文档内容
专题 24.9 圆（全章知识梳理 + 题型精析）
目 录
【知识点一】圆的定义.................................................................................................................................1
【题型1】与圆的定义相关计算..................................................................................................................1
【知识点二】圆的性质——圆心角、弧、弦、弦心距关系......................................................................2
【题型2】圆心角、弧、弦、弦心距..........................................................................................................2
【知识点三】圆的性质——垂径定理.........................................................................................................3
【题型3】利用垂径定理进行判断与证明...................................................................................................3
【题型4】利用垂径定理推论进行求值......................................................................................................4
【知识点四】圆的性质——圆心角和圆周角定理.....................................................................................5
【题型5】利用圆周角定理求值证明..........................................................................................................5
【题型6】利用圆周角定理推论求值证明...................................................................................................6
【题型7】圆内接四边形..............................................................................................................................7
【知识点五】点、直线与圆的位置关系.....................................................................................................8
【题型8】点与圆的位置关系......................................................................................................................8
【题型9】直线与圆的位置关系..................................................................................................................9
【知识点六】切线的判定、性质...............................................................................................................10
【题型10】切线的判定..............................................................................................................................10
【题型11】切线的性质与判定综合..........................................................................................................11
【知识点七】切线长定理...........................................................................................................................11
【题型12】切线长定理..............................................................................................................................11
【知识点八】三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形................................................12
【题型13】三角形内切圆..........................................................................................................................13
【题型14】圆的外切四边形......................................................................................................................13
【知识点九】正多边形与圆.......................................................................................................................14
【题型15】正多边形与圆..........................................................................................................................14
【知识点十】弧长与扇形面积...................................................................................................................15
【题型16】弧长与扇形面积......................................................................................................................15
【知识点一】圆的定义
（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
【要点提示】 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半
径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.
【题型1】与圆的定义相关计算
【例题1】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）如图，已知 是 的两条直径， ，
则 的度数为 ．【变式1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图， 是 的直径， 是 上一点，
，A为 延长线上一点，且 ，求 的度数．
【变式2】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图， 是 的直径，点 ， 在 上，且点
， 在 的异侧，连接 ， ， ．若 ，且 ，则 的度数为
．
【知识点二】圆的性质——圆心角、弧、弦、弦心距关系
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相
等，那么它所对应的其他各组分别相等.
【题型2】圆心角、弧、弦、弦心距
【例题2】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 中， ，以 为半径的
与 相交于点D．
（1）若 ，求 的度数
（2）若 ，求 的长．【变式1】（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图， 、 是 的弦，且 ，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2025·上海·模拟预测）如图， 是 的弦，将劣弧 沿弦 折叠后，圆弧恰好
经过圆心 ，若 ，则 的半径为 ．
【知识点三】圆的性质——垂径定理
（1）轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
（2）垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夹的弧相等.
【要点提示】在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所
对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分
弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
【题型3】利用垂径定理进行判断与证明【例题3】（2025·广西来宾·三模）如图，在 中， 、 为 的两条弦， ，
，垂足为 、 ，连接 ，若 ，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023·浙江·模拟预测）如图， 是 的直径， 是弦且不是直径， ，
则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如图， 是 的直径，弦 于点 ，
点 在 上， 恰好经过圆心 ，连接 ．
（1）若 ，求 的直径；
（2）若 ，求 的度数．
【题型4】利用垂径定理推论进行求值
【例题4】（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，点 在以 为直径的 上， ，交 于点 ，垂足 ， ， ．
（1）连接 ，证明 为等腰直角三角形；
（2）连接 ，若点 ， 在 上，且 ，求证： ．
【变式1】（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图， 是 的直径， 是 的弦，
于点 ，连接 ．若 ， ，则 的半径的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图， 的半径为 ，圆心 到 的距离
，则 ．
【知识点四】圆的性质——圆心角和圆周角定理
4．与圆有关的角
（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
（2）圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
要点诠释：
（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
【题型5】利用圆周角定理求值证明
【例题5】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图， 是 的直径， 的弦 ，弦
， 的平分线交 于 ，则 长是 ．
【变式1】（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图， 是半圆O的直径， ，点C是
上一点 不与B，D重合 ，则 ．
【变式2】（25-26九年级上·山西大同·期中）如图， 内接于 ， 是 的直径．若
，则 的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【变式3】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在 中， ， 是 边上一点，以 为直径的 经过点 ， 是直径 上一点（不与点 、 重合），连接 并延长交
于点 ，连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
【题型6】利用圆周角定理推论求值证明
【例题6】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图， 为 的直径， ，垂足为 ，
点 是 上一动点，连接 分别交 ， 于点 ， ．
（1）当 时， 与 有何关系？证明你的结论．
（2）当点 在什么位置时， ？证明你的结论．
【变式1】（24-25九年级上·河南信阳·月考）如图， 是 的直径，弦 于点 ．已知
， ，则 的长为（ ）．
A． B． C． D．
【变式2】（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，点 都是 上的点， ，
，则 的度数为 ．【变式3】（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图， 经过原点，并与两坐标轴分别交于
， 两点，已知 的半径为 ， ，则 的长为 ．
【题型7】圆内接四边形
【例题7】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形 内接于 ，交 的延
长线于点E，连接 平分 ．
（1）求证： ；
（2）若点B为 的中点， 时，求 的长．
【变式1】（23-24九年级上·河南三门峡·期中）如图， 过原点 ，且与两坐标轴分别交于点
A、B，点 A 的坐标为 ，点 M是第三象限内圆上一点， ，则 的半径为
（ ）A．4 B．5 C．6 D．2
【变式2】（2024九年级·福建·竞赛）如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若
AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ．
【知识点五】点、直线与圆的位置关系
1．判定一个点P是否在⊙O上
设⊙O的半径为 ， ，则有
点 在⊙O外 ； 点P在⊙O 上 ；点P在⊙O内 .
【要点说明】点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以
确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
【题型8】点与圆的位置关系
【例题8】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在 中， ， ，
， 是斜边 上的中线．
（1）若以点 为圆心，以 为半径作 ，且点 ， ， 中有两个点在 内，有一个点在
外，求 的取值范围；
（2）若以点 为圆心，以 为半径作 ，且点 ， ， 都在 上，求 的值．【变式1】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）平面内，若 的半径为2， ，则点P在
（ ）
A．外 B．内 C．内或外 D．上
【变式2】（23-24九年级上·浙江丽水·期中）已知 的半径为5，点P在 上，则 的长为
．
2．直线和圆的位置关系
设⊙O 半径为 ，点O到直线的距离为 .
（1）直线和⊙O没有公共点即 ，则直线和圆相离.
（2）直线和⊙O有唯一公共点即 ，则直线和⊙O相切.
（3）直线和⊙O有两个公共点即 ，则直线和⊙O相交.
【题型9】直线与圆的位置关系
【例题9】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图， ，点M在 上，且 ，
以点M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画的圆和射线 的公共点个数之间的对应关系．
【变式1】（25-26九年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系 中， 的半径为3，直线l
的解析式为 ，那么直线l与 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知 的半径为 ，圆心O到某直线的距离为 ，则该直线与 的位置关系是 ．
【知识点六】切线的判定、性质
（1）切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
【题型10】切线的判定
【例题10】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，四边形 内接于 ， ，
点 在 的延长线上，连接 ， ， ．求证： 是 的切线．
【变式1】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图， 为 的切线，A为切点，B为 上的
一点，连接 、 交 于点C， 的延长线交 于点D．则下列条件不能判断 为 的
切线的是（ ）
A． B．
C．点A，B都在以 为直径的圆上 D． 平分
【变式2】（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图， 是 的弦， 是过B点的直线，
，当 时， 是 切线．（2）切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
③经过切点作切线的垂线经过圆心.
【题型11】切线的性质与判定综合
【例题11】（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形 中， 平分 ．点O在 上，
以点O为圆心， 为半径，作 与 相切于点B，且 过点 ， 延长线交 于点E，
交 于点F，连接 ， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的长．
【变式1】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图， 为 的切线，A为切点，连接
，过点A作 ，垂足为C，交 于点B，连接 ，求证： 为 的切线．
【变式2】（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）如图，已知 ，其中A、B、C三点在 上，
分别连接 ， ，延长 交 于点M，交过点C的直线l于点P， ．
（1）求证： 是 的切线；（2）若直线l与 相切，已知 ， 半径是5．求 的面积．
【知识点七】切线长定理
（1）切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
（2）切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两
条切线的夹角.
【题型12】切线长定理
【例题12】（2025·广东广州·二模）已知点 在以 为直径的圆 上，过点 、 作圆 的切线，
交于点 ，连 ，
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的值．
【变式1】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）以下是“用尺规过圆外一点作圆的切线”的作图过
程：
已知：如图， 及 外一点 ．
作法： 连结 ，作线段 的垂直平分线 交 于点 ；
以点 为圆心， 的长为半径作圆，交 于点 、点 ；
作直线 ， ．
说明：连结 ．
∵以点 为圆心， 的长为半径作圆，∴ 为 的直径，∴ °．
∵ 为半径，∴ 为 的 ，且 （填“ ”、“ ”或“ ”）．【变式2】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图， ， ， 分别与 相切于 ， ，
，且 ， ， ．求 的长．
【知识点八】三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1．三角形的内心、外心、重心、垂心
（1）三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内
部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
（2）三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外
心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三
角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
2．圆内接四边形和外切四边形
（1）四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
（2）各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
【题型13】三角形内切圆
【例题13】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图， 的内切圆 与 分别相切
于点 ，且 ， ．则 的长为（ ）A．2 B．4 C．3 D．5
【变式1】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在 中， ， ， ，
则这个三角形的内切圆的半径是 ．
【例题14】（24-25九年级上·全国·期末）如图，正三角形 是圆 的内接三角形，弦 ，
且与 垂直，则圆 的半径等于（ ）
A．2 B． C． D．
【变式1】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）三角形两边长是6和8，第三边的长是方程
的根，则该三角形外接圆的半径为 ．
【变式2】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知 的两直角边 分别是一元
二次方程 的两根，则此 的外接圆半径与内切圆半径的和是 ．
【题型14】圆的外切四边形
【例题14】（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形 是 的外切四边形， ，
．则四边形 的周长为 ．
【变式1】（22-23九年级上·河北邯郸·期中）如图， 是四边形 的内切圆．若 ，
则 （ ）A． B． C． D．
【变式2】
【知识点九】正多边形与圆
一般地，用量角器把一个圆 （ ）等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正
多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆
的半径叫做正多边形的半径。
如图，五边形ABCDE是☉o的内接正五边形，☉o是正五边形ABCDE外接圆，圆心是正五边形中
心，☉o的半径是正五边形的半径。
【题型15】正多边形与圆
【例题15】（23-24九年级上·吉林·期末）如图， 是 的直径， ， 是 的弦，
，延长 到 ，连接 ， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求以 为边的圆内接正多边形的周长．
【变式1】（24-25八年级下·上海·期末）边长为2的等边三角形的边心距是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，正六边形 内接于 ， ，则
正六边形 的周长为 ，面积为 ．【知识点十】弧长与扇形面积
在半径为 的圆中，扇形面积 与所对的圆心角度数 之间有如下的关系：
在半径为 的圆中，扇形面积 与所对的圆心角度数 之间有如下的关系：
在半径为 的圆中，扇形面积 与所对的圆心角度数 之间有如下的关系：
【题型16】弧长与扇形面积
【例题16】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在四边形 中， ， ，
，以点 为圆心， 为半径的圆与 相切于点 ，交 于点 ．
（1）求 的度数；
（2）用扇形 围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为________．
【变式1】（2025·安徽淮南·二模）如图，以含有 角的三角尺 的顶点B为圆心， 长为
半径画 ，交 边于点D．若 ，则劣弧 的长为（ ）
A． B． C． D．【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，将半径为2，圆心角为 的扇形 绕点A
逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形 的弧上的点 处，点C的对应点为点 ，则阴
影部分的面积为 ．
