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专题 24.9 弧长和扇形的面积【十四大题型】
【人教版】
【题型1 求弧长】......................................................................................................................................................1
【题型2 利用弧长及扇形面积公式求半径】.........................................................................................................5
【题型3 利用弧长及扇形面积公式求圆心角】...................................................................................................8
【题型4 求某点的弧形运动路径长度】................................................................................................................11
【题型5 直接求扇形面积】....................................................................................................................................15
【题型6 求图形旋转后扫过的面积】....................................................................................................................18
【题型7 求弓形面积】............................................................................................................................................24
【题型8 求其他不规则图形的面积】......................................................................................................................29
【题型9 求圆锥侧面积】........................................................................................................................................34
【题型10 求圆锥底面半径】....................................................................................................................................37
【题型11 求圆锥的高】............................................................................................................................................41
【题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角】................................................................................................................44
【题型13 圆锥的实际问题】..................................................................................................................................47
【题型14 圆锥侧面上最短路径问题】....................................................................................................................51
【知识点 弧长和扇形的面积】
设⊙O的半径为R，n°圆心角所对弧长为l，
nπR
弧长公式：l= （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）
180
n 1
扇形面积公式：S = πR2= lR
扇形 360 2
母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式：S=πR2+πRl（l为母线）
【题型1 求弧长】
【例1】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E
⏜
是DC延长线上一点，如果⊙O的半径为6，∠BCE=60°，那么 的长为（ ）
BCDA．6π B．12π C．2π D．4π
【答案】D
【分析】连接OB、OD，由圆内接四边形的性质得出∠A=∠BCE=60°，由圆周角定理得出
⏜
∠BOD=2∠A=120°，再由弧长公式即可求出 的长．
BCD
【详解】解∶连接OB、OD，如图所示∶
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠BCE=60°，
∴∠BOD=2∠A=120°，
120π×6
∴ ⏜ 的长= =4π．
BCD
180
故选∶ D．
【点睛】此题综合考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质、弧长公式；熟练掌握圆内接四边形的性质和
圆周角定理是解决问题的关键．
【变式1-1】（2023·四川成都·校考三模）“斐波那契螺旋线”（也称“黄金螺旋”）是根据斐波那契数列
画出来的螺旋曲线，人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，
从而增强听觉．现依次取边长为1，1，2，3，5……的正方形按如图所示方式拼接，分别以每个正方形的
一个顶点为圆心，边长为半径作圆弧，连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”．那么前五个正方形
内形成的曲线ABCDEF的长度是 ．【答案】6π
1
【分析】观察图形可知，螺旋曲线的每一段都是以正方形的边长为半径的 圆弧构成，计算出每个正方形
4
的边长，再根据圆的周长公式即可求解．
【详解】解：由图可知，正方形的边长依次为：1，1，2，3，5……，螺旋曲线的每一段都是以正方形的
1
边长为半径的 圆弧构成，
4
1
故前五个正方形内形成的曲线ABCDEF的长度是： ⋅2π(1+1+2+3+5)=6π，
4
故答案为：6π．
【点睛】本题考查弧长的计算，解题的关键是观察图形得出每一段圆弧对应的正方形的边长．
【变式1-2】（2023春·山西长治·九年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，以AB为直径的⊙O与
AD相交于点E，与BD相交于点F，DF=BF，已知AB=2，∠C=40°，则F´B的长为（ ）
π 2π π 2π
A． B． C． D．
3 3 9 9
【答案】D
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，弧长公式计算即可．
【详解】如图，连接AF,OF，∵AB为⊙O的直径，
∴AF⊥BD，
∵DF=BF，
1
∴∠DAF=∠BAF= ∠BAD，
2
∵平行四边形ABCD，∠C=40°，
1 1
∴∠DAF=∠BAF= ∠BAD= ∠C=20°，
2 2
∴∠BOF=2∠BAF=40°，
∵AB=2，
1
∴OB= AB=1，
2
40×π×1 2π
∴F´B= = ，
180 9
故选D．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，平行四边形的性
质，弧长公式，熟练掌握弧长公式，圆周角定理是解题的关键．
【变式1-3】（2023·河南濮阳·统考一模）如图，在扇形AOB中，圆心角∠AOB=60°，AO=2，分别以
1
OA，OB的中点E，F为圆心 OA的长为半径作半圆，两个半圆相交于点C，则图中阴影部分的周长为
2
．2π
【答案】 +2
3
【分析】如图所示，连接CE，CF，证明四边形OECF是菱形，得到∠OEC=120°，再利用弧长公式求
出C´F、C´E的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接CE，CF，
1 1
由题意得， OE=CE=CF=OF= OA= OB=1，
2 2
∴四边形OECF是菱形，
∴∠OEC=180°-∠EOF=120°，
1 120×π×1 π
∴C´F= × = ，
2 180 3
1 120×π×1 π
同理C´E= × = ，
2 180 3
π π 2π
∴图中阴影部分的周长为1+1+ + = +2，
3 3 3
2π
故答案为： +2．
3
【点睛】本题主要考查了求弧长，菱形的性质与判定，正确做出辅助线是解题的关键．
【题型2 利用弧长及扇形面积公式求半径】
【例2】（2023春·山西·九年级专题练习）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，M是“不倒翁”与水
平面的接触点，PA，PB分别与AM´ B所在圆相切于点A，B．将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点B与
水平面接触，如图3.若∠P=60°，水平面上点M与点B之间的距离为4π，则AMB所在圆的半径是
（ ）A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】如图：过A、B作PA,PB的垂线交于点O，O即为圆心；再根据题意可得∠AOB的度数，然后
可得得到优弧AM´ B对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图：过A、B作PA,PB的垂线交于点O，
设圆的半径为r
∵PA，PB分别与AM´ B所在圆相切于点A，B，
∴O为圆心，
∵∠P=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠MOB=120°，
∵水平面上点M与点B之间的距离为4π，
∴M´B=4π
120°×2πr
∴ =4π，
360°
解得：r=6．
故选B．
【点睛】本题主要考查弧长的计算、切线的性质等知识点，解答本题的关键是求出优弧M´B的圆心角．
【变式2-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）若弧长为4πcm的扇形的面积为8πcm2，则该扇形
的半径为 cm.
【答案】4
【分析】由一个扇形的弧长是4πcm，扇形的面积为8πcm2，根据扇形的面积等于弧长与半径积的一半，即可求得答案．
【详解】设半径是rcm，
∵一个扇形的弧长是4πcm，扇形的面积为8πcm2，
1
∴8π= ×4π×r，
2
解得r=4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了扇形面积公式．此题比较简单，解题的关键是熟记扇形的公式．
【变式2-2】（2023春·湖北黄石·九年级统考期末）如图， ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，B´C
△
4π
的长是 ，则⊙O的半径是 ．
3
【答案】2
【分析】连接OB、OC，利用弧长公式转化为方程求解即可；
【详解】连接OB、OC．
4π
∵∠BOC=2∠BAC=120°，^BC的长是 ，
3
120⋅π⋅r 4π
∴ = ，
180 3
∴r=2．
故答案为2． ．
【点睛】考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算等知识，解题的关键是熟练掌握弧长公
式．
【变式2-3】（2023·辽宁盘锦·统考一模）如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，若C´E的长为2π，则⊙A的半径为 ．
【答案】8
【分析】连接AC，根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，求出∠DAC=45°，根据弧长公式求出
即可．
【详解】连接AC，
∵CD切⊙A于C，
∴AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC=∠ACD=90°，∠DAC=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45°=∠DAC，
∵C´E的长为2π，
45π×AC
∴ =2π，
180
解得：AC=8，
即⊙A的半径是8，
故答案为8．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，弧长公式等知识点，能求出∠DAC的度数是解此题
的关键．
【题型3 利用弧长及扇形面积公式求圆心角】
【例3】（2023春·云南红河·九年级校考阶段练习）将一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为2:3:4，
则这三个扇形的圆心角的度数为（ ）A．80°、120°、160° B．60°、120°、180°
C．50°、100°、150° D．30°、60°、90°
【答案】A
【分析】根据一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为2:3:4，可得这三个扇形的圆心角的度数之比为
2:3:4，可设这三个扇形的圆心角的度数分别为2x,3x,4x，从而得到2x+3x+4x=360°，即可求解．
【详解】解：∵一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为2:3:4，
∴这三个扇形的圆心角的度数之比为2:3:4，
设这三个扇形的圆心角的度数分别为2x,3x,4x，根据题意得：
2x+3x+4x=360°，
解得：x=40°，
∴这三个扇形的圆心角的度数分别为80°,120°,160°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求扇形的圆心角，根据题意得到这三个扇形的圆心角的度数之比为2:3:4是解题
的关键．
【变式3-1】（2023·吉林·统考一模）图1是等边三角形铁丝框ABC，按图2方式变形成以A为圆心，AB
长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形ABC的圆心角的度数是（ ）
90° 180°
A．45°． B．60°． C． ． D． ．
π π
【答案】D
nπR
【分析】根据题意B´C的长就是边BC的长，由弧长公式 即可求解．
180
【详解】解：设AB=BC=x，
∴C =x，
B´C
nπx
∴ =x，
180
180
解得：n= ，
π180°
∴圆心角的度数为：
π
故选：D．
【点睛】本题考查了弧长公式的应用，掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键．
【变式3-2】（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考二模）如图1，点C是半圆AB上一个动点，点C从点A开始向终
点B运动的整个过程中，AC的弧长l与时间t（秒）的函数关系如图2所示，则点C运动至5秒时，∠AOC
的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】C
【分析】根据图像可知半圆的周长为10π进而得到半圆的半径为10，再根据题意得到弧长l与时间t（秒）
的函数关系式及弧长公式即可解答．
【详解】解：设半圆的半径为R，∠AOC=n，
根据图像可知半圆的周长为10π，
∴πR=10π，
∴R=10，
设弧长l与时间t（秒）的函数关系式：l=kt(k≠0),
∵图像经过(20，10π)，
π
∴k= ，
2
π
∴弧长l与时间t（秒）的函数关系式为l= t,
2
5π
∴当x=5秒时，l=
,
2
nπ×10 5π
∴根据弧长公式可知： = ,
180 2
∴n=45°,故选C．
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形关系，弧长公式，一次函数图像与性质，掌握一次函数与几何图
形关系是解题的关键．
10π
【变式3-3】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）一个扇形的面积为10π，弧长为 ，则该扇形的圆心角的
3
度数为 ．
【答案】100°/100度
1
【分析】根据弧长和扇形面积关系可得S= lR，求出R，再根据扇形面积公式求解.
2
10π
【详解】∵一个扇形的弧长是 ，面积是10π，
3
1 1 10π
∴S= lR，即10π= × R，解得：R=6，
2 2 3
nπ×62
∴S=10π= ，解得：n=100°，
360
故答案为：100°．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算；弧长的计算．熟记公式，理解公式间的关系是关键.
【题型4 求某点的弧形运动路径长度】
【例4】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，OA⊥OB，C，D分别是射线OA，OB上的动点，CD
的长始终为8，点E为CD的中点，则点E的运动路径长为
【答案】2π
【分析】根据垂直的定义可知△AOB是直角三角形，再根据直角三角形的性质可知
1
OE=CE=DE= CD，最后利用弧长公式即可解答．
2
【详解】解：连接OC，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，∴△AOB是直角三角形，
∵CD=8，
1
∴OE=CE=DE= CD=4，
2
∴点E的运动路径长为弧GD，
90°×π×4
∴弧GD的长度： =2π，
180°
故答案为2π．
【点睛】本题考查了垂直的定义，直角三角形的性质，弧长公式，掌握直角三角形的性质是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边
AB重合（AB=6），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每
秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是 ．
【答案】2π
【分析】首先连接OE，由∠ACB=90°，易得点E，A，B，C共圆，然后由圆周角定理，求得点E在量
角器上对应的读数．
【详解】解：连接OE，∵∠ACB=90°，
∴A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上，
∴点E，A，B，C共圆，
∵∠ACE=3×20°=60°，
∴∠AOE=2∠ACE=120°．
120π·3
∴点E在量角器上运动路径长= =2π，
180
故答案为：2π．
【点睛】本题考查的是圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
【变式4-2】（2023·河南信阳·校考三模）如图，把一个含30°角的直角三角板ABC在桌面上沿着直线l无
滑动的翻滚一周，若BC=1，∠A=30°，则点A运动的路径长是 ．
8+3√3
【答案】 π
6
【分析】根据题意，可知点A的运动路径为A´D和A ´'D，然后根据含30度角的直角三角形的特点求出
CD，B'D的长，进而利用弧长公式求出答案即可．
【详解】解：根据题意，可知点A的运动路径为A´D和A ´'D，∠ACD=90°，∠DB' A'=120°，
在Rt△ABC中AB=2BC=2，AC=√3BC=√3
∴AC=CD=√3，DB'=A'B'=AB=2，
90 120 8+3√3
∴点A运动的路径长为 ⋅π⋅√3+ π⋅2= π，
180 180 6
8+3√3
故答案为： π．
6【点睛】本题主要考查了求动点的运动轨迹长，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，确定出点A的
运动轨迹是解题的关键．
【变式4-3】（2023春·四川广元·九年级校考阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，
点E、F是以斜边AB为直径的半圆的三等分点，点P是E´F上一动点，连接PC，点M为PC的中点．当点
P从点E运动至点F时，点M运动的路径长为 ．
√2 √2π
【答案】 π/
3 3
【分析】令AB、AC、BC的中点分别为点O、G、H，连接OP、OC、OG、OH、OM，易证
1
△COP为等腰三角形，根据三线合一可得，则点M的运动路径为以GH中点为圆心，以 GH为半径，圆
2
心角为60°的弧长，即可求解．
【详解】解：令AB、AC、BC的中点分别为点O、G、H，连接OP、OC、OG、OH、OM，
∵AB为⊙O直径，点O为AB中点，
∴OA=OP，
∵∠ACB=90°，点O为AB中点，1
∴OC= AB=OA=OP，
2
∴△COP为等腰三角形，
∵点M为PC的中点，
∴OM⊥PC，则∠OMC=90°，
∵点E、F是以斜边AB为直径的半圆的三等分点，
1
∴点M的运动路径为以GH中点为圆心，以 GH为半径，圆心角为60°的弧长，
2
∵点G、O、H、分别为AC、BC、AB中点，AC=BC=4，
1 1
∴GO∥BC，GO= BC=2，OH∥AC，OH= AC=2，
2 2
∵∠ACB=90°，
∴四边形GCHO为正方形，GH=√22+22=2√2，
∴OC=GH,∠GOH=90°，
60 √2
∴点M的运动路径长为 ⋅π⋅√2= π．
180 3
√2
故答案为： π．
3
【点睛】本题主要考查了求点的运动轨迹，解题的关键是正确作出辅助线，根据等腰三角形的性质，正方
形的性质以及圆周角确定点M的运动轨迹为以GH为直径的半圆．
【题型5 直接求扇形面积】
【例5】（2023·云南临沧·统考三模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF⊥BC交
⊙O于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
π 2π 3π 3π
A． B． C． D．
3 5 10 5
【答案】C
【分析】连接OA、OB、OC，求出∠AOF，再利用扇形公式进行计算．
【详解】解：连接OA、OB、OC，∵正五边形ABCDE，
∴∠AOB=∠BOC=360°÷5=72°，
OB=OC，
∵ OF⊥BC，
1
∴∠BOF= ∠BOC=36°，
2
∴∠AOF=108°，
108°×π 3π
∴S= = ，
360° 10
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握扇形面积公式和求出A´C所对的圆心角度数是解题的关键．
【变式5-1】（2023·吉林·九年级校联考学业考试）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
△OAB是等边三角形，AB=4，分别以点B，D为圆心，AO长为半径画弧，与该矩形的边相交，则图中
阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
8
【答案】 π
3
【分析】由矩形ABCD，△OAB是等边三角形，AB=4，可得∠ABC=90°，∠ABO=60°，
30π×42
OB=AB=4，则∠OBC=30°，根据S =2× ，计算求解即可．
阴影 360
【详解】解：∵矩形ABCD，△OAB是等边三角形，AB=4，
∴∠ABC=90°，∠ABO=60°，OB=AB=4，
∴∠OBC=30°，
30π×42 8
∴S =2× = π，
阴影 360 38
故答案为： π．
3
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，扇形面积．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵
活运用．
【变式5-2】（2023春·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、
C，OC与AB交于点D，∠ADO=85°，∠CAB=20°，则阴影部分的扇形OAC面积是 ．
5π 5
【答案】 / π
36 36
【分析】根据三角形外角的性质得到∠C=∠ADO-∠CAB=65°，根据等腰三角形的性质得到
∠AOC=50°，由扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵∠ADO=85°，∠CAB=20°，
∴∠C=∠ADO-∠CAB=65°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=65°，
∴∠AOC=50°，
50π×12 5π
∴阴影部分的扇形OAC面积= = ，
360 36
5π
故答案为： ．
36
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，由等腰三角形的性质和三角形的内角和求出∠AOC=50°是解题
的关键．
【变式5-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是长方形，以BC为直径的半圆与AD
边只有一个交点，且AB=x，则阴影部分的面积为 ．πx2
【答案】
4
【分析】作OF⊥AD，则三角形BOP与三角形DEP全等，那么阴影部分的面积=扇形BOF的面积．依此
根据面积公式计算．
【详解】解：作OF⊥AD
∵OB=DF
∠FDB=∠OBD
∠FPD=∠BPO
∴△DFP≌△BOP
∴S =S
△DFP △BOP
根据扇形面积公式得：
90π×x2 πx2
阴影部分面积= = ．
360 4
πx2
故答案为： ．
4
【点睛】本体考查了求不规则图形的面积，解题的关键是看出阴影部分的面积是由哪几部分组成的．然后
根据面积公式计算．
【题型6 求图形旋转后扫过的面积】
【例6】（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，已知A、D是⊙O上任意两点，且AD=6，以
AD为边作正方形ABCD，若AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的面积为 ．【答案】9π
【分析】如图所示，连接OD、OC，过点O作OE⊥AD于点E，延长OE交BC于点F．则BC边扫过的
面积为以OC为外圆半径、OF为内圆半径的圆环面积，利用垂径定理即可得出DE=AE=3，进而可得出
CF=DE=3，再根据圆环的面积公式结合勾股定理即可得出BC边扫过的面积．
【详解】解：如图所示，连接OD、OC，过点O作OE⊥AD于点E，延长OE交BC于点F．
∵AD为弦，OE⊥AD，
1
∴由垂径定理可得DE=AE= AD=3．
2
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC∥AD，AD=BC=6，∠CDA=90°，
∴∠CFO=∠DEO=90°，
∴四边形DEFC为矩形，CF=DE=3．
∵AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的图形为以OC为外圆半径，OF为内圆半径的圆环，
∴圆环面积为S=π⋅OC2-π⋅OF2=π(OC2-OF) 2 =π⋅CF2=9π．
故答案为：9π．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，平行线的性质以及圆环的面积公式，结合AD边的旋转，找出
BC边旋转过程中扫过的区域的形状是解题的关键．
【变式6-1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA=1，
将OA绕点O顺时针旋转45°到OA ，扫过的面积记为S ，A A ⊥OA 交x轴于点A ；将OA 绕点O顺
1 1 1 2 1 2 2时针旋转45°到OA ，扫过的面积记为S ，A A ⊥OA 交y轴于点A ；将OA 绕点O顺时针旋转45°到
3 2 3 4 3 4 4
OA ，扫过的面积记为S ，A A ⊥OA 交x轴于点A ；…；按此规律，则S 的值为 ．
5 3 5 6 5 6 2022
【答案】22018π
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出扇形的半径，写出部分S 的值，根据数的变化找出变化规律
n
S =2n-3π，依此规律即可得出结论．
n
【详解】由题意△A OA 、△A OA 、△A OA 、⋯、都是等腰直角三角形，
1 2 3 4 5 6
∴OA =√2，OA =2， OA =2√2，⋯，
2 4 6
45π×1❑2 1 45π×(√2) 2 1 45π×22 1 45π×(2√2) 2
∴S = = π， S = = π， S = = π， S = ，⋯；
1 360 8 2 360 4 3 360 2 4 360
∴S ＝2n-4π，
n
∴S ＝22018π，
2022
故答案为：22018π
【点睛】本题考查了坐标与图形性质旋转，等腰直角三角形的性质以及扇形的面积，解题的关键是找出规
律S =2n-3π．
n
【变式6-2】（2023春·山东临沂·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．（每
个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）(1)画出△ABC关于原点对称的△A B C ；
1 1 1
(2)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A BC ，并求出此过程中线段BA扫过的区域
2 2
的面积．（结果保留π）
【答案】(1)见详解
13
(2)见详解， π
4
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于原点对称的对称点，再顺次连接可得；
（2）分别作出点A、C绕点B逆时针旋转90°得到的对应点，再顺次连接可得△A BC ；利用扇形面积
2 2
公式列式计算可得答案．
【详解】（1）解：如下图，△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）如图，△A BC 即为所求，
2 2
由图可知，AB=√32+22=√13，
90° 13
则线段BA扫过的区域的面积为S= ×π×(√13) 2= π．
360° 4【点睛】本题主要考查了作图﹣中心对称变换和旋转变换、勾股定理以及扇形面积公式等知识，解题的关
键是根据中心对称和旋转的性质作出变换后的对应点．
【变式6-3】（2023·江苏南京·统考二模）在平面内，将小棒AB经过适当的运动，使它调转方向(调转前后
的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？
已知小棒长度为4，宽度不计．
方案1：将小棒绕AB中点O旋转180°到B' A'，设小棒扫过区域的面积为S (即图中灰色区域的面积，下同)；
1
方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到AC，再绕C逆时针旋转60°到CB，最后绕B逆时针旋转60°到
B' A'，设小棒扫过区域的面积为S ．
2
(1)①S =______，S =______；(结果保留π)
1 2
②比较S 与S 的大小．(参考数据：π≈3.14，√3≈1.73．)
1 2
(2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三
次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．
①补全方案3的示意图；
②设方案3中小棒扫过区域的面积为S ，求S ．
3 3
(3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积S 小于S ，画出示意图并说明理由．
4 3
【答案】(1)①4π，8π-8√3；②S >S
1 2
16√3
(2)①见解析；②S =
3 3
(3)见解析
【分析】（1）①利用圆的面积公式计算S ，利用方案2扫过区域为三个圆心角为60°且半径为4的扇形面
1
积减去两倍△ABC的面积计算S ；
2
②利用参考数据计算近似值再比较即可；
（2）①依题意补全方案3的示意图即可；
②利用等边三角形的高是4，计算出底边，再利用面积公式计算即可；（3）作等边△ABC，首先让点B在BC上运动，点A在CB的延长线上，运动，使得AB的长度保持不变，
当点B运动到点C时，由此AB边调转到AC(A'B')边，接着两次同样的方式旋转到BC(A'B')边和
AB(B' A')边，从而得到最终小棒扫过的区域，由于所得区域非常不规则，因此可以利用放缩法证明
S 11.28，
1 2
∴S >S ；
1 2
（2）①依题意补全方案3的示意图如下：
②连接EM，M为切点，则A A'的中点，EM=4设AM=x，则AE=2x，
由勾股定理得：AM2+EM2=AE2，即x2+42=4x2，
4√3
解得：x= ，
3
8√3
∴A A'=AE=2x= ，
3
1 1 8√3 16√3
∴S = A A'·EM= × ×4= ．
3 2 2 3 3
（3）设计方案4：如下图，△ABC是等边三角形，首先让点B在BC上运动，点A在CB的延长线上运动，
使得AB的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此AB边调转到AC(A'B')边，接着两次同样的方式旋
转到BC(A'B')边和AB(B' A')边，最终小棒扫过的区域是如下图所示．
对于第一次旋转，当旋转AB旋转到DH时，此时DH⊥BC，
又作DE平行AB，则S =S =S +S
△CDE 3 △ABC 梯形ABEB
依题意得：阴影部分比等边三角形ABC多三块全等的图形，记每块面积为a，
则有a
2 3 2
(2)20.7
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；
（2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据T(A)的定义即
可解答．
【详解】（1）解：如图1，BC
∠A=90°，AB=AC，则 =√2，
AB
AB √2
∴F(90° )= = ，
BC 2
如图2，
∠A=120°，AB=AC，作AD⊥BC于D，则∠BAD=60°，
√3
∴BD= AB，
2
∴BC=√3AB，
AB √3
∴T(120° )= = ；
BC 3
∵2AB＞BC，
AB 1
∴ > ，
BC 2
1
∴T（A）＞ ．
2
√2 √3 1
故答案为： ; ;T(A)> ．
2 3 2
（2）解：∵圆锥的底面直径PQ=14，
∴圆锥的底面周长为14π，即侧面展开图扇形的弧长为14π，
设扇形的圆心角为n°，
n⋅π×18
则 =14π，解得n＝140，
180
∵T(70°)≈0.87，18
∴蚂蚁爬行的最短路径长为 ≈20.7．
0.87
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知
识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键．
