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专题 06 图形的旋转与中心对称
旋转对称图形的识别
1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处
置的一种科学管理方法.你认识垃圾分类的图标吗？请选出其中的旋转对称图形（ ）
A．可回收物 B．有害垃圾
C．厨余垃圾 D．其他垃圾
【答案】A
【知识点】旋转对称图形的识别
【分析】本题考查了旋转对称图形，正确记忆相关概念是解题关键．如果某一个图形围绕某一点旋转一定
的角度（小于 ）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，由此即可判断．【详解】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转一定的角度（小于 ）后能与原图形重
合，所以都是旋转对称图形；
选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转一定的角度（小于 ）后能与原图形重合，
所以不是旋转对称图形．
故选：A．
2．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）下列图片中，哪些是由图片（1）分别经过平移和旋转得到的（
）
A．（3）和（4） B．（2）和（3） C．（2）和（4） D．（4）和（3）
【答案】A
【知识点】旋转对称图形的识别、生活中的平移现象
【分析】本题考查的是学生对旋转和平移的掌握程度，根据平移后的图形与原图形完全相同，旋转后的图
形与原图形方向不同，形状大小相同判断即可．
【详解】解：图（3）是由图（1）平移得到的，图（4）是由图（1）旋转得到的．
故选A．
3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）下列图形中，不能由一个图形通过旋转而成的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转对称图形的识别
【分析】本题考查了旋转对称图形，根据旋转对称图形的定义逐一判断即可求解，熟练掌握基础知识是解
题的关键．
【详解】解：不能由一个图形通过旋转而成的为是：，
故选C．
4．（23-24八年级上·山东烟台·期末）下列图形是正六边形，对角线的交点为O，则关于由图形①到图形
②的变换说法：①可以经过中心对称和旋转得到，②可以经过旋转和轴对称得到，③可以经过平移得到，
④可以经过旋转得到．其中说法正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】旋转对称图形的识别、根据成轴对称图形的特征进行判断、图形的平移
【分析】本题考查了旋转、平移、轴对称，掌握旋转、平移、轴对称的定义是正确解答的关键．根据旋转、
平移、轴对称逐项进行判断即可．
【详解】解：如图，
（1）①关于点O的中心对称图形为③，而图③绕着点O逆时针旋转 可得②，故（1）是正确的；
（2）①绕着点O逆时针旋转 得到④，④关于虚线的对称图形为②，因此（2）是正确的；
（3）将①向沿 方向且平移的长度为 长则可得到②，因此（3）是正确的；
（4）①绕着点O顺时针旋转 得到②，因此（4）是正确的；
故选：D．判断是否中心对称图形
1．（24-25九年级上·甘肃定西·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形的识别
【分析】本题主要考查中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称的定义．根据中心对称的定义，把一个
图形绕着某一点旋转 ，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，
结合题目中的图形逐个判断即可解答．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：C．
2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的
图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解决问题得
关键．
【详解】解：左边数第一个图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
左边数第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
左边数第三个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
左边数第四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
综上分析可知：既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个．
故选：B．
3．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
4．（23-24九年级上·陕西安康·期末）真实情境 下面四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形的识别
【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称的定义，把一个图形绕某一点旋转
，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形计算中心对称图形，即可．【详解】解：A、 不是中心对称图形，不符合题意；
B、 是轴对称图形，不符合题意；
C、 是中心对称图形，不符合题意；
D、 是轴对称图形，符合题意．
故选：C．
求旋转中心
1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，正方形网格中， 绕某一点逆时针旋转n度后得到
．在A、B、C、D等4个格点中，是旋转中心的为 ．
【答案】B点
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点
【分析】本题主要考查图形旋转的性质，牢记旋转中心的确定方法（对应点连线的垂直平分线的交点即为
旋转中心）是解题的关键．
根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，则对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】如图，连接 ， ，分别作线段 ， 的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点 ，点
即为旋转中心．故答案为： 点．
2．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，在方格纸中，线段 绕某个点旋转一定角度得到线段 ，
其中点A的对应点是点C，则旋转中心是点 ．
【答案】H
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点
【分析】本题主要考查图形旋转的性质，牢记旋转中心的确定方法（对应点连线的垂直平分线的交点即为
旋转中心）是解题的关键．
根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线必过旋转中心，进而求解即可．
【详解】根据网格结构作 、 的垂直平分线，交点为H，所以旋转中心一定是H点．
故答案为：H．
3．（23-24九年级上·天津河西·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，，将线段 绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段 （旋转后A
与D重合，B与C重合），则这个旋转中心的坐标为 ．
【答案】
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、坐标与图形
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，根据点的坐标建立平面直角坐标系，点的坐标，掌握确定旋转中
心的方法：连接对应点的线段的垂直平分线的交点是旋转中心是解题的关键．根据确定旋转中心的方法：
连接对应点的线段的垂直平分线的交点是旋转中心，作出旋转中心，由坐标系写出旋转中心的坐标即可．
【详解】解：如图所示，旋转中心的坐标为 ．
故答案为： ．
4．（23-24八年级下·福建漳州·期末）如图， 的顶点坐标分别为 ，将
绕某一点旋转可得到 的三个顶点都在格点上，则旋转中心的坐标是 ．【答案】
【知识点】根据旋转的性质求解、找旋转中心、旋转角、对应点、线段垂直平分线的性质、坐标与图形
【分析】本题考查了旋转性质，图形与坐标，根据对应点的连线的垂直平分线会经过旋转中心，作图后运
用数形结合思想，即可作答．
【详解】解：如图所示：
连接 ，然后作 的垂直平分线，这两条垂直平分线交于一点，记为点P，为旋转中心，此
时旋转中心的坐标是
故答案为：
求旋转角
1．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，将 绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到 ，
若 ， ，则图中的旋转角的度数是 ．【答案】 /50度
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点
【分析】本题考查旋转的性质，正确得出旋转角为 是解题关键．根据旋转的性质旋转角为 ，
结合 ， ，即可解决问题．
【详解】解：∵将 绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到 ，
∴旋转角为 ，
∵ ， ，
∴ ，即旋转角的度数是 ，
故答案为：
2．（23-24九年级上·广西钦州·期末）如图， 的顶点都在方格纸的格点上，将 绕点 按顺时
针方向旋转得到 ，使各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是 ．
【答案】90°/ 度
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点
【分析】本题主要考查了旋转角的概念，解题的关键是掌握旋转角的概念．根据旋转角的概念找到
是旋转角，从图形中可求出其度数即可．
【详解】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知 是旋转角，且 ，
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图所示， 和 是等边三角形，B、C、E在一条直线上，
则 绕着 点 逆时针旋转 度可得到 ．【答案】60
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、等边三角形的性质
【分析】本题考查了旋转的定义和旋转的性质，先根据等边三角形的性质，运用 证明 ，
再由旋转的定义即可求解．
【详解】解：∵ 和 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ E绕点 逆时针方向旋转 度可得到 ．
故答案为 ．
4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，以正五边形 的顶点 为旋转中心，将正五边形
顺时针旋转，若得到的新五边形 的顶点 落在 的延长线上，则旋转的最小度数为 ．
【答案】72°/ 度
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、正多边形的内角问题
【分析】此题重点考查正多边形内角度数的求法、旋转的性质等知识，求得 是解题的关键．
由五边形 是正五边形，求得 ，若点 在 的延长线上，则 ，
于是得到问题的答案．
【详解】解： 五边形 是正五边形，
，
点 在 的延长线上，，
，
旋转的最小度数为 ，
故答案为： ．
求绕某点旋转90°的点的坐标
1．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）将直角坐标系中的点 绕原点O沿顺时针方向旋转90°，最终得
到的点的坐标为 ．
【答案】(3,−4)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕原点旋转90度的点的坐标
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题．把点绕原点旋转的问题转
化为直角三角形旋转的问题，画出图形，利用全等三角形的判定与性质可解决问题．
【详解】解：过A点作 轴，过B点作 轴，
∵点A的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ,
∴点B的坐标为(3,−4)，
故答案为：(3,−4)．
2．（23-24九年级上·四川南充·期末）在如图所示的平面直角坐标系中， 绕原点 顺时针旋转 后
得到 ，则点 的对应点 的坐标是 ．
【答案】
【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、画旋转图形
【分析】本题主要考查图形的旋转，首先根据旋转的性质将旋转后的图形画出来，再根据坐标系写出 的
坐标即可，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，由 绕原点 顺时针旋转 后得到 ，根据坐标系特点可得 ，
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，已知 ， ，将线段 绕点 按顺时针方向旋转 后，
得到线段 ，则点 的坐标是 ．
【答案】
【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）
综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了点坐标的旋转变换、三角形全等的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．如
图（见解析），证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，从而可得
的长，由此即可得．
【详解】解：如图，∵ ， ，
∴ ，
由旋转的性质可知， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标是 ，
故答案为： ．
4．（24-25九年级上·全国·期末）如图， 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,3)，点B的坐标为 ，
连接 ．若将 绕点B顺时针旋转 ，得到 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标
【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转的性质，得到 ，进而求出点 的坐标
即可．【详解】解：∵点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
∴ ，
∵将 绕点B顺时针旋转 ，得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 坐标为： ，即： ；
故答案为： ．
求点关于某点的中心对称点的坐标
1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点 的坐标是
．
【答案】
【知识点】求关于原点对称的点的坐标
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横
纵坐标的关系是解题关键．
【详解】解：点 关于原点对称点 的坐标是 ．
故答案为： ．
2．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是
．
【答案】
【知识点】求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，
据此解答即可．
【详解】解：点 关于原点对称的点的坐标是 ，故答案为： ．
3．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）若点 关于原点的对称的点Q的坐标为 ，则
．
【答案】
【知识点】已知两点关于原点对称求参数
【分析】本题考查原点对称，关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数，由此解答即可．
【详解】解： 点 关于原点的对称的点Q的坐标为 ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ．
故答案为： ．
4．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）若点 关于原点对称的点为 ，则点 关于y轴对
称的点D的坐标为 ．
【答案】
【知识点】求关于原点对称的点的坐标、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查平面直角坐标系中任意一点 ，关于原点的对称点是 ，即关于原点的对称
点，横纵坐标都变成相反数，得出a，b的值，根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，即
可得出答案．
【详解】解：关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，
∴ ， ，
即点C为 ，
根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，
∴点 关于y轴对称的点D的坐标为 ，
故答案为： ．根据旋转的性质求解
1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知四边形 是正方形，点E在 上，将 经顺时
针旋转后与 完全重合，再将线段 向右平移后与 完全重合.
(1)旋转的中心是 ；旋转角度是 ；
(2)试猜想线段 和 的数量关系和位置关系，并说明理由.
【答案】(1)点A；
(2) ；
【知识点】两直线平行同位角相等、利用平移的性质求解、找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性
质求解
【分析】本题考查了旋转和平移这两种图形变换，掌握相关性质是解题关键．
（1）根据旋转的定义即可求解；
（2）由旋转的性质可得： ， ；由平移的性质可得： ， ，
据此即可求解．【详解】（1）解：∵将 经顺时针旋转后与 重合，
∴旋转的中心为点 ， 为旋转角，
∵四边形 是正方形，
∴ ；
（2）解： 且 ，理由如下：
由旋转的性质可得： ， ，
由平移的性质可得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
2．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图， 是等腰直角三角形， ， 经过逆时针旋
转后到达 的位置，且点E在 边上．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)经过上述旋转后，点C转到了什么位置？
【答案】(1)点A
(2)
(3)点C转到了点E的位置
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点
【分析】本题考查了旋转的性质：旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即旋转前后两个图
形全等，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角．
（1）直接根据旋转的性质求解即可；
（2）由等腰三角形的性质得 ，然后由旋转的性质可得旋转角的度数；
（3）直接根据旋转的性质求解即可．
【详解】（1）由旋转的性质可知，旋转中心是点A；（2）∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
由旋转的性质可知，旋转了 ；
（3）由旋转的性质可知，点C转到了点E的位置．
3．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图所示，已知正方形 中的 可以经过旋转得到 ．
(1)图中哪一个点是旋转中心？
(2)按什么方向旋转；旋转角度是多少？
(3)如果 ．求 的长？
【答案】(1)旋转中心为C点
(2)逆时针；旋转角度为
(3)
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查找旋转中心，旋转方向和旋转角，旋转的性质：
（1）根据图形确定旋转中心即可；
（2）根据图形确定旋转方向和旋转角度即可；
（3）根据旋转的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：由图可知：旋转中心为C点；
（2）解：由图可知： 绕点C点逆时针旋转 ，可以得到 ；
∴旋转方向为：逆时针，旋转角度为 ；
（3）解：∵旋转，
∴ ．
4．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，在等边 中，点D是 边上的点，以AD为边作等边
，连结 ．(1)填空： 可以看成△________以点________为旋转中心，________时针旋转________度得到；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1) , ,逆，
(2)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、找旋转中心、旋转角、对应点
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及选择的相关知识点，证
是解题关键．
（1）由题意可证 ，即可求解；
（2）根据 ， 即可求解；
【详解】（1）解：由题意得：
∴
即：
∴
故： 可以看成 以点 为旋转中心，逆时针旋转 度得到，
故答案为： ， ，逆，
（2）解：∵
∴ ，
∴
在平面直角坐标系画旋转及中心对称图形
1．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ，
， ．(1)若点 是 的边 上的一点，将 先向下平移 格，再向右平移 格，则平移后点 的
对应点 的坐标为___________．
(2)画出 以点 为旋转中心，顺时针旋转 后得到的 ；
(3)画出与 关于点 成中心对称的图形 ．
【答案】(1) ；
(2)画图见解析；
(3)画图见解析．
【知识点】平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、画旋转图形、求关于原点对称的点的坐标
【分析】（ ）根据平移方式，横坐标加 ，纵坐标减 计算即可求解；
（ ）根据题意画出绕点 顺时针旋转 后得到 ；
（ ）根据关于原点对称的两个点横纵坐标互为相反数先写出 的三个顶点，再画出 即可；
本题考查了直角坐标系中的平移问题，旋转作图，中心对称作图，以及写出直角坐标系中点的坐标等知识，
掌握点的平移规律、旋转作图与中心对称作图是解题的关键．
【详解】（1）根据题意得：点 先向下平移 格，再向右平移 格，
∵
∴ ，即 ，
故答案为： ；（2）如图， 即为所求；
（3）∵ 与 关于点 成中心对称的图形， ， ，
∴ ， ， ，
∴ 即为所求．
2．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标都在格点上，A
点坐标为 ．(1) 与 关于原点O成中心对称，请画出 ．
(2) 是 内一点，将 平移后点P的对称点 ，请画出平移后的 ．
(3)将 绕着点O按顺时针方向旋转90°得到 ，请画出 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】平移(作图)、画旋转图形、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形、求关于原点对称的点
的坐标
【分析】本题考查作图 旋转变换、平移变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、平移
的性质是解答本题的关键．
（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）由题意可得， 是向右平移2个单位，向下平移6个单位得到的 ，根据平移的性质作图
即可．
（3）根据旋转的性质作图即可．
【详解】（1）如图， 即为所求．（2）由题意可得， 是向右平移2个单位，向下平移6个单位得到的 ．
如图， 即为所求．
（3）如图， 即为所求．
3．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图所示，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为
A(0,3)， ， ．
(1)画出 关于原点 的中心对称图形 ，并写出点 ， ， 的坐标；
(2)画出将 绕原点逆时针方向旋转 后的图形 ，并写出点 ， ， 的坐标；
(3)求 的面积．【答案】(1)见解析， ， ， ；
(2)见解析， ， ， ；
(3) ．
【知识点】画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标、画已知图形关于某点对称的图形、求关于原点对
称的点的坐标
【分析】（ ）根据中心对称的性质作图，即可得出答案；
（ ）根据旋转的性质作图，即可得出答案；
（ ）利用长方形面积减去三个直角三角形的面积即可；
本题考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解题的关键．
【详解】（1）如图所示， 即为所作，且 ， ， ；
（2）如上图所示， 即为所作，且 ， ， ；
（3） 的面积为 ．
4．（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系内， 的顶点坐标分别为 ，
， ．(1)画出 绕原点 旋转 后的图形 ；
(2) 是 边上一点，将 平移后点 的对应点 的坐标为 ，请画出平移后的
；
(3)将 平移，若（2）小题中，点 的对应点 的坐标为 ，平移后的 和
关于点 成中心对称，则 的坐标为______．（用含 ， 的式子表示）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【知识点】平移(作图)、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、判断中心对称图形的对称中心、求关于
原点对称的点的坐标
【分析】本题考查了图形的平移，中心对称的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质可得到 、 、 关于原点中心对称点 、 、 的坐标，然后依次连接即可；
（2）利用点 与 的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出点 、 、 的对应点 、
、 的坐标，然后依次连接即可；
（3）同（2）得到点 、 、 的坐标，再由中心对称的性质，知道点 点为 和 的中点，即可得到
的坐标．【详解】（1）解：根据题意可知 和 关于原点中心对称，
则可得到 ， ， 关于原点中心对称的对应点分别为 、 、 ，
描点依次连接，
如图所示， 即为所求：
（2）解：根据题意可知，点 向右平移4个单位，向上平移2个单位得到点 ，则
向右平移4个单位，向上平移2个单位得到 ，
分别将 ， ， 向右平移4个单位，向上平移2个单位得到对应点 、
、 ，描点依次连接，
如图所示， 即为所求：（3）解：根据题意可知，点 向右平移 个单位，向上平移 个单位得到点 ，则
向右平移 个单位，向上平移 个单位得到 ，
分别将 ， ， 向右平移 个单位，向上平移 个单位得到对应点 、
、 ，
平移后的 和 关于点 成中心对称，且 、 、 ，
设对称中心 ，由题意可知， 点为 和 的中点
那么 ，
，
．
故答案为： ．
坐标与旋转规律问题
1．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形 绕着原点
O顺时针旋转 得到正方形 ，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形
则点 的坐标是（ ）A．(0,1) B． C．(1,0) D．
【答案】A
【知识点】坐标与旋转规律问题
【分析】本题考查坐标系中的点的规律探究，根据题意，得到正方形每旋转8次回到原来的位置，利用
，得到 的坐标和点 的坐标重合，即可得出结果．
【详解】解：由题意，可知： ，每旋转 次，正方形回到原来的位置，
∵ ，
∴ 的坐标和点 的坐标重合，
∴点 的坐标是(0,1)；
故选A．
2．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，将 绕点 顺时针旋转到
的位置，点 、 分别落在点 、 处，点 在 轴上，再将 绕点 顺时针旋转到 的位
置，点 在 轴上．将 绕点 顺时针旋转到 的位置，点 在 轴上，依次进行下去…，若
点 ， ，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与旋转规律问题【分析】本题考查坐标与图形的变换，在变换中找到规律，结合图形得出结论是解题的关键．然后通过旋
转发现， 每偶数之间的B的横坐标相差12个单位长度，且 的纵坐标为4，根据这个规律可
以求得点 的坐标．
【详解】解：∵点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
观察图象可知， 每偶数之间的B的横坐标相差12个单位长度，点 的纵坐标为4，
∵ ，
∴点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为4，
∴点 的坐标为 ．
故选：B．
3．（23-24九年级上·四川泸州·期末）如图， 的两条直角边 分别在y轴，x轴上，C，D
分别是边 ， 的中点．连接 ，已知 ，将 绕点O顺时针旋转，每次旋转
，则第2026次旋转结束时，点C的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形、坐标与旋转规律问题
【分析】本题考查了坐标与图形的变化，先分别求出前4次旋转结束时，点C的坐标，再根据变化规律求值即可
【详解】解：∵ ，且点C为 的中点，
∴点C的坐标为 ，即 ，
根据题意有，
第1次旋转结束时点C的坐标为 ；
第2次旋转结束时点C的坐标为 ：
第3次旋转结束时的坐标为 ；
第4次旋转结束时点G的坐标为 ；
第5次旋转结束时点C的坐标为 ；
⋯⋯⋯
所以，每旋转4次，回到原来的位置，
所以，第2026次旋转结束时点的坐标为 ，
故答案为：
4．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系 中，有一个等腰 ，
，直角边 在 轴上，且 ．将 绕原点 顺时针旋转 得到等腰 ，
且 ；再将 绕原点 顺时针旋转 得到等腰 ，且 ；……依此规律，得到等腰 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质和判定、坐标与旋转规律问题
【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律及等腰直角三角形的性质，得出 点坐标变化规律是解题关键．
根据题意得出 点坐标变化规律，进而得出点 的坐标位置，进而得出答案．
【详解】解：∵ 是等腰直角三角形， ，
，
，
将 绕原点 顺时针旋转 得到等腰直角三角形 ，且 ，
再将 绕原点 顺时针旋转 得到等腰三角形 ，且 ，依此规律，
∴每4次循环一周， ．
，
∴点 与 同在一个象限内，
故答案为： ．
几何图形的旋转变换综合问题
1．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图1，在 中， ， ，D，E分别为的中点，将 绕点C逆时针方向旋转得到 （如图2），使直线 恰好过点B，连接
．
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)求 的长；
(3)若将 绕点C逆时针方向旋转一周，当直线 过 的一个顶点时，请直接写出 长的其
它所有值．
【答案】(1) ，见详解
(2)
(3) 或
【知识点】利用邻补角互补求角度、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、线段问题(旋
转综合题)
【分析】（1）根据旋转的不变性证明 ，再由对应角相等及邻补角即可得证；
（2）设 ，在 中，由勾股定理得： ，解方程即可；
（3）分类讨论，分第一次经过点B，经过点A，再次经过点B讨论，根据变化中的不变性，不变的是基本
图形关系即 ，以及位置关系，始终有垂直，继而设 ，运用勾股定理列方程
求解即可．
【详解】（1）解： 与 的位置关系为 ．
∵ ，D，E分别为 的中点，
∴ ，即 ，
∵ ，即 ，
∴ ,∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即： ．
（2）解： 中， ，
∴ ，同理可求 ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： （舍负），
∴ ．
（3）解：①经过点B时，题（2）已求 ；
②经过点A时，如图所示，
同理可证： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： （舍负），
即： ；③再次经过点B时，如下图：
同理可证： ， ，
设 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： （舍负），
即： ；
综上所述： 或 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等的应用，正确熟练掌握知识点是
解题的关键．
2．（23-24九年级上·天津西青·期末）在 和 中， ， ，
，将 绕点 旋转任意角度，连接 ， ．
(1)完成填空：如图①，当点 恰好在线段 上时，线段 与 的数量关系是______，位置关系是
_______．(2)如图②，直线 与直线 交于点 ．
①（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．
②若 ， ，请直接写出在 旋转过程中，线段 长度的取值范围______
【答案】(1) ；
(2)①（1）中的两个结论仍然成立，理由见解析；②
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等边对等角证明、用勾股定理解三角形、线段问题(旋转
综合题)
【分析】（1）线段 与 的数量关系是 ，位置关系是 ．证明 ，
根据全等三角形的性质及三角形内角和定理即可得出结论；
（2）①（1）中的两个结论仍然成立．证明 ，根据全等三角形的性质及三角形内角和
定理即可得出结论；
②分两种情况：当点 恰好在线段 上时；当点 恰好在线段 上时，分别求出线段 长度即可．
【详解】（1）解：线段 与 的数量关系是 ，位置关系是 ,
理由：设 交 于点 ，
∵ ， ， ，∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ； ；
（2）①（1）中的两个结论仍然成立．
理由：∵ ， ， ，
∴ ，
，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
②如图，当点 恰好在线段 上时，过点 作 于点 ，由①知： ，即 ，此时点 与点 重合，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ， ， ， ，
∴ ，即 ，
解得： 或 （负值不符合题意，舍去），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图，当点 恰好在线段 上时，由①知： ，
∵ ， ， ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴线段 长度的取值范围是 ．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等
边对等角，勾股定理等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握全等三角形的判定和性质、通过作辅助线构
造直角三角形是解题的关键．
3．（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，已知点 是等边 内一点，且 ， ， ．
(1)求 的度数；
以下是甲，乙，丙三位同学的谈话：
甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将 绕点 顺时针旋转60°或绕点 逆时针旋转
60°；
乙：我也赞成旋转，不过我是将 进行旋转；
丙：我是将 进行旋转．
请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求 的度数；
(2)若改成 ， ， ， 的度数＝______°，点 到 的距离为______；
类比迁移：
(3)已知， ， ， ， ， ，求 的度数．【答案】(1)
(2) ，4.
(3)
【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、线段问题(旋转综合题)
【分析】（1）甲：将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，分别计算 与 的
度数即可得到 的度数．乙：将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，分别计算
与 的度数即可得到 的度数．
（2）利用（1）中的方法，同理可得 ，再由30度直角三角形性质可求点 到 的距离；
（3）利用（1）中的方法，将 绕着点 顺时针旋转 ，得到 ，同理可得
， ，由此即可求出 ．
【详解】（1）解：（1）选择甲：如图1，作 ，且 ，连接 ， ，则 是等
边三角形，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
，
；
乙：如图2，同理可得， ， ，
；
丙：如图3同理可得， ， ，
；（2）同理（1）可得： ，
∴ ，
如图4，过点 作 的垂线 ，垂足为 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ，4.
（3）如图5，将 绕着点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，
∴ ，
， ，
∴ ，，
∴ ，
∴
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形
的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全
等三角形，依据图形的性质进行计算求解．
4．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）[问题情境]如图1， 为正方形 内一点， ， ，
，将 绕点 按逆时针方向旋转 度（ ），点 ， 的对应点分别为点 ，
．
[问题解决]
(1)如图2，在旋转的过程中，当点 落在 上时，求此时 的长；
(2)若 ，如图3，得到 （此时 与 重合），延长 交 于点 ，试判断四边形
的形状，并说明理由；
(3)在 绕点 逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段 长度的最大值．
【答案】(1)
(2)四边形 是正方形，理由见解析
(3)
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、证明四边形是正方形、线段问题(旋转综合
题)
【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判断与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，
勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键．
（1）由勾股定理求出 ，再求出 ，由旋转的性质得： ，则可得出答案；（2）先证四边形 是矩形，再证明是正方形；
（3）点 的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，当点 、 、 依次共线时， 最大，计算即可．
【详解】（1）解：（1） ， ， ，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
由旋转的性质得： ，
；
（2）解：四边形 是正方形，理由如下：
由旋转的性质得： ， ，
， ，
四边形 是矩形，
又 ，
矩形 是正方形；
（3）解： 是固定值，点 是定点，点 是动点，
点 的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，如图：
当点 、 、 依次共线时， 最大，
此时， ，
即 长度的最大值为 ．
