文档内容
前言
不少小读者喜欢看卡通书，这是因为图画很形象，有助于小读者
正确、迅速地理解书中的内容。有时，理解一道数学题很费力，但是
如果动手画出示意图，题意就解释清楚明了了。
这套“图解小学数学思维训练题”就是通过图解与文字标注相结
合的方式，将数学思维训练题的解题过程直观、清晰地展现在小读者
面前，帮助大家厘清解题思路，将抽象问题具体化，通过精巧地设计
和运用直观性、形象性手段，分散难点，放缓坡度，使小读者容易接
受、理解。帮助小读者在面对复杂问题时，学会分析、解决问题，从
而有效地提高解题能力和思维能力。
这套“图解小学数学思维训练题”涵盖了小学各年级有代表性的
数学思维训练题，结合各章内容，详细讲解各种数学思维训练题的解
题思路，归纳常用的、重要的公式，帮助小读者准确地把握要点。
这套“图解小学数学思维训练题”针对各章内容精选不同难度的
练习题，分为小试身手、拓展提升两个层次，帮助小读者巩固所学，
逐级提升解题能力。
这套“图解小学数学思维训练题”曾在北京、上海、江苏、浙
江、福建、四川等地的学校进行了试验，取得了良好的效果，希望这
次的改版能帮助更多的学生顺利解决小学数学思维训练题，稳步地、
愉快地、更加自信地走进数学世界。
数学之美是人们在数学思维活动中的一种体验和感受，希望使用
这套书的小读者通过“学数学、做数学、用数学”的活动来体验、探索数学之美！
特别感谢李秀琴、彭光进、黄洋、吴智敏、吴奇琰、张移、张永
飞、李丹、李堃、郭春利、姚一萌、李世魁、谢正国、赵波、杨树
青、李曹群、钟春风、林玲、刘荣秀、王敬椿、王曙华、彭如武、李
茂蓓、冯林、李冉、张春杰等老师在本书编写过程中提供的帮助和做
出的贡献。
祝青少年朋友健康成长，快乐学习！
彭林目 录
前言
第一章 巧算加减法
第二章 巧算乘除法
第三章 巧算24点
第四章 算式谜
第五章 等差数列求和
第六章 定义新运算
第七章 找规律
第八章 较复杂的和倍问题
第九章 较复杂的差倍问题
第十章 较复杂的和差问题
第十一章 较复杂的年龄问题
第十二章 重叠问题
第十三章 还原问题
第十四章 图形的计数
第十五章 巧求周长
第十六章 巧求面积
第十七章 相遇问题
第十八章 追及问题
第十九章 列车过桥问题
第二十章 流水行船问题
第二十一章 植树问题
第二十二章 方阵问题第二十三章 鸡兔同笼问题
第二十四章 盈亏问题
第二十五章 简单的逻辑推理
参考答案第一章 巧算加减法
答案参见此处知识导航
我们计算的时候，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一
些巧算的方法。加减法的巧算主要是运用“凑整”的方法。可以使用
加法交换律、结合律、减法的性质进行凑整，可以把接近整十、整
百、整千……的数看作整十、整百、整千……来计算，再做相应的调
整，调整时要根据“多加的要减去，少加的要再加，多减的要加上，
少减的要再减”的原则进行处理。图解思维训练题
例1 计算：15.2＋5.12＋9.7＋24.8＋10.3＋5.88
图解思路
观察发现15.2与24.8、5.12与5.88、9.7与10.3的小数部分均可以
凑整，运用加法的交换律和结合律可使计算简便。如下图。
规范解答
例2 计算：99.5＋99.6＋99.7＋99.8＋99.9
图解思路这几个数都接近100，可以把它们都先看作100，再把多加的数减
去。如下图。
规范解答
例3 计算：1344-181-119-182-118-183-117
图解思路
仔细观察发现：要减去的6个数，每两个数可以凑成整百。只要利
用减法的性质，把每两个结合成一组，就简单多了。如下图。
规范解答例4 计算：87＋92＋91＋86＋93＋94
图解思路
这6个数都很接近，可以选择其中一个数（最好是整十、整百、整
千……的数）为“基准数”，这里选择“90”为基准数，再找出每个
加数与基准数的差，大于基准数的差作加数，小于基准数的差作减
数，如下图，把这些差累计起来，再加上基准数与加数个数的乘积，
就可以得到计算结果。
规范解答例5 计算：2000＋1999-1998-1997＋1996＋1995-1994-1993
＋…＋8＋7-6-5＋4＋3-2-1
图解思路
思路一 这里有2000个连续自然数进行加、减运算，加、减项数
共有2000项。仔细观察发现，第1项和第3项的差是2，第2项和第4项的
差是2，第5项和第7项、第6项和第8项的差也是2……如下图所示，像
这样，把两个数结合为一组，共可结合成1000组，每组的差都是2。
思路二 如下图所示，可以把四个数结合为一组，共可结合成500
组，每组的差都是4。
规范解答
解法一
解法二小试身手
1．计算下面各题。
（1）1.52＋0.97＋2.48＋1.03＋5.12
（2）3842-1567-433-842
2．计算下面各题。
（1）9＋99＋999＋9999
（2）152＋637＋248＋72＋28-137
3．一次数学测验，四年级一班第一小组8名同学的得分如下：
96，88，97，93，86，93，100，99。求这个小组的总分。拓展提升
4．计算下面各题。
（1）9.7＋9.8＋9.9＋10.1＋10.2＋10.3
（2）574-（128＋274）-172
5．计算下面各题。
（1）847-578＋389-222＋111
（2）4.8＋5.3＋5.1＋4.6＋5.2＋5.5
（3）1000＋999-998-997＋996＋995-994-993＋…＋8＋7-6-5＋4
＋3-2-16．某校共10个班，各班人数分别为54，47，51，50，52，48，
49，53，51，48。求全校学生总数。第二章 巧算乘除法
答案参见此处知识导航
乘除法巧算，我们经常用到乘法的运算定律、积不变的规律、除
法的性质、商不变的性质以及一些特殊的运算技巧。掌握一些乘除法
巧算的方法，可以大大提高计算的速度和正确率。
常用的运算定律、规律、性质有：
乘法交换律：a×b＝b×a
乘法结合律：a×b×c＝a×（b×c）
乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c
积不变的规律：a×b＝（a×n）×（b÷n）（n≠0）
除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c）a÷（b÷c）＝a÷b×c
商不变的性质：a÷b＝（a×n）÷（b×n）a÷b＝（a÷n）
÷（b÷n）（n≠0）图解思维训练题
例1 计算：25×32×125；560÷35
图解思路
计算25×32×125时，如果把32写成4×8就可以简算；计算
560÷35时，如果把35写成7×5，也可以简算，如下图。
规范解答例2 计算：333×334＋999×222
图解思路
粗看起来不能用简便方法计算，但如果把999改写成333×3，再利
用乘法的结合律、分配律，就可简算了，如下图。规范解答
例3 计算：（7200-56）÷8；327÷50＋673÷50
图解思路
乘法有分配律，除法也有类似的“分配律”。如图（1），计算
（7200-56）÷8时，如果把7200和56分别除以8，再相减，就简便多
了。如图（2），计算327÷50＋673÷50时，思路与计算（7200-56）
÷8正好相反。
规范解答例4 计算：218×730＋7820×73
图解思路
本题可以运用“积不变的规律”，即“一个因数扩大几倍，另一
个因数缩小相同的倍数，积不变”的规律，使计算简便，如下图。规范解答例5 计算：241×11；5342×11；56×11；9987×11
图解思路
一个数乘11，巧算的方法是“两边一拉，中间一加，满十进
一”。如图（1），计算241×11时，把241的三个数字拉开，再将相邻
的两个数字相加得到的和依次写在中间；如图（2），计算5342×11
时，把5342的四个数字拉开，再将相邻的两个数字相加得到的和依次
写在中间。但要注意的是，“中间一加”满十时要向前一位进一，如
图（3）、图（4）。
规范解答
241×11＝2651
5342×11＝58762
56×11＝616
9987×11＝109857
例6 计算：42×48；31×39；93×97图解思路
这里的每一道算式，两个数十位相同（称为“头同”），个位相
加得10（称为“尾和十”）。巧算方法是：十位加1乘自己，个位相乘
放后边（乘积是一位数时要在前面补一个0）。如下图所示。
规范解答
42×48＝2016
31×39＝1209
93×97＝9021小试身手
1．计算下面各题。
4500÷（9×4）
25×96×125
167×32＋43×167＋167×25
999＋999×999
2．计算下面各题。
39×8＋6×39-39×470000÷125÷2÷5÷8
99999×7＋11111×37
3．计算下面各题。
12×11
57×11
134×11
258×1165×65
43×47
57×53
29×21拓展提升
4．计算下面各题。
3333×2222÷6666
147×25-25×23-25×24
54×23＋46×45＋28×46
5．计算下面各题。
981＋5×9810＋49×981
8÷7＋9÷7＋11÷72006×2008-2005×2009
6．计算下面各题。
78×72
91×99
86×84
4756×11
9938×113089×11
456872×11
37×34
7．不用计算，请你指出下面哪道题得数大。
452×458
453×457第三章 巧算24点
答案参见此处知识导航
“算24点”是一种扑克牌智力游戏。游戏规则是：从一副扑克牌
中抽去大、小王，剩下52张，分4种花色，每种13张，计算时把A、J、
Q、K分别当作1点、11点、12点、13点。任意抽取4张牌（称为牌
组），用＋、-、×、÷、（）、［］把牌面上的数连成一道算式，使
结果是24点。每张牌必须用一次且只能用一次。经计算机准确计算，
从52张牌中任意抽取4张，有1820种不同的组合，其中有458种是算不
出24点的。这种游戏简单易学，但要想算得快，还应掌握一些技巧，
最常用的是利用3×8＝24，4×6＝24，2×12＝24求解，即把牌面上的
4个数想办法凑成3和8、4和6、2和12，再相乘求解。
因为我们还是四年级学生，受知识水平所限，解题总是围绕运算
结果是整数展开讨论。随着年级的升高，当我们接触到小数、分数的
四则运算后，就可以打破整数这个框框，允许前两次的运算结果出现
小数、分数，这样，我们将会找到更多的、更好的思考方法。图解思维训练题
例1 如果抽出的是如下图所示的4张牌，怎么算出24点？
图解思路
思路一 利用3×8＝24求解。可以先把四张牌调整位置，如下图
所示。思路二 利用4×6＝24求解。可以先把四张牌调整位置，如下图
所示。
思路三 可以先把四张牌调整位置，如下图所示。先把其中两数
相乘，积不足24的用另外两数补足。
思路四 可以先把四张牌调整位置，如下图所示。先把其中两数
相乘，积超过24，再用积减去另外两数。
规范解答解法一 3×（5＋6-3）＝3×8＝24或（3＋5）×（6-3）＝8×3
＝24
解法二 （5-3÷3）×6＝4×6＝24或（3×3-5）×6＝4×6＝24
解法三 3×5＋3＋6＝24
解法四 5×6-3-3＝24
例2 如果抽出的是如下图所示的四张牌，怎么算出24点？
图解思路
这四张牌都是大点，用红桃J和方块K这两张牌就能算出24点，另
两张牌怎么办呢？先调整一下这四张牌的位置，如下图所示。规范解答
例3 如果抽出的是如下图所示的四张牌，怎么算出24点？
图解思路
利用2×12＝24求解。可以先将四张牌调整位置，如下图所示。规范解答
2×（9＋6÷2）＝2×12＝24小试身手
1．如果抽出的是下面四张牌，怎么算出24点？
2．如果抽出的是下面四张牌，怎么算出24点？
3．如果抽出的是下面四张牌，怎么算出24点？拓展提升
4．如果抽出的四张牌分别是：红桃Q、方块Q、黑桃K、梅花J，怎
么算出24点？
5．如果抽出的四张牌分别是：两张8、一张6、一张9，怎么算出
24点？
6．如果抽出的四张牌分别是：两张9、一张6、一张10，怎么算出
24点？
7．如果抽出4张Q，怎么算出24点？第四章 算式谜
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一个完整的算式，缺少几个数字，那就成了一道算式谜。算式谜
又被称为“虫食算”，意思是说算式中的一些数字像是被虫子咬去
了。解算式谜题，就是要将算式中缺少的数字补齐，使它成为一道完
整的算式。解算式谜的思考方法是推理加上尝试，首先要仔细观察算
式特征，由推理能确定的数先填上；不能确定的，要分几种情况，逐
一尝试。分析时要认真分析已知数字与所缺数字的关系，抓准解题的
突破口。图解思维训练题
例1 A，B，C，D分别代表不同的数字，相同的字母代表相同
的数字。下面算式中的A，B，C，D各代表什么数字？
图解思路
这是一道减法算式，可以转化成加法算式ABC＋CDC＝ABCD来解
答。因为和的千位上的A＝1，所以第一个加数百位上的A也是1，所以C
＝9或8。我们先来看当C＝9时的推理过程。
当C＝8时，个位上C＋C＝8＋8＝16，D＝6，向十位进1。十位上B
＋D＋1＝B＋6＋1＝8，得B＝1。百位上A＋C＝1＋8＝9，B＝9与B＝1矛盾，不符合题意。所以，A＝1，B＝0，C＝9，D＝8。
规范解答
A＝1，B＝0，C＝9，D＝8。
例2 在下面的 中填入合适的数字，使算式成立。
图解思路规范解答例3 在下面的 中填入合适的数字，使算式成立。
图解思路规范解答小试身手
1．在下面的 中填入合适的数字，使算式成立。
2．在下面的 中填入合适的数字，使算式成立。
3．在下面的 中填入合适的数字，使算式成立。拓展提升
4．在下面的 中填入合适的数字，使算式成立，看看有几种填
法。
5．A，B，C，D分别代表不同的数字，相同的字母代表相同的数
字。下面算式中的A，B，C，D各代表什么数字？6．下面算式中不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同
的数字。这些汉字各代表什么数字？第五章 等差数列求和
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将一些数按照一定的规律排成一列，就形成一个数列，如：（1）
2、4、6、8、10、12；（2）110、120、130、140、150。数列（1）
中，第一项和第二项相差2，第二项和第三项相差2，第三项和第四项
相差2……也就是相邻两项的差都是2。像这样相邻两项的差都相等的
数列，叫作等差数列。等差数列里有四个重要的概念：首项、末项、
项数和公差。首项就是一个数列的第一个数，如数列（1）的首项是
2，数列（2）的首项是110。末项就是一个数列的最后一项，如数列
（1）的末项是12，数列（2）的末项是150。项数指的是一个数列中数
的个数，如数列（1）有6个数，项数就是6，数列（2）有5个数，项数
就是5。公差就是相邻两项的差，如数列（1）的公差是2，数列（2）
的公差是10。
在日常生活中，我们经常会遇到求一列等差数列的和的问题，如
果逐一相加，计算太繁，也较容易出错。那怎样才能算得又对又快
呢？这就要先找出等差数列的首项、末项和项数，然后根据“（首项
＋末项）×（项数÷2）”或“（首项＋末项）×项数÷2”求出它们
的和。如果一个数列是奇数项，也可以用中间数乘上项数求出它们的
和。图解思维训练题
例1 同学们听说过德国数学家高斯小时候的故事吗？有一
次，数学老师出了一道计算题：1＋2＋3＋…＋98＋99＋100＝？不
一会儿，高斯就算出来了。你知道他是怎么算的吗？
图解思路
这道题如果逐项相加，计算量相当大，一不小心漏加了一个数或
多加了一个数，又得从头再来。而高斯通过认真观察发现：第一项1和
最后一项100的和是101，第二项2和倒数第二项99的和也是101……即
这100个数一共可以配成100÷2＝50（组），每组的和都是101。
规范解答例2 计算：17＋18＋19＋…＋81
图解思路
这个数列的首项是17，末项是81，但项数不能直接看出来，如下
图，可以先把这个数列的前16项补出来，然后数出从17加到81有几
项，再套用等差数列求和的公式，求出这个数列的和。也可以这样
想：这个数列是连续的自然数，公差是1，17前面还有1～16这16项。
规范解答例3 求数列5，9，13，17，…的前20项的和。
图解思路
这个数列的首项是5，项数是20，但末项不知道。为了求出和，可
以把这个数列接着往下写，直到写满20项，如下图。
由上可知，这个数列的末项是81。
上面这种解法固然可以，但比较麻烦。我们还可以这样想：如下
图，数列的第2项比第1项多4，第3项比第1项多2个4，第4项比第1项多
3个4……依此类推，第20项比第1项多19个4。规范解答
这个数列的第20项是5＋（20-1）×4＝5＋19×4＝81［也就是末
项＝首项＋（项数-1）×公差］，所以这个数列的和是（5＋81）
×20÷2＝860。
例4 计算：6＋10＋14＋…＋50
图解思路
这个数列和例2相比，相同点是知道首项和末项，不知道项数。不
同点是公差不同，例2是连续的自然数，公差是1，而这个数列的公差
是4（如下图）。找这个数列的项数就更难一些。我们可以先把这个数
列补充完整，然后数出共有几项，再套用等差数列求和的公式，求出
这个数列的和。如：6＋10＋14＋（18＋22＋26＋30＋34＋38＋42＋
46）＋50。由此可见，这个数列共有12项。还可以根据求末项的公式“末项＝首项＋（项数-1）×公差”推
导出求项数的公式“项数＝（末项-首项）÷公差＋1”，再利用这个
公式求出数列的项数，最后求出数列的和。
规范解答小试身手
1．求下面各数列的和。
（1）110＋120＋130＋140＋150
（2）1＋2＋3＋…＋1000
（3）11＋14＋17＋…＋101
2．求自然数中所有两位数的和。
3．小芳读一本课外书，第一天读了10页，从第二天起，每天读的
页数都比前一天多2页，共用了8天读完。这本课外书共有多少页？拓展提升
4．求下面各数列的和。
（1）1＋3＋5＋7＋…＋99
（2）4＋9＋14＋19＋…＋99
5．求6，9，12，15，…的前100个数的和。
6．小芳读一本课外书，第一天读了10页，从第二天起，每天读的
页数都比前一天多2页，最后一天读了24页。这本课外书共有多少页？
7．时钟在几点钟时就敲几下，每半点钟时敲一下。那么这个时钟
一昼夜共敲几下？（提示：时钟一昼夜转2圈）8．有一堆粗细均匀的圆木，如下图，最上面一层有3根，相邻两
层相差1根，一共有8层。这堆圆木共有几根？第六章 定义新运算
答案参见此处知识导航
定义新运算，就是用一种特定的符号表示特定的运算。它使用的
是一些特殊的运算符号，如：*、Δ、☆、※、◎等，这与四则运算中
的“＋、-、×、÷”是不一样的。解答定义新运算，关键是要正确理
解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式
中，再把它转化成我们熟知的加、减、乘、除运算，然后进行计算。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里的。但它在没有转化之前，
是不适合于各种运算的。图解思维训练题
例1 如果定义a*b＝3a＋2b，那么7*5＝（ ）。
图解思路
这里的“*”不是“×”，也不是“＋”。把a*b定义为3a＋2b，
说明a*b实际上表示的是a的3倍加上b的2倍。换句话就是说，用“*”
前面的数的3倍加上“*”后面的数的2倍。则7*5的运算如下图。
规范解答
7*5＝7×3＋5×2＝21＋10＝31
例2 如果定义M※N＝（M＋1）×（N-2），那么20※4＝
（ ）。图解思路
这里把M※N定义为（M＋1）×（N-2），实际上就是用“※”前面
的数加上1的和，乘上“※”后面的数减去2的差。20*4的运算如下
图。
规范解答
例3 如果2☆3＝2＋3＋4，3☆4＝3＋4＋5＋6，7☆5＝7＋8＋
9＋10＋11，那么9☆7＝（ ）。
图解思路
仔细观察“2☆3＝2＋3＋4，3☆4＝3＋4＋5＋6，7☆5＝7＋8＋9
＋10＋11”这三个算式，可以发现：“☆”前面的数正好是后面加数
中的第一个数，“☆”后面的数表示有几个数相加，而且这些加数都
是连续的自然数，如图（1）、图（2）、图（3）。则9☆7的运算过程
如图（4）。规范解答
9☆7＝9＋10＋11＋12＋13＋14＋15＝84
例4 如果A△B＝A×B-（A＋B），求6△（9△2）。
图解思路
这里把A△B定义为A×B-（A＋B），说明A△B实际上表示用A、B的
积减去A、B的和。6△（9△2），根据运算顺序，应先算括号里的。运
算过程如下图。规范解答小试身手
1．如果规定b▼c＝5b-c，求10▼6。
2．如果规定a★b＝（a＋b）÷b，求8★4。
3．如果1△3＝1＋11＋111；2△4＝2＋22＋222＋2222；4△5＝4
＋44＋444＋4444＋44444。求3△6。
4．如果规定A◎B＝4A-2B，求（10◎3）◎5。拓展提升
5．如果定义A※B＝A×B-A-B，求（10※9）×3。
6．如果1▽2＝12÷（1＋2），3▽6＝36÷（3＋6），那么
（2▽4）▽2和2▽（4▽2）的结果各是多少？
7．如果2★4＝8，5★3＝13，3★5＝11，9★7＝25，求（7★3）
＋（10★5）。
8．如果定义（3）＝2×3×4，（5）＝4×5×6，（8）＝
7×8×9，那么（3）×（4）＋（6）的结果是多少？9．如果规定a b＝a＋b-1，a b＝a×b-1，求4 （8 5）。第七章 找规律
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找规律是我们在生活、学习、工作中经常使用的一种思想方法，
在解数学问题时人们也常常使用它。一般情况下，我们可以从以下几
个方面来找规律：
（1）根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填
的数；
（2）根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的
数；
（3）从整体上把握数据之间的联系，找出规律，推断出所要填的
数；
（4）从图形的颜色、数量、形状等方面去观察并发现规律。图解思维训练题
例1 找规律填数。
1，4，7，10，（ ），16，19，（ ），…
图解思路
由上图可知，这一组数的特点很明显：连续加3，也就是相邻两个
数之间，后一个数总比前一个数多3。所以，10后面一个数是10＋3＝
13，19后面一个数是19＋3＝22。
规范解答
1，4，7，10，（13），16，19，（22），…
例2 找规律填数。
1，2，4，7，（ ），16，22，（ ），…图解思路
由上图可知，在这列数中，第二个数比第一个数多1，第三个数比
第二个数多2，第四个数比第三个数多3，换句话就是说前4个数中，每
相邻两个数的差依次是1，2，3。由此可以推算出7后面一个数是：7＋
4＝11，22后面一个数是：22＋7＝29。
规范解答
1，2，4，7，（11），16，22，（29），…
例3 找规律填数。
2，2，4，6，10，16，（ ），（ ），68，…
图解思路
经过画图、分析，不难发现：从第三个数开始，每一个数都等于
它前面两个数的和。根据这一规律，16后面应填的数依次为：10＋16
＝26，16＋26＝42。规范解答
2，2，4，6，10，16，（26），（42），68，…
例4 找规律填数。
1，3，4，6，7，12，10，24，（ ），（ ），16，96，
…
图解思路
由上图可知，在这列数中，第三个数比第一个数多3，第五个数比
第三个数多3，第七个数比第五个数多3，第四个数是第二个数的2倍，
第六个数是第四个数的2倍，第八个数是第六个数的2倍……也就是说
奇数位的数是连续加3，偶数位的数是连续乘2。根据这样的规律，24
后面的数是：10＋3＝13，16前面的数是：24×2＝48或96÷2＝48。
规范解答
1，3，4，6，7，12，10，24，（13），（48），16，96，…例5 ○○★□☆○○★□☆○○★□☆…照这样排下去，第
99个是（ ）；当★、□、☆一共有36个时，○有（ ）个。
图解思路
由上图可知，这些图形，是以“○○★□☆”这五个为一组，重
复不断地排列的。每一组第一、第二个是○，第三个是★，第四个是
□，第五个是☆。要求第99个是什么图形，可以看看99里面有几个5，
也就是有几组，即99÷5＝19（组）……4（个）。从余数看第4个是
□，所以第99个就是□。一组的五个图形中，○有2个，★、□、☆各
1个，“当★、□、☆一共有36个时”，说明★、□、☆各有12个，那
么○就有12×2＝24（个）。
规范解答
第99个是□。当★、□、☆一共有36个时，○有24个。小试身手
1．先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，6，10，14，（ ），（ ），26，…
（2）3，6，12，（ ），48，（ ），192，…
（3）10，11，13，16，20，（ ），31，（ ），46，…
（4）19，3，17，3，15，3，（ ），（ ），11，3，…
（5）5，4，9，13，22，（ ），57，（ ），…
（6）1，5，2，8，4，11，8，14，（ ），（ ），…
2．按规律画一画。
○△●□○△●□○△●□○ _____ _____ _____…
3．■◇□△■■◇□△■■◇□△■…照这样排下去，第2017个
图形是什么？拓展提升
4．先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，9，6，10，18，11，54，（ ），（ ），13，
486，…
（2）3，29，4，28，6，26，9，23，（ ），（ ），18，
14，…
（3）3，5，9，17，33，65，（ ），（ ），…
5．根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的空格里
应填什么数？
6．有一列数1，4，9，16，25，36，…这列数的第20个数是
（ ）。
7．节日期间广场上有一排彩旗，按照1面红旗、2面黄旗、3面绿
旗的顺序排列。第55面彩旗是什么颜色？第100面呢？第八章 较复杂的和倍问题
答案参见此处知识导航
我们把已知几个数的和及它们之间的倍数关系，求这几个数各是
多少的问题称为和倍问题。如，学校把580本图书分配给中年级和高年
级学生传阅，其中分给高年级的本数是中年级的3倍。中年级和高年级
各分配到多少本？
解答和倍问题，关键是要正确分析倍数句。一般是根据倍数句先
确定较小数为标准数（或叫1倍数），再根据其他几个数与小数（1倍
数）的倍数关系，确定总和相当于1倍数的多少倍，然后用除法求出小
数（1倍数），再算出其他各数（几倍数）。解决此类问题时，可以借
助线段图，能比较直观地帮助分析题目里的数量关系。如下图所示。
和倍问题的数量关系是：
和÷（倍数＋1）＝小数（1倍数）
小数×倍数＝大数（几倍数）图解思维训练题
例1 学校把580本图书分配给中年级和高年级学生传阅，其中
分给高年级的本数是中年级的3倍。中年级和高年级各分配到多少
本？
图解思路
先从倍数句“高年级的本数是中年级的3倍”入手分析，把中年级
的本数看作1倍数，高年级的本数则是3倍数，根据题意画出线段图。
从上图中很容易看出，总数580本相当于中年级的4倍，用总数580
本除以与它相对应的4倍，就得到1倍数（中年级的本数），再求出高
年级的本数。
规范解答
倍数：3＋1＝4中年级：580÷4＝145（本）
高年级：145×3＝435（本）或
580-145＝435（本）
答：中年级分配到145本，高年级分配到435本。
例2 三篮桃子共有117个，第二篮的桃子是第一篮的2倍，第
三篮的桃子是第二篮的3倍。这三篮桃子各有多少个？
图解思路
本题有两个倍数句，第一个倍数句要把第一篮桃子的个数看作1倍
数，而第二个倍数句是要把第二篮桃子的个数看作1倍数，但通过画线
段图很清楚地发现，第三篮桃子的个数相当于第一篮个数的2×3＝6
倍。总个数相当于第一篮的9倍。规范解答
2×3＝6
第一篮：117÷（1＋2＋6）＝13（个）
第二篮：13×2＝26（个）
第三篮：26×3＝78（个）
答：第一篮有13个，第二篮有26个，第三篮有78个。
例3 小强和小明共有28本练习本，小强的练习本比小明的2倍
少2本。小强和小明各有多少本练习本？
图解思路
从“小强的练习本比小明的2倍少2本”这个倍数句可以看出，要
把小明的本数看作1倍数。依题意画出线段图。从上图中可以看出，28本并不是小明的练习本的3倍，而是比小明
的练习本的3倍少2本。换句话就是说，28本再增加2本才是小明的练习
本的3倍。据此先求出1倍数（小明的本数），再求出小强的本数。
规范解答
28＋2＝30（本）
小明：30÷3＝10（本）
小强：10×2-2＝18（本）或28-10＝18（本）
答：小明有10本，小强有18本。
例4 有两堆棋子，第一堆有67枚，第二堆有53枚个。从第二
堆中拿出多少枚棋子放入第一堆，才能使第一堆的棋子是第二堆棋
子的3倍？
图解思路
首先要弄清楚，不管从第二堆拿出多少枚棋子放入第一堆，最后
两堆的总枚数是不变的，还是67＋53＝120（枚）。从倍数句可以看
出，从第二堆中拿出一些棋子放入第一堆后，此时第二堆的棋子数是1
倍数，第一堆的棋子数则是第二堆的3倍，总枚数相当于后来第二堆的
4倍。如下图所示。规范解答
总枚数：67＋53＝120（枚）
后来第二堆：120÷（1＋3）＝30（枚）
从第二堆中拿出：53-30＝23（枚）或30×3-67＝23（枚）
答：应从第二堆中拿出23枚棋子放入第一堆。
用总枚数除以总倍数，求出1倍数（后来第二堆的枚数）后，再用
第二堆原来的枚数去减第二堆后来的枚数，得到应从第二堆中拿出的
枚数。
例5 两数相除的商是3，余数是10，被除数、除数、商与余数
的和是163。被除数和除数各是多少？
图解思路
这是有余数的除法，根据“被除数＝商×除数＋余数”可知，把
除数看作1倍数，这里的被除数比除数的3倍还多10。从“被除数、除数、商与余数的和是163”可知，这里的被除数与除数的和是（163-
10-3），如下图所示。
从上图可以看出，被除数与除数的和（163-10-3）比除数的4倍多
10，如果从被除数与除数的和里再减去10，正好是除数的4倍。据此先
求出1倍数（除数），再求出被除数。
规范解答
163-10-3＝150
150-10＝140
除数：140÷（1＋3）＝35
被除数：35×3＋10＝115
答：被除数是115，除数是35。小试身手
1．已知两个数的和是160，大数是小数的3倍，求这两个数。
2．实验小学有教师126人，其中女教师人数比男教师的3倍多6
人，女教师有多少人？
3．甲、乙、丙三个数的和是255，已知甲数是乙数的3倍，乙数是
丙数的4倍。甲、乙、丙三个数各是多少？
4．甲、乙两箱茶叶共84千克，如果从乙箱取出12千克放入甲箱，
则甲箱茶叶的质量是乙箱的2倍。两箱原来各有茶叶多少千克？
5．把一个减法算式里的被减数、减数与差相加，得数是990，已
知减数是差的2倍，被减数、减数各是多少？拓展提升
6．一个长方形的周长是36分米，已知长是宽的2倍，这个长方形
的面积是多少平方分米？
7．利民商店运来苹果、葡萄、香蕉共53千克，葡萄的质量比苹果
的3倍少3千克，香蕉的质量比苹果的2倍多2千克，苹果、葡萄、香蕉
各重多少千克？
8．有两袋大米，第一袋重47千克，第二袋重19千克，为了使第一
袋的质量是第二袋的2倍，应该把第一袋的大米倒入第二袋多少千克？
9．有两层书架，共186本书。如果从第一层拿走25本书后，第二
层的书就比第一层的2倍还多11本。第二层有多少本书？10．现有面值10元和面值5元的人民币共405元，其中10元的张数
是5元张数的4倍。这两种人民币各多少张？第九章 较复杂的差倍问题
答案参见此处知识导航
我们把已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数各是多少
的问题，叫作差倍问题。如，一张桌子的价格是一把椅子的3倍，购买
一张桌子比一把椅子贵60元。一张桌子、一把椅子各多少钱？
解答差倍问题的关键是找出两个数的差，以及与差相对应的倍数
差，用“两个数的差÷它们的倍数差”先求出1倍数（小数），再求出
大数（几倍数）。与分析“和倍问题”一样，我们一般也是先画出线
段图帮助分析题目的数量关系。如下图所示。
这类问题的数量关系式是：
两数差÷（倍数-1）＝小数（1倍数）
小数（1倍数）×倍数＝大数（几倍数）
小数（1倍数）＋两数差＝大数（几倍数）图解思维训练题
例1 一张桌子的价格是一把椅子的3倍，购买一张桌子比一把
椅子贵60元。一张桌子、一把椅子各多少钱？
图解思路
如下图所示，桌子比椅子贵的60元相当于椅子价钱的3-1＝
2（倍）。根据“两数差÷倍数差＝小数（1倍数）”求出椅子的价
钱，再求出桌子的价钱。
规范解答
椅子：60÷（3-1）＝30（元）
桌子：30×3＝90（元）或30＋60＝90（元）答：一张桌子90元，一把椅子30元。
例2 腾飞小学为患白血病的同学捐款，六年级捐的款比五年
级的2倍多85元，已知六年级比五年级多捐430元。六年级和五年级
各捐多少元？
图解思路
如上图所示，五年级捐的款是1倍数，六年级比五年级多捐的430
元，相当于五年级的1倍数多85元。
规范解答五年级：（430-85）÷（2-1）＝345（元）
六年级：345×2＋85＝775（元）或345＋430＝775（元）
答：五年级捐了345元，六年级捐了775元。
例3 文逸书店科技书的本数是文艺书的3倍，卖出950本科技
书和120本文艺书后，余下的科技书和文艺书一样多。原来科技书有
多少本？
图解思路
如下图所示，卖出的科技书比文艺书多950-120＝830（本），正
好是原来文艺书的2倍。先求出原来文艺书的本数，再求原来科技书的
本数。
规范解答（950-120）÷（3-1）＝415（本）
415×3＝1245（本）
答：原来科技书有1245本。
例4 甲、乙两人存款数相等，如果甲取出30元，乙存入30
元，那么，乙的存款数恰好是甲的5倍。甲、乙两人这时各有存款多
少元？
图解思路
甲、乙两人原来存款数相等，但现在甲取出30元，乙存入30元，
现在乙就会比甲多出30＋30＝60（元）。如下图所示。
规范解答30＋30＝60（元）
现在甲：60÷（5-1）＝15（元）
现在乙：15×5＝75（元）
答：这时甲有存款15元，乙有存款75元。
例5 有两桶油，甲桶油是乙桶油质量的5倍，如从甲桶中取出
20千克倒入乙桶，那么两桶油质量相等。甲桶油原来有多少千克？
图解思路
“甲桶油是乙桶油质量的5倍”说明甲桶油比乙桶油多4倍。要使
两桶油质量相等，就要把甲桶油比乙桶油多出来的4倍平均分成两份，
取出一份倒入乙桶中。如下图所示。从图中可知，这一份就是20千
克，相当于原来乙桶油的2倍。规范解答
5-1＝4
4÷2＝2
20÷2＝10（千克）
10×5＝50（千克）
答：甲桶油原来有50千克。小试身手
1．育才小学组织学生参观少年科技展览。已知第一天去参观的人
数比第二天多220人，第一天去参观的人数是第二天的3倍，两天各有
多少人去参观？
2．张大妈家养的鸭比鸡多64只，已知鸭的只数比鸡的3倍多4只。
张大妈家养的鸭和鸡各几只？
3．老猫和小猫去钓鱼，老猫钓的鱼是小猫的3倍，如果老猫给小
猫3条后，小猫比老猫还少2条。两只猫各钓了多少条鱼？
4．两筐苹果质量相等，如果从甲筐拿出6千克，乙筐放进14千
克，此时乙筐苹果的质量是甲筐的3倍。甲筐原有苹果多少千克？5．两个仓库各存一批面粉，甲仓库所存的面粉的袋数是乙仓库的
3倍，从甲仓库中运走720千克，从乙仓库运走120千克后，两个仓库所
剩的面粉相等。两个仓库原来各有面粉多少千克？拓展提升
6．三年级（1）班与三年级（2）班原有一样多的图书，后来，三
年级（1）班又买来新书74本，三年级（2）班从本班原有书中拿出96
本送给一年级小同学，这时，三年级（1）班的图书是三年级（2）班
的3倍。两个班原有图书各多少本？
7．三个小朋友折纸飞机，晶晶比亮亮多折12架，强强比亮亮少折
8架，晶晶折的数量是强强的3倍。三个小朋友各折纸飞机多少架？
8．洋洋蔬菜馆运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝
卜300千克后，剩下的两种蔬菜质量相等，蔬菜馆运来的白菜和萝卜各
是多少千克？
9．小华和小兰开学初都买了一些练习本，小华比小兰多买了7
本，如果小兰少买2本，小华多买3本的话，小华的本数就是小兰的3
倍。小华和小兰各买了多少本？10．骡子和驴驮着粮食走在路上，骡子对驴说：“伙计，我可驮
得比你多，如果把你驮的粮食给我一袋，我驮的就是你的三倍。”驴
听后答道：“是呀，你驮的是比我多一点，可是如果你给我2袋，咱俩
驮的就一样多了。”请你算一算，骡子和驴各驮了多少袋粮食？第十章 较复杂的和差问题
答案参见此处知识导航
我们把已知两个数的和及这两个数的差，求这两个数各是多少的
问题，叫作和差问题。如，学校合唱队共有72人，其中男队员比女队
员少6人，合唱队中男、女队员各有多少人？
解答这类问题通常用假设法，同时结合线段图（下图）进行分
析。
解题时，我们可以假设小数增加到与大数同样多，先求大数再求
小数；也可以假设大数减少到与小数同样多，先求小数再求大数。
这类问题的数量关系式是：
（和＋差）÷2＝大数 大数-差＝小数 和-大数＝小数
（和-差）÷2＝小数 小数＋差＝大数 和-小数＝大数图解思维训练题
例1 学校合唱队共有72人，其中男队员比女队员少6人，合唱
队中男、女队员各有多少人？
图解思路
如下图所示，有两种解题思路。
思路一 （和＋差）÷2＝大数
如果男队员增加6人，合唱队的总人数也就增加了6人。这时，男
队员就和女队员一样多，总人数相当于女队员人数的2倍，用总人数除
以2就可以得到女队员的人数，再用女队员的人数减去6求出男队员的
人数。
思路二 （和-差）÷2＝小数如果女队员减少6人，合唱队的总人数也就减少了6人。这时，女
队员就和男队员一样多，总人数相当于男队员人数的2倍，用总人数除
以2就可以得到男队员的人数，再用男队员的人数加上6求出女队员的
人数。
规范解答
解法一 女队员：（72＋6）÷2＝39（人） 男队员：39-6＝
33（人）
解法二 男队员：（72-6）÷2＝33（人） 女队员：33＋6＝
39（人）
答：合唱队中男队员有33人，女队员有39人。
例2 教室图书角的书架上、下两层共放有360本书，如果从上
层取出45本放入下层，这时两层书的数量相等。书架上、下两层原
来各放书多少本？
图解思路
依题意画出线段图，如下图。本题像例1一样也有两种解题思路。
思路一 （和-差）÷2＝小数
原来上、下两层共放了360本书，上层比下层多了2个45本，如果
从上层拿走2个45本，上层剩下的本数就和下层一样多。也就是从360
本中拿走2个45本，得到的就相当于原来2个下层书架中所放书的数
量。据此可以先求出原来下层的数量，再求出上层的数量。
思路二 （和＋差）÷2＝大数
如果下层增加2个45本，下层现在的本数就和上层一样多。也就是
360本再加上2个45本，得到的就相当于原来2个上层书架中所放书的数
量。据此可以先求出原来上层的数量，再求出下层的数量。
规范解答
解法一 上、下两层相差的本数：45×2＝90（本）
下层的本数：（360-90）÷2＝135（本）
上层的本数：135＋90＝225（本）或360-135＝225（本）
解法二 上、下两层相差的本数：45×2＝90（本）
上层的本数：（360＋90）÷2＝225（本）
下层的本数：225-90＝135（本）或360-225＝135（本）
答：书架里上层原来放书225本，下层原来放书135本。例3 三年级期末考试，欢欢语文和数学的平均分是97分，语
文比数学少6分。欢欢的语文和数学成绩各是多少分？
图解思路
“欢欢语文和数学的平均分是97分”说明她语数两科总分是97×2
＝194（分）。依题意画出线段图，如下图。
本题也有两种解题思路。
思路一 （和＋差）÷2＝大数
如果语文增加6分，语数两科总分也就增加了6分。这时，语文就
和数学的分数一样多，语数总分相当于数学的2倍，用总分数除以2就
可以得到数学的分数，再用数学分数减去6求出语文的分数。
思路二 （和-差）÷2＝小数
如果数学减少6分，语数两科总分也就减少了6分。这时，数学就
和语文的分数一样多，语数总分相当于语文的2倍，用总分数除以2就
可以得到语文的分数，再用语文分数加上6求出数学的分数。规范解答
解法一 97×2＝194（分）
数学：（194＋6）÷2＝100（分）
语文：100-6＝94（分）
解法二 97×2＝194（分）
语文：（194-6）÷2＝94（分）
数学：94＋6＝100（分）
答：欢欢的语文成绩是94分，数学成绩是100分。
例4 一部书有上、中、下三册，售价32元。已知上册比中册
贵1元，中册比下册贵2元，这部书的上、中、下三册各多少元？
图解思路如上图所示，上册比下册贵2＋1＝3（元）。可以这样想：如果中
册减去2元，下册减去3元，也就是从总钱数32元中一共减去5元，就相
当于下册钱数的3倍，据此可以先求出下册的钱数，再求中册和下册的
钱数。还可以这样想：如果中册增加1元，下册增加3元，也就是总钱
数32元增加4元，就相当于上册钱数的3倍，据此可以先求出上册的钱
数，再求中册和下册的钱数。
规范解答
解法一 2＋1＝3（元）
下册：（32-2-3）÷3＝9（元）
中册：9＋2＝11（元）
上册：11＋1＝12（元）
解法二 2＋1＝3（元）
上册：（32＋3＋1）÷3＝12（元）中册：12-1＝11（元）
下册：11-2＝9（元）
答：这部书的上册12元，中册11元，下册9元。
想一想，可不可以先求中册的钱数呢？怎么求？
例5 两筐苹果共重64千克，如果从第一筐中取出8千克放入第
二筐后，第一筐苹果就比第二筐少2千克。两筐苹果原来各多少千
克？
图解思路
如上图所示，两筐苹果共重64千克，原来第一筐比第二筐多14千
克。本题也有两种解题思路。
思路一 （和-差）÷2＝小数如果第一筐减少14千克，两筐总质量也减少14千克。这时，第一
筐就和第二筐一样重，两筐总质量相当于第二筐质量的2倍，用两筐总
质量除以2就可以得到第二筐的质量，再用第二筐的质量加上14千克求
出第一筐的质量。
思路二 （和＋差）÷2＝大数
如果第二筐增加14千克，两筐总质量也增加14千克。这时，第二
筐就和第一筐一样重，两筐总质量相当于第一筐质量的2倍，用两筐总
质量除以2就可以得到第一筐的质量，再用第一筐的质量减去14千克求
出第二筐质量。
规范解答
解法一 8-2＋8＝14（千克）
第二筐：（64-14）÷2＝25（千克）
第一筐：25＋14＝39（千克）
解法二 8-2＋8＝14（千克）
第一筐：（64＋14）÷2＝39（千克）
第二筐：39-14＝25（千克）
答：第一筐重39千克，第二筐重25千克。小试身手
1．某小学学生一共有725人，其中男生比女生少125人。男生和女
生各多少人？
2．小明和小华一共有42块糖，如果小明给小华3块糖，这时两人
的糖就一样多。小明和小华原来各有多少块糖？
3．期中考试，波波语文和数学成绩的平均分是98分，数学成绩比
语文多4分。波波的语文、数学成绩各是多少分？
4．两个工程队共有工人230人，后来由于工作需要，从第一队调
走了30人，从第二队调走了10人，这时第一队比第二队还多10人，原
来两队各有多少工人？5．明明和亮亮共有图书70本，如果明明给亮亮5本，亮亮就比明
明多4本。明明和亮亮原来各有多少本图书？拓展提升
6．甲的书比乙多9本，比丙多2本，乙、丙共有书47本。甲、乙、
丙各有多少本书？
7．甲筐装的是苹果，乙筐装的是雪梨，两筐水果共重30千克。如
果从乙筐取出12千克雪梨，筐里的苹果就比雪梨重10千克。问乙筐里
原来有雪梨多少千克？
8．东、西两仓库共存米650吨，如果每天由东仓库运出4吨给西仓
库，10天后两仓库存米数相等。东、西仓库原来存米各多少吨？
9．把150厘米长的绳子分成三段，要使后一段比前一段多10厘
米，那么这三段绳子各长多少厘米？10．东、西两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从两地同
时出发，匀速相向而行，6小时后相遇。已知甲比乙每小时快3千米，
甲、乙两人每小时各行多少千米？第十一章 较复杂的年龄问题
答案参见此处知识导航
凡是与年龄有关的问题，都称为年龄问题。年龄问题要讨论的话
题很多，这类问题主要有以下几个特点：
（1）每人每年增长1岁；
（2）随着时间的向后或向前推移，两人会同时增加或减少相同的
岁数；
（3）不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的；
（4）随着年龄的变化，两人年龄之间的倍数关系也会随之变化。
解答年龄问题时，可借助线段图理解题意，分析题中的数量关
系，大多数还可以结合“差倍问题”“和倍问题”“和差问题”的解
题方法，灵活解题。抓住“年龄差不变”是解答年龄问题的关键。
当年龄问题用“差倍问题”的思路解答时，要抓住“年龄差不
变”这个关键，然后用“年龄差÷年龄的倍数差”先算出作为当时一
倍数的年龄，再算出当时几倍数的年龄。当年龄问题用“和倍问题”
的思路解答时，要先算出几个人的年龄和，然后用“年龄和÷年龄的
倍数和”算出作为当时一倍数的年龄，再算出当时几倍数的年龄。同
时也要注意几年前、几年后几个人年龄的变化。当年龄问题用“和差
问题”的思路解答时，要先算出两人的年龄和与年龄差，用“（年龄
和＋年龄差）÷2＝大年龄”或用“（年龄和-年龄差）÷2＝小年龄”求出当时两人的年龄，最后算出两人现在的年龄。也可以先算出两个
年龄和之间的差距，求中间经过了几年，再算出当时或现在的年龄。图解思维训练题
例1 弟弟今年比姐姐小12岁，姐姐的年龄是弟弟的4倍，问两
人今年各多少岁？
图解思路
这道题可以用“差倍问题”的思路解答。“弟弟今年比姐姐小12
岁”，也就是说“姐姐比弟弟大12岁”。如下图所示，把弟弟的年龄
看作一倍数，姐姐的年龄比弟弟大3倍。这里的3倍就是“倍数差”，
“12岁”就是“年龄差”，它们是相对应的。用“年龄差÷年龄的倍
数差”求出当时一倍数的年龄（即弟弟的年龄），再求出当时几倍数
的年龄（即姐姐的年龄）。
规范解答
弟弟的年龄：12÷（4-1）＝4（岁）
姐姐的年龄：4×4＝16（岁）或12＋4＝16（岁）答：姐姐今年16岁，弟弟今年4岁。
例2 今年小华和爷爷年龄的和是82岁，两年前爷爷的年龄正
好是小华的5倍，那么他们今年各几岁？
图解思路
这道题可以用“和倍问题”的思路解答。今年小华和爷爷年龄的
和是82岁，两年前小华比今年小2岁，爷爷也比今年小2岁，所以他们
的年龄和就比今年小了2＋2＝4（岁），也就是82-2-2＝78（岁）。如
下图所示，从“两年前爷爷的年龄正好是小华的5倍”可知，把两年前
小华的年龄看作1倍数，两年前两人年龄的和是两年前小华年龄的5＋1
＝6（倍），用“两年前两人的年龄和÷两年前两人年龄的倍数和”求
出两年前小华的年龄，再用乘法求出两年前爷爷的年龄，最后用两人
的年龄分别加上2，即可求出两人今年的年龄。
规范解答
两年前两人的年龄和：82-2-2＝78（岁）
两年前小华的年龄：78÷（5＋1）＝13（岁）两年前爷爷的年龄：13×5＝65（岁）
今年小华的年龄：13＋2＝15（岁）
今年爷爷的年龄：65＋2＝67（岁）
答：今年小华15岁，爷爷67岁。
例3 今年父亲的年龄为儿子年龄的9倍，5年后父亲的年龄为
儿子年龄的4倍。今年儿子几岁？
图解思路
5年后，儿子的年龄增加5岁，父亲的年龄也增加5岁。如果把今年
儿子的年龄看作1倍数，5年后父子两人的年龄关系可以用下图表示。
从图中可以清楚地看出，5年后父亲的年龄里有4个儿子今年年龄的1
倍，还有4个5岁。因此，儿子今年年龄的9倍加上5岁等于儿子今年年
龄的4倍加上4个5岁。由此可知，儿子今年年龄的9-4＝5（倍）就是
5×4-5＝15（岁）。从而求出儿子今年的年龄。规范解答
9-4＝5
5×4-5＝15（岁）
今年儿子的年龄：15÷5＝3（岁）
答：今年儿子3岁。
例4 祖孙三人的年龄加在一起正好是100岁，祖父过的年数正
好等于孙子过的月数，儿子过的星期数正好等于孙子过的天数。请
问祖孙三人各几岁？
图解思路
一年有12个月，一个星期有7天。由“祖父过的年数正好等于孙子
过的月数”，可知祖父的年龄是孙子年龄的12倍。由“儿子过的星期
数正好等于孙子过的天数”，可知儿子的年龄是孙子年龄的7倍。画出
线段图，如下图由此可求出三人的年龄。规范解答
1＋7＋12＝20
孙子：100÷20＝5（岁）
儿子：5×7＝35（岁）
祖父：5×12＝60（岁）
答：孙子5岁，儿子35岁，祖父60岁。
例5 小鲸鱼说：“妈妈，我到您现在这么大时，您就31岁
啦！”鲸鱼妈妈说：“我像你那么大年龄时，你只有1岁。”你能根
据他们的对话，算出鲸鱼妈妈和小鲸鱼现在各是多少岁吗？
图解思路
这道题初看起来，提炼不出什么有价值的信息。但如果根据年龄
差不变，画出线段图，问题就迎刃而解了。下图中的粗线条表示小鲸
鱼和鲸鱼妈妈现在的年龄。
从下图可以看出，（31-1）与年龄差的3倍是相对应的。从而求出
年龄差，再根据年龄差分别求出小鲸鱼和鲸鱼妈妈现在的年龄。规范解答
年龄差：（31-1）÷3＝10（岁）
小鲸鱼现在的年龄：1＋10＝11（岁）
鲸鱼妈妈现在的年龄：31-10＝21（岁）
答：鲸鱼妈妈现在21岁，小鲸鱼现在11岁。小试身手
1．爸爸今年42岁，女儿今年10岁，几年前爸爸的年龄是女儿的5
倍？
2．一个家有三口人，三个人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁，
妈妈的年龄是孩子的4倍。三人各几岁？
3．爸爸今年35岁，妈妈今年31岁。当爸爸和妈妈年龄之和等于98
岁时，爸爸和妈妈各是多少岁？
4．张老师今年的年龄比小敏的2倍多8岁，张老师10年前的年龄和
小敏8年后的年龄相等。小敏今年几岁？
5．父子两人今年的年龄和是54岁，父亲比儿子大28岁，那么10年
后父亲几岁？拓展提升
6．哥哥对弟弟说：“当我像你现在这么大时，你才3岁。”弟弟
对哥哥说：“当我长到你现在这么大时，你就是15岁了。”哥哥、弟
弟今年各多少岁？
7．15年前父亲的年龄是儿子的7倍，10年后父亲的年龄是儿子的2
倍。父亲、儿子现在各多少岁？
8．今年奶奶78岁，三个孙子分别是27岁、23岁、16岁，那么多少
年后，奶奶的年龄等于三个孙子的年龄之和？
9．赵叔叔对淘气说：“我15年前的岁数和你6年后的岁数相同；7
年前，我的年龄是你的年龄的8倍。”请问赵叔叔今年多少岁？10．大马年龄是小马年龄的4倍，再过20年大马的年龄比小马的2
倍小14岁。大马、小马现在各几岁？第十二章 重叠问题
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日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常
常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样
在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫作重叠问题。
解答重叠问题的常用方法是先不考虑重叠的情况，把包含于某内
容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目
排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
如下图所示，这种图叫作集合图。有A，B，C三部分的数量，其中
C为A、B的重复部分，则图中的总数量就等于A＋B-C。
这类问题看起来好像很复杂，其实不然。解答问题的关键是画出
示意图，认真分析已知条件，找出哪些是重复的，重复了几次？题目
要求的又是哪一部分？借助示意图进行思考，找到正确的解答方法。图解思维训练题
例1 手风琴和电子琴这两种乐器，学校文艺组的同学每人至
少会演奏其中一种。已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17
人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？
图解思路
如下图所示，左边的椭圆代表会拉手风琴的人数，右边的椭圆代
表会弹电子琴的人数。会拉手风琴的24人中包含了两种乐器都会的8
人，会弹电子琴的17人中也包含了两种乐器都会的8人。这8人是重复
的，重复了1次。所以把会拉手风琴的人数与会弹电子琴的人数相加后
还要减去重复的8人，才是这个文艺组的人数。也可以先算出只会一种
乐器的人数（图中的空白部分），再把只会一种乐器的人数与两种乐
器都会的人数相加（两个空白部分与中间的阴影部分相加）。规范解答
解法一 24＋17-8＝33（人）
解法二 只会拉手风琴的人数：24-8＝16（人）
只会弹电子琴的人数：17-8＝ 9（人）
文艺组的总人数：16＋9＋8＝33（人）
答：这个文艺组一共有33人。
比一比：哪一种方法更简便？
例2 四年级（1）班有45人，许多同学参加了课外小组。参加
音乐组的有22人，参加美术组的有20人，两个组都没参加的有10
人。既参加音乐组又参加美术组的有多少人？
图解思路
根据题意画出下图，用长方形代表全班人数，左边的椭圆代表参
加音乐组的人数，右边的椭圆代表参加美术组的人数。从图中可以看出，两个组都没有参加的有10人，所以参加课外小
组的一共有45-10＝35（人）。然后用参加音乐组的人数加上参加美术
组的人数，再减去参加了课外小组的总人数，就可算出既参加音乐组
又参加美术组的人数了。
规范解答
45-10＝35（人）
22＋20-35＝7（人）
答：既参加音乐组又参加美术组的有7人。
例3 四年级（2）班有48人，其中订了《作文大王》的有32
人，订了《数学大王》的有38人，两种书都订了的有25人，那么：
（1）只订了《作文大王》而没有订《数学大王》的有多少人？
（2）只订了《数学大王》而没有订《作文大王》的有多少人？
（3）有多少人这两种书都没订？图解思路
先画出订书情况示意图，如下图所示。用长方形表示全班人数，
左边的椭圆表示订了《作文大王》的人数，右边的椭圆表示订了《数
学大王》的人数，重叠部分表示同时订了两种书的人数，长方形的其
余部分表示两种书都没有订的人数。
前两小题比较容易，第（3）小题要先求出订书的总人数，再用班
级总人数减去订书总人数，即是两种书都没订的人数。
规范解答
（1）32-25＝7（人）
答：只订了《作文大王》而没有订《数学大王》的有7人。
（2）38-25＝13（人）
答：只订了《数学大王》而没有订《作文大王》的有13人。（3）7＋25＋13＝45（人）48-45＝3（人）或32＋38-25＝
45（人）48-45＝3（人）
答：有3人这两种书都没订。
例4 红星小学四年级组建了美术和科技两个兴趣小组，有100
人参加了。其中参加美术兴趣小组的有75人，两个兴趣小组都参加
的有20人。参加了科技兴趣小组的有多少人？
图解思路
如上图所示，左边的椭圆表示参加美术兴趣小组的人数，右边的
椭圆表示参加科技兴趣小组的人数，相交部分表示两个兴趣小组都参
加的人数。先要用总人数减去参加美术兴趣小组的人数，求出只参加
科技兴趣小组的人数，再用两个兴趣小组都参加的人数加上只参加科
技兴趣小组的人数，得到参加科技兴趣小组的人数。规范解答
100-75＝25（人）
20＋25＝45（人）
答：参加了科技兴趣小组的有45人。小试身手
1．四年级（1）班的同学排队做操，每行人数相同，小明的位置
从左数排第4，从右数排第3，从前数排第5，从后数排第6。四年级
（1）班共有多少人？
2．100位旅游者中，70人懂中文，52人懂英语，还有10人两种语
言都不懂。
（1）懂中文和英语的一共有多少人？
（2）既懂英语又懂中文的有多少人？
（3）只懂中文不懂英语的有多少人？
（4）只懂英语不懂中文的有多少人？3．一个班有36名学生，在一项测试中，答对第一题的有25人，答
对第二题的有23人，两题都答对的有15人。有多少名学生两题都答错
了？
4．三年级有164名学生，参加美术兴趣小组的共有28人，参加音
乐兴趣小组的人数是参加美术兴趣小组人数的2倍，参加体育兴趣小组
的是参加音乐兴趣小组的2倍，如果每人至少参加一个兴趣小组，最多
只能参加两个兴趣小组，那么参加两个兴趣小组的至少有多少人？
5．陈坊小学元旦征文比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在
获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。请问这次比赛
共有多少人获奖？拓展提升
6．四年级（3）班有50人，数学第一单元考试有26人得满分，第
二单元考试有21人得满分。如果这两个单元都没得满分的有17人，那
么，两个单元都得满分的有多少人？
7．星期一的语文、数学课堂作业，一个班有26人语文得了“优秀
作业”，有30人数学得了“优秀作业”，其中两科都得“优秀作业”
的有12人，另外还有8人一个“优秀作业”都没有。这个班共有多少
人？
8．四年级122名同学参加音乐、美术期末考查，每人至少有一科
得优。已知音乐有65人得优，美术有78人得优，求只有音乐得优的人
数。
9．五星小学派出代表队参加中心校秋季田径运动会，其中28名运
动员不是五年级的，24名运动员不是六年级的，已知五、六年级运动
员共有32名。五、六年级和中低年级运动员各有多少名？10．某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项
比赛都获奖了，27人两项比赛都没有获奖，已知作文比赛获奖的有14
人，问数学比赛获奖的有多少人？第十三章 还原问题
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用倒推法来解决的问题叫作还原问题。解这类问题，常常是从最
后得数出发，采用与原题中相反的逆运算方法倒推回去，原题加的用
减，减的用加，乘的用除，除的用乘。在解题过程中要注意两个相
反：一是运算顺序与原来相反；二是运算方法与原来相反。图解思维训练题
例1 某数加上8，乘上8，减去8，除以8，结果还是8，问这个
数是多少?
图解思路
根据题意，可以画出下图：
解题时，要从最后得数出发，采用与原题中相反的逆运算方法，
原题加的用减，减的用加，乘的用除，除的用乘。具体推算过程如
下：
规范解答
（8×8＋8）÷8-8＝1
例2 豆豆在计算一道两位数加法试题时，由于粗心，将其中
一个加数个位上的5看成了9，把另一个加数十位上的7看成了1，结
果所得的和是52，这道题的正确答案是多少？图解思路
规范解答
52-（9-5）＋（70-10）＝52-4＋60＝108
例3 甲、乙、丙三人各有图书若干本。如果甲给乙5本，乙给
丙10本，丙给甲15本，那么三人的图书都是35本，他们原来各有图
书多少本？
图解思路
依题意可知，每个人的图书本数都有两次变化，可画图如下：抓住最后一个条件“三人的图书都是35本”，根据“别人给我
的，我要还回去；我给别人的，我得要回来”的原则向前逆推，就能
得到每个人原来图书的本数。
规范解答
甲原来有：35＋5-15＝25（本）
乙原来有：35-5＋10＝40（本）
丙原来有：35-10＋15＝40（本）
答：甲原来有25本，乙原来有40本，丙原来有40本。小试身手
1．有一个数除以4，乘上5，减去35，加上10，结果等于100，这
个数是多少?
2．老爷爷说：“把我的年龄加上12，再用4除，然后减去15，再
乘上10，恰好是100岁。”这位老爷爷现在有多少岁?
3．小文在计算两个数相加时，把一个加数个位上的1错误地当作
7，把另一个加数十位上的8错误地当作3，所得的和是1995，原来两数
相加的正确答案是多少?拓展提升
4．甲、乙、丙、丁四人共有玻璃珠100颗，甲给乙13颗，乙给丙
18颗，丙给丁16颗，丁给甲2颗后，四人的玻璃珠相等。他们原来各有
玻璃珠多少颗?
5．植树节学校要栽102棵树苗，小勇和小兵两人争着去栽，小勇
先拿了若干树苗，小兵见小勇拿得太多，就抢了10棵，小勇不肯，又
从小兵那里抢回来6棵，这时小勇拿的棵数是小兵的2倍。问：最初小
勇拿了多少棵树苗？
6．商贩的摊子上有一些鸡蛋，第一个人买走了全部的一半多1
个，第二个人买走了剩下的一半多1个，第三个人买走了再剩下的一半
多1个，最后剩下2个鸡蛋。原来有几个鸡蛋？
7．书架有A、B、C三层，共放了192本书。先从A层拿出与B层同样
多的书放进B层，再从B层拿出与C层同样多的书放进C层，最后从C层拿出与A层现有书同样多的书放进A层，这时，三层的书同样多。开始
时，A，B，C三层各有多少本书？第十四章 图形的计数
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我们经常会遇到数图形的问题，比如数线段、数角、数三角形、
数长方形、数正方形……数图形是一类非常有趣的数学问题。解决这
类问题，一般都要先寻找规律，然后按照这个规律去数，这样才能做
到有条理，不重复也不遗漏。要正确数出图形的个数，关键是要从基
本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，
然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。图解思维训练题
例1 数一数，下图中共有多少条线段？
图解思路
上图中有9个点，如果一条一条地数肯定不好数。我们先从简单的
开始，找找有什么规律吧！
我们把相邻两个端点之间的线段叫作基本线段。上图中有3个点，
基本线段有线段1和线段2两条，但线段1和2还可以组合成一条新的线
段，所以一共有2＋1＝3（条）线段。
上图中有4个点，基本线段有线段1、线段2和线段3三条，但线段
1、线段2这两条线段可以组合成一条新的线段；线段2、线段3这两条
线段还可以组合成一条线段；最后线段1、线段2、线段3全部组合起来
还可以组合成一条最长的线段，所以一共有3＋2＋1＝6（条）线段。上图中有5个点，基本线段有线段1、线段2、线段3、线段4这四
条。在组合而成的线段中，由两条基本线段组成的有三条（线段1和线
段2、线段2和线段3、线段3和线段4），由三条基本线段组成的有两条
（线段1、线段2、线段3和线段2、线段3、线段4），由四条基本线段
组成的有一条（线段1、线段2、线段3、线段4），所以一共有4＋3＋2
＋1＝10（条）线段。
综上所述，先在每条基本线段上依次标上1、2、3、4…，找出图
中共有几条基本线段，线段总数量就是从几加到1。如果一条线段中共
有五条基本线段，那么它的线段总数就是从5加到1，即：5＋4＋3＋2
＋1＝15（条）。
规范解答
先在上图中基本线段上标上1到8，再列算式：8＋7＋6＋5＋4＋3
＋2＋1＝36（条）。
再想想，还有别的方法吗？
如果我们把数线段与握手联系起来，把上图想象成9个小朋友，
每两个人握一次手，那么每个人要握8次手，但握手是互相握的，一
共要握9×8÷2＝36（次）手。所以9个点可以连成9×8÷2＝
36（条）线段。如果有n个人，每两人之间握一次手，那么一共要握
n×（n-1）÷2次手。例2 数一数，下图中共有几个三角形？
图解思路
如下图所示，数三角形与数线段方法类似，因为底边BC上的任何
一条线段都对应一个三角形，所以只要看底边BC上共有几条线段，这
个图形就共有几个三角形。
规范解答
5＋4＋3＋2＋1＝15（个）
例3 数一数，下图中共有多少个长方形？图解思路
长方形是由长和宽两对线段围成的，例题图中共有多少个长方形
与长的线段数有关，与宽的线段数也有关。像这类横竖规范分割的图
形，数长方形的时候，可以先看长边上共有几条线段，宽边上共有几
条线段，如下图所示，再用“长边上的线段总数×宽边上的线段总
数”求出这个图形所包含的长方形的总个数。
规范解答
长边上的线段总数：3＋2＋1＝6（条）
宽边上的线段总数：2＋1＝3（条）
长方形的总个数：6×3＝18（个）
例4 数一数，下图中一共有多少个正方形？图解思路
数长方形可以用“线段”来数，而数正方形却要用“块”来数。
如下图所示，这个图整个大图是一个正方形，基本图形（小正方形）
有9个［即3×3＝9（个）］，其余的可以分块数。先数2×2的，含有4
个小正方形的正方形，在图形ABFE中有2个（①②⑤④和②③⑥⑤），
在图形CDHG中也有2个（④⑤⑧⑦和⑤⑥⑨⑧），一共是2×2＝
4（个），再数3×3的，含有9个小正方形的正方形只有1个［即1×1＝
1（个）］。再求和即可。规范解答
一共有正方形3×3＋2×2＋1×1＝14（个）。
例5 数一数，下图中一共有多少个正方形？
图解思路本题与例4有点不同，虽然都是由基本的小正方形组成的，但整个
大图形是一个长方形，因此数法也有所改变。如上图所示，基本小正
方形有5×4＝20（个）；2×2的含有4个小正方形的正方形，在图形
ABFE中有4个（也就是比长边上小正方形的个数少1个），在图形CDHG
中有4个，在图形EFJI中也有4个，一共有4×3＝12（个）；3×3的含
有9个小正方形的正方形，在图形ABHG中有3个（也就是比长边上小正
方形的个数少2个），在图形CDJI中也有3个，一共有3×2＝6（个）；
4×4的含有16个小正方形的正方形有2×1＝2（个）。
规范解答小试身手
1．数出下图中共有多少条线段？
2．数一数，下图中共有多少个角？
3．数一数，下图中共有多少个长方形？4．数一数，下图中共有多少个正方形？拓展提升
5．20个点一共可以连成多少条线段？
6．数一数，下图中共有多少个三角形？
7．按要求数一数。8．从下面两个图形中，你各能找出多少个平行四边形，多少个梯
形？第十五章 巧求周长
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周长是指围成一个平面图形的所有线段（或曲线）的长度的总
和。我们已经学会了求长方形、正方形这些标准图形的周长，那么怎
样运用长方形、正方形的周长计算公式，巧妙地求一些稍有变化的图
形的周长呢？下面就一起来探讨这样的问题。图解思维训练题
例1 小宝学拼图，把3个边长是6厘米的正方形拼成一个长方
形。这个长方形的周长是多少厘米？
图解思路
如上图所示，拼成的长方形的长是6×3＝18（厘米），宽是6厘
米，根据“（长＋宽）×2”可以求出这个长方形的周长。从图中还可
以看出：每两个正方形拼在一起，就会有两条边重合，三个正方形拼
在一起，就会有4条边重合，那么拼成的长方形的周长就会减少正方形
的4个边长的长度。
规范解答
解法一 （6×3＋6）×2＝24×2＝48（厘米）
解法二 6×4×3-6×4＝72-24＝48（厘米）
答：这个长方形的周长是48厘米。例2 把一个周长40厘米的长方形分成四个完全一样的正方
形，每个正方形的周长是多少厘米？
图解思路
根据题意画图如下，长方形的周长相当于10条小正方形的边长的
总和，因此一条正方形的边长为40÷10＝4（厘米），然后利用正方形
周长公式求出一个正方形的周长。
规范解答
40÷10＝4（厘米）
4×4＝16（厘米）
答：每个正方形的周长是16厘米。
例3 把一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸沿长或宽对折，再
对折，得到的图形的周长可能是多少厘米？
图解思路可以根据题意先拿纸折一折，折出的图形展开后有以下几种情
况：
如上图所示，不同的折法，折出的小图形的周长是不同的。
图（1）：折出的小长方形的长和宽都是原来长方形长和宽的一
半。要先求出小长方形的长和宽，再求周长。
图（2）：折出的小长方形的长是原来长方形的长，宽是原来长方
形宽的 （即把原来的宽除以4可以得到）。
图（3）：折出的小长方形的宽是原来长方形的宽，长是原来长方
形长的 （即把原来的长除以4可以得到）。
规范解答
（1）12÷2＝6（厘米）8÷2＝4（厘米）（6＋4）×2＝20（厘
米）
（2）8÷4＝2（厘米）（12＋2）×2＝28（厘米）
（3）12÷4＝3（厘米）（3＋8）×2＝22（厘米）
答：得到的图形的周长可能是20厘米、22厘米、28厘米。例4 有6块边长是2厘米的正方形卡片，像下图那样重叠起
来，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。
图解思路
我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、下平
移，如下图，转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和原来6个小
正方形重叠后的图形的周长相等。规范解答
（2＋5）×4＝28（厘米）
答：重叠后图形的周长是28厘米。
例5 把一个正方形分成3个完全一样的长方形，每个长方形的
周长为72厘米，求原来正方形的周长。
图解思路
根据题意画图如下。从上图可以看出，这三个长方形周长的和是长方形的6条长与6条
宽的和，而长方形的长与正方形的边长相等，3条宽的长度等于正方形
一条边的长度，所以这三个长方形周长的和相当于8条正方形边长的长
度。进而可求出正方形的边长，从而求出正方形的周长。
规范解答
正方形的边长：72×3÷8＝27（厘米）
正方形的周长：27×4＝108（厘米）
答：原来正方形的周长是108厘米。小试身手
1．把5个边长为3厘米的小正方形拼成一个长方形，这个长方形的
周长是多少厘米？
2．把4个边长为5厘米的正三角形拼成一个大正三角形，如下图，
这个大正三角形的周长是多少？
3．把周长为60分米的长方形分成五个完全一样的正方形，每个正
方形的周长是多少分米？4．求下面各图的周长。（单位：厘米）
5．如下图，把一个正方形分成2个完全一样的长方形，每个长方
形的周长是60厘米，求原来正方形的周长。拓展提升
6．用一个长为12分米、宽为60分米的长方形与两个边长为6分米
的正方形拼成一个大的正方形，如下图，拼成的大正方形的周长是多
少分米？
7．一个正方形被分成5个完全一样的长方形，如下图，每个长方
形的周长都是60厘米。原来正方形的周长是多少厘米？8．两个长为10厘米、宽为4厘米的长方形，把它们按照下图的样
子叠在一起，这个图形的周长是多少厘米？9．四个一样的长方形和一个正方形拼成了一个大正方形，如下
图，每个长方形的周长是14分米，小正方形的边长是2分米。求大正方
形的周长。（提示：大正方形的边长与长方形的长和宽有什么关
系？）
10．下图是边长为5厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。第十六章 巧求面积
答案参见此处知识导航
同学们都知道，物体的表面或封闭图形的大小，叫作物体的面
积。我们已经学会运用公式求长方形和正方形的面积了。但是，在平
时的学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比较
复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。这就需要我们切实掌
握有关概念，利用“割补”“平移”“旋转”“分解”“合并”等转
化方法，化难为易，化繁为简，从而正确解决问题。图解思维训练题
例1 一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积就
增加54平方米；如果长不变，宽减少4米，那么它的面积就减少48平
方米。这个长方形的面积是多少平方米？
图解思路
如下图所示，这个长方形的宽用“增加的面积÷增加的长”可以
求出，长用“减少的面积÷减少的宽”可以求出，然后用“长×宽”
求出面积。
规范解答
宽：54÷6＝9（米）
长：48÷4＝12（米）
面积：9×12＝108（平方米）
答：这个长方形的面积是108平方米。例2 下图中大正方形的边长比小正方形的边长多4厘米，大正
方形的面积比小正方形的面积多96平方厘米。大正方形和小正方形
的面积各是多少平方厘米？
图解思路
如下图所示，把大正方形比小正方形多出的96平方厘米分成了三
部分。这三部分中一部分是带阴影的小正方形，另外两个部分是没有
阴影的长方形。可以先求出带阴影的小正方形的面积，再用多出的96
平方厘米减去带阴影的小正方形的面积，得到两个长方形的面积，再
除以2就是一个长方形的面积。长方形的面积知道了，再除以宽就是
长。这个长等于小正方形的边长，边长求出来了，面积就迎刃而解
了。规范解答
带阴影的小正方形的面积：4×4＝16（平方厘米）
一个长方形的面积：（96-16）÷2＝40（平方厘米）
长方形的长（也就是小正方形的边长）：40÷4＝10（厘米）
小正方形的面积：10×10＝100（平方厘米）
大正方形的面积：100＋96＝196（平方厘米）
答：大正方形的面积是196平方厘米，小正方形的面积是100平方
厘米。
例3 四个完全一样的长方形和一个正方形拼成了一个大正方
形，见下图，如果大正方形的面积是121平方分米，小正方形的面积
是9平方分米。每个长方形的长是多少分米？图解思路
如下图所示，用大正方形面积减去小正方形的面积再除以4，得到
一个长方形的面积。要求出长方形的长，还要先求出长方形的宽。由“大正方形的面积是121平方分米”可知它的边长是11分米，由
“小正方形的面积是9平方分米”可知它的边长是3分米。而大正方形
的边长相当于两个长方形的宽加上小正方形的边长，所以每个长方形
的宽是（11-3）÷2＝4（分米）。然后用“每个长方形的面积÷宽”
求出长。
规范解答
每个长方形的面积：（121-9）÷4＝28（平方分米）
每个长方形的宽：（11-3）÷2＝4（分米）
每个长方形的长：28÷4＝7（分米）
答：每个长方形的长是7分米。例4 用长是6厘米、宽是1厘米的12张小纸条像下图一样拼成
一个大正方形。求图中阴影部分的面积。
图解思路如上图所示，拼成的正方形的边长是小纸条的3个宽加上一个长，
即3＋6＝9（厘米）。求图中阴影部分的面积，用大正方形的面积减去
12张小纸条的面积。
规范解答
大正方形的边长：3＋6＝9（厘米）
大正方形的面积：9×9＝81（平方厘米）
12张小纸条的面积：6×1×12＝72（平方厘米）
阴影部分的面积：81-72＝9（平方厘米）
答：阴影部分的面积是9平方厘米。
想一想，还有没有别的方法？很显然，阴影部分是一个小正方形，也可以直接求出这个小正
方形的边长，再求出它的面积。6-3＝3（厘米），3×3＝9（平方厘
米）。
例5 把20厘米长的线段分成两段，并且在每一段上作一正方
形，见下图。已知两个正方形的面积相差40平方厘米，大正方形的
面积是多少平方厘米？
图解思路
这道题相对来说比较复杂。我们可以把小正方形移至大正方形里
面进行分析。两个正方形的面积相差40平方厘米，就是指图中的A和B
两部分［图（2）］。如果把B移到原来小正方形的上面［图（3）］，
不难看出，A和B正好组成一个长方形，这个长方形的面积就是40平方
厘米，因为长是20厘米，所以宽是40÷20＝2（厘米），即大、小两个
正方形的边长相差2厘米。因此，小正方形的边长就是（20-2）÷2＝9（厘米）。大正方形的边长就是9＋2＝11（厘米），面积是11×11＝
121（平方厘米）。
规范解答
40÷20＝2（厘米）
小正方形的边长：（20-2）÷2＝9（厘米）
大正方形的边长：9＋2＝11（厘米）
大正方形的面积：11×11＝121（平方厘米）
答：大正方形的面积是121平方厘米。小试身手
1．如下图，已知AB为8分米，BD为6分米，长方形AFHC和长方形
BEGD的面积分别为20平方分米和36平方分米，求阴影部分的面积。
2．如下图，已知大正方形的面积比小正方形多52平方分米，大正
方形的边长比小正方形多2分米。小正方形的面积是多少？大正方形的
面积是多少？3．如下图，有一块长方形草地，长20米，宽15米。在它的四周向
外筑一条宽2米的石子小路，求石子小路的面积。
4．如果把一个长方形的长增加6分米，面积就比原来增加48平方
分米，如果把宽增加4分米，面积也比原来增加48平方分米。这个长方形原来的面积是多少平方分米？
5．有一个周长是72厘米的长方形，它是由三个大小相等的正方形
拼成的。这个长方形的面积是多少平方厘米？拓展提升
6．有一个小长方形，它和一个正方形拼成了一个大长方形ABCD，
如下图。已知大长方形ABCD的面积是35平方厘米，且周长比原来小长
方形的周长多10厘米。求原来小长方形的面积。
7．下图的每条边都垂直于与它相邻的边，并且28条边的长都相
等。如果此图的周长是56厘米，那么，这个图形的面积是多少？8．7个完全相同的长方形拼成了下图中的阴影部分，图中空白部
分的面积是多少平方厘米？9．如下图，正方形中套着一个长方形，正方形的边长是8分米，
长方形的四个角的顶点恰好把正方形四条边分成两段，其中长的一段
是短的一段的3倍。阴影部分的面积是多少平方分米？
10．如下图，一个长方形，如果长增加5厘米，宽增加8厘米，就
成了正方形，面积比原来增加了181平方厘米。原来长方形的面积是多
少？第十七章 相遇问题
答案参见此处知识导航
两个物体同时或不同时从两地出发，相向而行，经过一段时间，
必然会在途中相遇，这类题我们把它称为相遇问题。相遇问题是研究
路程、速度、时间和三者数量之间关系的问题。它和一般的行程问题
的区别在于：不是一个物体的运动，而是两个物体的运动。所以，它
研究的速度包含两个物体的速度，也就是速度和。相遇问题的基本数
量关系式是：速度和×相遇时间＝总路程；总路程÷速度和＝相遇时
间；总路程÷相遇时间＝速度和。图解思维训练题
例1 小华和小丽分别从相距20千米的甲、乙两地同时出发相
向而行，2小时后两人相遇。如果小华每小时走6千米，那么小丽每
小时走多少千米？
图解思路
根据题意画出线段图，从下图可以看出，用“总路程-小华行的路
程”可以求出小丽行的路程，再用“小丽行的路程÷2”求出小丽的速
度。还可以根据“总路程÷相遇时间”求出速度和，再用“速度和-小
华的速度”求出小丽的速度。
规范解答
解法一 （20-6×2）÷2＝4（千米）
解法二 20÷2-6＝4（千米）答：小丽每小时走4千米。
例2 妈妈从家出发到学校去接小红，每分钟走75米。她走了3
分钟后，小红才从学校出发。小红每分钟走60米，再过5分钟两人相
遇。小红家到学校有多少米？
图解思路
本题是出发有先有后的行程问题，根据题意画出线段图。
从上图可以看出，可以用妈妈先走的那段路程加上后来两人同时
行走的那段路程，就是小红家到学校的路程。还可以这样认为，妈妈
一共行走了3＋5＝8（分钟），小红只行走了5分钟，用妈妈8分钟行走
的路程加上小红5分钟行走的路程，就等于小红家到学校的路程。
规范解答
解法一 75×3＋（75＋60）×5＝900（米）
解法二 75×（3＋5）＋60×5＝900（米）答：小红家到学校有900米。
例3 甲、乙两人同时从A、B两地骑自行车相向而行，甲每小
时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两
地的距离。
图解思路
根据题意画出线段图。
从上图可以看出，甲骑得快，乙骑得慢，相遇时甲超过中点3千
米，乙离中点还有3千米，也就是说甲比乙多骑了3＋3＝6（千米）。
而甲每小时比乙多骑15-13＝2（千米），6千米里面有几个2千米，相
遇时间就是几。求出相遇时间，再用“速度和×相遇时间”求出两地
间的距离。
规范解答
相遇时间：（3＋3）÷（15-13）＝3（小时）
两地距离：（15＋13）×3＝84（千米）答：两地的距离是84千米。小试身手
1．两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，一辆汽车每小时行56千
米，比另一辆汽车慢7千米，经过4小时相遇。甲、乙两地相距多少千
米？
2．甲、乙两地相距492千米，一辆汽车从甲地开往乙地，2小时
后，一辆摩托车从乙地开往甲地，4小时后与迎面开来的汽车相遇。已
知汽车每小时行52千米，摩托车每小时行多少千米？
3．一辆汽车和一辆摩托车同时分别从相距720千米的甲、乙两地
出发，相向而行，汽车每小时行50千米，摩托车每小时行40千米。经
过9小时，两车相遇后又相距多少千米？
4．聪聪和明明两人同时从甲、乙两地骑车相向而行。聪聪每小时
行20千米，明明每小时行18千米，两人相遇时距中点2千米。甲、乙两
地相距多少千米？拓展提升
5．甲、乙两车分别从相距480千米的A、B两城同时出发，相向而
行，已知甲车从A城到B城需6小时，乙车从B城到A城需12小时。两车出
发后多少小时相遇？
6．甲、乙两人从相距2540米的两村相对走来，甲每分钟走60米，
乙每分钟走55米。两人相遇时乙走了1100米，甲比乙先出发几分钟？
7．父子两人同时从相距1800米的两地相向而行，父亲每分钟行
100米，儿子每分钟行80米。如果一只狗与父亲同时同向而行，每分钟
行500米，遇到儿子后，立即掉头向父亲跑去；遇到父亲后再掉头向儿
子跑去，这样来回不断地跑，直到父子相遇为止。请问狗共跑了多少
米？
8．小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5
米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，
两人从出发到第二次相遇需多长时间？9．龟、兔进行2000米赛跑，龟每分钟跑25米，兔每分钟跑320
米。兔自以为比龟跑得快，就在途中睡了一觉，结果龟到达终点时，
兔离终点还有400米。兔在途中睡了多少分钟？第十八章 追及问题
答案参见此处知识导航
两个运动物体在不同地点同时出发，或者在同一地点而不是同时
出发，做同向运动。在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速
度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的。这类行程问题叫作
追及问题。追及问题的基本数量关系是：路程差÷速度差＝追及时
间，速度差×追及时间＝路程差，路程差÷追及时间＝速度差。图解思维训练题
例1 甲、乙两人分别从相距24千米的A、B两地同时向东而
行，甲骑自行车每小时行12千米，乙步行每小时走4千米。几小时后
甲可以追上乙？
图解思路
本题是一道基本的追及问题。根据题意画出线段图。
由上图可知，甲追上乙时，比乙要多行了24千米（路程差）。甲
骑自行车每小时行12千米，乙步行每小时走4千米，甲每小时比乙多行
12-4＝8（千米）（速度差），即甲每小时可以追上乙8千米，所以要
求追上乙所用的时间，就是求24千米里面有几个8千米，也就是“路程
差÷速度差＝追及时间”。
规范解答
24÷（12-4）＝3（小时）答：3小时后甲可以追上乙。
例2 甲、乙两个学生从学校到少年活动中心去，甲每分钟走
60米，乙每分钟走50米。乙走了4分钟后，甲才开始走。甲要走多少
分钟才能追上乙？
图解思路
根据题意画出线段图。
从上图可以看出，“乙走了4分钟后，甲才开始走”，说明甲动身
的时候，乙已经距离学校50×4＝200（米）了。这个200米就是路程
差，根据“路程差÷速度差”即可求出追及时间。
规范解答
50×4÷（60-50）＝200÷10＝20（分钟）
答：甲要走20分钟才能追上乙。例3 一辆大卡车上午9时从甲城出发，以每小时40千米的速度
向乙城驶去，2小时后，一辆小轿车以每小时70千米的速度也从甲城
出发向乙城行驶，当小轿车到达乙城时，大卡车距离乙城还有100千
米，问小轿车是什么时候到达乙城的？
图解思路
根据题意画出线段图。
从上图可以看出，小轿车出发时，大卡车已经行了40×2＝80（千
米）。小轿车在从甲城行驶到乙城的过程中，不仅要追上大卡车，还
要超过100千米。在相同的时间里，小轿车要比大卡车多行80＋100＝
180（千米）的路程，这个就是路程差。根据“路程差÷速度差”即可
求出追及时间，再算出小轿车到达乙城的时刻。
规范解答
路程差：40×2＋100＝180（千米）
追及时间：180÷（70-40）＝6（小时）
小轿车到达乙城的时刻：9＋2＋6＝17（时）17-12＝5（时）
答：小轿车是在下午5时到达乙城的。小试身手
1．两辆汽车相距1500米，甲车在乙车前面，甲车每分钟行610
米，乙车每分钟行660米，乙车追上甲车需要几分钟？
2．我骑兵以每小时25千米的速度追击敌人。当到某城时，得知敌
人已逃跑了2小时。已知敌人逃跑的速度为每小时15千米，我骑兵几小
时可以追上敌人？
3．甲、乙两人沿400米的环形跑道跑步，甲每分钟跑290米，乙每
分钟跑270米。如果两人同时从起跑线上同方向跑，那么甲经过多长时
间才能第一次追上乙？拓展提升
4．小明步行上学，每分钟行70米。离家12分钟后，爸爸发现小明
的文具盒忘在家中，立即带着文具盒，骑自行车以每分钟280米的速度
去追小明。爸爸出发后几分钟能追上小明？
5．甲、乙两地相距120千米，上午7点，一辆汽车和一辆马车分别
从甲、乙两地同时出发，同向而行，马车在前，汽车在后，汽车的速
度是每小时行50千米，马车的速度是每小时行30千米。那么汽车追上
马车时是什么时间？
6．老王和老张从甲地到乙地开会，老张骑自行车的速度是15千
米/时，先出发2小时后，老王才出发，老王用了3小时才追上老张，求
老王的骑车速度。
7．A、B两地相距900千米，甲车行完全程需15小时，乙车行完全
程需12小时。甲车出发2小时后，乙车才出发去追甲车，问乙车要行多
少千米才能追上甲车？第十九章 列车过桥问题
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列车过桥问题是行程问题的一种，也有路程、速度与时间之间的
数量关系，同时还涉及车长、桥长等问题。从车头上桥一直到车尾离
开桥，才算列车通过了桥，所以列车过桥所行驶的路程等于车长加桥
长。解答此类问题时，要注意车身的长度。基本数量关系是：过桥时
间＝（车长＋桥长）÷车速。图解思维训练题
例1 一列火车长200米，它以每秒10米的速度通过一座800米
长的大桥，从车头上桥到车尾离开桥共需要多少秒？
图解思路
根据题意画出示意图。
从上图可以看出，火车完全通过桥，是指从车头开始上桥到车尾
离开桥，这段路程应该是“桥长＋车长”。根据“路程÷速度＝时
间”，就可以求出火车通过大桥的时间。
规范解答
（800＋200）÷10＝100（秒）
答：从车头上桥到车尾离开桥共需要100秒。例2 一列火车长360米，这列火车每秒行45米。从车头进入隧
道口，到全车驶出隧道总共用了20秒。问这个隧道长多少米？
图解思路
根据题意画出示意图。
从上图可以看出，火车通过隧道所走的路程包括隧道长度和车
长。根据“速度×时间＝路程”求出路程，再减去车长，就等于隧道
的长。
规范解答
20×45-360＝540（米）
答：这个隧道长540米。
例3 一列火车通过530米的桥需40秒，以同样的速度通过380
米的桥需30秒。求这列火车的速度和车长。
图解思路根据题意画出示意图。
从上图可以看出，火车40秒行驶的路程＝第一座桥长＋车长，火
车30秒行驶的路程＝第二座桥长＋车长。比较上面两种情况，由于车
长与车速都不变，所以可以得出火车40-30＝10（秒）能行驶530-380
＝150（米），由此可以求出火车的速度，车长也好求了。
规范解答
火车速度：（530-380）÷（40-30）＝150÷10＝15（米/秒）
火车长度：15×40-530＝70（米）
答：这列火车的速度是15米/秒，车长是70米。小试身手
1．一列火车长300米，以每分钟750米的速度通过一条长1200米的
隧道，共需要多少分钟？
2．一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大
桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？
3．一列火车通过一座长546米的桥要用80秒，用同样的速度通过
一条长346米长的隧道要用60秒。求这列火车的速度和车长。拓展提升
4．一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5
秒，求大桥的长度。
5．小明站在铁路上方的天桥上，一列火车从他身下开过用了2分
钟。已知这列火车长1000米，如果它以同样的速度通过了一座大桥，
用了6分钟。这座大桥长多少米？
6．一列火车穿越一个长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通
过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车身长度。第二十章 流水行船问题
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船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送
或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫
作流水行船问题。解答这类问题，要弄清船速与水速，船速是船只本
身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度，水速是水流的速
度。这类问题的主要特点是，水速在船逆水行驶和顺水行驶中的作用
不同。船顺水航行时的速度等于它在静水中的速度（船速）与水流速
度之和。这是因为顺水时，船一方面按自己在静水中的速度在水面上
行进，同时这艘船又在按着水的流动速度前进。相反，船只逆水航行
的速度是船速与水速之差。
基本数量关系：
顺水速度＝船速＋水速
逆水速度＝船速-水速
静水速度（船速）＝（顺水速度＋逆水速度）÷2
水速＝（顺水速度-逆水速度）÷2图解思维训练题
例1 某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游的甲港
开往下游的乙港用了6小时。已知水速为每小时3千米。此船从乙港
返回甲港需要多少小时？
图解思路
根据题意画出线段图。
从上图可以看出，从上游开往下游是顺水，从下游返回上游是逆
水。这道题要先求出船顺水的速度，再用“顺水速度×顺水航行的时
间”求出甲、乙两港之间的路程，最后除以逆水返回的速度，求出返
回的时间。
规范解答
顺水速度：15＋3＝18（千米/时）
两港之间的路程：18×6＝108（千米）逆水速度：15-3＝12（千米/时）
逆水返回的时间：108÷12＝9（小时）
答：此船从乙港返回甲港需要9小时。
例2 甲、乙两船在静水中的速度分别是24千米/时和32千米/
时。两船从相距336千米的A、B两港同时出发相向而行，几小时后相
遇？
图解思路
根据题意画出线段图。
从上图可以看出，这也是相遇问题，如果是在陆地上就很简单
了，就用“总路程÷速度和＝相遇时间”。但这是在水中，要考虑到
有个水速。速度和在这里会不会受到影响呢？我们假设甲船是顺水而
下，乙船是逆流而上。因为甲船的顺水速度＝甲船速度＋水速，乙船
的逆水速度＝乙船速度-水速，所以速度和＝甲船的顺水速度＋乙船的逆水速度＝（甲船速度＋水速）＋（乙船速度-水速）＝甲船速度＋乙
船速度。由此可见，速度和不受水速的影响。
规范解答
336÷（24＋32）＝6（小时）
答：6小时后相遇。
例3 甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙
港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求该船在
静水中的速度（船速）和水流速度。
图解思路
根据题意画出线段图。
因为顺水速度＝船速＋水速，逆水速度＝船速-水速，所以顺水速
度＋逆水速度＝（船速＋水速）＋（船速-水速）＝船速＋船速，船速
＝（顺水速度＋逆水速度）÷2；顺水速度-逆水速度＝（船速＋水
速）-（船速-水速）＝水速＋水速，水速＝（顺水速度-逆水速度）÷2。因此根据线段图，先求出该船的顺水速度和逆水速度，再求出船
速和水速。
规范解答
顺水速度：208÷8＝26（千米/时）
逆水速度：208÷13＝16（千米/时）
船速：（26＋16）÷2＝21（千米/时）
水速：（26-16）÷2＝5（千米/时）
答：该船在静水中的速度（船速）是21千米/时，水流速度是5千
米/时。小试身手
1．一艘轮船在静水中航行，每小时行15千米，水流的速度为每小
时3千米。这艘轮船顺水航行270千米到达目的地，用了几个小时？
2．一艘客船顺水航行1000千米用了20小时。已知水速为每小时5
千米，那么该船在静水中的速度是多少？
3．一艘客船顺水航行1000千米用了20小时。已知水速为每小时5
千米，如果逆水返回需要多少小时？
4．两个码头相距360千米，一艘汽艇顺水9小时行完全程，逆水12
小时行完全程，求该汽艇在静水中的速度和水流速度。拓展提升
5．甲、乙两码头相距144千米，一只船从甲码头顺水航行8小时到
达乙码头，已知船在静水中每小时行驶15千米，这只船返回甲码头需
几小时?
6．两个码头相距418千米，一艘客船顺流而下行完全程需要11小
时，逆流而上行完全程需要19小时，求这条河的水流速度。
7．一艘轮船在静水中的速度是每小时18千米，水流速度是每小时
2千米。这艘轮船现在从甲地逆水行到乙地需15小时，那么从乙地顺水
返回甲地需要几小时？
8．一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，
这只船逆水行这段路程需用几小时？第二十一章 植树问题
答案参见此处知识导航
植树问题是一种典型的数学问题。它是根据不同的需要在一定的
线路上，根据总路程（植树路线全长）、间隔长（常说段，指两棵树
之间的间隔距离）和所需棵数（指植树的总棵数）之间的关系进行植
树的问题。其分类和日常生活中与此类似的问题如下图所示。图解思维训练题
例1 春天来了，小朋友们来到一条长100米的小路一边植树，
从头到尾每隔5米种一棵，一共要种多少棵树？
图解思路
根据题意可知这种情况属于“两端都种”的类型。为了更好地理
解“棵数＝段数＋1”，请看如下图所示的分析过程：
规范解答
一共有几个间隔：100÷5＝20（个）
一共要种几棵树：20＋1＝21（棵）答：一共要种21棵树。
想一想：如果只在小路边的一端种树，而另一端不种，那么一
共要种几棵树？你会用图来说明理由吗？如果在小路的两端都不种
呢？
例2 在一条80分米长的绳子上打结，每隔2分米打一个结，如
果两端都不打结，一共需要打多少个结？
图解思路
如上图所示，因为两端都不打结，所以段数（80分米里面有几个2
分米）要比打结的个数多1。也就是说，打结的个数比段数少1。因此
要先求出段数，再求打结的个数。
规范解答
一共有几段：80÷2＝40（段）
一共要打几个结：40-1＝39（个）
答：一共需要打39个结。例3 在一个周长为60米的池塘边栽树，每隔4米栽一棵树，一
共可以栽多少棵树？
图解思路
不论这个池塘是什么形状，种的树都可以围成一个封闭的图形。
从下面的图中的几种情况可以看出，在封闭的图形中有几个间隔，就
能种几棵树，即间隔数（段数）＝棵数。
规范解答
60÷4＝15（棵）
答：一共可以栽15棵树。
例4 把一根木材锯成6段要30分钟，请问每锯一次要多少分
钟？
图解思路如上图所示，一根木头锯1次就变成2段、锯2次就变成3段、锯3次
就变成4段，也就是说锯的次数比锯的段数少1。
规范解答
锯成6段要锯几次：6-1＝5（次）
每锯一次要几分钟：30÷5＝6（分）
答：每锯一次要6分钟。
例5 时钟3点钟敲3下，6秒敲完。那么9点钟敲9下，多少秒可
以敲完呢？图解思路
如上图所示，时钟敲3下时，中间有2个间隔，那么每次间隔时间
为6÷（3-1）＝3（秒）。我们可以把时钟每敲一下当作植树问题中的
棵数，间隔时间就是植树问题中的段，这也是一个“两端都种”的植
树问题。所以到9点钟敲9下，中间共有8个间隔，也就是8个3秒。
规范解答
6÷（3-1）×（9-1）＝24（秒）
答：24秒可以敲完。小试身手
1．同学们要在校园里的一条长120米的小路一侧种树，每隔4米种
一棵。
（1）如果路的两端都种一棵，共需多少棵树苗？
（2）如果只有一端种树，需要多少棵树苗？
（3）如果两端都不种树，需要多少棵树苗？
（4）如果要在小路的两旁都种树，又有几种情况呢？请用算式来
说明。
2．饭后，老师在校园的林荫道上散步，从第1棵树走到第6棵树用
了10分钟。用同样的速度走到第25棵树时，用了多少分钟？3．时钟2点钟敲2下，用时4秒。11点钟敲11下，用多少秒敲完？
4．豆豆家住7楼，每层有16个台阶。豆豆从1楼到家要走过多少级
台阶？拓展提升
5．兰兰家住的楼房每上一层要走18级台阶，兰兰每天回家时要走
108级台阶。请问兰兰家住几楼？
6．在学校走廊一侧，每隔4米放一盆米兰，从起点到终点一共放
了18盆米兰。你知道这条走廊有多长吗？
7．有5根木料，每根木料要求锯成4段，每锯开一处需6分钟。全
部锯完需要多少分钟？
8．湖边春色分外娆，一树梨花两树柳；绕湖一圈三千米，五米一
棵都能找；漫步湖边景色怡，可知梨柳各几何？
9．有一块三角形的草坪，如下图，在草坪的周围每隔6米栽一棵
桃树，在相邻的两棵桃树之间等距离栽2棵月季花。一共栽了多少棵桃树？每两棵月季花相距多少米？第二十二章 方阵问题
答案参见此处知识导航
学生排队，士兵列队，横着排叫作行，竖着排叫作列。如果行数
与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫作
方阵。在数学上，人们通常称这类问题为方阵问题。方阵问题有两
种：实心方阵和空心方阵。如果排列成的方阵是“实心”的，即在所
排的正方形里所有应布点的位置上都布满了点的方阵，叫实心方阵，
也叫中实方阵；如果排列成的方阵的中间是空白的，即在所排的正方
形中间没有布点的方阵，叫空心方阵，也叫中空方阵。方阵不论在哪
一层，每边上的人（或物）的数量都相同。每向里一层，每边上的人
（或物）数就少2，相邻两层的总数量相差8。解方阵问题时，应注意
观察方阵中行列的排列规律，找出巧妙的解法。其基本数量关系为：
（1）每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系（适用于两种
方阵）
（2）实心方阵［图（1）］：总人（或物）数＝每边人（或物）
数×每边人（或物）数（3）空心方阵［图（2）］：空心方阵分成四个相等的长方形计
算，每个长方形内人（或物）的个数＝［最外层每边人（或物）数-层
数］×层数，所以这个空心方阵总人（或物）数＝［最外层每边人
（或物）数-层数］×层数×4图解思维训练题
例1 为迎接六一儿童节，学校举行团体操表演。四年级学生
排成如下图所示的方阵，最外层每边站了15人，最外层一共有多少
名学生？整个方阵一共有多少名学生？
图解思路
根据题意可以把题中的图简化成如下图所示的形式。从下图可以
看出，求最外层一共有多少名学生，可以用（每边的人数-1）×4，也
可以用每边人数×4-4；求整个方阵一共有多少名学生，就用每边人数
×每边人数。规范解答
最外层学生数：（15-1）×4＝56（名）或15×4-4＝56（名）
整个方阵的学生数：15×15＝225（名）
答：最外层一共有56名学生，整个方阵一共有225名学生。
例2 48名学生在操场做游戏。大家围成一个正方形，每边人
数相等。四个顶点都有人，每边各有多少名学生？
图解思路
根据题意画图，如下图所示，四个顶点各有一名学生，这名学生
各属于两条边，所以用总数除以4还要加1才是每边的人数。还可以用总数减去四个顶点的人数，剩下的是介于两个顶点之间的总人数，再
除以4就是每两个顶点之间的人数，最后加上2就是每边的人数。
规范解答
解法一 48÷4＋1＝13（名）
解法二 （48-4）÷4＋2＝13（名）
答：每边各有13名学生。
例3 军训的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形
队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？还剩下多少人？
图解思路根据题意画图，如下图所示，正方形队列的每行、每列人数相
等，最外层每边人数是7，去掉一行一列则一共要去掉13人，因而我们
可以得到公式：去掉的一行、一列的人数＝去掉的每边人数×2-1。剩
下的是6行6列的正方形队列。
规范解答
解法一 去掉的一行一列的人数：7×2-1＝13（人）
剩下的人数：7×7-13＝36（人）
解法二 去掉后剩下的是6行6列的正方形队列，即6×6＝
36（人）
去掉的人数：7×7-6×6＝13（人）
答：要去掉13人，还剩下36人。例4 游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围
成每边三层的方阵。最外层每边12人，问彩车周围的少先队员共有
多少人？
图解思路
思路一 如上图所示，可以把队员分成人数相等的四个长方形，
每个长方形内的人数＝（最外层每边人数-层数）×层数，所以这个三
层方阵总人数＝（最外层每边人数-层数）×层数×4。
思路二 如上图所示，这是一个只有3层的中空方阵，最外层每边
有12人，最外层一共有（12-1）×4＝44（人），根据相邻两层总人数
相差8人，可以求出另两层的人数，最后把三层人数相加。
规范解答解法一 （12-3）×3×4＝108（人）
解法二 最外层总人数：（12-1）×4＝44（人）
另外两层总人数：（44-8）＋（44-8-8）＝64（人）
三层总人数：44＋64＝108（人）
答：彩车周围的少先队员共有108人。小试身手
1．有100名少先队员参加广播操比赛，十人一行，排成了一个正
方形。这个正方形四周站了多少名少先队员？
2．有棋子若干枚，恰好可以排成每边6枚的正方形，棋子的总数
是多少？棋子最外层有多少？
3．四年级学生代表队参加学校秋季运动会的团体操表演，他们排
成一个实心方阵，最外一层一共排了60人。问方阵最外层每边有多少
人？这个方阵共有学生多少人？
4．聪聪用围棋子摆成一个4层空心方阵，最外一层每边有围棋子
14枚。聪聪摆这个方阵共用围棋子多少枚？拓展提升
5．四年级同学排练艺术体操，排成一个四层的空心方阵，最外层
共有40名学生，那么最里层共有多少名学生？
6．四年级同学排练艺术体操，排成一个五层的空心方阵，最里层
共有20名学生，那么最外层每边有多少名学生？
7．学校的花匠师傅将一些花摆成一个实心方阵，方阵的最外层每
边有5盆花，那么至少要再增加几盆花，才能摆成一个稍大一些的实心
方阵？
8．有杨树和柳树以隔株相间的种法，种成7行7列的方阵，问这个
方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树、柳树各多少
棵?第二十三章 鸡兔同笼问题
答案参见此处知识导航
鸡兔同笼是我国古代著名的数学趣题。大约在1500年前，《孙子
算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔
同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这道题的意
思是：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有
94只脚。鸡和兔各有几只？
在日常生活中，“鸡兔同笼”问题有很多的变式，如龟鹤问题、
租船问题、竞赛计分问题等实际问题均与“鸡兔同笼”本质相同。
解决这类问题的方法有列表法、假设法、方程法等。这里一起来
探讨用假设法解“鸡兔同笼”问题。图解思维训练题
例1 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面
数，有26只脚。鸡和兔各有几只？
图解思路
我们知道一只鸡有一个头、两只脚，一只兔有一个头、四只脚，
一只兔比一只鸡多两只脚。可以用一个椭圆加两只脚代表鸡，用一个
椭圆加四只脚代表兔。
思路一 假设全部是鸡，如下图所示。
一共有2×8＝16（只）脚，这比总脚数“26只脚”少了26-16＝
10（只）。为什么会少10只脚呢？这是因为把所有的兔都看成了鸡。
每把一只兔看成鸡，脚就会少4-2＝2（只）。这样在10只脚中有几个
2，就表示把几只兔看成了鸡，也就是有几只兔。因此有5只兔，而剩
下的8-5＝3（只）都是鸡。
思路二 也可以假设全部是兔，如下图所示。一共有4×8＝32（只）脚，这比总脚数“26只脚”多出了32-26＝
6（只）。为什么会多出6只脚呢？这是因为把所有的鸡都看成了兔。
每把一只鸡看成兔，脚就会多4-2＝2（只）。这样在6只脚中有几个
2，就表示把几只鸡看成了兔，也就是有几只鸡。因此有3只鸡，而剩
下的8-3＝5（只）都是兔。
规范解答
解法一 假设全是鸡。
2×8＝16（只）
26-16＝10（只）
4-2＝2（只）
兔：10÷2＝5（只）
鸡：8-5＝3（只）
解法二 假设全是兔。
4×8＝32（只）
32-26＝6（只）
4-2＝2（只）鸡：6÷2＝3（只）
兔：8-3＝5（只）
答：鸡有3只，兔有5只。
例2 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有10个头，从下面
数，有32只脚。鸡和兔各有几只？
图解思路
除了像例1一样，先假设全部是鸡或全部是兔来解答外，还可以利
用古人的“抬脚法”解答。“抬脚法”用的其实也是假设法。
怎么来理解“抬脚法”呢？我们来看下图进行分析。
如上图所示，假如让鸡抬起一只脚，兔抬起两只脚，2只鸡和3只
兔就还有8只脚，只剩一半，但头还是5个。这时每只鸡一只脚，每只
兔两只脚，只要有一只兔，则脚的总数就比头的总数多1。用这时脚的
总数减去头的总数，就得到兔的只数。
规范解答32÷2＝16（只）
兔：16-10＝6（只）
鸡：10-6＝4（只）
答：鸡有4只，兔有6只。
例3 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有15个头，从下面
数，兔比鸡多24只脚。鸡和兔各有几只？
图解思路
先假设全部是兔。图（1）中有兔15只，总脚数60只；鸡0只，总
脚数0只。兔比鸡多60只脚。
图（2）中有兔14只，总脚数56只；鸡1只，总脚数2只。兔比鸡多
54只脚。图（3）中有兔13只，总脚数52只；鸡2只，总脚数4只。兔比鸡多
48只脚。
从以上三幅图可以看出，在鸡和兔子的总只数不变的情况下，兔
减少1只，鸡就增加1只，鸡和兔的总脚数就减少2只。换句话说，每少
把一只鸡看作兔，兔的总脚数就比鸡的总脚数减少6只。减少了几个6
只，说明就把几只鸡看成了兔。
规范解答
假设全是兔。
15×4＝60（只）
60-24＝36（只）
鸡：36÷6＝6（只）兔：15-6＝9（只）
答：鸡有6只，兔有9只。
例4 大船限乘6人，小船限乘4人。全班一共有38人，共租了8
条船，每条船都坐满了。大、小船各租了几条？
图解思路
我们用长方形代表“船”，用圆代表“人”。可以假设租的全部
是大船，如下图所示。
这样的话，一共坐了48人，比实际的38人多坐了10人。为什么会
多出10人呢？这是因为把所有的小船都看成了大船。每把一条小船看
成大船，人数就会多出8-6＝2（人）。这样在多出的10人中有几个2
人，就表示把几条小船看成了大船，也就是有几条小船。因此有5条小
船，而剩下的8-5＝3（条）都是大船。
规范解答
假设租的全是大船。
6×8＝48（人）
48-38＝10（人）8-6＝2（人）
小船：10÷2＝5（条）
大船：8-5＝3（条）
答：大船租了3条，小船租了5条。
例5 学校举行安全知识竞赛，答对一题加10分，答错一题扣7
分。1号选手共抢答10题，最后得分49分。他答错了几题？
图解思路
假设1号选手全部答对，一共得分应该是10×10＝100（分），而
实际只得了49分，说明扣了100-49＝51（分）。在这里，答对一题究
竟要比答错一题多得多少分呢？我们先来看下图进行分析。
从下图可以清楚地看出，1号选手答对4题，得40分，而2号选手答
对3题，答错一题，只得了23分。1号选手比2号选手多答对一题，多得
了40-23＝17（分）。可见，答对一题比答错一题多得17分，答错一题
比答对一题少得17分。规范解答
假设他全答对。
10×10＝100（分）
100-49＝51（分）
10＋7＝17（分）
错：51÷17＝3（题）
答：他答错了3题。小试身手
1．笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有
94只脚。鸡和兔各有几只？
2．如下图，有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、
鹤各有几只？
3．自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子。自行车和三轮车各
有多少辆？
4．盒子里有大、小两种钢珠共30个，共重266克，已知大钢珠每
个11克，小钢珠每个7克。盒中大钢珠、小钢珠各有多少个？拓展提升
5．篮球比赛中，3分线外投中一球记3分，3分线内投中一球记2
分。在一场比赛中，张华共投了9个球，总共得了21分。张华在这场比
赛中投进几个3分球？（张华没有罚球）
6．
（1）2号选手共抢答8题，最后得分64分。她答对了几题？
（2）1号选手共抢答10题，最后得分36分。他答错了几题？（3）3号选手共抢答16题，最后得分16分。他答对了几题？
7．篮球每个42元，足球每个35元。学校今天买回了篮球和足球共
6个，一共花了231元。篮球和足球各买了几个？
8．笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有30个头，从下面数，兔
子比鸡多30只脚。鸡和兔各有几只？第二十四章 盈亏问题
答案参见此处知识导航
把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分
完。如果物体还有剩余，叫作盈；如果物体不够分，少了，叫作亏。
凡是研究盈和亏这一类算法的问题就叫盈亏问题。比如：幼儿小班的
老师给每个小朋友分糖果，如果每人分5块，就多出22块；如果每人分
7块，就少18块。请问这个班有几个小朋友？一共有几块糖？
解答这类问题的基本数量关系式有：
（1）一次分配有剩余，一次分配不足（一盈一亏）：
（盈数＋亏数）÷每份差额＝份数
（2）两次分配都有剩余（两盈）：
（大盈-小盈）÷每份差额＝份数
（3）两次分配都不足（两亏）：
（大亏-小亏）÷每份差额＝份数
物品数可由其中一种分法的份数和盈亏数求出来。图解思维训练题
例1 幼儿小班的老师给每个小朋友分糖果，如果每人分5块，
就多出22块；如果每人分7块，就少18块。请问这个班有几个小朋
友？一共有几块糖？
图解思路
如上图所示，分糖的小朋友与糖果的总块数是不变的。比较这两
种分配的方案，由每人分5块变成每人分7块，每人多分了7-5＝
2（块），而分的糖果数，除了把剩余的22块分完外，还差18块，说明
每人分7块时，总共要多分22＋18＝40（块）。用“前后两次糖果总数
的相差数÷两次分配每份的差”求出人数，再根据“每人分5块，就多
出22块”或“每人分7块，就少18块”，求出糖果的数量。
规范解答
（22＋18）÷（7-5）＝20（个）
20×5＋22＝122（块）或20×7-18＝122（块）答：这个班有20个小朋友，一共有122块糖。
例2 四年级同学排队，如果每行站8人，就多24人；如果每行
站9人，就多4人。四年级共有多少人？
图解思路
如上图所示，要求“四年级共有多少人”，就要先求出站队行
数。由于站队行数和同学的总人数是不变的，而两次站队的方案中，
总数相差24-4＝20（人），每行相差9-8＝1（人）。用总人数的相差
数除以每行相差数，求出行数，再根据“如果每行站8人，就多24人”
或“如果每行站9人，就多4人”求出总人数。
规范解答
（24-4）÷（9-8）＝20（行）
8×20＋24＝184（人）或9×20＋4＝184（人）
答：四年级共有184人。例3 将一批本子分发给学生，如果每人发10本，差90本；如
果每人发8本，差8本。请问有多少学生和多少本子？
图解思路
如上图所示，两次分配都有不足，两次分配总差额是90-8＝
82（本），每次差额是10-8＝2（本）。用“总差额÷每次差额”求出
学生数，再根据“如果每人发10本，差90本”或“如果每人发8本，差
8本”求出本子总数。
规范解答
（90-8）÷（10-8）＝41（人）
41×10-90＝320（本）或41×8-8＝320（本）
答：有学生41人，本子320本。
例4 少先队员参加植树活动，如果每个小组挖5个坑，那么还
有3个坑无人挖；如果其中2个小组各挖4个坑，其余每个小组挖6个坑，那么恰好将坑挖完。一共要挖几个坑？
图解思路
这道题初看起来不像盈亏问题，但如果将条件适当转化，就露出
了盈亏问题的“真面目”。我们将“其中2个小组各挖4个坑，其余每
个小组挖6个坑”转化为“每个小组挖6个坑”，如下图所示，一共
“超出4个坑”。这样就变成了典型的盈亏问题。
要求“一共要挖几个坑”，要先求出一共有几个小组。用“总差
额÷每次差额”求出小组个数，再根据“如果每个小组挖5个坑，那么
还有3个坑无人挖”或“如果其中2个小组各挖4个坑，其余每个小组挖
6个坑，那么恰好将坑挖完”求出一共有几个坑。
规范解答
（4＋3）÷（6-5）＝7（个）
7×5＋3＝38（个）或4×2＋（7-2）×6＝38（个）
答：一共要挖38个坑。例5 学校规定上午8时到校。李明去上学，如果每分钟走60
米，可以提前10分钟到校；如果每分钟走50米，可以提前8分钟到
校。李明家到学校有多远？
图解思路
李明每分钟走60米，如果一直走下去，走到规定时间，要多走
60×10＝600（米）；如果每分钟走50米，一直走下去，走到规定时
间，要多走50×8＝400（米）。画线段图如下。
如上图所示，两次路程的差是60×10-50×8＝200（米），两次速
度的差是60-50＝10（米/分），用“路程差÷速度差”求出规定时
间，再根据“如果每分钟走60米，可以提前10分钟到校”或“如果每
分钟走50米，可以提前8分钟到校”求出李明家到学校的路程。
规范解答60×10-50×8＝200（米）
200÷（60-50）＝20（分）
（20-10）×60＝600（米）或（20-8）×50＝600（米）
答：李明家到学校有600米。小试身手
1．一包糖奖给几个小朋友，如果每人奖3块，则余3块；如果每人
奖5块，则差7块。请问这包糖共有几块？
2．学校组织师生旅游，乘车时发现，如果每辆车坐25人，还有12
人没座位；如果每辆车坐28人，还空下9个座位。请问共有几辆车？几
个人？
3．给儿童分玩具，如果每人分6个，就多20个；如果每人分8个，
就多4个。请问有几个儿童？几个玩具？
4．利民小学高年级学生参加学雷锋活动，分成若干组，每组8
人，后来觉得每组人数太多，把每组改为6人，因此增加了2组。一共
有多少名学生参加活动？5．爸爸用绳子测量井深（井里没有水），把绳三折量，井外余2
米，把绳四折量，还差1米不到井口，那么这口井深多少米？绳长多少
米？拓展提升
6．在桥上用绳子测量桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面，
则余8米；若把绳子三折垂到水面，则余2米。请问桥有多高？绳子有
多长？
7．有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加1条船，正
好每条船坐6人；如果减少1条船，正好每条船坐9人。请问这个班共有
多少人？
8．张师傅加工一批零件，如果每天加工20个，就可以提前1天完
成。工作4天后，由于改进了技术，每天可多加工5个，结果提前3天完
成任务。请问这批零件有多少个？
9．老师给大班的小朋友分橘子，如果每个小朋友分2个，还多30
个；如果其中的12个小朋友每人分3个，剩下的每人分4个，正好分
完，那么有几个小朋友？有几个橘子？10．乐乐从家出发去学校上学，每分钟走50米，走了2分钟后，发
觉如果按这样的速度走下去，到学校就会迟到2分钟。于是乐乐开始加
快速度，每分钟比原来多走10米，结果到达学校时离上课还有1分钟。
请问乐乐家离学校有多远？第二十五章 简单的逻辑推理
答案参见此处知识导航
解答逻辑推理问题，一般可以从以下几方面考虑：
（1）选准突破口，分析时综合几个条件进行判断。
（2）根据题中条件，在推理过程中不断排除不可能的情况，从而
得出要求的结论。
（3）对可能出现的情况做出假设，然后再根据条件推理，如果得
到的结论和条件不矛盾，说明假设是正确的。
（4）遇到比较复杂的推理问题，可以借助图表进行分析。图解思维训练题
例1 有三个小朋友在谈论谁做的好事多。文文说：“兰兰做
得比青青多。”兰兰说：“文文做得比青青多。”青青说：“兰兰
做得比文文少。”这三位小朋友中，谁做的好事最多？谁做的好事
最少？
图解思路
规范解答
文文做的好事最多，青青做的好事最少
例2 王阿姨、刘阿姨、丁叔叔、李叔叔分别是工人、教师、
军人。王阿姨是教师；丁叔叔不是工人；只有刘阿姨和李叔叔的职
业相同。请问：丁叔叔、刘阿姨和李叔叔的职业各是什么？
图解思路规范解答
丁叔叔是军人，刘阿姨和李叔叔都是工人
例3 已知△＋○＝24，△＝○＋○＋○。求△和○的值。
图解思路规范解答
○＝6，△＝18
例4 A、B、C、D、E五个同学一起参加象棋比赛，每两人都赛
一盘，比赛一段时间后统计：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛
了一盘。问E赛了几盘？
图解思路
根据题意，可以画图分析，用连线表示已赛盘数。从上图中可以清楚地看出，E赛了2盘。
规范解答
E赛了2盘。
例5 四年级有3个班，每班有2个班长。学校开班长会时，每
次每班只要一个班长参加。第一次到会的有A、B、C；第二次有B、
D、E；第三次有A、E、F。请问：哪两位班长是同班的？
图解思路
这个问题比较复杂，可以用列表的方法帮助分析。下表中到会的
画“√”，没到会的画“×”。根据题意，“每次每班只要一个班长参加”。从第一次到会的情
况可以看出，A只可能与D、E、F同班；从第三次到会的情况可以确
定，A只可能和D同班。从第一、第二次到会的情况可以断定，B只可能
与F同班。剩下的C和E同班。
规范解答
A和D同班，B和F同班，C和E同班。小试身手
1．甲、乙、丙比身高，甲说：“丙的身高没有乙高。”乙说；
“甲的身高比丙高。”丙说：“乙比甲矮。”问：最高的是谁？
2．根据下面的算式，求每题中的□、△、○各代表多少。
（1）□＋□＋□＋□＝32△-□＝20
（2）○-△＝8△＋△＋△＝○
3．一天，小东遇到了疯子、傻子、骗子各一个，傻子只说真话，
骗子只说假话，疯子有时说真话，有时说假话。第一个人说：“我和
第二个人是兄弟。”第二个人说：“我是骗子。”第三个人说：“傻
子和疯子是兄弟。”那么哪个是疯子？哪个是傻子？哪个是骗子？4．张叔叔、王叔叔和陈叔叔，一人当医生，一人做工人，一人是
教师。张叔叔说：“我不是教师。”王叔叔说：“我正在和张叔叔一
起听当医生的叔叔讲保健知识。”你知道他们三人的职业吗？
5．明明、冬冬、花花、强强、思思和毛毛六人参加一次会议，见
面时每两个人都要握一次手。明明已握了5次手，冬冬握了4次手，花
花握了3次手，强强握了2次手，思思握了1次手。问毛毛握了几次手？拓展提升
6．已知△-○＝2，○＋○＋△＋△＋△＝56。求△和○的值。
7．王强、李凤和陈荣三人一位是工程师，一位是医生，一位是飞
行员。现在只知道：王强和医生不同岁；医生比李凤年龄小，陈荣比
飞行员年龄大。问：谁是工程师？谁是医生？谁是飞行员？
8．甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃，甲说：“是丙打碎
的。”乙说：“我没有打碎玻璃。”丙说：“是乙打碎的。”他们当
中有一个人说了谎话，到底是谁打碎了玻璃？
9．在学校运动会上，1号、2号、3号、4号运动员取得了1000米赛
跑的前四名。当小记者采访他们各自的名次时，1号说：“3号第一个
冲到终点。”另一名运动员说：“2号不是第4名。”小裁判说：“他
们的号码与他们的名次都不相同。”你知道他们的名次吗？10．有一个正方体，每个面分别写上汉字：数、学、奥、林、
匹、克。三个人从不同角度观察的结果如下图所示。这个正方体的每
个汉字的对面各是什么字？参考答案
第一章 巧算加减法
1 （1）1.52＋0.97＋2.48＋1.03＋5.12＝（1.52＋2.48）＋
（0.97＋1.03）＋5.12＝11.12
（2）3842-1567-433-842＝（3842-842）-（1567＋433）＝1000
2 （1）9＋99＋999＋9999＝10＋100＋1000＋10000-1×4＝
11106
（2）152＋637＋248＋72＋28-137＝（152＋248）＋（637-137）
＋（72＋28）＝1000
3 96＋88＋97＋93＋86＋93＋100＋99＝90×8＋（6＋7＋3＋3
＋10＋9-2-4）＝752
4 （1）9.7＋9.8＋9.9＋10.1＋10.2＋10.3＝（9.7＋10.3）
＋（9.8＋10.2）＋（9.9＋10.1）＝60
（2）574-（128＋274）-172＝（574-274）-（128＋172）＝0
5 （1）847-578＋389-222＋111＝847-（578＋222）＋（389
＋111）＝547
（2）4.8＋5.3＋5.1＋4.6＋5.2＋5.5＝5×6＋（0.3＋0.1＋0.2
＋0.5-0.2-0.4）＝30.5
（3）原式＝（1000-998）×（1000÷2）＝2×500＝10006 54＋47＋51＋50＋52＋48＋49＋53＋51＋48＝50×10＋（4-
3＋1＋2-2-1＋3＋1-2）＝500＋3＝503
第二章 巧算乘除法
1 4500÷（9×4）＝4500÷9÷4＝500÷4＝125
25×96×125＝（25×4×3）×（8×125）＝300×1000＝300000
167×32＋43×167＋167×25＝167×（32＋43＋25）＝167×100
＝16700
999＋999×999＝999×（1＋999）＝999×1000＝999000
2 39×8＋6×39-39×4＝39×（8＋6-4）＝39×10＝390
70000÷125÷2÷5÷8 ＝ 70000÷ （ 125×8 ） ÷ （ 2×5 ） ＝
70000÷1000÷10＝7
99999×7 ＋ 11111×37 ＝ 11111× （ 9×7 ） ＋ 11111×37 ＝
11111×（63＋37）＝1111100
3 12×11＝132 57×11＝627 134×11＝1474 258×11＝
2838
65×65＝4225 43×47＝2021 57×53＝3021 29×21＝609
4 3333×2222÷6666 ＝ 1111× （ 3×2222 ） ÷6666 ＝
1111÷（6666÷6666）＝1111
147×25-25×23-25×24＝25×（147-23-24）＝25×100＝250054×23＋46×45＋28×46＝54×23＋46×（45＋28）＝54×23＋
46×73＝27×（2×23）＋46×73＝（27＋73）×46＝4600
5 981＋5×9810＋49×981＝981＋（5×10）×（9810÷10）
＋49×981＝981＋50×981＋49×981＝（1＋50＋49）×981＝98100
8÷7＋9÷7＋11÷7＝（8＋9＋11）÷7＝28÷7＝4
2006×2008-2005×2009＝（2005×2008＋2008）-（2005×2008
＋ 2005 ） ＝ 2005×2008 ＋ 2008-2005×2008-2005 ＝ （ 2005×2008-
2005×2008）＋（2008-2005）＝3
6 78×72＝5616 91×99＝9009 86×84＝7224 4756×11＝
52316 9938×11＝109318
3089×11＝33979 456872×11＝5025592 37×34＝（36＋1）
×34＝36×34＋34＝1224＋34＝1258
7 因 为 452×458 ＝ 452× （ 457 ＋ 1 ） ＝ 452×457 ＋ 452 ，
453×457＝（452＋1）×457＝452×457＋457，所以452×458＜
453×457。
第三章 巧算24点
1 （2＋1＋1）×6＝4×6＝24或2×6×（1＋1）＝12×2＝24
2 3×8÷（4÷4）＝24÷1＝24或3×8×（4÷4）＝24×1＝24
3 11×3＋1-10＝33＋1-10＝24或11＋10＋3÷1＝244 （11＋13）×（12÷12）＝24÷1＝24
5 8×9-8×6＝72-48＝24
6 9×10÷6＋9＝90÷6＋9＝15＋9＝24
7 （12＋12）×12÷12＝24或（12＋12）×（12÷12）＝24
第四章 算式谜
1
2
34 有4种填法：
5
6我＝4，们＝2，爱＝8，数＝5，学＝7。登＝1，卧＝4，龙＝7，
山＝2。
第五章 等差数列求和
1 （1）110＋120＋130＋140＋150＝130×5＝650
（2）1＋2＋3＋…＋1000＝（1＋1000）×（1000÷2）＝
1001×500＝500500
（3）公差：14-11＝3 项数：（101-11）÷3＋1＝31
11＋14＋17＋…＋101＝（11＋101）×31÷2＝112×31÷2＝1736
2 10＋11＋12＋13＋…＋99＝（10＋99）×（99-9）÷2＝
109×90÷2＝9810÷2＝4905
3 第8天读的页数：10＋（8-1）×2＝10＋14＝24（页）
这本课外书共有：10＋12＋14＋…＋24＝（10＋24）×（8÷2）
＝34×4＝136（页）
4 （1）公差：3-1＝2 项数：（99-1）÷2＋1＝50
1＋3＋5＋7＋…＋99＝（1＋99）×50÷2＝100×50÷2＝2500（2）公差：9-4＝5 项数：（99-4）÷5＋1＝20
4＋9＋14＋19＋…＋99＝（4＋99）×（20÷2）＝103×10＝1030
5 公差：9-6＝3 第100项：6＋（100-1）×3＝6＋99×3＝
303
6＋9＋12＋15＋…＋303＝（6＋303）×（100÷2）＝309×50＝
15450
6 读的天数：（24-10）÷2＋1＝8（天）
这本课外书共有：10＋12＋14＋…＋24＝（10＋24）×（8÷2）
＝34×4＝136（页）
7 可以先算时钟走一圈敲几下，再乘上2。
12＋（1＋2＋3＋…＋12）＝12＋（1＋12）×12÷2＝12＋78＝
90（下）
一昼夜共敲：90×2＝180（下）
8 第8层：3＋（8-1）×1＝10（根）
一共：（3＋10）×8÷2＝52（根）
第六章 定义新运算
1 10▼6＝10×5-6＝44
2 8★4＝（8＋4）÷4＝12÷4＝33 3△6＝3＋33＋333＋3333＋33333＋333333＝370368
4 （10◎3）◎5＝（10×4-3×2）◎5＝34◎5＝34×4-5×2＝
126
5 （10※9）×3＝（10×9-10-9）×3＝71×3＝213
6 （2▽4）▽2＝［24÷（2＋4）］▽2＝4▽2＝［42÷（4＋
2）］＝7
2▽（4▽2）＝2▽［42÷（4＋2）］＝2▽7＝［27÷（2＋7）］
＝3
7 （7★3）＋（10★5）＝（7×2＋3）＋（10×2＋5）＝17＋
25＝42
8 （3）×（4）＋（6）＝（2×3×4）×（3×4×5）＋
（5×6×7）＝1650
9 （8 5）＝4 （8×5-1）＝4 39＝4＋39-1＝42
第七章 找规律
1 （1）18，22（2）24，96（3）25，38（4）13，3（5）35，
92（6）16，17
2 △●□
3 2017÷5＝403……2，所以第2017个图形是◇。4 （1）奇数位的数是连续乘3，偶数位的数是连续加1。括号
里应填12、162。
（2）奇数位的数依次加1、加2、加3……偶数位的数依次减1、减
2、减3……括号里应填13、19。
（3）相邻两个数的差，后一个差是前一个差的2倍，括号里应填
129、257。
5 右下角的数是另两个数的乘积除以2得到的，第三个图形的
空格里填15。
6 这列数第1个数是1×1＝1，第2个数是2×2＝4，第3个数是
3×3＝9……所以第20个数是20×20＝400。
7 1＋2＋3＝6（面）55÷6＝9（组）……1（面）100÷6＝
16（组）……4（面）
第55面彩旗是红色的，第100面彩旗是绿色的。
第八章 较复杂的和倍问题
1 小数：160÷（1＋3）＝40
大数：40×3＝120
2 男教师：（126-6）÷（1＋3）＝30（人）
女教师：30×3＋6＝96（人）或126-30＝96（人）
3 甲数相当于丙数的3×4＝12倍。丙：255÷（1＋4＋12）＝15
乙：15×4＝60
甲：60×3＝180或15×12＝180
4 乙箱后来：84÷（1＋2）＝28（千克）
乙箱原来：28＋12＝40（千克）
甲箱原来：84-40＝44（千克）
5 因为被减数＝差＋减数，减数是差的2倍，所以被减数就是
差的3倍。
差：990÷（1＋2＋3）＝165
减数：165×2＝330
被减数：165×3＝495或165＋330＝495
6 长＋宽：36÷2＝18（分米）
宽：18÷（1＋2）＝6（分米）
长：6×2＝12（分米）
面积：12×6＝72（平方分米）
7 从“葡萄的质量比苹果的3倍少3千克”可知，如果葡萄增加
3千克正好是苹果的3倍；从“香蕉的质量比苹果的2倍多2千克”可
知，如果香蕉减掉2千克，正好是苹果的2倍。53＋3-2＝54（千克）
苹果：54÷（1＋3＋2）＝9（千克）
葡萄：9×3-3＝24（千克）
香蕉：9×2＋2＝20（千克）
8 47＋19＝66（千克）
66÷（1＋2）＝22（千克）
22-19＝3（千克）或47-22×2＝3（千克）
9 186-25＝161（本）
161-11＝150（本）
150÷（1＋2）＝50（本）
50×2＋11＝111（本）
10 从“10元的张数是5元张数的4倍”可知，面值10元的总钱
数是面值5元的总钱数的8倍。
405÷（1＋8）＝45（元）
405-45＝360（元）
10元的张数：360÷10＝36（张）
5元的张数：45÷5＝9（张）第九章 较复杂的差倍问题
1 第二天：220÷（3-1）＝110（人）
第一天：110×3＝330（人）
2 64-4＝60（只）
鸡：60÷（3-1）＝30（只）
鸭：30＋64＝94（只）或30×3＋4＝94（只）
3 老猫比小猫多钓：3＋3＋2＝8（条）
小猫：8÷（3-1）＝4（条）
老猫：4×3＝12（条）
4 现在乙筐比甲筐多：14＋6＝20（千克）
现在甲筐：20÷（3-1）＝10（千克）
原来甲筐：10＋6＝16（千克）
5 甲仓库比乙仓库多运走：720-120＝600（千克）
乙仓库：600÷（3-1）＝300（千克）
甲仓库：300×3＝900（千克）
6 现在三年级（1）班比三年级（2）班多：74＋96＝
170（本）三年级（2）班现有：170÷（3-1）＝85（本）
三年级（2）班原有：85＋96＝181（本）
三年级（1）班与三年级（2）班一样，原有181本图书。
7 晶晶比强强多折：8＋12＝20（架）
强强：20÷（3-1）＝10（架）
亮亮：10＋8＝18（架）
晶晶：10×3＝30（架）或18＋12＝30（架）
8 萝卜：（1800-300）÷（3-1）＝750（千克）
白菜：750×3＝2250（千克）
9 小兰少买2本时的本数：（7＋2＋3）÷（3-1）＝6（本）
小兰的本数：6＋2＝8（本）
小华的本数：8＋7＝15（本）
10 骡子比驴多驮的袋数：2＋2＝4（袋）
驴：（4＋1＋1）÷（3-1）＝3（袋）3＋1＝4（袋）
骡子：4＋4＝8（袋）
第十章 较复杂的和差问题1 男生：（725-125）÷2＝300（人）
女生：725-300＝425（人）
2 两人原来相差：3＋3＝6（块）
小华：（42-6）÷2＝18（块）
小明：42-18＝24（块）
3 两科总分：98×2＝196（分）
语文：（196-4）÷2＝96（分）
数学：96＋4＝100（分）
4 后来两队共有：230-30-10＝190（人）
后来第二队：（190-10）÷2＝90（人）
原来第一队：90＋30＋10＝130（人）
原来第二队：230-130＝100（人）
5 明明给亮亮5本后，亮亮的本数：（70＋4）÷2＝37（本）
亮亮原有本数：37-5＝32（本）
明明原有本数：70-32＝38（本）
6 由“甲的书比乙多9本，比丙多2本”可知，乙比丙少7本。丙：（47＋7）÷2＝27（本）
乙：47-27＝20（本）
甲：20＋9＝29（本）
7 原来雪梨比苹果重：12-10＝2（千克）
雪梨原有：（30＋2）÷2＝16（千克）
8 4×10＝40（吨）
东仓比西仓多：40＋40＝80（吨）
东仓：（650＋80）÷2＝365（吨）
西仓：650-365＝285（吨）
9 最长一段比最短一段长：10＋10＝20（厘米）
最短一段长：（150-10-20）÷3＝40（厘米）
中间一段长：40＋10＝50（厘米）
最长一段长：50＋10＝60（厘米）
10 速度和：150÷6＝25（千米/时）
乙：（25-3）÷2＝11（千米/时）
甲：11＋3＝14（千米/时）第十一章 较复杂的年龄问题
1 （42-10）÷（5-1）＝32÷4＝8（岁）
10-8＝2（年）
2 孩子：72÷（4＋4＋1）＝8（岁）
爸爸、妈妈：8×4＝32（岁）
3 年龄之和增加的岁数：98-（35＋31）＝32（岁）
经过的年数：32÷2＝16（年）
爸爸：35＋16＝51（岁）
妈妈：31＋16＝47（岁）
4 年龄差：10＋8＝18（岁）
小敏今年的年龄：（18-8）÷（2-1）＝10（岁）
5 儿子今年的年龄：（54-28）÷2＝13（岁）
父亲今年的年龄：54-13＝41（岁）
父亲10年后的年龄：41＋10＝51（岁）
6 年龄差：（15-3）÷3＝4（岁）
弟弟今年的年龄：3＋4＝7（岁）哥哥今年的年龄：3＋4×2＝11（岁）
7 15＋10＝25 7-2＝5
15年前儿子的年龄：25÷5＝5（岁）
15年前父亲的年龄：5×7＝35（岁）
儿子现在的年龄：5＋15＝20（岁）
父亲现在的年龄：35＋15＝50（岁）
8 每过一年，三个孙子分别增长1岁，三个孙子的年龄和就增
长了3岁，而奶奶的年龄只增长1岁，所以，每过一年奶奶的年龄跟三
个孙子的年龄和相比，就缩小2岁的差距。
今年奶奶和三个孙子年龄和的差：78-（27＋23＋16）＝12（岁）
12÷（3-1）＝6（年）
9 年龄差：15＋6＝21（岁）
淘气7年前的年龄：21÷（8-1）＝3（岁）
赵叔叔7年前的年龄：3×8＝24（岁）
赵叔叔今年的年龄：24＋7＝31（岁）
10 4-2＝2
20×2-14-20＝6（岁）小马现在：6÷2＝3（岁）
大马现在：3×4＝12（岁）
第十二章 重叠问题
1 行数：5＋6-1＝10（行）
列数：4＋3-1＝6（列）
总人数：10×6＝60（人）
2 （1）100-10＝90（人）
（2）70＋52-90＝32（人）
（3）70-32＝38（人）
（4）52-32＝20（人）
3 至少答对了1题的人数：25＋23-15＝33（人）
两题都答错的人数：36-33＝3（人）
4 28＋28×2＋28×2×2-164＝32（人）
5 除四、五年级外的获奖人数：（16＋12-20）÷2＝4（人）
获奖总人数：20＋4＝24（人）
6 26＋21-（50-17）＝14（人）7 26＋30-12＋8＝52（人）
8 两科都得优的人数：65＋78-122＝21（人）
只有音乐得优的人数：65-21＝44（人）
9 中低年级：（24＋28-32）÷2＝10（名）
五年级：24-10＝14（名）
六年级：28-10＝18（名）
10 获奖总人数：50-27＝23（人）
作文比赛获奖而数学比赛没有获奖的人数：14-3＝11（人）
数学比赛获奖的人数：23-11＝12（人）
第十三章 还原问题
1 （100-10＋35）÷5×4＝100
2 （100÷10＋15）×4-12＝88（岁）
3 1995＋（80-30）-（7-1）＝1995＋50-6＝2039
4 甲原来有：100÷4＋13-2＝36（颗）
乙原来有：100÷4＋18-13＝30（颗）
丙原来有：100÷4-18＋16＝23（颗）丁原来有：100÷4-16＋2＝11（颗）
5 102÷（1＋2）×2-6＋10＝72（棵）
6 第二个人买过后剩：（2＋1）×2＝6（个）
第一个人买过后剩：（6＋1）×2＝14（个）
原来有：（14＋1）×2＝30（个）
7 虽然书移动了三次，但书的总数是不变的，最后三层的书同
样多，都是192÷3＝64（本）。“最后从C层拿出与A层现有书同样多
的书放进A层”，说明此时A层的书翻倍了，所以A层在第二次移动后应
该只有64÷2＝32（本），C层则有64＋32＝96（本），B层有64本。
“再从B层拿出与C层同样多的书放进C层”，说明此时C层的书翻
倍了，所以C层在第一次移动后应该只有96÷2＝48（本），B层则有64
＋48＝112（本），A层有32本。
“先从A层拿出与B层同样多的书放进B层”，说明此时B层的书翻
倍了，所以B层在没有移动前应该只有112÷2＝56（本），A层则有32
＋56＝88（本），C层有48本。
第十四章 图形的计数
1 5＋4＋3＋2＋1＝15（条）
2 6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（个）3 图（1）：长边上线段总数：5＋4＋3＋2＋1＝15（条）宽边
上线段总数：4＋3＋2＋1＝10（条）长方形总个数：15×10＝
150（个）
图（2）：8个基本图形中有4个长方形；只含有2个基本图形的长
方形有6个；只含有4个基本图形的长方形有4个；含有8个基本图形的
长方形有1个；一共有4＋6＋4＋1＝15（个）长方形。
4
图（3）：10个
5 20×（20-1）÷2＝190（条）
6 图（1）：7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（个）
图（2）：7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（个）28×2＝56（个）
图（3）：24个
图（4）：单个三角形有6个；由两个基本图形组成的三角形有4
个；由三个基本图形组成的三角形有1个；由四个基本图形组成的三角
形有2个；由八个基本图形组成的三角形有1个。三角形一共有：6＋4
＋1＋2＋1＝14（个）。7 图（1）：10条线段、16个小于180°的角、8个三角形
图（2）：60条线段、50个小于180°的角、30个三角形
8 图（1）：4个平行四边形、2个梯形
图（2）：5个平行四边形、9个梯形
第十五章 巧求周长
1 （3×5＋3）×2＝36（厘米）或3×12＝36（厘米）
2 5×6＝30（厘米）
3 60÷12×4＝20（分米）
4 图（1）：（15＋20）×2＝70（厘米）
图（2）：（12＋18）×2＋5×2＝70（厘米）
图（3）：（10＋8＋3）×2＝42（厘米）
5 60÷2÷（2＋1）×2＝20（厘米）20×4＝80（厘米）
6 12×4＝48（分米）
7 60÷2÷（5＋1）×5＝25（厘米）25×4＝100（厘米）
8 10×4＝40（厘米）
9 大正方形的边长等于长方形的长与宽的和，即为14÷2＝
7（分米），则大正方形的周长为7×4＝28（分米）。10 把阴影部分周长中左边的4条线段全部平移到最左边，再把
下面的线段全部平移到最下面，可见阴影部分的周长与边长是5厘米的
正方形的周长是相等的。
5×4＝20（厘米）
第十六章 巧求面积
1
用长方形AFHC的面积加上长方形BEGD的面积减去长方形ABDC
的面积，即可求得阴影部分的面积。
36＋20-8×6＝56-48＝8（平方分米）
2 可以像例2一样先画图分析。如下图所示，把大正方形比小
正方形多出的52平方分米分为三部分。
带阴影的小正方形的面积：2×2＝4（平方分米）
一个长方形的面积：（52-4）÷2＝24（平方分米）
小正方形的边长：24÷2＝12（分米）
小正方形的面积：12×12＝144（平方分米）
大正方形的面积：144＋52＝196（平方分米）3 石子小路的面积＝外长方形的面积-内长方形的面积
内长方形的面积：20×15＝300（平方米）
外长方形的面积：（20＋2＋2）×（15＋2＋2）＝24×19＝
456（平方米）
石子小路的面积：456-300＝156（平方米）
4 长：48÷4＝12（分米）
宽：48÷6＝8（分米）
面积：8×12＝96（平方分米）
5 72÷8＝9（厘米）
9×3×9＝27×9＝243（平方厘米）
6 正方形的边长：10÷2＝5（厘米）
大长方形的长：35÷5＝7（厘米）
小长方形的宽：7-5＝2（厘米）
小长方形的面积：5×2＝10（平方厘米）
7 56÷28＝2（厘米）
1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝25……………相当于有25个边长为2厘米
的小正方形2×2×25＝100（平方厘米）
8 小长方形的长是宽的4倍，24厘米等于宽的6倍。
宽：24÷6＝4（厘米）
空白部分的面积：4×4×2＝32（平方厘米）
9 8÷（3＋1）＝2（分米）
3×2＝6（分米）
6×6＝36（平方分米）………左上角和右下角的三角形拼在一起
成边长为6厘米的正方形
2×2＝4（平方分米）………左下角和右上角的三角形拼在一起成
边长为2厘米的正方形
阴影部分的面积：36＋4＝40（平方厘米）
10 8×5＝40（平方厘米）
181＋40＝221（平方厘米）
正方形的边长：221÷（8＋5）＝17（厘米）
原来长方形的面积：（17-5）×（17-8）＝12×9＝108（平方厘
米）
第十七章 相遇问题1 56＋7＝63（千米/时） （56＋63）×4＝119×4＝476（千
米）
2 52×（2＋4）＝312（千米）
（492-312）÷4＝45（千米/时）或（492-52×2）÷4-52＝97-52
＝45（千米/时）
3 （50＋40）×9＝810（千米） 810-720＝90（千米）
4 聪聪比明明多行：2＋2＝4（千米）
相遇时间：4÷（20-18）＝2（小时）
两地相距：（20＋18）×2＝76（千米）
5 480÷6＝80（千米/时） 480÷12＝40（千米/时）
480÷（80＋40）＝4（小时）
6 乙用的时间：1100÷55＝20（分钟）
甲走的路程：2540-1100＝1440（米）
甲用的时间：1440÷60＝24（分钟）
甲先出发：24-20＝4（分钟）
7 这是一道趣味数学题，涉及三个运动的物体，看起来很复
杂，其实不必考虑狗跑到什么地方又要掉头往回跑。由于狗与人是同
时出发的，而且狗在父子之间来回不断地跑，直到父子相遇为止，所以狗所跑的时间与父子两人的相遇时间是相等的。只要先求出父子两
人的相遇时间，再乘上狗的速度，就可以求出狗一共跑的路程。
相遇时间：1800÷（100＋80）＝10（分钟）
狗跑的路程：500×10＝5000（米）
8 环形跑道上的“反向而跑”，相当于直线上的“相向而
行”，两人共跑一圈就相遇一次，“第二次相遇”说明两人共要跑两
圈。
（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）
9 2000÷25 ＝ 80 （ 分 钟 ） 2000-400 ＝ 1600 （ 米 ）
1600÷320＝5（分钟）
80-5＝75（分钟）
第十八章 追及问题
1 1500÷（660-610）＝1500÷50＝30（分钟）
2 （15×2）÷（25-15）＝30÷10＝3（小时）
3 甲要多跑一圈才能第一次追上乙。400÷（290-270）＝
20（分钟）
4 70×12＝840（米）840÷（280-70）＝840÷210＝4（分
钟）5 120÷（50-30）＝6（小时）7＋6＝13（时）13-12＝
1（时）
6 先要根据“路程差÷追及时间”求出速度差，再用“老张的
骑车速度＋速度差”求出老王的骑车速度。
15×2÷3＋15＝10＋15＝25（千米/时）
7 甲车速度：900÷15＝60（千米/时）
乙车速度：900÷12＝75（千米/时）
追及时间：（60×2）÷（75-60）＝8（小时）
乙车行的路程：75×8＝600（千米）
第十九章 列车过桥问题
1 （1200＋300）÷750＝2（分钟）
2 900×3-2400＝300（米）
3 车速：（546-346）÷（80-60）＝200÷20＝10（米/秒）
车长：10×80-546＝800-546＝254（米）
4 2分5秒＝125秒 8×125-200＝1000-200＝800（米）
5 火车的速度：1000÷2＝500（米/分）
桥长：500×6-1000＝2000（米）6 火车的车速：（2000-1250）÷（88-58）＝25（米/秒）
车长：25×58-1250＝200（米）
第二十章 流水行船问题
1 顺水速度：15＋3＝18（千米/时）
到达目的地用时：270÷18＝15（小时）
2 1000÷20-5＝45（千米/时）
3 船速：1000÷20-5＝45（千米/时）
逆水速度：45-5＝40（千米/时）
逆水返回时间：1000÷40＝25（小时）
4 顺水速度：360÷9＝40（千米/时）
逆水速度：360÷12＝30（千米/时）
静水中的速度：（40＋30）÷2＝35（千米/时）
水流速度：（40-30）÷2＝5（千米/时）
5 顺水速度：144÷8＝18（千米/时）
水流速度：18-15＝3（千米/时）
逆水速度：15-3＝12（千米/时）返回甲码头需用时：144÷12＝12（小时）
6 顺水速度：418÷11＝38（千米/时）
逆水速度：418÷19＝22（千米/时）
水流速度：（38-22）÷2＝8（千米/时）
7 两地相距：（18-2）×15＝240（千米）
顺水返回时间：240÷（18＋2）＝12（小时）
8 顺水速度：320÷8＝40（千米/时）
船速：40-15＝25（千米/时）
逆水速度：25-15＝10（千米/时）
逆水航行时间：320÷10＝32（小时）
第二十一章 植树问题
1 （1）120÷4＋1＝31（棵）
（2）120÷4＝30（棵）
（3）120÷4-1＝29（棵）
（4）两端种：（120÷4＋1）×2＝62（棵）
一端种：120÷4×2＝60（棵）两端都不种：（120÷4-1）×2＝58（棵）
2 10÷（6-1）＝2（分钟） （25-1）×2＝48（分钟）
3 4÷（2-1）×（11-1）＝40（秒）
4 （7-1）×16＝96（级）
5 108÷18＋1＝7（楼）
6 （18-1）×4＝68（米）
7 4-1＝3（次） 3×6＝18（分钟） 18×5＝90（分钟）
8 3千米＝3000米
一共种：3000÷5＝600（棵）
“一树梨花两树柳”说明600棵相当于分了3份，一份是梨树，两
份是柳树。
梨树：600÷3×1＝200（棵）
柳树：600÷3×2＝400（棵）
9 这是封闭图形，根据“棵数＝段数”可以求出种桃树的棵
数。
（60＋120＋150）÷6＝55（棵）
每相邻两棵桃树之间等距离栽2棵月季花，如下图。从图中可以看出，每两棵桃树之间有3个间隔，每相邻两棵月季花
之间的距离有两种情况，没有桃树隔开时是6÷3＝2（米），有桃树隔
开时是2＋2＝4（米）。
第二十二章 方阵问题
1 10×4-4＝36（名）或（10-1）×4＝36（名）
2 棋子总数：6×6＝36（枚）
最外层棋子数：（6-1）×4＝20（枚）
3 方阵最外层每边人数：60÷4＋1＝16（人）
方阵总人数：16×16＝256（人）
4 （14-4）×4×4＝160（枚）
5 相邻两层人数相差8名。
40-8-8-8＝16（名）
6 最外层学生总数：20＋8×（5-1）＝52（名）
最外层每边人数：52÷4＋1＝14（名）
7 最外层共有：5×4-4＝16（盆）至少要增加：16＋8＝24（盆）
8 最外层杨树、柳树的棵数分别为：（7-1）×4÷2＝
12（棵）
当杨树种在最外层角上时，杨树比柳树多1棵。
柳树：（7×7-1）÷2＝24（棵）
杨树：24＋1＝25（棵）
当柳树种在最外层角上时，柳树比杨树多1棵。
杨树：（7×7-1）÷2＝24（棵）
柳树：24＋1＝25（棵）
第二十三章 鸡兔同笼问题
1 假设全是鸡。
2×35＝70（只）
94-70＝24（只）
4-2＝2（只）
兔：24÷2＝12（只）
鸡：35-12＝23（只）
2 假设全是龟。4×40＝160（只）
160-112＝48（只）
4-2＝2（只）
鹤：48÷2＝24（只）
龟：40-24＝16（只）
3 假设全是三轮车。
10×3＝30（个）
30-26＝4（个）
3-2＝1（个）
自行车：4÷1＝4（辆）
三轮车：10-4＝6（辆）
4 假设全是大钢珠。
11×30＝330（克）
330-266＝64（克）
11-7＝4（克）
小钢珠：64÷4＝16（个）大钢珠：30-16＝14（个）
5 假设投进的全是3分球。
3×9＝27（分）
27-21＝6（分）
3-2＝1（分）
2分球：6÷1＝6（个）
3分球：9-6＝3（个）
6 （1）假设她全答对。
10×8＝80（分）
80-64＝16（分）
10＋6＝16（分）
答错：16÷16＝1（题）
答对：8-1＝7（题）
（2）假设他全答对。
10×10＝100（分）
100-36＝64（分）10＋6＝16（分）
答错：64÷16＝4（题）
（3）假设他全答对。
10×16＝160（分）
160-16＝144（分）
10＋6＝16（分）
答错：144÷16＝9（题）
答对：16-9＝7（题）
7 假设全买篮球。
42×6＝252（元）
252-231＝21（元）
42-35＝7（元）
足球：21÷7＝3（个）
篮球：6-3＝3（个）
8 假设全是兔。
4×30＝120（只）120-30＝90（只）
4＋2＝6（只）
鸡：90÷6＝15（只）
兔：30-15＝15（只）
第二十四章 盈亏问题
1 （3＋7）÷（5-3）＝5（人）
3×5＋3＝18（块）或5×5-7＝18（块）
2 （12＋9）÷（28-25）＝7（辆）
25×7＋12＝187（人）或28×7-9＝187（人）
3 儿童：（20-4）÷（8-6）＝8（个）
玩具：6×8＋20＝68（个）或8×8＋4＝68（个）
4 6×2＝12（人）
12÷（8-6）＝6（组）
8×6＝48（名）或6×6＋6×2＝48（名）
5 “把绳三折量，井外余2米”的意思是每折都余2米，三折就
一共余3×2＝6（米），“把绳四折量，还差1米不到井口”，一共差
4×1＝4（米）不到井口。井深：（6＋4）÷（4-3）＝10（米）
绳长：（10＋2）×3＝36（米）或（10-1）×4＝36（米）
6 桥高：8×2＝16（米）2×3＝6（米）（16-6）÷（3-2）＝
10（米）
绳长：2×10＋8×2＝36（米）或3×10＋2×3＝36（米）
7 注意：增加一条船和减少一条船，前后相差2条船，也就是
说，每条船坐6人正好，每条船坐9人则空出两条船。
9×2÷（9-6）＝6（条）
6×6＝36（人）
8 （20＋5）×3＝75（个）
从改进技术时到完成任务的时间：（75-20）÷5＝11（天）
计划时间：11＋4＝15（天）
零件总数：20×（15-1）＝280（个）
9 把“如果其中的12个小朋友每人分3个，剩下的每人分4个，
正好分完”统一成“每个小朋友分4个”，这样的话，那12个小朋友，
每人就要多分1个，总数就还差12×1＝12（个）。
小朋友：（30＋12）÷（4-2）＝21（个）
橘子：21×2＋30＝72（个）10 乐乐从改变速度的那一点到学校，若每分钟走50米，则要
迟到2分钟，也就是到上课时间时，他离学校还有50×2＝100（米）没
走完；若每分钟多走10米，即每分钟走50＋10＝60（米），则到达学
校时离上课还有1分钟，如果一直走到上课时间，那么他将多走60×1
＝60（米）。所以总的路程相差100＋60＝160（米）。
从乐乐改变速度起到上课时间还有：（100＋60）÷10＝16（分）
乐乐家离学校有：50×（2＋16＋2）＝1000（米）
第二十五章 简单的逻辑推理
1 由“丙的身高没有乙高”“甲的身高比丙高”可以推断，丙
最矮。又从“乙比甲矮”可知，甲最高。
2 （1）□＝8，△＝28
（2）○＝12，△＝4
3 第二个人说：“我是骗子。”傻子只会说他是傻子，而骗子
不会说他是骗子，所以只可能是疯
子说的。
假设第一个是傻子，第三个是骗子，傻子只说真话，那他和第二
个人（疯子）是兄弟，就是真的；这跟第三个人（骗子）说的话一
样，骗子只说假话，这样就出现矛盾，所以第一个人不是傻子，是骗
子，第三个人才是傻子。
因此，第一个人是骗子，第二个人是疯子，第三个人是傻子。4 根据题意，可以列表推理。
张叔叔 王叔叔 陈叔叔
医生 × × √
工人 √ × ×
教师 × √ ×
从上表中可以看出，张叔叔是工人，王叔叔是教师，陈叔叔是医
生。
5 根据题意，通过画图连线进行推理。
由上图可知，毛毛握了3次手。
6 由第一个算式△-○＝2，可知△＝○＋2。如果将第二个算
式的△都换成“○＋2”，那么第二个算式就变成了○＋○＋（○＋
2）＋（○＋2）＋（○＋2）＝56，所以○＝10。再由第一个算式△-
○＝2，可知△＝10＋2＝12。
7 “王强和医生不同岁；医生比李凤年龄小”，说明王强和李
凤都不是医生，那么医生是陈荣。“医生比李凤年龄小”，即陈荣比李凤年龄小。又“陈荣比飞行员年龄大”，则李凤不是飞行员，而是
工程师，王强是飞行员。因此，王强是飞行员，李凤是工程师，陈荣
是医生。
8 假设是甲打碎的，那么甲说谎话，乙说的是真话，丙说的是
谎话。这样两人说的是谎话，与他们中只有一人说谎相矛盾，所以不
是甲打碎的。
假设是乙打碎的，那么甲说的是谎话，乙说的是谎话，丙说的是
真话，与他们中只有一人说谎相矛盾，所以不是乙打碎的。
假设是丙打碎的，那么甲说的是真话，乙说的是真话，而丙说的
是谎话。这样有两个说的是真话，符合条件中只有一个人说的是谎
话，所以玻璃是丙打碎的。
9 根据题意列表推理。
从上表中可以看出，1号是第四名，2号是第三名，3号是第一名，
4号是第二名。
10 如果直接思考某个汉字的对面是什么字比较困难，可以换
一种思维方式，想想某个汉字的对面不是什么字。由图（1）（2）可知，“奥”的对面不是“数”“学”“林”“匹”，所以，“奥”的
对面一定是“克”。由图（1）（3）可知，“数”的对面不是“奥”
“学”“林”“克”，所以，“数”的对面一定是“匹”，剩下
“学”的对面一定是“林”。
