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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第三章综合检测卷（培优B卷）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．椭圆 与椭圆 的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
【答案】D
【分析】分别求出两个椭圆的长短半轴长、半焦距、离心率，即可判断作答.
【详解】椭圆 的焦点在x轴上，
长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为 .
椭圆 的焦点在x轴上，
长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为8，离心率为 ，
所以两椭圆焦距相等.
故选：D.
2．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l，A是l上一点，B是直线AF与C的一个交点，若
，则|BF|＝（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【分析】根据平面向量共线的性质，结合抛物线定义进行求解即可.
【详解】抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1），准线为l：y＝－1，
设A（a，－1），B（m，n），则 ， ，∵ ，
∴－2＝－4（n－1），
∴ ，
∴由抛物线的定义可得
故选：B．
3．点 为椭圆 上任意一点， 分别为左、右焦点，则 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．不存在
【答案】B
【分析】设 ，利用向量的坐标运算得 ，结合点在椭圆上得坐标关系，即可得最值.
【详解】
设 ，
所以 ，
所以当 时，取到最大值，最大值为3．
故选：B．
4．已知双曲线 （ ， ）的左右焦点分别为 ， ，以线段 为直径的圆
与双曲线在第二象限的交点为P，若直线 与圆E： 相切，则双曲线的渐近线方程是
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先设直线 与圆 相切于点 ，根据题意，得到 ，再由 ，
根据勾股定理求出 ，从而可得渐近线方程.
【详解】设直线 与圆 相切于点
因为 是以圆 的直径 为斜边的圆内接三角形，所以
又因为圆 与直线 的切点为 ，所以
又 ，所以 ，则
因此 ，因此有
所以 ，因此渐近线的方程为 .
故选：A
【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于中档题.5．过抛物线 的焦点 且倾斜角为锐角的直线 与 交于 两点，过线段 的中点 且垂直
于 的直线与 的准线交于点 ，若 ，则 的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据题意结合抛物线的定义分析可得 ， ，进而可得 的倾斜角和斜率.
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
如图，过 作准线的垂线交准线于 ，
因为 ，所以 ，
可知 与 轴的正方向的夹角为 ，则 的斜率为 ，
故选：A.
6．已知 是椭圆 的两个焦点，P为C上一点，且 ． ，
则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】利用椭圆定义结合余弦定理得到 ，再结合 ，求出椭圆方程.
【详解】在椭圆 中，由椭圆的定义可得 ，因为 ，所以
，在 中， ，由余弦定理得
，即 ，所以 ，又 ．所以 ，所以椭
圆C的方程为 ．
故选：C．
7．已知抛物线 的焦点 ，过焦点 的直线 交抛物线于 两点，若 是线段
的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．准线方程为
C． D．点 到准线的距离为6
【答案】D
【分析】由焦点坐标可求出 的值和准线方程，从而可判断AB，利用点差法可求出直线 的斜率，从而可
求出直线 的方程，可求出 和 到准线的距离，可判断CD
【详解】因为抛物线 的焦点 ，
所以 ，得 ，准线方程为 ，抛物线方程为 ，所以AB正确，
设 ，则 ， ，两式相减得 ，
所以 ，所以 ，
所以直线 的斜率为2，所以直线 的方程为 ， 代入抛物线方程整理得
，所以 ，所以 ，所以C正确，由 ，得 ，所以 ，所以点 到准线的距离为5，所以D错误，
故选：D
8．已知点P为双曲线 的右支上一点，F ，F 为双曲线的左、右焦点，若
1 2
（为坐标原点），且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用向量运算可得 ，即 ，由 为 的中位线，得到 ，所以
，再根据双曲线定义即可求得离心率.
【详解】取 的中点 ，则由 ，得 ，
即 ；
在 中， 为 的中位线，
所以 ，
所以 ；
由双曲线定义知 ，且 ，故 ，
所以 ，
解得： ，
故选： .
【点睛】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．设 为抛物线 ： （ ）的焦点， 为坐标原点， 为 上一点，且 ，则
（ ）
A．
B．
C．直线 的斜率为
D． 的面积为
【答案】ABD
【分析】根据抛物线的标准方程确定 的值，得抛物线方程与焦点坐标，再由抛物线定义求得 的坐标，
确定直线 的斜率与 的面积，逐项判断即可得答案.
【详解】由题意得 ，又 ，故解得 ，所以抛物线 的方程为 ，焦点 ，故
A，B正确；
由抛物线定义及 ，所以 代入抛物线方程可得 得 ，
所以 ，故C不正确；
则 的面积 ，故D正确.
故选：ABD.10．已知曲线 ： ，则（ ）
A．当 时， 是双曲线，其渐近线方程为
B．当 时， 是椭圆，其离心率为
C．当 时， 是圆，其圆心为 ，半径为
D．当 ， 时， 是两条直线
【答案】AC
【分析】根据圆锥曲线的方程及其性质，对选项逐个验证即可．
【详解】对于选项A， 或 ，
当 时，原方程可化为 ，所以 是焦点在 轴上的双曲线，
其渐近线方程为 ，
当 时，原方程可化为 ，所以 是焦点在 轴上的双曲线，
其渐近线方程为 ，故A正确；
对于选项B，当 时， ，原方程可化为 ，所以 是焦点在 轴上的椭圆，所以 ，
所以 ，故B错误；
对于选项C，当 时，原方程可化为 ，所以 是圆，
其圆心为 ，半径为 ，故C正确；
对于选项D，若 ， 时，原方程可化为 ，
当 时， ，此时 是两条直线，
当 时，上面方程无解，此时 不表示任何图形，故D错误．
故选：AC．
11．已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 , 焦距为 ，离心率为 ，P为椭圆
左半边上一点，连接 交y轴于点N， ，其中O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长为3
B．
C．若点Q在椭圆C上，则 的最大值为
D．点P到x轴的距离为
【答案】BCD
【分析】根据椭圆的焦距和离心率判断选项 ；由 得到 ，利用相似比可判断 ；利用椭圆的性质可判断 ；设P在x轴上的投影为G，得到 ，结合勾股定理，进而求解即
可.
【详解】焦距为 ，离心率为 ，得 ， ，因为 ，勾股定理得 ， ，
对于A选项， ，所以椭圆的长轴长为 ，故A选项错误；
对于B选项，由题意得 ， ，
因为 ，所以 ，则 ，
故 ， ，B选项正确；
对于C选项，因为Q在椭圆C上，则 ，故C选项正确；
对于D选项，设P在x轴上的投影为G，则 ，
则 ，所以 ，又 ，
解得 ，则P到x轴的距离为 ，故D选项正确；
故选：BCD．
12．已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线 相交于 ， 两点，下列结论正确的是
（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 的最小值为4C．以线段 为直径的圆与直线 相切
D．若 ，则直线 的斜率为1
【答案】AC
【分析】求出抛物线 的焦点坐标、准线方程，设出点A，B的坐标及直线AB方程，再结合各选项的条件
分别计算判断作答.
【详解】抛物线 ： 的焦点为 ，准线 ，设点 ，
对于A，显然 在抛物线 上，则 ，A正确；
对于B， ，当且仅当 时取等号，
当 时， ，有 ，因此当 时 取得最小值5，B不
正确；
对于C， ，线段AB的中点M纵坐标为 ，
则 ，显然点M是以线段 为直径的圆的圆心，
点M到直线 的距离为 ，所以圆M与直线 相切，C正确；
对于D，显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为： ，
由 消去y得： ，有 ，
由 得： ，于是得 ，解得 ，D不正确.
故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线 ： 的离心率为 ，则双曲线 的两条渐近线夹角（锐角）的正切
值为 .
【答案】
【分析】由双曲线的离心率求出渐近线的斜率，根据直线的夹角公式即可求得答案.
【详解】因为双曲线 的离心率为 ，所以 ，即 ，则 ，
故双曲线两条渐渐近线的斜率为 ，
设双曲线 的两条渐近线的夹角为 ，则 ，
故答案为：
14．若线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动， ，点M是线段AB上一点，且 ，则动
点M的轨迹方程是 .
【答案】
【分析】利用 ，根据题意可得 ，进而结合两点间距离公式运算求解.
【详解】设 ，
则 ，
如图，因为 ， ，可得 ，
则 ，解得 ，又因为 ，整理得 ，
则所求动点M的轨迹方程为
故答案为： .
15．过椭圆 的左焦点且斜率为 的弦 的长是 ．
【答案】 /
【分析】设点 、 ，写出直线 的方程，将该直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式
结合韦达定理可求得 的值.
【详解】设点 、 ，
在椭圆 中， ， ， ，
所以，椭圆的左焦点坐标为 ，则直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，
，
由韦达定理可得 ， ，所以， .
故答案为： .
16．已知 为抛物线 上的动点， 为抛物线的焦点，点 ，则 周长的最小值为
.
【答案】7
【分析】设抛物线的准线为 ，过 作 于 ，过 作 于 ，由抛物线的性质可将 的
周长转化为 ，由图可知当 三点共线时，取得最小值，从而可求得答案.
【详解】当 时， ，所以点 在抛物线内，
由 ，得焦点为 ，准线 为 ，
过 作 于 ，过 作 于 ，则 ，
所以 的周长为 ，
由图可知当 三点共线时， 取得最小值，
此时 的最小值为 ，
因为 ，
所以 的最小值为7，即 的周长的最小值为7，
故答案为：7四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知 ，当 为何值时：
(1)方程表示双曲线；
(2)表示焦点在 轴上的双曲线；
(3)表示焦点在 轴上的双曲线．
【答案】(1) 或
(2)
(3)
【分析】根据双曲线标准方程中的分母的正负解决即可．
【详解】（1）因为 ，即 ，方程表示双曲线，
所以 ，解得 或 ；
所以 或 ；
（2）因为 ，即 ，焦点在 轴上的双曲线，
则 ，解得 ，
所以 ；（3）因为 1，即 ，焦点在y轴上的双曲线，
则 ，解得 ，
所以 .
18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C ： 的左焦点为F (－2，0)，且点P(0，2)在
1 1
椭圆C 上．
1
（1）求椭圆C 的方程；
1
（2）设直线l同时与椭圆C 和抛物线C ：y2＝8x相切，求直线l的方程
1 2
【答案】（1） ；（2） 或 ．
【解析】（1）因为椭圆 的左焦点为 ，所以 ，点 代入椭圆 ，得 ，由
此能求出椭圆 的方程；
（2）设直线 的方程为 ，由 ，得 ．因为直线 与椭圆 相
切，所以△ ．再由直线和抛物线相切，联立方程，运用判别式为0，由此能求
出直线 的方程．
【详解】解：（1）因为椭圆 的左焦点为 ，所以 ，
点 代入椭圆 ，得 ，即 ，
所以 ，
所以椭圆 的方程为 ；（2）直线 的斜率显然存在，
设直线 的方程为 ，
由 ，消去 并整理得 ，
因为直线 与椭圆 相切，
所以△
整理得 ①
由 ，消去 并整理得 ，
因为直线 与抛物线 相切，所以△ ，
整理得 ②
综合①②，解得 或 ，
所以直线 的方程为 或 ．
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后
借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
19．在① ；② 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.
问题：已知抛物线 的焦点为F，点 在抛物线C上，且___________.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若直线l过抛物线C的焦点F，l与抛物线C相交于A，B两点，且 ，求直线l的方程.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1） ；（2） 或 .
【解析】（1）若选择条件①，利用焦半径公式求 ，若选择条件②，代入点 ，求 ；（2）直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系表示 ，求 .
【详解】（1）若选择条件①，根据焦半径公式可知 ，
解得： ，
所以抛物线方程是 ；
若选择条件② ，即 ，代入抛物线方程，得 ，
所以抛物线方程是 ；
（2）抛物线的焦点 ，
当直线 的斜率不存在时， ，
所以直线 的斜率存在，设直线 ，与抛物线方程联立
，化简为 ，
，
，解得： ，
所以直线 的方程是 或
20．点 为抛物线 上一点， 为其焦点，已知 ．
(1)求 与 的值；
(2)以 点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求 的面积．
【答案】(1) ， ．
(2)10
【分析】（1）由 根据抛物线的定义求出 可得抛物线方程；
（2）求出抛物线过点 的切线，得出点 的坐标即可求三角形面积.【详解】（1）由抛物线的定义可知 ，
即 ，抛物线的方程为 .
又 在抛物线上，所以 ，故 ， ．
（2）设过M点的方程为 ，
由 ，消去 得 ，即 ，
令 ，解得 ，
所以切线方程为 .
令 ，得 ，即 ,
又 ， ，
.
21．设 分别是双曲线 的左､右两焦点，过点 的直线
与 的右支交于 两点，曲线 的虚轴的端点与其焦点的距离为 .
(1)求双曲线 的方程；(2)当 时，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合题意可得 ，解方程组即可求解；
（2）由（1）知 ， ， ，进而得到 ， ， ，在 中，由
余弦定理可得 ，进而得到 ，进而得出直线 的斜率为 ，进而求解.
【详解】（1）由题意可得， ，
解得 ， ， ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）由（1）知 ， ，则 ，
因为直线 过点 ，
所以 ，即 ，
由 ， ，
则 ，在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，
则 ，
即直线 的斜率为 ，
所以 ，即 ，
即直线 的方程为 .
22．已知 ， 为椭圆C的左右焦点，且抛物线 的焦点为 ，M为椭圆的上顶点， 的
面积为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点 的直线l与椭圆C交于A，B两点，О为坐标原点，且 ，若椭圆C上存在一
点E，使得四边形OAED为平行四边形，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）根据题意可得 ，再结合△ 的面积为 ，可建立关于 ， ， 的方程组，解出即
可；
（2）设 , ， , ，则 , ，结合四边形 为平行四边形，可得 ， ，
设直线 ，联立直线和椭圆方程，得到两根之和与两根之积，进而可得 ，从而得解．
【详解】（1）抛物线 的焦点为 ，
设椭圆 的标准方程为 ，
则 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
（2）
显然直线 的斜率存在，设直线 ，
设 , ， , ，则 , ，
四边形 为平行四边形，
， , ，点 ， ， 均在椭圆 上，
， ， ，
，
，
．，
由 ，消去 得， ，
显然 ，
， ，
，
，
, ．
