文档内容
专题 24.9 圆（全章知识梳理 + 题型精析）
目 录
【知识点一】圆的定义.................................................................................................................................1
【题型1】与圆的定义相关计算..................................................................................................................1
【知识点二】圆的性质——圆心角、弧、弦、弦心距关系......................................................................3
【题型2】圆心角、弧、弦、弦心距..........................................................................................................3
【知识点三】圆的性质——垂径定理.........................................................................................................7
【题型3】利用垂径定理进行判断与证明...................................................................................................7
【题型4】利用垂径定理推论进行求值......................................................................................................9
【知识点四】圆的性质——圆心角和圆周角定理...................................................................................12
【题型5】利用圆周角定理求值证明........................................................................................................13
【题型6】利用圆周角定理推论求值证明.................................................................................................16
【题型7】圆内接四边形............................................................................................................................20
【知识点五】点、直线与圆的位置关系...................................................................................................23
【题型8】点与圆的位置关系....................................................................................................................23
【题型9】直线与圆的位置关系................................................................................................................25
【知识点六】切线的判定、性质...............................................................................................................27
【题型10】切线的判定..............................................................................................................................27
【题型11】切线的性质与判定综合..........................................................................................................30
【知识点七】切线长定理...........................................................................................................................34
【题型12】切线长定理..............................................................................................................................34
【知识点八】三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形................................................37
【题型13】三角形内切圆..........................................................................................................................38
【题型14】圆的外切四边形......................................................................................................................42
【知识点九】正多边形与圆.......................................................................................................................43
【题型15】正多边形与圆..........................................................................................................................43
【知识点十】弧长与扇形面积...................................................................................................................46
【题型16】弧长与扇形面积......................................................................................................................47
【知识点一】圆的定义
（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
【要点提示】 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半
径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.
【题型1】与圆的定义相关计算
【例题1】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）如图，已知 是 的两条直径， ，
则 的度数为 ．【答案】 /140度
【分析】本题主要考查了圆的半径相等，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握各
知识点并灵活运用是解题的关键．
根据半径 得到 ，再由三角形内角和定理求解即可．
解：∵ 是 的两条直径，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
【变式1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图， 是 的直径， 是 上一点，
，A为 延长线上一点，且 ，求 的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，先证明
得到 ，再由三角形外角的性质得到 ，根据等边对等角得到
，再由 ， ，据此求解即可．
解：如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ，∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
【变式2】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图， 是 的直径，点 ， 在 上，且点
， 在 的异侧，连接 ， ， ．若 ，且 ，则 的度数为
．
【答案】
【分析】本题考查平行线的性质，同圆半径相等，等边对等角，三角形的内角和定理，解题的关键
是熟练掌握相关性质和定理．由平行线的性质，可得 的度数，从而可得 的度数，根
据三角形的内角和定理计算可得 的度数，再根据平角的定义即可得出 ．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
故答案为：
【知识点二】圆的性质——圆心角、弧、弦、弦心距关系
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相
等，那么它所对应的其他各组分别相等.
【题型2】圆心角、弧、弦、弦心距
【例题2】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 中， ，以 为半径的
与 相交于点D．（1）若 ，求 的度数
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查计算圆心角度数，三角形内角和定理，等腰三角形性质，勾股定理等．
（1）根据题意连接 ，再利用内角和定理计算出 ，继而求出本题答案；
（2）作 ，根据垂径定理得 ，再利用勾股定理计算出 ，利用等积法求出
，再利用勾股定理即可计算出本题答案．
解：（1）解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ；
（2）解：作 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式1】（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图， 、 是 的弦，且 ，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查弧、弦、圆心角之间的关系，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质．
连接 ，由已知可得 ，从而可得 ，根据三角形的内角和定理，结
合等腰三角形的性质计算即可．
解：连接 ，
∵ 、 是 的弦，且 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ．
故选：D．
【变式2】（2025·上海·模拟预测）如图， 是 的弦，将劣弧 沿弦 折叠后，圆弧恰好
经过圆心 ，若 ，则 的半径为 ．
【答案】2
【分析】本题考查垂径定理，翻折变换，关键是由翻折变换的性质推出 是等边三角形．
由翻折变换的性质推出 是等边三角形，得到 ，由垂径定理得到 的长，由锐角
的正弦即可求出 的长．
解：设 的对应点是 ，连接 , ， ，
由题意知 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的半径是2．
故答案为：2．
【知识点三】圆的性质——垂径定理
（1）轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
（2）垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夹的弧相等.
【要点提示】在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所
对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分
弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
【题型3】利用垂径定理进行判断与证明
【例题3】（2025·广西来宾·三模）如图，在 中， 、 为 的两条弦， ，
，垂足为 、 ，连接 ，若 ，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角等知识．根据垂直于弦的直
径平分弦得出 ，推得 ，根据全等三角形的判定和性质得出 ，根据等边对等角得出 ，即可求解．
解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，即A选项、B选项说法正确；
在 和 中，
，
∴
∴ ，
∴ ，即C选项说法正确，
不能确定 的度数，故D选项说法错误．
故选：D．
【变式1】（2023·浙江·模拟预测）如图， 是 的直径， 是弦且不是直径， ，
则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理．解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．
由于 ，根据垂径定理有 ， ，不能得出 ，圆的半径都相等，即
可求解；
解： ，
， ，
的半径都相等，
那么 ，不能得出 ．
故选B．
【变式2】（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如图， 是 的直径，弦 于点 ，
点 在 上， 恰好经过圆心 ，连接 ．
（1）若 ，求 的直径；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1） 的直径是20；（2）
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、三角形外角的定义及性质、等边对等角，熟练掌握以上
知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由垂径定理可得 ， ，设 ，则 ，由
勾股定理可得 ，即 ，求解即可得到答案；
（2）由 可得 ，由三角形外角的定义及性质结合 可得 ，
再由 可得 ，进行计算即可得到答案．
解：（1）解： 是 的直径，弦 于点 ，
， ，
设 ，则 ，
，
，
解得： ，
的直径为20；
（2）解： ，
，
，，
，
，
，
．
【题型4】利用垂径定理推论进行求值
【例题4】（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，点 在以 为直径的 上， ，
交 于点 ，垂足 ， ， ．
（1）连接 ，证明 为等腰直角三角形；
（2）连接 ，若点 ， 在 上，且 ，求证： ．
【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析．
【分析】（ ）根据垂径定理求出 ，再根据勾股定理求出 ，得出 ，再根据
，即可得出 为等腰直角三角形；
（ ）连接 ，根据 ，得出 ，再根据 为等腰直角三角形得出 ，
从而得出 ．
解：（1）证明：∵ 为直径， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ 为等腰直角三角形；
（2）证明：连接 ， 交 于 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了垂径定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判
定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【变式1】（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图， 是 的直径， 是 的弦，
于点 ，连接 ．若 ， ，则 的半径的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，连接 ，由垂径定理得到 ，由圆周角定理得到 ，判定 是等腰直角三角形，求出 ，于是得到
的半径的长为 ．
解：连接 ，
∵直径 于点E，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 的半径的长为 ．
故选：D．
【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图， 的半径为 ，圆心 到 的距离
，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据勾股定理求得 ，再根据垂径定理求解即可．
解：∵ 的半径为 ，圆心 到 的距离 ，
∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，
故答案为：6．
【知识点四】圆的性质——圆心角和圆周角定理
4．与圆有关的角
（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
（2）圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
要点诠释：
（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
【题型5】利用圆周角定理求值证明
【例题5】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图， 是 的直径， 的弦 ，弦
， 的平分线交 于 ，则 长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理和推论，勾股定理．连接 ，利用圆周角定理结合勾股定理求得
的长，再证明 是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可．
解：连接 ，∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 的平分线交 于 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
故答案为： ．
【变式1】（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图， 是半圆O的直径， ，点C是
上一点 不与B，D重合 ，则 ．
【答案】122
【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．由 为直径可知
，进而可得 ，再利用圆内接四边形对角互补即可得解．
解： 是直径，
，
，
，∵四边形 是圆内接四边形，
．
故答案为：122．
【变式2】（25-26九年级上·山西大同·期中）如图， 内接于 ， 是 的直径．若
，则 的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了圆周角定理，理解圆周角与圆心角的关系是解题关键．
根据圆周角与圆心角的关系求解．
解：如图所示，连接 ，
，
，
，
．
故选：B．
【变式3】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在 中， ， 是 边上一
点，以 为直径的 经过点 ， 是直径 上一点（不与点 、 重合），连接 并延长交
于点 ，连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．【答案】（1）见分析；（2） ．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形外角的性质等知识，掌握相关知识是
解题的关键．
（1）由 ，得到 ，再由 ，即可得结论；
（2）由 得到 ，进而得到 ，再根据三角形的外角的性质即可
得出答案．
解：（1）证明： ，
，
又 ，
；
（2）解： 是直径，
，
，
，
，
．
【题型6】利用圆周角定理推论求值证明
【例题6】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图， 为 的直径， ，垂足为 ，
点 是 上一动点，连接 分别交 ， 于点 ， ．
（1）当 时， 与 有何关系？证明你的结论．
（2）当点 在什么位置时， ？证明你的结论．【答案】（1） ；证明见分析；（2）当弧 弧 时， ．证明见分析
【分析】主要考查了圆中的有关性质，掌握其中的圆周角定理、圆心角、弧、圆周角之间的关系是
解题的关键．
（1）由圆周角定理知： ，在 中， ，证得 ，已知 ，
可得 ，所以 ，即 ；
（2）当弧 弧 时， ，可得 ，进而可得 ，因此当弧
弧 时， ．
解：（1） ；
证明：连接 ，
为 的直径，
．
又 ，
．
，
．
．
．
（2）当弧 弧 时， ，
证明：∵弧 弧 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【变式1】（24-25九年级上·河南信阳·月考）如图， 是 的直径，弦 于点 ．已知， ，则 的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理及勾股定理．
连接 ，求出半径 的长，进而可得出 的长，再由 于E可知 是直角三角形，
且 ，根据勾股定理求出 的长即可得出结论．
解：连接 ，
∵ 为 的直径， ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 于E，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【变式2】（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，点 都是 上的点， ，
，则 的度数为 ．【答案】
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是
解题的关键．
连接 、 ，根据圆内接四边形的性质求出 ，根据等腰三角形的性质求出 ，再
根据圆内接四边形的性质计算 即可．
解：连接 、 ，
点 都是 上的点，
，
，
，
，
，
点 都是 上的点，
，
．
故答案为： ．
【变式3】（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图， 经过原点，并与两坐标轴分别交于
， 两点，已知 的半径为 ， ，则 的长为 ．【答案】
【分析】如图，连接 ，根据圆周角定理得到则 为直径，即 点在 上，
，然后根据含 角的直角三角形边的关系求出 的长，再利用勾股定理即
可求出 的长．
解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ 为直径，即 点在 上，
∵ 的半径为 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 的长为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等， 的圆周角所对的弦是直径，含 角的直角
三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握： 的圆周角所对的弦是直径．
【题型7】圆内接四边形
【例题7】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形 内接于 ，交 的延
长线于点E，连接 平分 ．
（1）求证： ；（2）若点B为 的中点， 时，求 的长．
【答案】（1）见分析；（2）6
【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，角平分线的定
义和性质，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）根据圆内接四边形对角互补和平角的定义可证明 ，由角平分线的定义和同弧
所对的圆周角相等得到 ，即可证明 ；
（2）过点C作 于H，设 ，则 ，由角平分线的性质得到
，证明 ，得到 ，证明 ，得到
，则 ，再由弧与弦之间的关系得到 ，由勾股定
理得 ，解方程即可得到答案．
解：（1）证明：∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：过点C作 于H， ，设 ，则 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
同理可证明 ，
∴ ，
∴ ，
∵点B为 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
【变式1】（23-24九年级上·河南三门峡·期中）如图， 过原点 ，且与两坐标轴分别交于点
A、B，点 A 的坐标为 ，点 M是第三象限内圆上一点， ，则 的半径为
（ ）A．4 B．5 C．6 D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含 角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标
与图形，根据圆内接四边形对角互补得到 ，再由 的圆周角所对的弦是直径得到
是直径，求出 ，进而求出 ，是解题的关键．
解：∵ 、 、 、 都在圆上， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的直径， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径为4，
故选：A．
【变式2】（2024九年级·福建·竞赛）如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若
AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ．
【答案】
【分析】连接 ，并延长交圆 于点 ，连接 ， ，可得 ，从而可得BD//CE，得到 ，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积．
解：如图，连接 ，并延长交圆 于点 ，连接 ， ．
则 ， ．
∵ ，
∴ // ，
∴
∴BE=CD，
∵
∴ ．
在Rt△ 中，AB=10，
所以，由勾股定理得，
∴ ．
所以圆 的面积为 ．
【点拨】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，
正确作出辅助线构造直角是解答本题的关键．
【知识点五】点、直线与圆的位置关系
1．判定一个点P是否在⊙O上
设⊙O的半径为 ， ，则有
点 在⊙O外 ； 点P在⊙O 上 ；点P在⊙O内 .
【要点说明】点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以
确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.【题型8】点与圆的位置关系
【例题8】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在 中， ， ，
， 是斜边 上的中线．
（1）若以点 为圆心，以 为半径作 ，且点 ， ， 中有两个点在 内，有一个点在
外，求 的取值范围；
（2）若以点 为圆心，以 为半径作 ，且点 ， ， 都在 上，求 的值．
【答案】（1） ；（2）5
【分析】本题考查点和圆的位置关系及勾股定理，熟练掌握点和圆的位置关系及勾股定理是解题关
键．
（1）利用勾股定理可得 ，根据直角三角形的性质得 ，进而根据点与圆的位置
关系即可得答案；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及圆的定义，可得答案．
解：（1）解： ， ， ，
．
∵ 是斜边 上的中线．
∴ ，
点 ， ， 中有两个点在 为，有一个点在 外， ，
；
（2）解： 是斜边 上的中线， ，
．
点 ， ， 都在 上，
．
【变式1】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）平面内，若 的半径为2， ，则点P在
（ ）
A．外 B．内 C．内或外 D．上
【答案】A【分析】本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆
心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外．
通过比较点P到圆心O的距离 与圆的半径r的大小关系判断．
解：∵ 的半径 ， ，且 ，
∴ ，
∴点P在 外．
故选A．
【变式2】（23-24九年级上·浙江丽水·期中）已知 的半径为5，点P在 上，则 的长为
．
【答案】5
【分析】本题考查了半径的定义，根据“圆上的点到圆心的距离等于半径”，即可解答．
解：∵ 的半径为5，点P在 上，
∴ ，
故答案为：5．
2．直线和圆的位置关系
设⊙O 半径为 ，点O到直线的距离为 .
（1）直线和⊙O没有公共点即 ，则直线和圆相离.
（2）直线和⊙O有唯一公共点即 ，则直线和⊙O相切.
（3）直线和⊙O有两个公共点即 ，则直线和⊙O相交.
【题型9】直线与圆的位置关系
【例题9】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图， ，点M在 上，且 ，
以点M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画的圆和射线 的公共点个数之间的对应关系．
【答案】当 时， 与射线 没有公共点；当 或 时， 与射线 只有一个公共点；当 时， 与射线 有两个公共点
【分析】此题考查了直线与圆的交点个数问题．作 于点N，求出 ，
分情况讨论求解即可．
解：作 于点N，如图，
∵ ，
∴ ，
∴当 时， 与射线OA只有一个公共点；
当 时， 与射线OA没有公共点；
当 时， 与射线OA有两个公共点；
当 时， 与射线OA只有一个公共点．
∴当 时， 与射线OA没有公共点；当 或 时， 与射线OA只有一个公共点；
当 时， 与射线OA有两个公共点．
【变式1】（25-26九年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系 中， 的半径为3，直线l
的解析式为 ，那么直线l与 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，关键是由三角形面积公式求出 的长．
求出 ，由勾股定理得到 ，由三角形面积公式求出 ，而 的半径
，即可判断直线 与 的位置关系．
解：如图，直线 分别与 轴交于 ，过 作 于 ，
当 时， ，
，
当 时， ，
，
，
，
的面积 ，
，
，
到直线 的距离 ，
的半径 ，
，
直线 与 的位置关系是相交．
故选：C．
【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知 的半径为 ，圆心O到某直线的距离
为 ，则该直线与 的位置关系是 ．
【答案】相交
【分析】本题考查了直线与 的位置关系，根据直线与圆的位置关系的判定定理求解．
解： ， ， ，，
即 ，
该直线与 的位置关系是相交，
故答案为：相交．
【知识点六】切线的判定、性质
（1）切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
【题型10】切线的判定
【例题10】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，四边形 内接于 ， ，
点 在 的延长线上，连接 ， ， ．求证： 是 的切线．
【答案】见分析
【分析】本题主要考查了切线的判定定理，同弧所对的圆周角相等，90度的圆周角所对的弦是直
径，先证明 是 的直径，再证明 ，则可证明 ，据此可证明结论．
解：证明：连接 ，如图，
，
是 的直径，
， ，
，
，
，即 ，
，为 的半径，
是 的切线．
【变式1】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图， 为 的切线，A为切点，B为 上的
一点，连接 、 交 于点C， 的延长线交 于点D．则下列条件不能判断 为 的
切线的是（ ）
A． B．
C．点A，B都在以 为直径的圆上 D． 平分
【答案】D
解：本题考查切线的性质和判定，全等三角形，连接 ， ，根据选项条件证明
即可解题．
解：∵ 为 的切线，
∴ ，
连接 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为 的切线，故A正确，不符合题意；
∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，∴ 为 的切线，故B正确，不符合题意；
∵点A，B都在以 为直径的圆上，
∴ ，
又∵ ，
∴ 为 的切线，故A正确，不符合题意；
∵ 平分 ，
∴ ，
再根据 ， ，不能判断 ，故D错误，符合题意；
故选：D
【变式2】（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图， 是 的弦， 是过B点的直线，
，当 时， 是 切线．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的判定定理，根据等腰三角形的性
质和三角形内角和定理求得 ，再根据切线的判定定理可得当 时， ，
即可求解．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴当 时， 是 切线，
故答案为： ．
（2）切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.
【题型11】切线的性质与判定综合
【例题11】（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形 中， 平分 ．点O在 上，
以点O为圆心， 为半径，作 与 相切于点B，且 过点 ， 延长线交 于点E，
交 于点F，连接 ， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】（1）连接 ，证明 ，得到 ，即可求证；
（2）由 ， ，可得 垂直平分 ， ，进而可得
，即可求出 ，再利用勾股定理得到 的长．
解：（1）证明：连接 ，
平分 ，
，
， ，
， ，
， ，
，
， ，
，
，
与 相切于点B，，
，
，
即 ，
是 的切线；
（2）解： ， ，
垂直平分 ， ，
，
，
，
，
，
是 的直径，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形的外
角性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，掌
握圆的有关性质是解题的关键．
【变式1】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图， 为 的切线，A为切点，连接
，过点A作 ，垂足为C，交 于点B，连接 ，求证： 为 的切线．
【答案】见分析
【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理，全等三角形的性质与判定，由垂径定理得
到 ，则 ，证明 ，结合切线的性质可得 ，
据此可证明结论．解：证明：如图所示，连接 ，
，
，
，
，
为 的切线，
，即 ，
，
为 的半径，
为 的切线．
【变式2】（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）如图，已知 ，其中A、B、C三点在 上，
分别连接 ， ，延长 交 于点M，交过点C的直线l于点P， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若直线l与 相切，已知 ， 半径是5．求 的面积．
【答案】（1）见详解；（2）54
【分析】本题主要考查切线的性质与判定、平行四边形的性质及垂径定理的推论，熟练掌握切线的
性质与判定、平行四边形的性质及垂径定理的推论是解题的关键；
（1）由垂径定理的推论可得 ，然后可得 ，进而问题可求证；（2）连接 ，由题意易得 ，然后根据勾股定理可得 ，则有
，然后问题可求解．
解：（1）证明：∵ 过圆心O，且 ，
∴ ，即 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：连接 ，如图所示：
∵直线l与 相切，
∴ ，
∵ ， 半径是5，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【知识点七】切线长定理
（1）切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.（2）切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两
条切线的夹角.
【题型12】切线长定理
【例题12】（2025·广东广州·二模）已知点 在以 为直径的圆 上，过点 、 作圆 的切线，
交于点 ，连 ，
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）见分析；（2） ．
【分析】（1）先由切线长定理求得 ， ，推出 垂直平分 ，再根据圆
周角定理求得 ，利用平行线的判定定理得到 ；
（2）先由 垂直平分 ，得出 ， ，则再结合勾股定理列式 ，
， ，计算得出 ， ，
再把数值代入 进行计算，即可作答．
解：（1）解：连接 交 于点Q．
分别与 相切，∴ ， ，
则 垂直平分 ，即 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
设 ，
则 ， ，
∴ ．
设 ，
则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ．
【点拨】本题考查了切线的性质与定理，切线长定理，圆周角定理，垂直平分线的性质与判定，勾
股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【变式1】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）以下是“用尺规过圆外一点作圆的切线”的作图过
程：
已知：如图， 及 外一点 ．
作法： 连结 ，作线段 的垂直平分线 交 于点 ；
以点 为圆心， 的长为半径作圆，交 于点 、点 ；
作直线 ， ．
说明：连结 ．
∵以点 为圆心， 的长为半径作圆，∴ 为 的直径，∴ °．∵ 为半径，∴ 为 的 ，且 （填“ ”、“ ”或“ ”）．
【答案】 ； 切线； ．
【分析】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质、圆周角定理和切线的判定与性质，
先根据圆周角定理的推论得到 ， ，然后根据切线的判定定理得到直线 为切
线，同理可证，直线 也是 的切线，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
解：连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ 为半径，
∴ 为 的切线，
同理 为 的切线，
∴ ，
故答案为： ；切线； ．
【变式2】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图， ， ， 分别与 相切于 ， ，
，且 ， ， ．求 的长．【答案】
【分析】解答此题的关键是综合运用切线长定理和平行线的性质发现 ，再根据勾股定理进
行计算．
根据切线长定理和平行线的性质定理得到 是直角三角形．再根据勾股定理求出 的长．
解： ， ， 分别与 相切于 ， ， ；
， ，
，
，
，即 ，
，
所以 的长为 .
【知识点八】三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1．三角形的内心、外心、重心、垂心
（1）三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内
部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
（2）三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外
心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三
角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
2．圆内接四边形和外切四边形
（1）四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
（2）各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
【题型13】三角形内切圆
【例题13】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图， 的内切圆 与 分别相切
于点 ，且 ， ．则 的长为（ ）A．2 B．4 C．3 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，设 ，根据切线长定理得出
， ， ，得到 ， ，由 ，
得到 ，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
解：设 ，
的内切圆 与 分别相切于点 ，
， ， ，
， ， ，
， ，
，
，
解得： ，
即 ，
故选：B．
【变式1】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在 中， ， ， ，
则这个三角形的内切圆的半径是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内切圆与内心，根据题目的已知条件并结合图形
添加适当的辅助线是解题的关键．
设 的三边分别与 相切于点 、 、 ，连接 ， ， ， ， ， ，然后利
用等面积法进行计算即可解答．
解：设 的三边分别与 相切于点D、E、F，连接 ， ， ， ， ， ，∴ ， ， ，
设 的半径为 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 的面积 的面积 的面积 的面积，
∴ ，
，
∴ ，
∴它的内切圆半径是2，
故答案为：2．
【例题14】（24-25九年级上·全国·期末）如图，正三角形 是圆 的内接三角形，弦 ，
且与 垂直，则圆 的半径等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、垂径定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
连接 ，根据垂径定理推出 被 垂直平分，再根据勾股定理进行计算即可．
解：连接 ，∵ 是等边三角形， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
则 ，
则 ，
解得： ．
故选：B ．
【变式1】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）三角形两边长是6和8，第三边的长是方程
的根，则该三角形外接圆的半径为 ．
【答案】5
【分析】本题考查求三角形外接圆的半径，先解一元二次方程，根据三角形三边关系确定第三边的
长，再通过勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，最后利用直角三角形的斜边为其外接圆的
直径，进行求解即可．
解： ，
因式分解得 ，
解得 ， ．
当第三边为 2 时， ，不满足三角形两边之和大于第三边，故舍去；
当第三边为 10 时，满足 ， ， ，且 ， ，所以三角形为直角三角形，斜边为 10，
因此外接圆半径为斜边的一半，即 ．
故答案为：5．
【变式2】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知 的两直角边 分别是一元
二次方程 的两根，则此 的外接圆半径与内切圆半径的和是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直角三角形的外接圆和内切圆的问题．解出方程，可得
两直角边 是3或4，再由勾股定理可得 的长，可求出 的外接圆的半径；设
的内切圆圆心为点O，与三边的切点分别为点D，E，F，连接 ，设内切圆的半径
为r，结合切线长定理可求出内切圆的半径，即可求解．
解：解方程 ，得：
，
即两直角边 是3或4，
根据勾股定理得：斜边长为： ，
即 的外接圆直径为5，
∴ 的外接圆的半径为 ．
如图，设 的内切圆圆心为点O，与三边的切点分别为点D，E，F，连接 ，设内切
圆的半径为r，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
即内切圆的半径为1，
此 的外接圆半径与内切圆半径的和是 ．
故答案为：
【题型14】圆的外切四边形
【例题14】（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形 是 的外切四边形， ，
．则四边形 的周长为 ．
【答案】48
【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关
键．
根据切线长定理得到 ，得到 ，根据
四边形的周长公式计算，得到答案．
解：如图，令 与边 的切点分别为E，F，G，H，
∵四边形 是 的外切四边形，
∴ ，
∴
∴ ，
∴四边形 的周长为
．故答案为：48．
【变式1】（22-23九年级上·河北邯郸·期中）如图， 是四边形 的内切圆．若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案；
解：∵ 是四边形 的内切圆，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
故选：A；
【点拨】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到
．
【变式2】
【知识点九】正多边形与圆
一般地，用量角器把一个圆 （ ）等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正
多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆
的半径叫做正多边形的半径。
如图，五边形ABCDE是☉o的内接正五边形，☉o是正五边形ABCDE外接圆，圆心是正五边形中
心，☉o的半径是正五边形的半径。【题型15】正多边形与圆
【例题15】（23-24九年级上·吉林·期末）如图， 是 的直径， ， 是 的弦，
，延长 到 ，连接 ， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求以 为边的圆内接正多边形的周长．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】（1）连接 ，根据等边对等角可得 ， ，根据
三角形的内角和定理求得 ，即可证明；
（2）根据 ，推得以 为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，根据直角三角形中，
所对的边是斜边的一半求得 ，即可求解．
解：（1）证明：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ 是半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ， ，
∴以 为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴以 为边的圆内接正六边形的周长为 ．
【点拨】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，圆内接正六边形的性质，含 角的直角
三角形的性质，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键．
【变式1】（24-25八年级下·上海·期末）边长为2的等边三角形的边心距是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 是边长为2的等边三角形，作 的外接圆，圆心为点O，连接 ，作
于点D，由 ，得 ，
而 ，则 ，由 ，求得 即可．
解：如图， 是边长为2的等边三角形，作 的外接圆，圆心为点O，连接 ，作
于点D，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴边长为2的等边三角形的边心距是 ．
故选：A．
【点拨】本题主要考查正多边形和圆、等边三角形的性质、等腰三角形的“三线合一”、直角三角
形中 角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识点，正确地添加辅助线是解题的关键．
【变式2】（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，正六边形 内接于 ， ，则
正六边形 的周长为 ，面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形与圆．
连接 ， ，根据正六边形的性质可得 ，进而可得 是等边三角形，则得
，即可求出正六边形的周长，再求出等边 的面积，进而可求解．
解：连接 ， ，过F点作 于点H，如图：
六边形 是正六边形，
，
，且 ，
是等边三角形，且边长 ，∴正六边形 的周长 ， ，
∴ ，
等边 的面积为： ，
正六边形 的面积为： ，
故答案为： ， ．
【知识点十】弧长与扇形面积
在半径为 的圆中，扇形面积 与所对的圆心角度数 之间有如下的关系：
在半径为 的圆中，扇形面积 与所对的圆心角度数 之间有如下的关系：
在半径为 的圆中，扇形面积 与所对的圆心角度数 之间有如下的关系：
【题型16】弧长与扇形面积
【例题16】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在四边形 中， ， ，
，以点 为圆心， 为半径的圆与 相切于点 ，交 于点 ．
（1）求 的度数；
（2）用扇形 围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为________．
【答案】（1） ；（2）
【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理，直角三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性
质以及弧长公式．熟悉相关性质定理是解决问题的关键．（1）由切线的性质可知 为直角三角形，由 ， ，可得 ，可知 为
等腰直角三角形，得 ， ，易知 ，
（2）结合（1）中的 ，求得弧 的长 ，易知弧长为圆锥的底面圆的周
长，由半径等于周长除以 ，即可求得半径．
解：（1）解：依题意，连接 ，如图所示：
∵以点 为圆心， 为半径的圆与 相切于点 ，交 于点 ．
∴ 为圆A的切线，
∴ ，
∴ 为直角三角形，
∵ ， ，
∴ （半径相等），
即
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
（2）解：结合（1）中的 ，
∴弧 的长 ，
∵扇形 为圆锥的侧面，
∴弧长为圆锥的底面圆的周长，
∵半径等于周长除以 ，
即半径等于 ，
【变式1】（2025·安徽淮南·二模）如图，以含有 角的三角尺 的顶点B为圆心， 长为半径画 ，交 边于点D．若 ，则劣弧 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查含有 角的直角三角形的性质、弧长计算．明确圆心角和半径是解题的关
键．由含有 角的三角形可先求出半径，再由弧长公式得出劣弧 的长．
解： 含有 角的三角尺 的顶点B为圆心，
， ，
， ，
长为半径画 ，交 边于点D，
，
，
，
劣弧 的长为： ．
故答案为：B．
【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，将半径为2，圆心角为 的扇形 绕点A
逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形 的弧上的点 处，点C的对应点为点 ，则阴
影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算
等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为 ，扇形的半径为r，那么扇形的面积S= ．
解：连接 ，过 作 于 ，则 ，如图，
∵将半径为 ，圆心角为 的扇形 绕点 逆时针旋转，在旋转过程中，点 落在扇形 的
弧 上的点 处，点 的对应点为点 ，
∴扇形 和扇形 的面积相等， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，由勾股定理得： ，
∴阴影部分的面积
，
故答案为： ．
