文档内容
专题25.1 随机事件与概率
（知识梳理+11个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共47题）
【解析版】
知识梳理 技巧点拨......................................................................1
知识点梳理01：随机事件.............................................................1
知识点梳理02：概率.................................................................2
优选题型 考点讲练......................................................................3
考点1 事件的分类...................................................................3
考点2 判断事件发生的可能性的大小...................................................4
考点3 改变条件使事件发生的可能性相同...............................................5
考点4 列举随机实验的所有可能结果...................................................7
考点5 判断实验所得结果是否是等可能的...............................................8
考点6 概率的意义理解..............................................................10
考点7 判断几个事件概率的大小关系..................................................11
考点8 根据概率公式计算概率........................................................13
考点9 根据概率作判断..............................................................15
考点10 已知概率求数量.............................................................17
考点11 几何概率...................................................................18
中考真题 实战演练.....................................................................21
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................24
基础夯实..........................................................................24
培优拔高..........................................................................29
知识点梳理01：随机事件
1.随机事件
事件分为确定性事件和随机事件，确定性事件又分必然事件和不可能事件两种，即：(1)确定性事件：在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事
件必然
不会发生，这样的事件称为不可能事件，必然事件与不可能事件统称确定事件。
(2)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。
2 .随机事件的可能性
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
(1)随机事件发生的可能性有大小之分，常大致分为“可能性极小”、“不太可能”、“可能”、
“很可能”、“可能性极
大”这5种。
(2)比较随机事件发生的可能性的大小，先要准确找到所有可能出现的结果，然后分情况，看每种情
况占所
有可能出现的结果的比例的大小而定。
知识点梳理02：概率
1.概率定义：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称
为随机事件A 发生的概率，记为P(A)。
2.公式：一般地，如果在一次试验中，有 n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含
其中的m种结果，那么事件A发生的概率为 。
【理解与拓展】求与面积有关的概率，可将概率转换为面积的比，即：
3.事件概率的取值范围
(1)事件发生可能性大小的表示：可以用线段图表示“可能发生”、“很可能发生”、“不大可能发
生”、“必然发生”、“不可能发生”之间的概率大小。(2)事件发生概率的取值范围： 。
【理解与拓展】
当A为必然事件时， 。
当A 为不可能事件时， 。
当A为随机事件时， 。
考点1 事件的分类
【典例精讲】（2024·湖北·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件
B．抛出的篮球会下落是随机事件
C．若甲、乙两组数据的平均数相同，S 2=2，S 2=2.5，则甲组数据较稳定
甲 乙
D．了解一批中性笔笔芯的使用寿命，可采用全面调查的方式
【答案】C
【思路引导】本题考查了事件的分类、根据方差判断稳定性、抽样调查与全面调查，根据相关知识点逐项
分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【规范解答】解：A、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故原说法错误，不符合题意；
B、抛出的篮球会下落是必然事件，故原说法错误，不符合题意；
C、若甲、乙两组数据的平均数相同，S 2=2，S 2=2.5，则甲组数据较稳定，故原说法正确，符合题意；
甲 乙
D、了解一批中性笔笔芯的使用寿命，可采用抽样调查的方式，故原说法错误，不符合题意；
故选：C．
【变式训练】（2025·湖北孝感·三模）下列说法正确的是（ ）
A．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式；
B．“掷一次骰子，向上一面的点数大于0”是随机事件；C．0.1的算术平方根是0.01；
1
D．若一组数据的方差s2= [(x −6) 2+(x −6) 2+(x −6) 2+(x −6) 2)，则这组数据的总和为24
4 1 2 3 4
【答案】D
【思路引导】根据所学数学知识，判断即可．
本题考查了事件的判断，算术平方根，方差，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【规范解答】解：A. 调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用抽样调查的方式；
故错误，不符合题意；
B. “掷一次骰子，向上一面的点数大于0”是必然事件；
故错误，不符合题意；
C. 0.1的算术平方根不是0.01；
故错误，不符合题意；
1
D. 若一组数据的方差s2= [(x −6) 2+(x −6) 2+(x −6) 2+(x −6) 2)，则这组数据的总和为24，正确，
4 1 2 3 4
符合题意；
故选：D．
考点2 判断事件发生的可能性的大小
【典例精讲】（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）学校“爱昆虫”社团买回一些盲袋，每个盲袋里
装一个琥珀昆虫吊坠．如图，这些琥珀昆虫吊坠中，蝴蝶10个，蝎子1个，瓢虫5个．菲菲随机领取一个
盲袋，里面是什么昆虫呢？下面说法正确的是（ ）
A．三种昆虫的可能性一样大 B．不可能是蝎子
C．瓢虫的可能性最小 D．蝴蝶的可能性最大
【答案】D
【思路引导】本题考查了可能性的大小，明确可能性的大小与数量的多少有关，数量多的可能性大一点，
数量少的可能性小一点，据此即可解答．
【规范解答】解：∵10>5>1，蝴蝶琥珀昆虫吊坠最多，蝎子琥珀昆虫吊坠最少，
∴菲菲随机领取一个盲袋，领取蝴蝶的可能性最大，蝎子的可能性最小，
故选：D．【变式训练】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）从标有数字1，2，⋯，8的8张卡片中，任意抽取1张；
设事件A为“取到2的倍数”，事件B为“取到3的倍数”，事件C为“取到比10大的数”.事件D为“取到
整数”．
(1)发生可能性最大的事件是______，发生可能性最小的事件是______；
(2)把事件A、B、C、D按照发生可能性的大小在数轴上用字母A、B、C、D标注出来．
【答案】(1)D，C
(2)见解析
【思路引导】本题主要考查可能性大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性(概率)的计算方法．
（1）根据可能性大小的概念得出四个事件的可能性大小，从而得出答案；
（2）根据所求数据表示在数轴上即可．
4 1
【规范解答】（1）解：事件A“取到2的倍数”的可能性大小为 = ，
8 2
2 1
事件B“取到3的倍数”的可能性大小为 = ，
8 4
事件C“取到比10大的数”的可能性大小为0，
事件D“取到整数”的可能性大小为1，
所以发生可能性最大的事件是D，发生可能性最小的事件是C，
故答案为：D、C；
（2）如图：
考点3 改变条件使事件发生的可能性相同
【典例精讲】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图是一个等分成8个扇形区域的转盘．
(1)转动转盘一次，指针指向哪种颜色的区域的可能性最小？
(2)转动转盘一次，指针指向哪种颜色的区域的可能性最大？(3)请重新设置8个扇形区域的颜色，使得（1）中指针指向的颜色的区域出现的可能性大于（2）中指针指
向的颜色的区域．
【答案】(1)指向蓝色的可能性最小
(2)指针指向黄色的可能性最大
(3)将2个黄色区域改为蓝色区域
【思路引导】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据可能性的大小分别对每种颜色概率进行分析，即可得出答案；
（2）根据可能性的大小分别对每种颜色概率进行分析，即可得出答案；
（3）使得蓝色面积大于黄色面积即可．
【规范解答】（1）解：根据转盘可得共有8份，每份大小相同，红色有3份，黄色有4份，蓝色有1份，
3
∴指针都指向红色区域的概率为 ，
8
1
指针都指向蓝色区域的概率为 ，
8
4 1
指针都指向黄色区域的概率为 = ，
8 2
∴指针指向蓝色的可能性最小．
（2）解：根据（1）可得指针指向黄色的可能性最大．
（3）解：根据题意，将2个黄色区域改为蓝色区域，
3
则此时指针都指向蓝色区域的概率为 ，
8
2 1
指针都指向黄色区域的概率为 = ，
8 4
能使指针指向蓝色区域的可能性大于黄色区域．
【变式训练】一只不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇
匀，从中任意摸出1个球，
(1)会出现哪些可能的结果？
(2)事先能确定摸出的一定是红球吗？
(3)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？
(4)怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这些颜色的球的概率相等？
【答案】(1)白、黄、红三种
(2)不能
(3)红球(4)袋子中白球、黄球、红球的个数相同
【思路引导】（1）根据事情发生的可能性，注意判断即可；
（2）根据红球的多少判断，只能确定出现的可能性较大；
（3）根据红球的数量多，抽出的可能性就大；
（4）根据概率相等就是出现的可能性一样大，可让数量相等即可．
【规范解答】（1）解：会出现：白、黄、红三种
（2）解：不能确定摸出的球一定是红球；
（3）解由于红球数量最多，所以红球出现的概率最大；
（4）解：袋子中白球、黄球、红球的个数相同时，三者的概率相等．
【考点剖析】此题主要考查了事件发生的可能性，关键是根据事件发生的可能大小和概率判断即可，比较
简单的中考常考题．
考点4 列举随机实验的所有可能结果
【典例精讲】（2024九年级·江苏南通·专题练习）第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭
州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，
分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，
其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要
求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为 ．
【答案】12
【思路引导】本题考查列举法所有等可能情况，把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为
A、B、C，共有六种站法，再利用插空法即可求解，掌握例举法是解题的关键．
【规范解答】解：把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为A、B、C，
则将三个吉祥物进行排列，有：
A、B、C，A、C、B，B、A、C，B、C、A，C、A、B，C、B、A，
共6种站法，
再将甲乙进行插空，因为甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则有：
A、甲、B、乙、C，A、乙、B、甲、C，A、甲、C、乙、B，A、乙、C、甲、B，
B、甲、A、乙、C，B、乙、A、甲、C，
B、甲、C、乙、A，B、乙、C、甲、A，C、甲、A、乙、B，C、乙、A、甲、B，
C、甲、B、乙、A，C、甲、B、乙、A，
共有12种不同的站法，
故答案为：12．【变式训练】（2024·北京·一模）学校组织学生到某工艺品加工厂参加劳动实践活动．用甲、乙两台设
备加工三件工艺品，编号分别为A，B，C，加工要求如下：
①每台设备同一时间只能加工一件工艺品；
②每件工艺品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工；
③每件工艺品在每台设备上所需要的加工时间（单位：min）如下表所示：
（1） 若要求A，B，C三件工艺品全部加工完成的总时长不超过20min，请写出一种满足条件的加工方案
（按顺序写出工艺品的编号）；
（2） A，B，C三件工艺品全部加工完成，至少需要 min．
【答案】 答案不唯一，如BCA 15
【思路引导】本题考查了有理数的加法，概率的分析应用是解题的关键．
（1）罗列出6种情况，选择符合题意的即可；
（2）罗列出6种情况，进行比较大小即可．
【规范解答】按照ABC顺序加工，需要7+2+5+6=20min，
按照ACB顺序加工，需要7+2+(4−2)+6+5=22min，
按照BCA顺序加工，需要2+5+6+2=15min；
按照BAC顺序加工，需要2+5+(7−5)+2+(4−2)+6=19min；
按照CAB顺序加工，需要4+6+(7−6)+5=16min；
按照CBA顺序加工，需要4+6+5=15min．
（1）总时长不超过20min，可以按照BCA顺序加工；
（2）通过比较发现，最短时间为15min．
考点5 判断实验所得结果是否是等可能的
【典例精讲】（22-23九年级下·河北衡水·期中）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数
依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数
字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到
讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，
写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（ ）
A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8
C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8
D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5
【答案】B
【思路引导】正确的推理判断即可求解．
【规范解答】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同
学手里拿的就只能是3和4．
如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7，
则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的；
如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确
的．
根据数学选择题的四选一原则，就选B．
故选：B．
【考点剖析】本题考查数学演绎推理，结合数学知识，进行正确的演绎推理是解决本题的关键，
【变式训练】在做针尖落地的实验中，正确的是（ ）
A．甲做了4 000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4 001次时，针尖肯定不会触
地
B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻
抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度
C．老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取
D．老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的
进行统计，他不满意的就不要
【答案】B
【思路引导】根据模拟实验带有一定的偶然性，相应的条件性得到正确选项即可．
【规范解答】A．在做第4001次时，针尖可能触地，也可能不触地，故错误，不符合题意；
B．符合模拟实验的条件，正确，符合题意；
C．应选择相同的图钉，在类似的条件下实验，故错误，不符合题意；
D．所有的实验结果都是有可能发生，也有可能不发生的，故错误，不符合题意；
故选B．
【考点剖析】本题考查的是模拟实验的条件．解答本题的关键是注意实验器具和实验环境应相同，实验的
结果带有一定的偶然性．考点6 概率的意义理解
【典例精讲】2025·青海西宁·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是360°”是必然事件
C．两组身高数据的方差分别是S2 =0.1，S2 =0.3，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率
甲 乙
1
为 ，表示抽奖10次就有1次中奖
10
【答案】B
【思路引导】本题考查了事件的概率，随机事件的分类，方差等知识的综合运用，理解概率，事件分类，
方差的概念是解题的关键．
根据概率，事件的分类，方差的概念，逐一分析即可求解．
【规范解答】解：A、概率很大的事件发生的可能性大，不一定会发生，故A选项错误，不符合题意；
B、“任意画一个三角形，其外角和是360°”是必然事件，正确，符合题意；
C、∵S2 50%”即积分≥3分，统计6人中符合条件的人数，用人数比总人数得概率；
（3）先找前6名积分众数为3，再分析加入积分后众数仍为3的情况，排除使众数偏离3的积分，得3或
0．
【规范解答】（1）解：第6号命中次数=5×40%=2，积分=2分；在条形图中第6号对应直条高度为2．
故补全条形统计图如下：（2）解：∵ 命中率>50%即命中次数>5×50%=2.5，
∴ 积分≥3分；
前6名积分1、3、4、5、3、2中，积分≥3分的有4人；
4 2
∴ 概率P= =
6 3
2
答：概率为 ．
3
（3）解：前6名积分1、3、4、5、3、2，众数为3（3出现2次，其余数各1次）；
要使7名学生积分的众数与前6名的众数相同：
若第7号积分为0：3仍出现2次，其它均出现1次，故众数为3，符合；
若第7号积分为3：3出现3次，其它均出现1次，故众数为3，符合；
若第7号积分为1、2、4、5：这些数会从1次变为2次，与前6名的众数均不同，不符合；
故第7号学生积分为3或0．
故答案为：3或0．
考点9 根据概率作判断
【典例精讲】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被
等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指
向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是120°，转动转盘，当
转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色．
(1)在图1的转盘中转出数字9的概率是___________．
(2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？
1
【答案】(1)
9
(2)小颖的观点是对的，理由见解析
【思路引导】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键．
（1）共有9种结果，转出数字9的结果有1种，利用概率公式计算即可；
（2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论．
【规范解答】（1）解：共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是9的结果有1种，
1
∴P（转出数字9）=1÷9= ；
9
1
故答案为： ；
9
（2）解：小颖说法正确，理由：
小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结
6 2
果，所以小明转出的数字小于7的概率是 = ，
9 3
小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是360°−120°=240°，
240 2
∴P（转出红色）= = ，
360 3
∴P（转出数字小于7）=P（转出红色），
∴小颖的观点是对的．
【变式训练】（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明利用质地均匀的骰子和小颖做游戏，规则如下：
①两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子；
②当掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么你的得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超
过10时，必须停止掷，并且你的得分为0；
③比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜．
在一次游戏中，小颖连续投掷两次，掷出的点数分别是3，2．小明也是连续投掷两次，掷出的点数分别是
2，6．请问：(1)如果小颖继续掷，点数和不超过10的概率是_____；
(2)如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明）
(3)在做游戏的过程中，你认为该如何决定继续掷骰子还是停止掷骰子？
5
【答案】(1)
6
(2)停止掷，理由见解析
(3)见解析
【思路引导】本题主要考查简单的概率计算，确定所需情况数和掌握概率公式是解答本题的关键．
（1）根据当前已掷出的点数和，即可求得小颖继续掷时，点数和不超过10的概率；
（2）分别计算出点数和超过和不超过10的概率，比较大小即可解题；
（3）根据已掷出的点数和前面掷的人的结果综合考虑来决定是否继续掷即可．
【规范解答】（1）解：由题可知：小颖已掷出的点数和为2+3=5，
再掷一次，只有掷出6点时，其点数和才会超过10，
5
∴小颖继续掷，点数和不超过10的概率是 ，
6
5
故答案为： ；
6
（2）解：停止掷；
理由如下：
小明前两次掷出的点数和是8，若再掷一次，点数为1，2时，得分为9 或10
1
∴P（小明得分9或10）= ；
3
点数为3，4，5，6时．得分为0，
2
∴P（小明得分0）= ．
3
1 2
∵ < ，
3 3∴停止掷．
（3）解：一般来说，当前面掷出的点数和不超过4时，应该继续掷；
当前面掷出的点数和在5-7之间时，可以选择继续掷；
当前面掷出的点数和在7-9之间时，可以选择停止掷；
当前面掷出的点数和为10时，应该停止掷．
当然，如果你在后面掷，还要视前面掷的人的结果来决定是否继续掷．
考点10 已知概率求数量
【典例精讲】（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知一个不透明的袋子中装有9个只有颜色不同的球，
其中3个白球，6个红球，若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋
1
中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率为 ，则袋中红球被换成黄球的个数为（ ）
3
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【思路引导】本题考查了概率公式的应用．设把x个红球换成黄球，根据由3个白球和x个黄球得摸得“一
9×8
白一黄”共有3x种，从9个球里摸2个球共有 =36种情况，根据概率公式列方程求解即可．
2
【规范解答】解：设把x个红球换成黄球，
由3个白球和x个黄球得：摸得“一白一黄”共有3x种，
9×8
从9个球里摸2个球共有 =36种情况，
2
1
∵随机从袋中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率为 ，
3
3x 1
∴ = ，
36 3
解得x=4，即袋中红球被换成黄球的个数为4个，
故选：C．
【变式训练】在一个袋子里，装有50个红色、黄色、绿色三种颜色形状、大小、质地完全相同球，经过充
分搅拌后，通过足够多次的随机抽取实验，得到“任取一球是红球”的概率为30%，已知黄球比绿球多5
个，则这个袋子中绿球有 个．
【答案】15
【思路引导】本题主要考查了概率的应用以及一元一次方程的求解，熟练掌握概率公式和一元一次方程的
解法是解题的关键．先根据概率求出红球个数，再设绿球个数为未知数，结合黄球与绿球数量关系以及球的总数列方程求解．
【规范解答】解：红球个数：50×30%=15（个）
设绿球有x个，则黄球有(x+5)个．
15+x+(x+5)=50，
15+x+x+5=50，
2x+20=50，
2x=50−20，
2x=30，
x=15，
故答案为：15．
考点11 几何概率
【典例精讲】（25-26九年级上·云南昆明·阶段练习）“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是
我国古代数学的骄傲．如图，在正方形ABCD中，AB=❑√29，AE:EF=2:3，假设可在弦图区域内随机
取点，则这个点落在阴影部分的概率为 ．
20
【答案】
29
【思路引导】本题考查了勾股定理的运用，几何概率，设AE=2x，则EF=3x，根据BF2+AF2=AB2，
求出EF，得到正方形EFGH的面积，利用概率公式代入计算即可．
【规范解答】解：设AE=2x，则EF=3x，
∴BF=AE=2x，AF=AE+EF=5x，
∵BF2+AF2=AB2，
∴4x2+25x2=29，
解得：x=1或−1（舍去)，
∴EF=3，
S =9，
EFGH
∵S =29，
ABCDS =29−9=20，
阴影
20
这个点落在阴影部分的概率为 ，
29
20
故答案为： .
29
【变式训练】（22-23九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以
OA、OB为直径作两个半圆．向直角扇形OAB内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是
（ ）
2 1 1 2 1
A．1− B． − C． D．
π 2 π π π
【答案】A
1
【思路引导】设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为 πr2 ，根据OC将下面的阴影正好平分两部分，
4
且这两部分绕点C旋转90°后正好可以与AC、BC上方的空白部分重叠，求出阴影部分的面积为：
1 1
πr2− r2
，然后求出概率即可．
4 2
1
【规范解答】解：设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为 πr2 ，记以OA、OB为直径的两个半圆的另
4
一个交点为C，
如图，连接OC，AB，AC，BC，
∵∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，∵点C在半圆上，
∴∠ACO=∠BCO=90°，
∴C在AB上，∠AOC=90°−45°=45°，
∴∠AOC=∠OAC，
∴OC=AC，
同理可得：BC=OC，
∴OC=AC=BC，
∴OC将下面的阴影正好平分为两部分，且这两部分绕点C旋转90°后正好可以与AC、BC上方的空白部
分重叠，
1 1
∴阴影部分的面积为：
πr2− r2
，
4 2
1 1 π−2
πr2− r2
4 2 4 π−2 2
∴在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为： = = =1− ，
1 π π π
πr2
4 4
故选：A．
【考点剖析】本题主要考查了求几何概率，扇形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，直径所对的圆周
角为直角，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，求出阴影部分的面积．
【演练1】（2025·江苏·中考真题）如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转
动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是 ．
3
【答案】
5
【思路引导】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题关键．先求出任意转动转盘1次共有5种等
可能的结果，其中，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的结果有3种，再利用概率公式计算即可得．
【规范解答】解：由图可知，任意转动转盘1次共有5种等可能的结果，其中，当转盘停止转动时，指针
指向红色区域的结果有3种，3
则当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是P= ，
5
3
故答案为： ．
5
【演练2】（2023·辽宁锦州·中考真题）在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色
2
外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为 ，则a= ．
3
【答案】8
【思路引导】本题考查了概率公式，分式方程的应用．
根据概率公式列方程计算即可．
【规范解答】∵在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随
2
机摸出1个球，摸到红球的概率为 ，
3
a 2
∴ = ，
4+a 3
解得：a=8，
经检验，a=8是原分式方程的解，
故答案为：8．
【演练3】（2025·山东济南·中考真题）在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球
除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为 ．
2
【答案】
9
【思路引导】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A
m
出现m种可能，那么事件A的概率P(A)= ．
n
直接利用概率公式求解即可．
【规范解答】解：因为不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同，
2 2
所以从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为 = ，
2+3+4 9
2
故答案为： ．
9
【演练4】（2025·海南·中考真题）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的
点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（ ）1
A．出现点数为6的概率是
6
B．出现点数为0是随机事件
C．出现点数为偶数是必然事件
D．出现点数为奇数是不可能事件
【答案】A
【思路引导】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不
可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也
可能不发生的事件．
1
【规范解答】解：A．出现点数为6的概率是 ，正确，符合题意；
6
B．出现点数为0是不可能事件；
C．出现点数为偶数是随机事件；
D．出现点数为奇数是随机事件；
故选A．
【演练5】（2024·宁夏·中考真题）中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和
创造力．某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件．
(1)某天这两种工艺品的销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件？
(2)中国的天问一号探测器，奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青
睐．该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘（转盘被分为5个大小相同的扇形）．凡顾客在本店购买
一件工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个
（指针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形）．一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得
纪念品的概率是多少？【答案】(1)该店销售扎染3件，刺绣2件
3
(2)
5
【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用以及概率公式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组
是解题的关键．
（1）设扎染工艺品销售扎染x件，刺绣工艺品销售y件，根据某天这两种工艺品的销售额为1175元，列
出二元一次方程，求出正整数解即可；
（2）直接由概率公式求解即可．
【规范解答】（1）解：设销售扎染x件，刺绣y件．
根据题意得，175x+325 y=1175．
47−13 y
∴x= ．
7
∵x,y均为非负整数．
47
∴当y=0时，x= （舍去）；
7
34
当y=1时，x= （舍去）；
7
当y=2时，x=3；
8
当y=3时，x= （舍去）．
7
答：该店销售扎染3件，刺绣2件．
（2）解：转动一次转盘所有等可能结果共5种，指针指向有纪念品的扇形（记为事件A）的结果有3种，
3
所以，P(A)= ．
5
3
答：该顾客获得纪念品的概率是 ．
5基础夯实
1．（25-26九年级上·广东河源·期中）龙川县历史悠久，是广东最早立县的四个古邑之一，有“千年古
县”之称，龙川县有许多旅游景点，如佗城景区，霍山景区，九龙湾景区．周末，小明与小佳两人准备从
这3个景区随机选一个景区前往游览，他们恰好选择同一景区的概率（ ）
1 2 1 4
A． B． C． D．
6 3 3 9
【答案】C
【思路引导】本题考查可能事件的概率．通过计算所有可能的选择组合和满足条件的组合数，利用概率公
式求解．
【规范解答】解：∵小明从3个景区中随机选择1个，有3种选择；小佳同样有3种选择，
∴总共有3×3=9种可能的选择组合，
∵他们选择同一景区的情况有3种（都选佗城、都选霍山或都选九龙湾），
3 1
∴概率为 = ．
9 3
故选：C．
2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）中秋佳节，小明妈妈准备了2个五仁月饼，4个莲蓉蛋黄月饼，3
个奶黄月饼，小明任意选取一个，选到五仁月饼的概率是（ ）
2 4 1 2
A． B． C． D．
9 9 3 3
【答案】A
【思路引导】本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．计算选到五仁月饼的概率，即五
仁月饼数量与总月饼数的比值．
【规范解答】解：∵总月饼数=2+4+3=9，五仁月饼有2个，
2
∴选到五仁月饼的概率= ．
9
故选：A．
3．（25-26九年级上·山西朔州·月考）从一副扑克牌中取出下面四张，将其背面朝上，然后从中任意翻
过来一张，翻开的牌上的数字可能性最大的是（ ）A．2 B．5 C．9 D．无法确定
【答案】B
【思路引导】本题考查了判断事件发生的可能性的大小，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
根据可能性大小的意义求解．
【规范解答】解：一副扑克牌中取出下面四张，9，2，5，5，
其中5有两张，9，2各一张，
从中任意翻过来一张，翻开的牌上的数字可能性最大的是5，
故选：B．
4．（2025九年级上·浙江·专题练习）从−1、−2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为
b、c，则关于x的一元二次方程2x2+bx+c=0有一正一负两个实数解的概率为（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
【答案】C
【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，概率，由题意可得，
从−1、−2、3、4中随机选取两个不同的数作为b和c，所有可能的有序组合共有4×3=12种，由方程
的解一正一负可得c<0，又由Δ=b2−8c可知c<0时，方程始终有一正一负两个实数解，再求出满足条件
的情况即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【规范解答】解：从−1、−2、3、4中随机选取两个不同的数作为b和c，所有可能的有序组合共有
4×3=12种，
c
当方程的解一正一负时， <0，
2
∴c<0，
∵Δ=b2−8c，
∴c<0时，Δ=b2−8c>0，方程始终有一正一负两个实数解，
∴c=−1或c=−2，
当c=−1时，b可取−2、3、4，有3种；
当c=−2时，b可取−1、3、4，有3种；
∴ 满足条件的情况共6种，6 1
∴一正一负两个实数解的概率为 = ，
12 2
故选：C．
5．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，由4块完全相同的正方形瓷砖铺成的地面，若一只蚂蚁爬
到该区域内，停留在区域内的任意位置（隔线忽略不计），蚂蚁停留在阴影区域内的概率是 ．
1
【答案】 /0.5
2
【思路引导】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示
所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
由图可得该正方形可由4块一模一样的直角三角形组成，其中阴影区域由2个一模一样的直角三角形组成，
再根据概率公式即可求解．
2 1
【规范解答】解：由题意得，蚂蚁停留在阴影区域内的概率是 = ．
4 2
1
故答案为： ．
2
6．（25-26九年级上·山西运城·期中）在研究随机事件的概率中，有的是等可能事件，可以算出理论概
率，有的理论概率计算复杂，还有的是非等可能事件，这两种事件的概率选择用实验的方法，通过增加实
验的频次，用频率估计概率，下面是利用计算机模拟实验估计50个人中有两人生日相同的概率曲线图，通
过图中数据可知40个人中两人生日相同的概率接近 ．（精确到0.1）
【答案】0.9
【思路引导】本题考查了从图像获取信息．
根据概率曲线图作答即可．
【规范解答】解：由概率曲线图可知，40人时对应的概率为0.9．故答案为：0.9．
3
7．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）从n个苹果和4个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是 ，
5
则n的值是 ．
【答案】6
【思路引导】本题考查概率的基本计算，解题的关键是根据概率的定义列出方程求解．
选中苹果的概率等于苹果的数量除以总水果的数量，由此列出方程求解．
n 3
【规范解答】解：由题意可得： = ，
n+4 5
解得：n=6．
经检验：n=6是原方程的解且符合题意，
故答案为：6．
8．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）在超市促销抽奖活动中，抽奖箱里有7个除颜色外毫无差别的乒
乓球，其中3个是白色乒乓球，4个是黄色乒乓球．
(1)摇匀后，从中随机取出1个球是黄色乒乓球的概率是多少？
2
(2)若往抽奖箱里放入若干数量的白色乒乓球，调整后摇匀，随机摸出一个球是白色乒乓球的概率为 ．问
3
放入了多少个白色乒乓球？
4
【答案】(1)
7
(2)5个
【思路引导】本题考查了概率公式，根据概率求数量，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据概率公式计算即可得解；
2
（2）设放入x个白色乒乓球，根据随机摸出一个球是白色乒乓球的概率为 列方程即可得解．
3
【规范解答】（1）解：从抽奖箱里随机取出一个球有7种等可能结果，其中是黄色乒乓球的有4种结果，
4
所以从中随机取出1个球是黄色乒乓球的概率是 ．
7
（2）解：设放入x个白色乒乓球，
3+x 2
由题意得： = ，
7+x 3
解得：x=5．
经检验x=5符合题意，
答：放入了5个白色乒乓球．9．（25-26九年级上·全国·单元测试）（1）一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，求最终停在阴影
方砖上的概率；
（2）在▱ABCD中，AC,BD是两条对角线，现有以下条件：①AB=BC；②AC=BD；③AC⊥BD；
④AB⊥BC．从中任取一个作为条件，求可判定▱ABCD是菱形的概率．
1 1
【答案】（1） （2）
3 2
【思路引导】本题考查了概率的简单应用，熟练掌握概率的定义和求法是解题的关键；
（1）计算面积再根据概率公式计算概率；
（2）判断满足菱形条件的个数然后根据概率公式计算即可.
【规范解答】解：（1）设每个小正方形的边长为1，则S =5，S =15，
阴影方砖 所有方砖
5 1
∴P（最终停在阴影方砖上）= = ．
15 3
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
②∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
④∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形．
只有①③可判定▱ABCD是菱形，
2 1
∴可判定▱ABCD是菱形的概率是 = ．
4 2
10．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球、1个白球，
它们除颜色外都相同．
(1)求从袋中任意摸出一个球为红球的概率．
2
(2)现从袋中放入若干个白球，充分摇匀后，要使从袋中随机摸出一个球是白球的概率是 ，问应放入多少
5
个白球？
3
【答案】(1)
5(2)5
【思路引导】本题考查了概率的简单应用以及分式方程：
（1）从袋中任意摸出一个球有10种等可能结果，其中是红球的结果为6，直接写出概率．
（2）设放进去了x个白球，根据题意列方程求解即可．
【规范解答】（1）解：从袋中任意摸出一个球有：6+3+1=10种等可能结果，
6 3
其中是红球的结果为6，所以摸出一个球为红球的概率为： = ．
10 5
（2）解：设放进去了x个白球，
1+x 2
根据题意： = ，
10+x 5
解得：x=5，
所以应放入5个白球．
培优拔高
11．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）下列事件属于必然事件的是（ ）
A．明天太阳从西边升起
B．三角形的外心到三边的距离相等
C．抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上
D．直径所对圆周角是直角
【答案】D
【思路引导】本题考查了必然事件，必然事件是指在一定条件下一定发生的事件，选项A、B、C均不一定
发生，选项D是几何定理，一定成立．
【规范解答】解：A、太阳从西边升起是不可能事件，故该选项错误；
B、三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，到三
边的距离不一定相等，故该选项错误；
C、抛掷1枚硬币，硬币落地时可能正面朝上，也可能反面朝上，故该选项错误；
D、直径所对的圆周角是直角（圆周角定理），该事件一定发生，属于必然事件，故该选项正确，
故选：D．
12．（25-26九年级上·福建泉州·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．明天下雨是随机事件
B．要了解一批日光灯的使用寿命，应采用全面调查
C．已知一组数据：3，3，4，5，8，10，11，则这组数据的中位数是5D．若甲组数据的方差S2 =0.13，乙组数据的方差S2 =0.04，则乙组数据更稳定
甲 乙
【答案】B
【思路引导】本题考查随机事件、调查方式、中位数和方差的概念．选项A正确，明天下雨是随机事件；
选项B错误，因为日光灯使用寿命的测试是破坏性的，全面调查不现实，应采用抽样调查；选项C正确，
数据中位数为5；选项D正确，方差越小数据越稳定．
【规范解答】解：∵选项A：明天下雨可能发生也可能不发生，是随机事件，正确；
∵选项B：全面调查需检查所有个体，但日光灯寿命测试是破坏性的，全面调查不经济且不现实，应采用
抽样调查，错误；
∵选项C：数据3，3，4，5，8，10，11按升序排列，共7个数，中位数为第4个数5，正确；
∵选项D：方差S2 =0.0490°，
∴点O落在如图所示以AB为直径的半圆内．
1 (a) 2 πa2
半圆的面积为： π = ，
2 2 8
正方形的面积是a2，πa2
∴满足∠AOB>90°的概率是 8 π．
=
a2 8
故选：D．
15．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直线
EF过点O，分别交AD，BC于点E，F，一个小球在平行四边形ABCD内自由滚动，它落在阴影部分的
概率是 ．
1
【答案】
4
【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，几何概率，三角形中线定义等知
识，掌握知识点的应用是解题的关键．
由平行四边形性质可得OA=OC，OB=OD，AD∥BC，则有∠EDO=∠FBO，
1
S =S =S =S = S ，然后证明△EOD≌△FOB(ASA)，则有
△ADO △CDO △BOC △ABO 4 平行四边形ABCD
1
S =S ，故S =S +S =S +S =S = S ，然后用概率即可
△EOD △FOB 阴影 △AOE △FOB △AOE △EOD △AOD 4 平行四边形ABCD
求解．
【规范解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD∥BC，
1
∴∠EDO=∠FBO，S =S =S =S = S ，
△ADO △CDO △BOC △ABO 4 平行四边形ABCD
∵∠EOD=∠FOB，
∴△EOD≌△FOB(ASA)，
∴S =S ，
△EOD △FOB
1
∴S =S +S =S +S =S = S ，
阴影 △AOE △FOB △AOE △EOD △AOD 4 平行四边形ABCD
1
∴它落在阴影部分的概率是 ，
41
故答案为： ．
4
16．（25-26九年级上·四川达州·月考）在−2，−1，1，2，3，4六个数中随机选取一个数作为关于x
的一元二次方程ax2+4x+2=0中的a的值，则这个一元二次方程没有实数解的概率为 ．
1
【答案】
3
【思路引导】考查了概率公式及根的判别式的知识，解题的关键是确定能使得方程无解的未知数的值．首
先根据根的判别式确定方程无实数解时a的值，然后利用概率公式求解即可．
【规范解答】解：当一元二次方程ax2+4x+2=0无实数解时，Δ=42−4a×2=16−8a<0，
解得：a>2，
∴在−2，−1，1，2，3，4这6个数中随机选取一个数作为一元二次方程ax2+4x+2=0中的a的值，使
得一元二次方程没有实数解的a的值为3和4，一共2个，
∴在−2，−1，1，2，3，4六个数中随机选取一个数作为一元二次方程ax2+4x+2=0中的a的值，则这
2 1
个一元二次方程没有实数解的概率为 = ，
6 3
1
故答案为： ．
3
1
17．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）有5张正面分别有数字−1，0， ，1，3的卡片，它们除
3
数字不同外全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中随机的抽取一张．记卡片上的数字为a，则使以x为
自变量的正比例函数y=(3a−7)x经过第二、四象限，且关于x的一元二次方程ax2−2x+3=0有实数解
的概率是 ．
2
【答案】
5
【思路引导】本题考查正比例函数的图象，一元二次方程根的判别式，概率公式，综合运用相关知识是解
题的关键．
7
首先根据正比例函数经过第二、四象限的条件，得出a< ；再根据一元二次方程有实数解的条件，得到
3
1 1
a≤ 且a≠0，综合得a≤ 且a≠0．再找出卡片中满足条件a的数量，运用概率公式求解即可．
3 3
【规范解答】解：∵正比例函数y=(3a−7)x经过第二、四象限，
7
∴3a−7<0，解得a< ．
3∵关于x的一元二次方程ax2−2x+3=0有实数解，
∴a≠0，且Δ=(−2) 2−4a×3=4−12a≥0，
1
解得a≤ 且a≠0；
3
1
综上，a≤ 且a≠0．
3
1 1
卡片数字为−1,0, ,1,3，满足条件a的有−1, ，共2个，
3 3
2
∴概率为 ．
5
2
故答案为 ．
5
18．（25-26九年级上·江苏南京·期中）图①、②、③是8×8正方形的网格纸板，现进行投针试验，
分别随意向三个纸板上投一针．
(1)分别求出投中纸板①、②上的阴影部分的概率．
(2)请在图③中选取部分方格涂上阴影，使得投中阴影部分的概率等于（1）中求得的概率．
(3)如果把纸板上的虚线去掉，（1）、（2）中求得的概率发生变化吗？你能总结出投中阴影部分概率的
公式吗？
1 1
【答案】(1) ，
8 8
(2)见解析
阴影部分面积
(3)概率不发生变化，阴影部分概率的公式为P=
网格纸板的面积
【思路引导】本题主要考查了几何概率的求法，解题的关键是掌握简单概率公式．
（1）利用简单概率公式求解即可；
（2）根据概率公式画出图形即可；
（3）根据简单概率公式判断即可．
【规范解答】（1）解：大正方形包含的小正方形个数为8×8=64（个）图①阴影部分的正方形个数为8个，
8 1
投中纸板上阴影部分的概率为 = ；
64 8
图②阴影部分可以看作是矩形的对角线和小正方形的对角线构成的三角形，
每一个阴影三角形的面积等于1×4的矩形面积的一半，即为2个小正方形的面积，
图②阴影部分的正方形个数为2×4=8个，
8 1
投中纸板上阴影部分的概率为 = ；
64 8
（2）解：涂色如下：
（3）解：概率不发生变化，
阴影部分面积
阴影部分概率的公式为P= ．
网格纸板的面积
19．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的球共12个，它
们除颜色外完全相同，其中红球有5个，白球有4个．
(1)从盒子中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率．
(2)若往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，使得从盒子里随机摸出一个球，红球的概率不超过0.5，
摸出黑球的概率是0.25，请设计一个符合条件的放球方案．
1
【答案】(1)
3
(2)红，白，黑个数分别是2，1，1（答案不唯一）
【思路引导】本题考查简单事件的概率计算，理解题意是解答的关键．
（1）根据简单事件的概率计算公式求解即可；
（2）设加入x个红球，y个黑球，根据随机摸出一个球，红球的概率不超过0.5，摸出黑球的概率是0.25，
列出不等式和方程，即可求解．
【规范解答】（1）解：∵红，白，黑三种颜色的球共12个，白球有4，
4 1
∴从盒子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是 = ．
12 3（2）解：∵红，白，黑三种颜色的球共12个，红球有5个，白球有4个，
∴黑球有3个，
往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，则总共12+4=16个球，
设加入x (x≥0)个红球，y个黑球，
∵红球的概率不超过0.5，摸出黑球的概率是0.25，
x+5 y+3
∴ ≤0.5， =0.25，
16 16
解得：x≤3，y=1，
∴放入红，白，黑个数分别是2，1，1或者1，2，1或者0，3，1 或者3，0，1 （答案不唯一，选择一种
答案即可）．
20．（21-22九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别
位于―6和9的位置，现两点按照下述规则进行移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向
上面的点数：
①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位；
②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位；
③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位．
(1)经过第一次移动，求B点移动到4的概率；
(2)从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正
方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，
并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数；
(3)从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若AB=3，求x的值．
1
【答案】(1) ；
4
(2)B点表示的数为-21；
(3)x的值为4或6．
【思路引导】（1）利用概率公式计算即可；
（2）根据题意可知当向上的点数均为偶数时，A点向右移动a个单位，当向上的点数均为奇数时，A点向
左移动2(12-a)个单位，再根据平移的规则推算出结果即可；
（3）刚开始的距离是15，根据三种情况算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分别除以3即可得到结果．
【规范解答】（1）解：根据题意，B点移动到4，则向左移5个单位，且第一次就移动到4，
故两次向上的点数均为奇数(正方体骰子奇数为1，3，5，) ，
3 1
则P(奇数)= = ，
6 2
1 1 1
∴P(B点移动到4)= × = ；
2 2 4
（2）解：当向上的点数均为偶数时，A点向右移动a个单位，
当向上的点数均为奇数时，A点向左移动2(12-a)个单位，
∴b=-6+a-2(12-a)=3a-30，
当b=0时，3a-30=0，
∴a=10，即均为偶数有10次，均为奇数有2次，
∴B点表示的数为9-10×2-2×5=-21；
（3）解：刚开始AB的距离等于15，
均为偶数时，AB距离缩短3，
均为奇数时，AB距离缩短3，
均为一奇一偶时，AB距离也缩短3，
当缩短至3时，(15-3)÷3=4，∴x=4；
当缩短至0再增长3时，(15+3)÷3=6，∴x=6；
∴x的值为4或6．
【考点剖析】本题考查概率公式，数轴，代数式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决
问题．
