文档内容
专题25.1 随机事件与概率
（知识梳理+11个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共47题）
【原卷版】
知识梳理 技巧点拨......................................................................1
知识点梳理01：随机事件.............................................................1
知识点梳理02：概率.................................................................2
优选题型 考点讲练......................................................................3
考点1 事件的分类...................................................................3
考点2 判断事件发生的可能性的大小...................................................3
考点3 改变条件使事件发生的可能性相同...............................................4
考点4 列举随机实验的所有可能结果...................................................5
考点5 判断实验所得结果是否是等可能的...............................................5
考点6 概率的意义理解..............................................错误！未定义书签。
考点7 判断几个事件概率的大小关系...................................................7
考点8 根据概率公式计算概率.........................................................7
考点9 根据概率作判断...............................................................8
考点10 已知概率求数量..............................................................9
考点11 几何概率...................................................................10
中考真题 实战演练.....................................................................10
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................12
基础夯实..........................................................................12
培优拔高..........................................................................14
知识点梳理01：随机事件
1.随机事件
事件分为确定性事件和随机事件，确定性事件又分必然事件和不可能事件两种，即：(1)确定性事件：在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事
件必然
不会发生，这样的事件称为不可能事件，必然事件与不可能事件统称确定事件。
(2)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。
2 .随机事件的可能性
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
(1)随机事件发生的可能性有大小之分，常大致分为“可能性极小”、“不太可能”、“可能”、
“很可能”、“可能性极
大”这5种。
(2)比较随机事件发生的可能性的大小，先要准确找到所有可能出现的结果，然后分情况，看每种情
况占所
有可能出现的结果的比例的大小而定。
知识点梳理02：概率
1.概率定义：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称
为随机事件A 发生的概率，记为P(A)。
2.公式：一般地，如果在一次试验中，有 n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含
其中的m种结果，那么事件A发生的概率为 。
【理解与拓展】求与面积有关的概率，可将概率转换为面积的比，即：
3.事件概率的取值范围
(1)事件发生可能性大小的表示：可以用线段图表示“可能发生”、“很可能发生”、“不大可能发
生”、“必然发生”、“不可能发生”之间的概率大小。(2)事件发生概率的取值范围： 。
【理解与拓展】
当A为必然事件时， 。
当A 为不可能事件时， 。
当A为随机事件时， 。
考点1 事件的分类
【典例精讲】（2024·湖北·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件
B．抛出的篮球会下落是随机事件
C．若甲、乙两组数据的平均数相同， ， ，则甲组数据较稳定
S 2=2 S 2=2.5
甲 乙
D．了解一批中性笔笔芯的使用寿命，可采用全面调查的方式
【变式训练】（2025·湖北孝感·三模）下列说法正确的是（ ）
A．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式；
B．“掷一次骰子，向上一面的点数大于0”是随机事件；
C．0.1的算术平方根是0.01；
1
D．若一组数据的方差s2= [(x −6) 2+(x −6) 2+(x −6) 2+(x −6) 2)，则这组数据的总和为24
4 1 2 3 4
考点2 判断事件发生的可能性的大小
【典例精讲】（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）学校“爱昆虫”社团买回一些盲袋，每个盲袋里
装一个琥珀昆虫吊坠．如图，这些琥珀昆虫吊坠中，蝴蝶10个，蝎子1个，瓢虫5个．菲菲随机领取一个
盲袋，里面是什么昆虫呢？下面说法正确的是（ ）A．三种昆虫的可能性一样大 B．不可能是蝎子
C．瓢虫的可能性最小 D．蝴蝶的可能性最大
【变式训练】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）从标有数字1，2，⋯，8的8张卡片中，任意抽取1张；
设事件A为“取到2的倍数”，事件B为“取到3的倍数”，事件C为“取到比10大的数”.事件D为“取到
整数”．
(1)发生可能性最大的事件是______，发生可能性最小的事件是______；
(2)把事件A、B、C、D按照发生可能性的大小在数轴上用字母A、B、C、D标注出来．
考点3 改变条件使事件发生的可能性相同
【典例精讲】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图是一个等分成8个扇形区域的转盘．
(1)转动转盘一次，指针指向哪种颜色的区域的可能性最小？
(2)转动转盘一次，指针指向哪种颜色的区域的可能性最大？
(3)请重新设置8个扇形区域的颜色，使得（1）中指针指向的颜色的区域出现的可能性大于（2）中指针指
向的颜色的区域．
【变式训练】一只不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇
匀，从中任意摸出1个球，
(1)会出现哪些可能的结果？
(2)事先能确定摸出的一定是红球吗？(3)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？
(4)怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这些颜色的球的概率相等？
考点4 列举随机实验的所有可能结果
【典例精讲】（2024九年级·江苏南通·专题练习）第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭
州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，
分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，
其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要
求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为 ．
【变式训练】（2024·北京·一模）学校组织学生到某工艺品加工厂参加劳动实践活动．用甲、乙两台设
备加工三件工艺品，编号分别为A，B，C，加工要求如下：
①每台设备同一时间只能加工一件工艺品；
②每件工艺品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工；
③每件工艺品在每台设备上所需要的加工时间（单位：min）如下表所示：
（1） 若要求A，B，C三件工艺品全部加工完成的总时长不超过20min，请写出一种满足条件的加工方案
（按顺序写出工艺品的编号）；
（2） A，B，C三件工艺品全部加工完成，至少需要 min．
考点5 判断实验所得结果是否是等可能的
【典例精讲】（22-23九年级下·河北衡水·期中）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数
依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数
字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到
讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，
写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（ ）A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7
B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8
C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8
D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5
【变式训练】在做针尖落地的实验中，正确的是（ ）
A．甲做了4 000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4 001次时，针尖肯定不会触
地
B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻
抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度
C．老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取
D．老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的
进行统计，他不满意的就不要
【典例精讲】2025·青海西宁·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是360°”是必然事件
C．两组身高数据的方差分别是 ， ，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率
S2 =0.1 S2 =0.3
甲 乙
1
为 ，表示抽奖10次就有1次中奖
10
【变式训练】（23-24八年级上·陕西榆林·开学考试）暑假期间，某商场为了吸引顾客，对一次购物满
500元的顾客可获得一次转转盘得奖券的机会.如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成10个扇形），
转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指针指向黄色区域不获奖，指向分界线时重转，直到
指向某一扇形为止）
颜色 红 蓝 黑
奖券金额 5
20 80
（元） 0
(1)甲顾客购物300元，他获得奖券的概率是___________；(2)乙顾客购物600元，并参与该活动，他获得20元和80元奖券的概率分别是多少？
1
(3)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为 ，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个
2
黄色区域改为红色？
考点7 判断几个事件概率的大小关系
【典例精讲】（2024·福建福州·一模）一个不透明的袋中有5个球，分别标有1，2，3，4，5这五个号
码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球．
(1)会出现哪些可能的结果？
(2)每个结果出现的可能性相同吗？猜猜它们的概率分别是多少？
【变式训练】（20-21九年级上·北京海淀·期末）在一个不透明的袋子中装有3个红球和6个黄球，每
个球除颜色外其余都相同．
(1)从中任意摸出1个球，摸到________球的可能性大；
(2)如果另拿5个球放入袋中并搅匀，使得从中任意摸出1个球，摸到红球和黄球的可能性大小相等，那么
应放入几个红球，几个黄球？
考点8 根据概率公式计算概率
【典例精讲】（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为
整点，正方形边长的整点称为边整点，如图，第一个正方形有4个边整点，第二个正方形有8个边整点，
第三个正方形有12个边整点，…，按此规律继续作下去，若从内向外共作了5个这样的正方形，那么其边
整点的个数共有 个，这些边整点落在函数y=x2−1的图象上的概率是 ．【变式训练】（22-23九年级下·北京·开学考试）编号为1~5的五名学生进行定点投篮，规定每人投5
次，每命中1次记1分，没有命中记零分，如图是根据他们各自的积分绘制的条形统计图，之后来了第6
号学生也按同样记分规定投了5次，其命中率为40%．
(1)请补全条形统计图；
(2)在这6名学生中，随机选一名学生，求此学生投篮命中率高于50%的概率；
(3)最后，又来了第7号学生，也按同样记分规定投了5次，这时7名学生积分的众数仍是前6名学生积分
的众数，请直接写出第7号学生的积分为______分．
考点9 根据概率作判断
【典例精讲】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被
等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指
向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是120°，转动转盘，当
转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色．(1)在图1的转盘中转出数字9的概率是___________．
(2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小
明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？
【变式训练】（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明利用质地均匀的骰子和小颖做游戏，规则如下：
①两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子；
②当掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么你的得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超
过10时，必须停止掷，并且你的得分为0；
③比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜．
在一次游戏中，小颖连续投掷两次，掷出的点数分别是3，2．小明也是连续投掷两次，掷出的点数分别是
2，6．请问：
(1)如果小颖继续掷，点数和不超过10的概率是_____；
(2)如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明）
(3)在做游戏的过程中，你认为该如何决定继续掷骰子还是停止掷骰子？考点10 已知概率求数量
【典例精讲】（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知一个不透明的袋子中装有9个只有颜色不同的球，
其中3个白球，6个红球，若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋
1
中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率为 ，则袋中红球被换成黄球的个数为（ ）
3
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练】在一个袋子里，装有50个红色、黄色、绿色三种颜色形状、大小、质地完全相同球，经过充
分搅拌后，通过足够多次的随机抽取实验，得到“任取一球是红球”的概率为30%，已知黄球比绿球多5
个，则这个袋子中绿球有 个．
考点11 几何概率
【典例精讲】（25-26九年级上·云南昆明·阶段练习）“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是
我国古代数学的骄傲．如图，在正方形ABCD中，AB=❑√29，AE:EF=2:3，假设可在弦图区域内随机
取点，则这个点落在阴影部分的概率为 ．
【变式训练】（22-23九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以
OA、OB为直径作两个半圆．向直角扇形OAB内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是
（ ）2 1 1 2 1
A．1− B． − C． D．
π 2 π π π
【演练1】（2025·江苏·中考真题）如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转
动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是 ．
【演练2】（2023·辽宁锦州·中考真题）在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色
2
外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为 ，则a= ．
3
【演练3】（2025·山东济南·中考真题）在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球
除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为 ．
【演练4】（2025·海南·中考真题）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的
点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（ ）
1
A．出现点数为6的概率是
6
B．出现点数为0是随机事件
C．出现点数为偶数是必然事件
D．出现点数为奇数是不可能事件
【演练5】（2024·宁夏·中考真题）中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和
创造力．某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件．(1)某天这两种工艺品的销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件？
(2)中国的天问一号探测器，奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青
睐．该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘（转盘被分为5个大小相同的扇形）．凡顾客在本店购买
一件工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个
（指针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形）．一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得
纪念品的概率是多少？
基础夯实
1．（25-26九年级上·广东河源·期中）龙川县历史悠久，是广东最早立县的四个古邑之一，有“千年古
县”之称，龙川县有许多旅游景点，如佗城景区，霍山景区，九龙湾景区．周末，小明与小佳两人准备从
这3个景区随机选一个景区前往游览，他们恰好选择同一景区的概率（ ）
1 2 1 4
A． B． C． D．
6 3 3 9
2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）中秋佳节，小明妈妈准备了2个五仁月饼，4个莲蓉蛋黄月饼，3
个奶黄月饼，小明任意选取一个，选到五仁月饼的概率是（ ）
2 4 1 2
A． B． C． D．
9 9 3 3
3．（25-26九年级上·山西朔州·月考）从一副扑克牌中取出下面四张，将其背面朝上，然后从中任意翻过来一张，翻开的牌上的数字可能性最大的是（ ）
A．2 B．5 C．9 D．无法确定
4．（2025九年级上·浙江·专题练习）从−1、−2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为
b、c，则关于x的一元二次方程2x2+bx+c=0有一正一负两个实数解的概率为（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
5．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，由4块完全相同的正方形瓷砖铺成的地面，若一只蚂蚁爬
到该区域内，停留在区域内的任意位置（隔线忽略不计），蚂蚁停留在阴影区域内的概率是 ．
6．（25-26九年级上·山西运城·期中）在研究随机事件的概率中，有的是等可能事件，可以算出理论概
率，有的理论概率计算复杂，还有的是非等可能事件，这两种事件的概率选择用实验的方法，通过增加实
验的频次，用频率估计概率，下面是利用计算机模拟实验估计50个人中有两人生日相同的概率曲线图，通
过图中数据可知40个人中两人生日相同的概率接近 ．（精确到0.1）
3
7．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）从n个苹果和4个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是 ，
5
则n的值是 ．
8．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）在超市促销抽奖活动中，抽奖箱里有7个除颜色外毫无差别的乒
乓球，其中3个是白色乒乓球，4个是黄色乒乓球．
(1)摇匀后，从中随机取出1个球是黄色乒乓球的概率是多少？2
(2)若往抽奖箱里放入若干数量的白色乒乓球，调整后摇匀，随机摸出一个球是白色乒乓球的概率为 ．问
3
放入了多少个白色乒乓球？
9．（25-26九年级上·全国·单元测试）（1）一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，求最终停在阴影
方砖上的概率；
（2）在▱ABCD中，AC,BD是两条对角线，现有以下条件：①AB=BC；②AC=BD；③AC⊥BD；
④AB⊥BC．从中任取一个作为条件，求可判定▱ABCD是菱形的概率．
10．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球、1个白球，
它们除颜色外都相同．
(1)求从袋中任意摸出一个球为红球的概率．
2
(2)现从袋中放入若干个白球，充分摇匀后，要使从袋中随机摸出一个球是白球的概率是 ，问应放入多少
5
个白球？培优拔高
11．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）下列事件属于必然事件的是（ ）
A．明天太阳从西边升起
B．三角形的外心到三边的距离相等
C．抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上
D．直径所对圆周角是直角
12．（25-26九年级上·福建泉州·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．明天下雨是随机事件
B．要了解一批日光灯的使用寿命，应采用全面调查
C．已知一组数据：3，3，4，5，8，10，11，则这组数据的中位数是5
D．若甲组数据的方差 ，乙组数据的方差 ，则乙组数据更稳定
S2 =0.13 S2 =0.04
甲 乙
13．（25-26九年级上·四川达州·期中）某商场迎新促销活动，设置了一个转盘，转盘平均分成五部分．
规定购买物品金额每超过200元就可以抽一次奖．当转盘停在红色区域则可以获得奖品．小明购买 405元
的物品，他获得奖品的概率 P（获得奖品）=（ ）
A．1 B．0.4 C．0.64 D．0.8
14．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，在正方形ABCD内任取一点O，连接OA，OB．如果正
方形ABCD内每一点被取到的可能性都相同，则△OAB是钝角三角形的概率为（ ）π π π π
A． B． C． D．
2 4 6 8
15．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直线
EF过点O，分别交AD，BC于点E，F，一个小球在平行四边形ABCD内自由滚动，它落在阴影部分的
概率是 ．
16．（25-26九年级上·四川达州·月考）在−2，−1，1，2，3，4六个数中随机选取一个数作为关于x
的一元二次方程ax2+4x+2=0中的a的值，则这个一元二次方程没有实数解的概率为 ．
1
17．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）有5张正面分别有数字−1，0， ，1，3的卡片，它们除
3
数字不同外全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中随机的抽取一张．记卡片上的数字为a，则使以x为
自变量的正比例函数y=(3a−7)x经过第二、四象限，且关于x的一元二次方程ax2−2x+3=0有实数解
的概率是 ．
18．（25-26九年级上·江苏南京·期中）图①、②、③是8×8正方形的网格纸板，现进行投针试验，
分别随意向三个纸板上投一针．
(1)分别求出投中纸板①、②上的阴影部分的概率．
(2)请在图③中选取部分方格涂上阴影，使得投中阴影部分的概率等于（1）中求得的概率．
(3)如果把纸板上的虚线去掉，（1）、（2）中求得的概率发生变化吗？你能总结出投中阴影部分概率的
公式吗？
19．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的球共12个，它
们除颜色外完全相同，其中红球有5个，白球有4个．
(1)从盒子中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率．
(2)若往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，使得从盒子里随机摸出一个球，红球的概率不超过0.5，
摸出黑球的概率是0.25，请设计一个符合条件的放球方案．20．（21-22九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别
位于―6和9的位置，现两点按照下述规则进行移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向
上面的点数：
①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位；
②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位；
③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位．
(1)经过第一次移动，求B点移动到4的概率；
(2)从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正
方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，
并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数；
(3)从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若AB=3，求x的值．
