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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册综合检测卷（基础A卷）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．若直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】计算得到 结合线面位置关系即得解.
【详解】由题得 ，
所以 .
所以 或 .
故选：D
2．已知常数 ，直线 ： ， ： ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先利用两直线平行的公式求出 ，再确定充分性和必要性即可.
【详解】因为直线 ： ， ： ，
当 时 ，解得 ，
所以 是 的充分不必要条件.
故选：A
3．已知点 ，若直线 与线段 有交点，则实数 的取值范围是
1A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意知A、B两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）
≤0，求出解集即可．
【详解】根据题意，若直线l：kx﹣y﹣1＝0与线段AB相交，
则A、B在直线的异侧或在直线上，
则有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，
即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得k≤﹣4或k≥ ，
即k的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[ ，+∞）．
故选C．
【点睛】本题考查直线与线段AB相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．
4．过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可知 ，先求出 ，从而可求得结果.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为1，
因为 ，
所以 .
故选：A.
5．椭圆 的焦点为 、 ，点 在椭圆上且 轴，则 到直线 的距离为（ ）
2A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】先求出 、 的坐标，再由 轴，可求出 ，再由勾股定理可求出 ，然后利用等
面积法可求得结果.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，
所以 ， ，
当 时， ，解得 ，
因为 轴，所以 ，
所以 ，
设 到直线 的距离为 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，
故选：A
36．若曲线 表示双曲线，那么实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由方程表示双曲线求解实数k的取值范围即可.
【详解】曲线 表示双曲线，所以 即可.
解得 或 ，
所以实数k的取值范围是： .
故选：B.
7．顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点 ，则它的方程是（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】A
【分析】分焦点在 轴和 轴上讨论，并利用待定系数法即可得到答案.
【详解】当抛物线的焦点在 轴上时，
设抛物线的方程为 ．
因为抛物线过点 ，
所以 ，所以 ．
所以抛物线的方程为 ；
当抛物线的焦点在 轴上时，
因为抛物线过点 ，
4设抛物线的方程为 ，
因为抛物线过点 ，
所以 ，所以 ，
所以抛物线的方程为 ，即 ，
综上抛物线的方程为 或 .
故选：A.
8．正方体 的棱长为1，则平面 与平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将平面 与平面 的距离转化为点 到平面 的距离，建立空间直角坐标系，，然后
用空间向量求解
【详解】由正方体的性质： ∥ , ∥ ，
， ，
且 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
则两平面间的距离可转化为点B到平面 的距离．
以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴
建立空间直角坐标系，如图所示：
5由正方体的棱长为1，所以 ， ， ，
， ，
所以 ， ，
， ．
连接 ，
由 ，
，
所以 ，
且 ，
可知 平面 ，
得平面 的一个法向量为 ，
则两平面间的距离：
．
故选：D.
6二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．如图，在正方体 中， 分别为 的中点，则（ ）
A．
B． 平面
C． 平面
D．直线 与直线 所成角的余弦值为
【答案】AD
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由空间向量的关系判断空间位置关系，A选项，根据
得到A正确；B选项，求出平面 的法向量，由 得到B错误；C选项，根据
，得到直线 与直线 不垂直；D选项，利用空间向量夹角余弦公式进行计算.
【详解】以点 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，
则 .
7.
A选项，因为 ，所以 ，A正确.
B选项，设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 得， ，故 ，
因为 ，
所以 与 不垂直，则直线 与平面 不平行， 错误.
C选项，若 平面 ，则 .
因为 ，所以直线 与直线 不垂直，矛盾，C错误.
D选项， ，D正确.
故选：AD
10．下列说法中，错误的是（ ）
8A．椭圆的离心率越大椭圆越扁，离心率越小椭圆越圆
B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C．到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆
D．若直线 ： ， ： ，且 ，则
【答案】BCD
【分析】对于A：根据离心率的几何意义直接判断；
对于B：取特殊例子 的倾斜角为120°， 的倾斜角为60°，进行判断；
对于C：按照椭圆的定义进行判断；
对于D：取 重合情况进行判断.
【详解】对于A：根据离心率的几何意义，椭圆的离心率越大椭圆越扁，离心率越小椭圆越圆.故A正确；
对于B：对于直线 ： ， ： ，取 的倾斜角为120°， 的倾斜角为60°，则 ，
.故B错误；
对于C：按照椭圆的定义，到两定点距离之和为定值（大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆.故C错误；
对于D：对于直线 ： ， ： ， ，若 则 重合.故D错误.
故选：BCD
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，抛物线 的焦点与双曲线C的一个
焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 的周长为16
C． 的面积为 D．
【答案】AB
【分析】根据双曲线的焦点即可求解抛物线的定义，即可判断A，联立双曲线方程与抛物线方程，即可求
解交点坐标，利用点点距离即可求解长度，即可判断BC,由余弦定理即可判断D.
【详解】由已知，双曲线右焦点 ，即 ，故A项正确．且抛物线方程为 ．
9对于B项，联立双曲线与抛物线的方程 ，
整理可得． ，解得 或 （舍去负值），
所以 ，代入 可得， ．
设 ，又 ，所以 ， ， ，则
的周长为16，故B项正确；
对于C项，易知 ，故C项错误；
对于D项，由余弦定理可得， ，故D项错误．
故选：AB
12．已知点 在圆 上，点 在圆 上，则（ ）
A．两圆外离 B． 的最大值为9
C． 的最小值为1 D．两个圆的一条公切线方程为
【答案】ABC
【分析】将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心和半径，再逐项分析.
【详解】圆 的圆心坐标 ，半径 ，
圆 ，即 的圆心坐标 ，半径 ，
10所以圆心距 ，
因为 ，所以两圆外离．故A正确；
因为 在圆 上， 在圆 上，所以 ，故B、C正确；
因为圆心 到直线 的距离 ，所以 不是两圆
公切线，故D错误；
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知两直线 ， ．若直线 与 ， 不能构成三角形，求
实数 ．
【答案】 或 或
【分析】分别讨论 或 或 过 与 的交点时，即可求解.
【详解】由题意可得，①当 时，不能构成三角形，此时： ，解得： ；
②当 时，不能构成三角形，此时： ，解得： ；
③当 过 与 的交点时，不能构成三角形，此时：
联立 与 ，得 ，解得 ，
所以 与 过点 ，将 代入 得： ，解得 ；
综上：当 或 或 时，不能构成三角形.
11故答案为： 或 或 .
14．已知平面 的一个法向量为 ，则x轴与面 所成的角的大小为 .
【答案】
【分析】取 轴的方向向量，再利用线面角的空间向量求法即可得到答案.
【详解】 轴的方向向量取 ，设x轴与面 所成的角的大小 ，
则 ，
因为 ，则 .
故答案为： .
15．双曲线 的离心率为 ，焦点到渐近线的距离为 .
【答案】1
【分析】根据双曲线离心率式，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】因为双曲线 的离心率为 ，
所以有 ，焦点坐标为 ，
该双曲线的渐近线方程为 ，
所以该双曲线焦点到渐近线的距离为 ，
故答案为：
16．椭圆 短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形.若该三角形内切圆的半径为
，则该椭圆的离心率为 .
12【答案】
【分析】根据题意，利用面积关系建立等式，即可求出离心率.
【详解】由椭圆 短轴的一个端点和两个焦点所构成的三角形面积 ，周长为
.
由题意可得 ，得 ，
所以 ，因此该椭圆的离心率为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，解题的关键是建立与 相关的方程，属于基础题.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在直三棱柱 中， ，分别为 ， ， 的中点，分别记 ， ，
为 ， ， .
(1)用 ， ， 表示 ， ；
(2)若 ， ，求 .
【答案】(1) ； .
13(2) .
【分析】（1）用空间向量的加减运算分别表示 ， ， ，
，再转化为 ， ， 表示即可；
（2）先把 用 ， ， 表示，然后平方，把向量的模和数量积分别代入，计算出结果后再进行
开方运算求得 .
【详解】（1）连结 .在直三棱柱 中， ， ， ，
则 .
.
（2）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，所以 ，
，又 ，
所以 ， ， .
，
所以 .
1418．已知圆 ，直线 .
(1)证明：直线 和圆 恒有两个交点；
(2)若直线 和圆 交于 两点，求 的最小值及此时直线 的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2) 最小值为 ，此时直线 方程为
【分析】（1）先求直线所过定点，然后判断定点在圆内即可得证；
（2）根据直线垂直于 时， 有最小值可解.
【详解】（1）直线 ，即 ，
联立 解得 所以不论 取何值，直线 必过定点 .
圆 ，圆心坐标为 ，半径 ，
因为 ，所以点 在圆 内部，
则直线 与圆 恒有两个交点.
（2）直线 经过圆 内定点 ，圆心 ，
记圆心到直线 的距离为d.
因为 ，所以当d最大时， 取得最小值，
15所以当直线 时，被圆 截得的弦 最短，
此时 ，
因为 ，所以直线 的斜率为 ，又直线 过点 ，
所以当 取得最小值时，直线 的方程为 ，即 ，
综上： 最小值为 ，此时直线 方程为 .
19．已知多面体 中，四边形 是边长为4的正方形，四边形 是直角梯形，
， ， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）先证明出 ，由勾股逆定理得到 ⊥ ，证明出 ⊥平面 ，从而 ⊥
16，证明出 ⊥平面 及面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值.
【详解】（1）因为四边形 是边长为4的正方形，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
因为四边形 是直角梯形， ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
由勾股定理得， ，
因为 ，所以 ，由勾股定理逆定理得 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ；
（2）由（1）知， 两两垂直，故以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空
间直角坐标系，
，
设平面 的法向量为 ，则 ，
解得 ，令 ，则 ，故 ，
设直线 与平面 所成角的大小为 ，
17则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
20．平面直角坐标系中，动点 在 轴右侧，且 到 的距离比到 轴的距离大1.
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)若过点 且倾斜角为 的直线与曲线 相交于 两点，求线段 的长.
【答案】(1) ，
(2)8
【分析】（1）设点 ，根据题意结合两点间距离公式列等量关系，平方化简得轨迹 的方程，
（2）根据抛物线定义得线段 的长为 ，再将直线点斜式方程代入抛物线方程，根据韦达定理得
，即得线段 的长.
【详解】（1）设动点 ，点 到 轴的距离为 ，
由题意 .
18将点 的坐标代入上式，得 ，
所以 ，
整理得 ，
所以动点 的轨迹 的方程 ；
（2）由题意可得直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
设 ，则 ，
结合抛物线定义，所以
【点睛】方法点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．
2．若 为抛物线 上一点，由定义易得 ；若过焦点的弦 的端点坐标
为 ，则弦长为 可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方
程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
21．已知椭圆 的上顶点与椭圆的左，右顶点连线的斜率之积为 ．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若直线 与椭圆C相交于A，B两点， ，求椭圆C的标准方程．
【答案】(1)
(2)
19【分析】（1）根据题意，可知 ，可得 ，再根据椭圆的性质可得 ，由此即可求
出离心率；
（2）将直线 与椭圆方程联立，由韦达定理得到 ， ，再根据弦长公式
，建立方程，即可求出 的值，进而求出椭圆方程.
【详解】（1）解：由题意可知，椭圆上顶点的坐标为 ，左右顶点的坐标分别为 、 ，
∴ ，即 ，则 ．
又 ，∴ ，所以椭圆的离心率 ；
（2）解：设 ， ，由 得： ，
∴ ， ， ，
∴ ，
解得 ，∴ ，满足 ，
∴ ，∴椭圆C的方程为 ．
22．已知双曲线 的渐近线为 ，左焦点为 经过点 的直线 交双曲
线 于 两点．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若直线 在 轴上截距为2，求 ；
20(3)若 的中点横坐标为1，求直线 的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据渐近线方程，焦点坐标，列出 的方程进行求解即可；
（2）利用弦长公式直接计算即可；
（3）先确定直线斜率是否存在，然后联立直线与双曲线，通过中点坐标公式列方程求解.
【详解】（1）由题意得 ，所以 ，
所以双曲线 的标准方程为 ；
（2）由题意得直线 的方程为 ，由 得， ，设 ，则
，所以 ；
（3）当直线 的斜率不存在时，中点横坐标为 ，显然不合题意，所以设直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
设 ，则 ，解得 ，
此时所联立方程可整理化简得： ，满足 ，符合题意，
故直线 的方程为 ．
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