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复习专题五 关联速度问题
——精剖细解细复习讲义
知识点1：关联速度
（1）模型特点
关联体一般是两个或两个以上由轻绳或轻杆联系在一起，或直接挤压在一起的物体
它们的运动简称为关联运动。一般情况下，在运动过程中，相互关联的两个物体不是都沿
绳或杆运动的，即二者的速度通常不同，但却有某种联系，我们称二者的速度为“关联”
速度。
（2）分析思路
①合速度：物体实际运动的方向就是合运动的方向，即合速度的方向；
②分速度
情形一：用轻绳或可自由转动的轻杆连接的物体
沿绳或杆的分速度；垂直于绳或杆的分速度。
情形二：相互接触的物体
沿接触面的分速度；垂直于接触面的分速度。
（3）模型图如下
扩展情景如下：
情景 情景一 情景二
情景图示
分解图示
关联速度
，即 ，即
解题思路：关联速度问 沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
题的特点
解题的思路 合速度：物体实际运动的速度；分速度：①沿绳子或杆的分速
度；②与绳子或杆垂直的分速度。
解题的原则 速度的合成和分解遵循平行四边形法则。
解题的方法 把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，
根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等进行求解。
一、单选题
杆连接物体运动的分析
1．2021年3月11日宁夏银川，一家餐厅后厨起火后，三名顾客被困。如图是火警设计的
一种快捷让当事人逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，
N端在水平地面上向右以 匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆向平台B端靠近，
平台高h，当 时，则此时被救人员向B点运动的速率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设杆与水平面CD的夹角为 ，由几何关系可知
即
将杆上N点的速度分解成沿杆的分速度 和垂直杆转动的速度 ，由矢量三角形可知
而沿着同一根杆，各点的速度相同，故被救人员向B点运动的速率为 。故选C。
2．如图所示，悬点O下方固定一光滑小圆环，水平光滑细长杆左端套有一小物块Q。现用
一轻质细绳跨过小圆环，细绳一端连接物块Q，另一端悬挂一物块P。现将P、Q由静止释
放，当细绳左边部分与水平方向的夹角为 时，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，P、Q的速度大小之比为 B．当 时，P、Q的速度大小之比
为
C．当 时，Q的速度大小为零 D．当 时，P的加速度大小为零
【答案】B
【详解】A．由题意可知，P、Q用同一根绳连接，则Q沿绳子方向的速度与P的速度相等，
则满足
当 时，有
可知，P、Q的速度大小之比为
A错误；
B．当 时，有
可知，P、Q的速度大小之比为
B正确；
CD．当P的机械能最小时，即为Q到达O点的正下方时，此时Q的速度最大，即当
时，Q的速度最大，P的速度最小为零，但P的加速度不为零，CD错误。
故选B。
斜牵引运动中的受力分析3．货车通过光滑轻质定滑轮提升一箱货物，货箱质量M，货物质量m，货车以速度v向左
匀速运动，下列说法中正确的是（ ）
A．货物向上匀速运动
B．箱中物体对箱底压力大于
C．此过程中货车拉力小于
D．图示位置时货箱和货物整体的速度为
【答案】B
【详解】ABD．货车沿绳子方向的分速度等于货箱、货物的速度 ，则有
由于 不变， 变小， 变大，则货物向上加速运动，货物的加速度方向向上，可知箱
底对箱中物体的支持力大于 ，则箱中物体对箱底压力大于 ，故AD错误，B正确；
C．以货箱、货物为整体，设绳子拉力为 ，由于加速度方向向上，根据牛顿第二定律可
得
可得
可知此过程中货车拉力大于 ，故C错误。
故选B。
4．如图所示，小车拉着物体A以速度v向右匀速运动，小车与水平夹角为 时，在不计滑
轮摩擦和绳子质量的条件下，下列关于物体A说法正确的是（ ）
A．A的速度大小为 ，绳子拉力大于物体重力
B．A的速度大小为 ，绳子拉力小于物体重力C．A的速度大小为 ，绳子拉力大于物体重力
D．A的速度大小为 ，绳子拉力小于物体重力
【答案】A
【详解】根据关联速度，两物体间的速度关系为
小车与水平夹角为θ逐渐减小， 逐渐增大，则A的速度逐渐增大，A做加速运动，根
据牛顿第二定律可知，绳子拉力大于物体重力。
故选A。
斜牵引运动中的运动分解
5．质量为 的物体 置于倾角为 的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接
着 与小车， 与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率 水平向右做匀速直线运动，当
小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角 时 如图所示 ，下列判断正确的是（ ）
A．绳的拉力等于
B．绳的拉力小于
C． 的速率为
D． 的速率为
【答案】D
【详解】将小车的速度v分解为沿绳子方向的速度和垂直绳子方向的速度，如图所示
小车沿绳方向的速度等于P的速度，即
v =vcosθ
P 2
小车向右做匀速直线运动，v不变，θ 减小，cosθ 增大，则v 增大，则P做加速运动，对
2 2 P
物体P，根据牛顿第二定律可知
T-mgsinθ=ma
1可知绳的拉力大于mgsinθ
1
故选D。
6．如图所示，A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A物体以速度v向
左运动时，系A、B的绳分别与水平方向成α、β角，此时B物体的速度大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】根据运动合成与分解得
所以
故选D。
二、多选题
杆连接物体运动的分析
7．如图为车库出入口的曲杆道闸，道闸由转动杆OA与横杆AB链接而成，在道闸抬起过
程中，杆AB始终保持水平。杆OA绕O点从水平匀速转动到竖直的过程中，下列说法正确
的是（ ）
A．A点的线速度不变 B．A点的角速度不变
C．A、B线速度相等 D．B点在竖直方向做匀速运动
【答案】BC
【详解】AB．依题意，杆OA绕O点从水平匀速转动到竖直的过程中，A点做匀速圆周运动，所以A点的角速度不变，根据
可知A点的线速度大小不变，方向改变，A错误，B正确；
C．依题意，杆AB始终保持水平，A、B两点保持相对静止，线速度相等，C正确；
D．杆OA绕O点从水平匀速转动到竖直的过程中，B点做匀速圆周运动，其线速度与水平
方向夹角 一直减小，如图所示将B的速度分解为水平和竖直方向
则竖直方向的分速度
一直在减小，D错误。
故选BC。
8．如图所示为内燃机中轻质活塞和曲柄连杆结构的示意图和简图。汽缸内高压气体推动活
塞使其往复运动，某时刻活塞的速度为 ，连杆AO与活塞轴线BO垂直，汽缸中高压气体
及外部大气对活塞作用力的合力大小为F，已知 ，不计一切摩擦，则此刻（
）
A．活塞对连杆AB的作用力为2F
B．汽缸壁对活塞的作用力为
C．连杆AB的A端沿连杆AB方向的线速度为
D．连杆OA的A端绕O点转动的线速度为
【答案】BD
【详解】AB．连杆AO与活塞轴线BO垂直时，由几何关系可知BA与BO之间的夹角由于是轻质活塞，所以活塞所受合外力为零，活塞受连杆AB对其的推力 、汽缸壁对其
的弹力 和高压气体及外部大气对活塞的作用力作用，如图所示
根据平衡条件可得
解得
故A错误，B正确；
CD． 沿连杆AB方向和垂直于连杆AB方向分解，如图所示
沿连杆AB方向的速度
连杆OA的A端绕O转动的线速度
故C错误，D正确。
故选BD.
斜牵引运动中的受力分析
9．用外力F通过如图所示的装置把一个质量为m的小球沿倾角为30°的光滑斜面匀速向上
拉动。已知在小球匀速运动的过程中，拴在小球上的绳子与水平杆之间的夹角从 45°变为90°，斜面体与水平地面之间是粗糙的，并且斜面体一直静止在水平地面上。不计滑轮与绳
子之间的摩擦。则在小球匀速运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．地面对斜面体的静摩擦力始终为零
B．外力F一直在增大
C．某时刻绳子对水平杆上的滑轮的合力等于绳子的拉力
D．绳子移动的速度大小大于小球沿斜面运动的速度大小
【答案】BC
【详解】B．设连接小球的绳子与水平方向的夹角为θ，对小球，沿斜面方向，由平衡条件
有
解得绳子拉力为
则当θ角从 变为 的过程中，绳子的拉力T变大，因为外力
则外力F一直在增大，B正确；
A．将小球和斜面体视为整体，则地面对斜面体的静摩擦力等于绳子拉力的水平分量，即
又因为
所以，地面对斜面体的静摩擦力
故只有当 时，地面对斜面体的静摩擦力才等于零，A错误；
C．当 时，滑轮两边绳子的夹角为 ，由受力分析可知，此时绳子对水平杆上的
滑轮的合力等于绳子的拉力，C正确；
D．将小球沿斜面运动的速度v分解可知，绳子的速度
则绳子移动的速度大小小于小球沿斜面运动的速度大小，D错误。故选BC。
10．如图，轻质不可伸长的细绳跨过光滑定滑轮C与质量为 的物体A连接，A放在倾角
为 的固定光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接，BC连线恰好沿水
平方向。若物体B从当前位置以速度 匀速下滑，重力加速度大小为 ，设绳的张力大小
为 ，在此后的运动过程中（ ）
A．物体A做匀速运动
B．物体A处于失重状态
C．物体A做加速运动
D．绳的张力大小 大于
【答案】CD
【详解】由题意可知，将B的实际运动，分解成两个分运动，如图所示
根据平行四边形定则，有
因物体B以速度 匀速下滑， 增大，所以物体A的速度增大，则物体A做加速运动，物
体A有向上的加速度，处于超重状态，可得绳子对A的拉力一定大于A的重力沿斜面向下
的分力，即
CD正确，AB错误。
故选CD。
斜牵引运动中的运动分解
11．如图所示，物体A和B分别与跨过定滑轮的轻绳两端连接（不计绳与滑轮之间的摩擦），当用水平变力F拉着物体B沿光滑水平面向右做匀速直线运动时，下列判断正确的
是（ ）
A．物体B的速度小于物体A的速度
B．物体B的速度大于物体A的速度
C．轻绳的拉力小于物体A所受的重力
D．轻绳的拉力大于物体A所受的重力
【答案】BD
【详解】AB．设物体B的运动速度为 ，将B的速度沿绳和垂直绳的方向进行分解，沿绳
方向的速度大小等于物体A的速度大小，则有
可知物体B的速度大于物体A的速度，故A错误，B正确；
CD．根据
在物体B运动过程中， 不断变小，则 不断增大，物体A向上做加速运动；以A为对象，
根据牛顿第二定律可得
可知轻绳的拉力大于物体A所受的重力，故C错误，D正确。
故选BD。
12．如图所示，水平地面上做匀加速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体。
若某一时刻汽车的速度大小为 ，汽车与定滑轮之间的绳子与水平方向的夹角为θ，则
（ ）
A．物体做加速运动
B．物体做减速运动
C．物体此时的速度大小
D．物体此时的速度大小【答案】AC
【详解】绳子末端的速度可分解为沿绳方向和垂直于绳方向的两个速度，而物体的速度大
小与沿着绳子方向的分速度大小相等，由几何关系有
2
因汽车做匀加速直线运动， 均匀增大，汽车向左运动的过程中，θ逐渐减小，cosθ增大，
逐渐增大，即物体做加速运动，选项AC正确BD错误。
故选AC。
一、单选题
1．如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端有固定转动轴O，杆
可在竖直面内绕转动轴O无摩擦转动；质量为m的物块放置在光滑水平面上，开始时，使
小球靠在物块的光滑侧面上，轻杆与水平面夹角45°，用手控制物块静止，然后释放物块，
在之后球与物块运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．球与物块分离前，杆上的弹力逐渐增大
B．球与物块分离前，球与物块的速度相等
C．球与物块分离前，物块的速度先增大后减小
D．球与物块分离时，球的加速度等于重力加速度
【答案】D
【详解】AD．对小球和物块整体受力分析，受重力，杆的弹力F，地面的支持力F ，如图
N
1所示，
在水平方向由牛顿第二定律得
分离后物块的加速度为零，可知在球与物块分离前，物块的加速度逐渐减小，而小球水平方向的分加速度与物块的加速度相等，所以物块的水平方向分加速度逐渐减小，而 逐
渐增大，所以弹力逐渐减小，当恰好分离时，水平加速度为零，弹力为零，球只受重力，
加速度等于重力加速度g，故A错误，D正确；
B．设球的速度为v，球与物块分离前，物块与球的水平速度相等，球的速度与杆垂直向下，
如图2所示，
将球的速度分解为水平方向和竖直方向两个分速度，由图可知，球的速度大于物块的速度，
故B错误；
C．由于地面光滑，杆对物块的弹力始终向左，物块的加速度始终向左，所以物块一直加
速，故C错误。
故选D。
2．如图所示，建筑工人用轻质动滑轮和定滑轮将质量为m的货物拉到高处，人竖直向下
匀速拉绳，速度为v；某时刻动滑轮两侧绳的夹角为 ，物体向上运动的速率为u，不计一
切摩擦和阻力，则此时（ ）
A．货物上升的速度为
B．货物上升的速度为
C．人的拉力
D．人的拉力
【答案】D
【详解】AB．人竖直向下匀速拉绳，速度是v，因为右端固定，相当于动滑轮两侧绳的速度是 ，则有货物向上的运动速度u沿绳方向的分速度
解得
AB错误；
CD．物体向上运动过程中，两侧绳的夹角为 变大，由上述计算可知，物体向上运动的速
度变大，加速度方向向上，根据牛顿第二定律得
解得人的拉力
故C错误，D正确。
故选D
3．如图所示，物块B套在倾斜杆上，并用轻绳绕过定滑轮与物块A相连（定滑轮体积大
小可忽略），今使物块B沿杆由J点匀速下滑到N点，运动中连接A、B的轻绳始终保持
绷紧状态，在下滑过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物块A的速率先变大后变小 B．物块A的速率先变小后变大
C．物块A始终处于失重状态 D．物块A先处于失重状态，后处于超重状
态
【答案】B
【详解】AB．将物体B的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，如图，根据平行四边形定则，沿绳子方向的速度为
可知θ在增大到90°的过程中，物体A的速度方向向下，且逐渐减小；由图可知，当物体B
到达P点时，物体B与滑轮之间的距离最短，绳子长度最小，此时
此后物体A向上运动，且速度增大；所以在物体B沿杆由点M匀速下滑到N点的过程中，
物体A的速度先向下减小，然后向上增大，故A错误，B正确；
CD．物体A向下做减速运动和向上做加速运动的过程中，加速度的方向都向上，所以物体
A始终处于超重状态．故CD错误。
故选B。
二、多选题
4．如图所示，AB杆以恒定角速度ω绕A点转动，并带动套在光滑水平杆OC上的质量为
M的小环运动，运动开始时，AB杆在竖直位置，则（ ）
A．小环M的速度将逐渐增大 B．小环M的速度将先减小后增大
C．小环M的加速度速度将逐渐增大 D．小环M的加速度速度将逐渐减小
【答案】AC
【详解】AB．设小环速度为v，由运动的分解知识
得可知，小环做加速运动，A正确，B错误；
CD．因cosωt随t减小，并且变化越来越快；故说明速度增大的越来越快；故加速度逐渐
增大，C正确，D错误。
故选AC。
5．如图所示，船停在平静的河水中，人在岸上拉船，人匀速向左的速度为v，则（ ）
A．船在河中做匀速直线运动，速度也为v
B．船在河中做匀减速直线运动
C．船在河中做加速度增加的加速直线运动
D．斜绳与水平成 时，
【答案】CD
【详解】AB．由题意知，船的速度方向水平向左。现在将船的速度分解到两个方向，沿着
绳子向上的 和垂直于绳子向下的 ，其中
则根据几何关系可知
随着人向左拉绳子，船也在水平向左运动， 角逐渐变大，则可知 逐渐增大，所以船在
河中做加速运动，所以AB错误；
C．由AB选项分析可知，船在河中做加速运动。设河岸高为h，传到岸边的绳长为l，岸
到船的距离为x，则由数学知识推导为
，
由加速度的定义式可得
又由几何关系可得，
得
所以当船在河中向左运动时，x逐渐减小，a逐渐增大，则船在河中做加速度增加的加速直
线运动，所以C正确；
D．由AB选项分析可知
则当
时
所以D正确。
故选CD。
6．将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在
竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定滑轮等高的A处
由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时（图中B处），下列说法正确的是（重力加
速度为g） （ ）
A．小环刚释放时轻绳中的张力大于3mg
B．小环在B处的速度与此时重物上升的速度大小之比等于
C．小环在B处的速度与此时重物上升的速度大小之比等于
D．小环到达B处时，重物上升的高度为（ －1）d
【答案】BD
【详解】A．环刚开始释放时，环有向下的加速度，而该加速度没有沿绳子方向的分量，
所以重物在瞬间加速度为零，则绳子的张力等于重物的重力，即T=2mg
所以A错误；
BC．根据题意，绳子两端沿绳方向的分速度大小相等，将小环速度沿绳子方向与垂直于绳
子方向正交分解，应有
v cos45°=v
环 物
得
所以B正确，C错误；
D．小环到达B处时，重物上升的高度应为右边绳子缩短的长度，即
h= d－d
所以D正确；
故选BD。
三、解答题
7．如图所示，一轻杆两端分别固定质量为m 和m 的两个小球A和B（可视为质点），将
A B
其放在一个直角形光滑槽中。已知当轻杆与槽左壁成α角时，A球沿槽下滑的速度为v ，
A
求此时B球的速度v 的大小。
B
【答案】
【详解】如图所示
A球沿槽下滑的速度为v 时，v 可分解为沿杆方向的分速度v 和垂直杆方向的分速度v
A A A1 A2.
而B球沿槽上滑的速度v 可分解为沿杆方向的分速度v 和垂直杆方向的分速度v 由图可
B B1 B2.知
即
故
8．如图所示，质量都为1kg的两个物体A、B，用轻绳跨过定滑轮相连接，在水平力作用
下，物体B沿水平地面向右运动，物体A恰以速度2m/s匀速上升，已知物体B与水平面
间的动摩擦因数为0.1，重力加速度为g=10m/s2。当物体B运动到使斜绳与水平方向成
=37°时。（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）轻绳对B物体的拉力T的大小；
（2）物体B的摩擦力f的大小；
（3）B物体的速度v 的大小。
B
【答案】（1）10N；（2）0.4N；（3）2.5m/s
【详解】（1）物体A匀速运动，则有轻绳对B物体的拉力
（2）当斜绳与水平方向成 角时，设B物体受支持力F ，摩擦力为f，有
N
解得
（3）将B的运动分解为沿绳子方向的运动和垂直于绳子方向的运动，如图
根据平行四边形定则有
沿绳子方向上的分速度等于A的速度则有
解得B物体的速度大小9．如图，固定光滑长斜面倾角为 ，下端有一固定挡板。两物块A、B放在斜面上，用
与斜面平行的轻弹簧连接，A、B质量分别为 和 ，一跨过轻小定滑轮的轻绳左端与B
相连，右端与水平地面上的电动玩具小车相连。系统静止时，滑轮左侧轻绳与斜面平行，
右侧轻绳竖直，长度为 且绳中无弹力。当小车缓慢向右运动 的距离时 恰好不离开
挡板。已知重力加速度大小为 ， ， 。
(1)求弹簧的劲度系数；
(2)若小车缓慢向右运动 距离时，轻绳突然断开，求此时B的加速度；
(3)若小车从图示位置以 的速度向右匀速运动，求小车位移大小为 时B的速率。
【答案】(1) ；(2) ，方向沿斜面向下；(3)
【详解】(1)系统静止时，对B分析可得
解得
小车向右移动到 时，对A分析可得
解得
分析题意可得
解得
(2)当小车缓慢向右运动 距离时，若轻绳突然断开，绳子拉力减为0，此时对物体 受
力分析，得出合力为根据牛顿第二定律得B的加速度为
方向沿斜面向下
(3)若小车以 的速度向右匀速运动，设小车向右移动 时，轻绳与水平面成 角，
则由几何知识可得
由运动和合成与分解可得
