的图形可以看出，积分区域D2和D4都是关于x轴对称，且被积函数是关于y奇
函数，故I2＝I4＝0。又在D1＝{（x，y）|0≤y≤1，－y≤x≤y}内，ycosx＞0，在D3＝{（x，
y）|－1≤y≤0，－y≤x≤y}内，ycosx＜0，故I1＞0，I3＜0。
13 、 单选题
A ： 2
B ： 0
C ： 1/2
D ： 1
正确答案： B
解析：
14 、 单选题
正确答案： D
解析：15 、 单选题
设L为正向圆周x^2＋y^2＝2在第一象限中的部分，则曲线积分∫Lxdy－2ydx的值为（
）。
A ： 3π/2
B ： 2π/3
C ： 3π/4
D ： 4π/3
正确答案： A
解析：
将曲线方程转化为参数方程：
则
16 、 单选题
∫L[（xdy－ydx）/（|x|＋|y|）]＝（ ），其中L为|x|＋|y|＝1的正向。
A ： 1
B ： 2
C ： 3
D ： 4
正确答案： D
解析：
将|x|＋|y|≤1代入积分式可得17 、 单选题
A ： f（0）
B ： f′（0）
C ： f（0）/π
D ： 2f′（0）/π
正确答案： B
解析：
根据题意得
18 、 单选题
将积分 化为极坐标下的二次积分为（ ）。正确答案： B
解析：
注意积分区域以及直角坐标与极坐标下的二次积分的转换，由题意得直角坐标下的积分
区域为0＜y＜1，0＜x＜y，故极坐标下的积分区域为π/4＜θ＜π/2，0＜r＜cosθ，
19 、 单选题
A ： 8π/5
B ： 32π/5
C ： 16π/5
D ： 4π/5
正确答案： B
解析：
采用高斯公式得
20 、 单选题
正确答案： C解析：
21 、 单选题
A ： 3π/2
B ： 0
C ： 2π/3
D ： 3π/2
正确答案： B
解析：
22 、 单选题
正确答案： D
解析：23 、 单选题
A ： 0
B ： 1
C ： π
D ： 2π
正确答案： A
解析：
由于被积函数是关于z的奇函数，而积分区域关于xOy平面对称，则I＝0。
24 、 单选题
A ： π
B ： π
C ： 3π/4
D ： 3π/4
正确答案： A
解析：25 、 单选题
A ： π/3
B ： 4π/15
C ： 4π/7
D ： π/5
正确答案： B
解析：
26 、 单选题
设曲线L是任意不经过y＝0的区域D的曲线，为使曲线积分
与路径无关，则α＝（ ）。
A ： 1/2
B ： 1/3
C ： 5/2
D ： 3/2
正确答案： A
解析：27 、 单选题
正确答案： C
解析：
28 、 单选题
正确答案： A
解析：
直接求该积分，求不出来，则考虑变换积分次序，即29 、 单选题
已知曲线 ，则∫Lxds＝（ ）。
A ： 13/6
B ： 2
C ： 11/6
D ： 7/6
正确答案： A
解析：
30 、 单选题
A ： abπ
B ： abπ/2
C ： a＋b）π
D ： a＋b）π/2
正确答案： D
解析：
由题意可知，D具有轮换对称性，故31 、 单选题
A ： π^2
B ： 2π
C ： 5π
D ： 5π
正确答案： C
解析：
考察的是格林公式的运用。根据格林公式得 。
32 、 单选题正确答案： A
解析：
33 、 单选题
设L是以点A（1，0），B（0，1），C（－1，0），D（0，－1）为顶点的正方形边界，
则 （ ）。
正确答案： C
解析：
以点A（1，0），B（0，1），C（－1，0），D（0，－1）为顶点的正方形边界，其方
程为|x|＋|y|＝1，则 。
34 、 单选题A ： a＋b）/4
B ： a＋b）π/4
C ： a＋b）π/2
D ： a＋b）/2
正确答案： C
解析：
35 、 单选题
正确答案： D
解析：
由流量的定义及对坐标的曲面面积积分的定义有 ，
故应选（D）。36 、 单选题
A ： 3π
B ： 4π
C ： 2π
D ： π
正确答案： C
解析：
37 、 单选题
A ： π/2
B ： π
C ： 4π
D ： 2π
正确答案： C
解析：38 、 单选题
A ： 不存在
B ： f（0，0）
C ： f（1，1）
D ： f′（0，0）
正确答案： B
解析：
39 、 单选题
正确答案： B
解析：
考察对于格林公式的使用条件的应用。在题设中，有 ，但当原点在L内时，
由于P、Q不满足在单连通域内有一阶连续偏导数的条件，故只有原点在D外时，曲线积
分才与路径无关，此时I＝0。
40 、 单选题A ： 3，2，x3y＋xy2＋C
B ： 3，2，x3y－xy2＋C
C ： 3，－2，x3y－xy2＋C
D ： 3，2，x3y－xy2＋C
正确答案： C
解析：
41 、 单选题
正确答案： B
解析：42 、 单选题
正确答案： C
解析：
43 、 单选题
正确答案： B解析：
44 、 单选题
交换二次积分次序 （ ）。
正确答案： A
解析：
令
故A的积分区域为－1≤y≤0，1－y≤x≤2，变形得1－x≤y≤0，1≤x≤2，故变换积分次序得
45 、 单选题
已知[（x＋ay）dy－ydx]/（x＋y）^2为某函数的全微分，则a＝（ ）。
A ： 2π
B ： 2π
C ： 0
D ： π
正确答案： C
解析：46 、 单选题
正确答案： D
解析：
47 、 单选题正确答案： C
解析：
48 、 单选题
若函数f（x，y）在矩形区域D：0≤x≤1，0≤y≤1上连续，且
，则f（x，y）＝（ ）。
A ： 4xy＋1
B ： 2xy
C ： 2xy＋1
D ： 4xy
正确答案： A
解析：49 、 单选题
正确答案： C
解析：
50 、 单选题
使 成立的情况为（ ）。A ： f（－x，y）＝－f（x，y）
B ： f（－x，y）＝f（x，y）
C ： f（－x，－y）＝f（x，y）
D ： f（－x，y）＝f（x，y）且f（x，－y）＝f（x，y）
正确答案： D
解析：
由于积分区域关于x轴对称，也关于y轴对称，则要使
成立，则被积函数必须是关于y
和x均为偶函数，即f（－x，y）＝f（x，y）且f（x，－y）＝f（x，y）。
51 、 单选题
正确答案： B
解析：
52 、 单选题
设有一个由曲线y＝lnx，直线y＝0，x＝e所围成的均匀薄片，其密度为ρ＝1，若此薄片
绕直线x＝t旋转的转动惯量为I（t），则使I（t）最小的t值是（ ）。
正确答案： B解析：
53 、 单选题
正确答案： B
解析：
54 、 单选题
A ： 4π
B ： 8π
C ： 16πD ： 32π
正确答案： A
解析：
由于曲面∑为一球心为（1，0，－1）的球面，设S为球的表面积，则
55 、 单选题
A ： 9
B ： 12
C ： 12
D ： 9
正确答案： C
解析：
56 、 单选题
正确答案： B解析：
57 、 单选题
正确答案： C
解析：
由于f（x，y）＝|xy|既是x的偶函数，又是y的偶函数，D既关于x轴对称又关于y轴对称，
则
58 、 单选题
已知f（x）是三阶可导函数，且f（0）＝f′（0）＝f″（0）＝－1，f（2）＝－1/2，则积
分 （ ）。
A ： 2
B ： 4
C ： 6
D ： 8
正确答案： C解析：
59 、 单选题
正确答案： C
解析：
60 、 单选题正确答案： C
解析：
考察旋度的计算。
61 、 单选题
A ： 9/
B ： 36/
C ： 32/
D ： 18/
正确答案： B
解析：
62 、 单选题设L是摆线 上从t＝0到t＝2π的一段，则
（ ）。
A ： π
B ： π
C ： 2π
D ： 2π
正确答案： A
解析：
63 、 单选题
正确答案： D
解析：64 、 单选题
A ： 2
B ： 0
C ： 1
D ： 4
正确答案： A
解析：
考察了散度的求法。
65 、 单选题
正确答案： C
解析：66 、 单选题
正确答案： A
解析：
由积分曲面及被积函数的对称性可知，积分曲面具有轮换对称性，故
67 、 单选题
设 ，是线密度为1的物质曲线，则关于z轴的转动惯量I＝
（ ）。
A ： πR3
B ： πR3/3
C ： 4πR3/3
D ： 4πR3
正确答案： C
解析：
曲线关于z轴的转动惯量为
所以68 、 单选题
正确答案： C
解析：
根据高斯公式得
69 、 单选题
设L是y＝sinx上从O（0，0）到A（π/2，1）的一段弧，则 （
）。
A ： 2
B ： 4
C ： 0
D ： π/2－2
正确答案： D
解析：70 、 单选题
二重积分 的值为（ ）。
A ： 正的
B ： 负的
C ： 0
D ： 不确定
正确答案： D
解析：
将积分区域用极坐标表示，则x＝rcosθ，y＝rsinθ，0≤θ≤2π，1≤r≤2，故
